Cálculo I - Aula 15 (1/3) Teoremas do Valor Intermediário, Weierstrass e Fermat: interações

[Música] é bom dia para todos aí a antes de dar prosseguimento com a um assunto que a gente está estudando o tema de um intermediário de 7 em um exercício que ficou uma dúvida que é o que você disse que não conseguiu fazer a letra que do primeiro né é um exercício para derivar você tem a função é fictício como ela é é login raiz quadrada de mais 1 sobre o xerez - um tá bom como é que você pode derivar ser essa função primeira coisa que só vai derivar isso nos pontos onde ela está

definido para definir aquele consciente precisa ser positivo né pra começar então dependendo bom mas vamos supor que a gente está trabalhando no domínio da função está bem definida e onde tudo está bem definido se vai ter um consciente de duas funções contínuos composto com a raiz quadrada que é uma função contínuo calculando o blog também é contínuo portanto isso é uma função contínua todas elas são também derivava eis portanto vai valer todas as regras da cadeia do consciente e tem dois jeitos de derivar isso aí né um deles que iria facilitar muito as coisas você

perceber que essa raiz se pode olhar como o x + 1 sobre isso - um elevador meio e aplicar a propriedade do óleo tivesse meio para fora e se aplica simplesmente a regra da cadeia de evando log aquele consciente x + 1 sobre os menos um outro é derivado direto usando composta de tudo o que tem aí sem se preocupar e usar essa propriedade do blog como é que você preferiu fazer direto sem olhar nenhuma propriedade vamos vamos tentar fazer isso então como é que fica a derivada dessa função é sempre derivado de fora para

dentro né então vai ser derivada do blog que é um sobre o que está lá dentro você já pode escrever isso direto com sendo a raiz de x - um sobre x mais um né invertendo o acerto vai multiplicar isso pela derivada do que está lá dentro de vado da raiz quem quer um sobre duas vezes então vai ficar meio esse é até aqui embaixo a raiz desse cara né pode escrever com x - 1 x mais um tudo bem vezes o que vejo é derivada do que está dentro da raiz é derivada do que

está dentro da raiz como é que se faz é um consciente já há uma regra do quociente então vai derivar numerador copiam aquela regra então vamos escrever aqui na linha de baixo quanto é derivada do numerador 11 vezes o denominador - vai copiar o primeiro a derivada do denominador é 11 e tudo isso vai dividir por x - junto ao quadrado bom e é isso segue em frente com as contas como é que vai ficar ali se mata a raiz quadrada vai ficar x - 11 sobre os mais um aqui você tem meio aqui em

cima vai dar quanto menos dois no numerador é isso então corta aquele meio da linha da frente vai ter menos 1 sobre o xv - um quadrado ou seja menos 1 sobre x ao quadrado menos 16 + 1 x 1 - 1 tá bom então dá isso a cites que se podia colocar derivada do consciente mas não funciona tá se você quiser fazer de outro jeito você pode olhar isso aqui como lm do cara elevador meio poder inscrever se como sendo o meio mais um título se você dele vai ser dessa maneira faz exatamente a

mesma coisa que faz - conta porque elimina derivada da raiz quadrada do processo bon jovi então vamos voltar porque a gente estava fazendo posso posso apagar isso aqui tá a gente estava estudando a influência daquele axioma do supremo que a gente vê lá no começo sobre a teoria das funções contínua estou certo a eu vou recolocar o enunciado do tema do valor intermediário recolocar tudo todos os denunciados que a gente fez o que é lembrar que aquelas demonstrações que eu não fiz em sala eu ou tentar eu escrevi um texto eu vou pretendo colocar ele

na página com as demonstrações completinhos de tudo que a gente fez alguns exemplos ali no meio tudo pra quem tiver interessado consultar e se tiver alguma dúvida alguma coisa a gente pode conversar sempre tá bom então retomar os enunciados que a gente tinha né até o momento a gente o teorema do valor intermediário que dizia o tema valor intermediário a frase curta isso tem que ele todo anunciado que eu vou repetir mas a frase curta pra você lembrar assim uma função contínua sempre leva um intervalo no intervalo quer dizer se ela assume um valor e

assumir outro é obrigado a assumir todos os valores dentro daquele intervalo na imagem está certo como é que a gente pode escrever isso não é uma função continuar sempre reforça isso escrevo drr mas não precisa função não está definida no intervalo todo em toda reta réu uma função contínua pega dois números a e b em r pega o y o número real thaw que y esteja entre os valores df dfb então o que queremos dizer pra gente sempre tem pelo menos um ponto no domínio tal que chegou à itu certo tudo bem coisas que são

