Cálculo I - Aula 32 (2/3) Integrais impróprias: intervalos ilimitados; Convergência

[Música] vamos tentar ver como é que a gente faz integrais impróprias o charque de parte 2 não é porque a outra da parte 1 que a gente tinha visto é o que a gente estava chamando de uma integral imprópria quando calculava a integrar um intervalo que era ilimitado outra coisa que eu tinha prometido que podia acontecer a gente vai tratar agora é quando você tenha o intervalo limitado e dentro de algum ponto a função explode para o infinito então vou tentar calcular integrais intervalos limitados de funções que não são limitados naquele intervalo e eu vou

reduzir um caso o primeiro é o seguinte você tem o intervalo e num ponto ali a função sport para o infinito que eu posso fazer eu posso pegar esse ponto e olhar para o intervalo aberto dele até o extremo direito por exemplo o intervalo fechado o extremo-esquerdo original e aberto um novo extrema direita quer dizer que estou pensando há uma situação assim você tem uma função definida no intervalo fechado a b até um ponto aqui no meio onde essa função explode para infinito por exemplo tá aqui ela explode para - infinito pela direita como é

que eu vou querer calcular em baixo neste gráfico se existir o que eu faço eu pego do intervalo aberto de até 3º tentar definir isso se eu souber fazer uma coisa desse tipo ou desse tipo tá bom né aquino então vou me restringir ao caso para não ficar escrevendo todos que o extremo esquerdo é um intervalo aberto é aberto extrema direita a gente vai pegar uma flor foi poderia ser o contrário aqui é muito análogo ao que eu vou fazer agora então a gente comenta rapidamente depois que ver se vai faltar era isso mesmo né

tá então vamos pensar se tem uma função definida no intervalo aberto em a fechado em b tal que você sabe calcular a integral dela em qualquer submeter valo fechada isso pra todo ter maior do que a da então vamos pensar se está com o intervalo aberto no a fechado no b eu sei que a pb qualquer que seja o valor de t eu sei que o álcool integral nesse intervalo fechado a função integrada nesse intervalo então o que eu quero definir é esse objeto esquisito quem seria integral de até b jeff xx o que seria

70 a função em cima não preciso desenhar o que ele tem a idéia natural para calcular embaixo do gráfico de a atb sabendo que você sabe calcular detetar qualquer bem deixa esse caminho e chegar bem perto do ano é se esse cara se aproxima de ar eu vou cobrir uma área muito próximo da área que seria de até bem então eu vou definir isso aqui o próximo a dois pontos igual protestou definindo isso como sendo o limite quando tem já pela direita integral de ter até b e aí vale toda aquela nomenclatura se isso aqui

é um número eu vou dizer que essa integral convergem ele é infinita convergência e divergência anterior se fosse outra situação não é como se perguntou se fosse fechado no aberto no meio o que você faria cálculo integral de até te deixa tem se aproximado de bebê e ver o que acontece então um cara desse tipo como é que você faz e vai fazer dois limites um dado pela integral de a até te contei se aproximando descer pela esquerda e outra integral de ttb conter se aproximando pela direita do ponto cego se calcula as duas se

as duas devem números eu digo que a função a integral imprópria no intervalo oab é a soma desses números se uma delas não existe o que existe é bom muito bem não existe eu quero dizer da inffinito então fazer alguns exemplos a gente sentir como essas coisas funcionam é vamos por exemplo calcular integral de zero até um de um sobre raios x de x calcular hoje concluir que é o integral divergente como é que eu posso fazer essa conta pela definição que é isso aonde essa função está definida no intervalo fechados 101 não posso calcular

10 domínio dela é o intervalo exatamente em aberto 10 e vai até mais infinito caso o interessado do roberto 10 fechado em um está aberto 10 fechado em um vocal como integral desse tipo só que é o limite quando te tende a zero pela direita integral de t até 11 tinham sobre raios x de x sabemos qual a primitiva de um sobre raios x sim sobre raio-x você vai pensar que a x elevado - meio e se aplicar aquela regra só uma um expoente estudar dois raios x né o limite quando te vai pra 02

raízes de x 0 enquanto que dá isso no x igual a um isso vale 2 mx igual intervalo de 2010 de ter quando teve 10 isso é zero então vai dar 2 - 0 2 portanto nesse caso é integral é convergente segundo caso bom vamos deixar registrado isso graficamente como é que o gráfico da função 1 sobre raios de x num ela vale 11 e perde né como é que ela é praxes maior do que um ela está acima ou abaixo do da hipérbole compara um sobre x com um sobre raios x quando x é