interessantes por exemplo você pode usar este teorema para concluir a sobre a atividade de certas funções não tinha falado ao passado por exemplo suponha que você tem uma função então uma consequência chama de uma observação não é se você tem uma função contínua se f é contínuo e você sabe que o limite quando x tem de certo ponto x tem de pagar p este podia ser infinito tá se você sabe que em algum ponto a função tende para mais ínfimo itu em algum outro ponto a função tende para - infinito está pequena não precisa estar

no domínio da função recebe que em algum ponto o limite até aqui o lateral pela esquerda pela direita aqui podia ser mais infinito - infinito que dá para dizer se a função em algum ponto tende para o mais ínfimo itu em outro ponto tem de pelo menos infinito e ela é contínua o que eu posso dizer é que há a função é sobre a gestora está claro por que o que quer dizer isso aqui quer dizer que para valorizar de tratamente próximos dp o valor da função fica maior do que um certo número m então

vai ter algum ponto da função de atingir o valor m vai ter algum outro ponto relativo foi um valor bem negativo se ela é contínua o que eu posso dizer que ela obrigatoriamente atinge todos os valores dentro desse intervalo tá é bom veja isso precisa que não é sempre assim né podia ter uma situação isso aqui falha você tem um intervalo a função está definida no intervalo e contém um ponto que pode pensar por um mesmo ponto para evitar qualquer problema tende pra pela direita para a 1 pela esquerda pra outra esses pontos sem fio

diante de uma situação onde poderia furar isso tá que vai acontecer se ela assumiu num ponto atende para mais infeliz no outro atende menos infinito então vê se obrigado a atingir todos os valores no eixo y vai ficar bem mas foi mais infinito supõe que a função definida na reta inteira só ficar mais intuitivo função definida na reta inteira lá na frente ela atende por mais infinito pela esquerda tem problemas em tudo isso aqui quer dizer que ela fica maior do que algum valor a partir de um certo x menor do que o outro valor

então atingir esses dois valores portanto vê-se obrigado atinge todos os valores intermediários e essas constantes mpe - e me permite concluir que a f é sobre setor tá quando é que faria pensa o gráfico de uma função por exemplo assim voltam assim toda aqui uma reta 11 e pensa uma função que têm essa propriedade por exemplo o acerto não existe nenhum ponto dessa função não existe nenhum ponto no domínio disfunção vale 1 então um cara desse tipo pode ser por exemplo um sobre um mais x - um bom o ponto x igual a o o

ponto 1 nunca está na imagem por isso aqui nunca é igual a 1 poderia ser o eixo x não é só tirar segundo aqui da frente a mesma coisa só que mostrar um outro ponto um pouco diferente então precisa estar definido em toda reta está definido em toda reta e vai para mais infeliz no infinito estiver aqui podia ser menos aqui mas se tiver sinais trocados garantias sobre a atividade um outro fato que é interessante um exemplo também é interessante do tema do intermediário é uma coisa que várias situações bem mais gerais mas a gente

consegue demonstrar o caso uni dimensional que é o seguinte suponha que você tem um círculo unitária tá bom um solitário ele tem um círculo tá e você tem uma função definida nesse círculo que isso quer dizer que para cada ponto do círculo associa um único número real tá então o por exemplo pensa que você está nesse circo e você pode associar um número por exemplo se essa coisa que foram um anel metálico eu podia social por exemplo a temperatura em cada ponto do delta claro então o que dá pra demonstrar que com esse você tem

uma função que é continuar definido em cima dos pontos dessa circunferência sempre vão existir dois pontos antípodas o que quer dizer tipo das simétricos em relação à origem dentro do círculo onde a função vai assumir sempre o mesmo valor uma propriedade interessante como é que você pode fazer isso supõe que tem esse ponto a esse é o ponto b tá bom 2 pontos ante produção circunferência então eu tenho valor da minha função aqui e o valor da minha função aqui então ouso dizer se você pegar esse círculo chamar de s1 a esfera de dimensão não

pensar assim e você tem uma função jeci um r tudo bem a gente não falou que é uma função nos círculos e contínua mas a intuição você já tem pontos próximos do circo o valor da função é que você vai ser próximo do que você pode fazer eu posso você concorda que cada ponto da circunferência fica determinado pelo ângulo teta que ela faz com eixo x escutar então eu posso olhar para essa efe na verdade como sendo o que ela está definida no intervalo de zero do isp né para cada ângulo teto e vou ter

um ponto na circunferência o cálculo valor e estou com uma função definida no intervalo da reta real tá eu vou olhar para a seguinte coisa eu olhar para a função de detecta que vai me dar o quê fx - fdny tá onde x é o é o ponto dado pelo ângulo teta e y é o ponto anti poodle é claro então calcula função nesse ponto o cálculo a função desse ponto e olha para a diferença quanto que vale x determinado por teta y seu antigo enquanto que vale de calculado em 0 quando o teto é

igual a zero meu x é o pontual e um y ponto b então isso vai valer fd a desculpa de 0 valeu fd a menos efe db não sei quanto esse número não sei porque eles a função tem o mesmo valor nesses dois pontos enquanto que vale de calculado em equipe quando pensa que o chile está no á e um y está no b quando eu faço ou rodando quando completo pe o que acontece é o x foi parar no b eo y foi paranoá então isso vai ser o que é efe db - f

já que o que é isso é o anterior multiplicado pelo menos um na então a minha função como era uma função contínua de também é uma função com tina que eu tenho uma função que no ponto zero tem um certo valor e no ponto pe o valor proposto se esse número aqui for zero esse também é e acabou já tem um ponto onde as duas funções são iguais seja que foi positivo e negativo e vice verso então eu tenho uma função contínua que troca de sinal dentro do intervalo de 0 a equipe diga o valor

não eu quero provar que vai ter algum vai ter algum ponto x de modo que esse ponto xis e no seu antigo da função tem o mesmo valor então por exemplo aqui a função vale5 e aquela vale3 então a diferença é 2 quando eu rodar vai ser 3 - 5 que é menos dois então se num ponto a função vale 2 em outra vale menos dois como ela é contínua e algum valor intermediário ela vai ter que valer 0 efe qualquer coisa que seja uma função contínua que para cada ponto do círculo atribuir um número

como te disse poderia ser uma situação física temperatura e 77 já vou fazer um comentário um pouquinho mais geral sobre isso tá então pelo tolima do valor intermediário se num ponto ela tem um sinal em outro ponto ela tem outro era aquele corolário trocou de sinal em algum ponto lá no meio existe algum tempo a 0 dentro do intervalo 10 pi tal que detecta 0 realizado ou seja se a taxa zero corresponde ponto x 0 vou te f x 0 então qualquer que seja a função contínua você vai saber que existe algum ponto de mal

do que ele esse é o tipo da função tem a mesma coisa já a gente não tem condições de mostrar agora e nem no futuro tão próximo que este teorema vale para esferas de dimensão arbitrário se você pegar uma esfera tridimensional que ele espera que a gente vê na e3 esse tema também é verdadeiro por exemplo você supor que a o planeta terra é uma esfera que isso quer dizer pega qualquer função que seja contínua por exemplo é razoável supor que a temperatura seja uma função contínuo a pressão seja um mas eu tô aqui toma

uma certa temperatura perto desse ponto temperatura vai ser mais ou menos próximo do que eu tô na pressão atmosférica de ser atriz é que esse problema está dizendo neste caso geral que não pensa nesse exato momento na superfície da terra existem dois pontos antípodas onde a temperatura é exatamente a mesma outros dois pontos antigos onde a pressão é exatamente a mesma então é um resultado bastante surpreendente não quer dizer que o ponto um tipo da all que eu a gente está aqui seja exatamente aquele que vai ter a mesma temperatura que agora existem dois pontos

antigos na esfera onde a temperatura vai ser exatamente a mesma precisão exatamente o mesmo esse é um resultado que tem consequências muito forte em cima do valor intermediário só que mais que a gente tinha anunciado que estava falando de ponto de máximo e mínimo tá certo definimos o que quero máximos e mínimos globais locais fizemos chegamos anunciar o teorema devastou certo então só para retomar o que era um ponto de máximo local então só pra gente lembrar se você tem uma função grr está a ser contínuos assinada a gente vai dizer que x 0 1

ponto de máximo local quando se existe um intervalo aberto intervalo aberto contendo ponto x 0 tal que fdx é menor ou igual a f x 0 pra todo x dentro desse intervalo e que esteja também no domínio da função porque não pode calcular função fora do seu domínio porque eu preciso tomar cuidado porque podia pensar que a função é ficar definida no intervalo fechado e os x é exatamente um dos extremos do intervalo então não dá pra pegar o um dos lados do intervalo aberto que com o tempo se já então olha só dentro do