maior do que um raio x é menor do que x portanto inverso vai ser maior né então é uma função que vai tender para zero também mas mais devagar do que um sobre x tende e quando x tente pra zero ela vai entender para mais ínfimo itu só que ela tende para o mais ínfimo itu mais rápido do q1 sobre che tudo bem porque praxes entre 0 e 1 a gente sabe que a raiz é antes é maior do x bom então beleza esse é o gráfico o que eu estou te dizendo quando eu fiz

essa conta vou pegar um escore bom branco é uma coisa que a gente concluiu aqui é que essa área vale dois mesmo que ela é ilimitada vamos pegar outro exemplo vamos calcular parecido com isso né fazer 1 sobre o xv x que acha que dá 01 em seu limite quando x tende a zero pela direita de ter até um de um sobre x primitiva de um sobre x lei do módulo diz que acontece agora num só que vale zero no tempo e dar menos lnd te quando pretende para 0 l n tem de pelo menos

infinito ficar menos - infinito é mais infinito portanto a área embaixo da função 1 sobre x ao quadrado entre 0 e 1 é mais infinita vou dizer que se integral diverge como é que é o gráfico dá um sorriso ao quadrado vão fazer outra coisa ela é uma coisa assim né ela cai mais rápido mas quando tende para 0 ela tem esse comportamento quando se aproxima do zero mas a jóia que essa conta está mostrando pra gente que essa área achado em vermelho aqui é mais infinito tá bom qualquer um outro calculei que o país

terá um sobre x não é só desenhar um pouco menos intensa que a de calcular com e comparar com um sobre estes ao quadrado hipérbole mesmo [Música] em branco é sobre isso e agora vamos calcular um terceiro exemplo pode ser igual a zero até onde um sobre x quadrado deixe se de maneira totalmente análogas seu limite em que a primitiva de um sobre estes quadrado - um sobre x isso vai deter até um é de novo num vale menos um ano ter igual tendendo a zero vale - enfrentam ficar 1 - 1 - - infinita

mas enfim isso representa se você desenhar o gráfico da y igual a 1 sobre x quadrado como é que o episódio a um só destes quadrado aqui ele vem mais forte é aquele que cai mais rápido né na travessa situação que a gente concluiu que a embaixo do gráfico amarelo de zero até um também mais infinito você percebe que aconteceu ali de 0 a 1 em que a gente sabe de 01 a da raiz de um finitas de 1 sobre o xv mais infinito de um sorriso ao quadrado mais infinito que acontece de um pra

frente inverte porque inverte porque o fato de um sobrinho ao quadrado crescer muito rápido quando se estende para zero vai dizer que ele dê cresce muito rápido quando se estende para infinito nós calculamos aula passada quanto que valia de um até infinito a área de 1 baixo de um sobre x ao quadrado vale é um tá então a área embaixo desse gráfico amarelo de 1 até mais infinita é um álbum sobre x é o vermelho tem dia para infinito que na verdade ao são a mesma né a curva vermelha é simétrica em relação à obstetrícia

as outras não também então ok e é de 11 sobre x ela vem por cima que a gente sabe se a 1 sobre x tende para o infinito qualquer gráfico que está acima dele vai explodir o infinito também intuitivo isso né esse é um sobre x tende um só destes quadrado tende para um número qualquer gráfico que tiver baixo dela também vai entender com um então vou tentar escrever um resultado um chamado de um teorema mas a gente não precisa não vamos demonstrar vou te dizer o que precisa fazer para demonstrar e foi ver que

faz todo sentido foi isso é essa integral imprópria parte 2 é quando você tem no seu intervalo de integração algum ponto onde há funções pode para infinito ou não está definida se ela não está definida mas foi limitada simplesmente declarar o valor da função naquele ponto que está faltando com o valor que você quiser e pela teorema que a gente viu na copa passada isso não muda o valor integral se eu tocar o valor da função em um ponto só o número finito de pontos a integrar no seu terno eu tenho uma integral de uma

função que não está definida num ponto está com bolinha aberta naquele ponto e é limitada você escolhe o valor que se quiser volta que a função vale zero naquele ponto cálculo integral normalmente agora só foram limitadas ela explodir para infinito ou menos infinito nesse ponto aí você usa uma técnica desse tipo é isso que a gente está abordando agora tenta calcular primitiva de uma função um intervalo limitado onde a função não é limitado dentro desse intervalo a parte 1 o domínio era ilimitado essa parte 2 a imagem que é ilimitado então como teorema que a

gente pode dizer que se você calcular integral de um sobre x elevado alfa deixe se de um até mais infinito que você acha que dá para dizer não vou dizer que é integral converd 6 somente ser o alfa for um número maior do que 1 a segunda coisa é integral de 0 a 1 d1 sobre x elevado alfa peixes converge 6 somente seu alfa for menor do que 1 não é nosso caso a gente viu que com alpha igual a meio deu dois e com igual a um ou dois já explodiu porque vale5 essa regra

é fácil de ver né integral de zero até mais infinito de elevado alfa existir nestes converge que acha que isso acontecer com alpha nesse caso é que o gráfico das funções potencial se eu pegar um alfa positivo ela vai explodir o infinito não tem chance de convencer né então se eu pegar um alfa negativo pelo menos vou saber que o gráfico é uma coisa assim tem de fazer no infinito pode ser que com vejo a gente vê que convergem mesmo em último caso integral de - infinito até zero de elevado alfa xx converd essencialmente ser

aqui o alfa tem que ser positivo como é que você faria para demonstrar este teorema olha para os casos quer dizer você sabe qual a primitiva de um sobre x elevado alfa pensa se o alvo for diferente de um alvo foi diferente de um aqui nesse caso não é que você pode fazer isso aqui sushis elevada - alfa e aplicar aquela coisinha de somar um expoente se acha primitiva e se consegue calcular essa primitiva em termos do número alfa vai ver que essa primitiva vai dar um número se o alvo for maior do que 1

e vai explodir para infinito se o alvo for menor do que um hino ao futebol um é do blog que a gente viu também tá então se o alvo for menor ou igual que um eu garanto pra você que isso aqui vai explodir para mais ínfimo itu se eu for maior que 1 vai dar algum número esse número depende do alfa claro mesma coisa que calcula primitiva ver o que acontece nos extremos vai dar um número 6 somente se o alvo for menor do que 1 se eu for maior que 1 isso responde pela inffinito

a exponencial acha primitiva disse cálculo integral em própria vai fazer a mesma coisa tá bom só as nesse caso ser consegue calcular se principalmente as primitivas e ver o que acontece em função de algo certo outro resultado que é importante junto com esse é um programa do tipo comparação né então pega duas funções f e g dr é mais que bom vamos ver cinco integráveis em a vergonha te todo te magoou que a e toquei isso porque o fgc ambas positivas com a final ao g1 o que eu posso dizer se você sabe que é

integral de até mais infinito de gt x de x converge a função que está por cima tem uma integral convergente o que eu posso dizer é que está por baixo o velho também não posso dizer o contrário é que está por baixo conversa eu posso dizer alguma coisa a respeito de cima não tem exemplo na lousã ea outra que dá pra outra coisa que dá para dizer o seguinte se é que está por baixo diverge se a pequena história para mais ínfimo itu é óbvio que uma maior do que ela vai estourar também então esse

é um critério que a gente chama de comparação como é que você usa isso você tem algumas que você sabe por padrão já desfez a conta verificou isso você sabe algumas que são convergentes e divergentes eu posso estudar a convergência de certas integrais mesmo que eu não saiba calcula primitiva através do que de comparar essa integral que eu quero saber alguma integral que já conheço como é que se faz para demonstrar isso é bem tranquilo né vou escrever todos os detalhes não há hipótese é que a f1 é menor do que a gente não é

certo é menor do que a g e ambas positivas com certeza a área embaixo dos gráficos acaba te maior igual que a eu vou ter isso aqui né isso é uma das propriedades que a gente teve estou ali pra integral de dilma tudo bem e com isso acabou já a demonstração quanto vale esse lado esquerdo aqui a área embaixo do gráfico da função zero é zero para qualquer número te tá bom legal isso aqui está me dizendo que que a área embaixo do gráfico da efe é menor do que era embaixo do gráfico da g

para qualquer valor de t certo então isso aqui é um número que é menor do que esse número então o limite desses números vai ser menor igual que o limite desses números tudo bem quem é esse limite é integral tem mais de até mais infinito da ef esse aqui é mais infinito então por exemplo se você sabe que esse é o limite desse cara que deu um número esse aqui vai ser alguma coisa entre zero e esse número está bom ok perfeito que mais se esse aqui deu então dizer que esse de um número que

vai dar um número a primeira frase se integral da grande converge integral da pequena conversa se esse aqui quando eu calculo limite do mais ínfimo itu que vai acontecer com eles têm que dar mais ínfimo e também então se a pequena diverge grande tivesse tá é o que está acontecendo o que estou vendo aqui né um sobre x de 1 até mais infinito vão pensar de ontem mais infinito 11 sobre x divergem diverso que é o futebol o que eu posso dizer então de 11 sobre raios x comum sobre raios x é maior do que

1 sobre x ela adverte direto poderia fazer isto comparando duas coisas que eu sei calcular tudo bem um sobre x ao quadrado converge a gente calculou eu só preciso quadrado da área rosinha aqui embaixo convergente que eu posso dizer a respeito disso com com base nisso a respeito de um só precisa quinta vai ter que conversar e também porque um só precisa quem é menor do que os obtidos ao quadrado que é convergente então vamos ver como é que a gente usa em dois exemplos