domingo a definição de mínimo local completamente análoga né você trocar a palavra máximo por mínimo se inverte a desigualdade como é pra pensar que é um ponto de máximo local então é um ponto que perto dele ele o valor da função maior do que todos os pontos ali tá bom ele é o campeão da vizinhança se você quiser pensar dessa maneira a gente definiu também de maneira análoga o que é um ponto de máximo simplesmente agente enfatizá vá dizendo que era máximo global quando se o fdx for menor do que o ft x 0 pra

todo x no domínio da r tá bom ou seja é o campeão de todos é o maior valor que a função atingir todo o seu domínio de maneira totalmente análogo a gente define o que é o mínimo global invertendo essa desigualdade menor valor que a função tinha bom nos conceitos que a gente quer tratar em particular o cálculo que a gente está estudando vai te ajudar a tentar descobrir é quem são os pontos de máximo e mínimo locais e globais de uma certa função então a gente tá fazendo teoria para chegar nessas condições que nos

permitam estudar máximos e mínimos de funções tá então o teorema que a gente tinha na aula passada a gente anuncia um liminha também que dizia que ele lema que toda a função contínua no intervalo fechado não podia explodir para infinito o sapato então o teorema que é o que a gente chama o tema de vastas que ele dizia pega uma função definida no intervalo fechado contínua então efe admite pontos de máximo e milho quando eu não tô falando que é local é porque o ponto máximo e mínimo globais ou seja você pegar uma função continua

em qualquer intervalo fechado tem um ponto onde ela sobre o maior valor de todos e tem dentro de si mesmo intervalo um outro ponto onde elas um menor valor de mike era o que você usava para fazer a demonstração a gente chamava de m o sup da ef dentro do intervalo a b perguntas com esse número existe existe por causa do lema que eu não sei na aula passada claro que o lema dizia que toda função continua no intervalo fechado não explode para infinito ou seja é limitada superiormente então esse conjunto conjunto dos valores que

a f atingiu o intervalo a b é não vazio porque tem o valor que a função atingir no ponto há por exemplo o conjunto num vazio e não explode o infinito limitado superiormente então tem supremo então esse número existe está bem definido que a gente faz a gente considerava então conjunto s como sendo o conjunto dos pontos no intervalo a b para os quais o sup dos valores da função fdx até b é igual a ele tá talvez eu não tenha tenho escrito alguma coisa diferente na uma passada aí tá x pertence ao intervalo a

b de modo que o sup da função de x desse ponto x até o extremo esquerdo extremo direito do intervalo é exatamente igual aí tá esse conjunto é não vazio claro se você pegar x igual a um super df calculado no intervalo a bm por definição de m ele é limitado superiormente porque todo mundo que está aqui dentro é menor do que b então o que você faz o conjunto é se tem um supremo certo então chama dito o sup de s o que você acha que vai acontecer em todo o trabalho está escrito naquelas

notas que eu vou deixar na página você prova exatamente qf dill é igual à m tá esse m que é o sup é o cara que você tá sonhando que seja o valor máximo da função que a gente provou que existe um ponto que atingir esse valor idealmente máximo portanto um é o ponto de máximo da função e nesse ponto a função vale m está bom tem um trabalhinho para provar isso tá escrito naquelas rotas isso mostra que a função tem um ponto de máximo como é que faz para mostrar que é um ponto de

mínimo sem ter que fazer muita conta esse tema vale para toda a função contínua no vale se essa é uma função continua você concorda que - f é uma função contínua também publiquei por uma constante então aplica esse tema para - efe a função - f tem um máximo tem de demonstrar que qualquer uma tem qualquer contínua tem máximo então - efe que o máximo que é muito difícil você se convencer que esse é um ponto x 0 que é o valor máximo de - efe ele vai ser um valor mínimo de f 1 x

1 - 1 o cara que era o menor de todos como explica pelo menos um parceiro maior de todos e vice versa então como - f é contínua e tem máximo efe exatamente naquele ponto vai ter um mínimo de bom então vamos deixar isso e tentar fazer alguns comentários né qual é a parte boa desse teor e mandou vastas ele disse pra gente que existe o máximo eo mínimo qualquer parte um pouco menos agradável se o cara te conta que tem um ponto de máximo se fala quero saber quem é esse problema diz algo te

dar alguma pista sobre quem é o ponto de máximo não dá ele fala que o ponto de máximo que está procurando é o supremo de um certo conjunto tá bom em geral a gente tem alguma maquininha que pega um conjunto de votos o supremo nesse conjunto ou de certa maneira tem um algoritmo que calcula super de conjuntos não que se saiba tá então quer dizer ele está demonstrando falar tenho tenho o máximo eu consigo te dizer idealmente quem ele é eu não tenho um algoritmo pra lá bom tem máximo tem qual é não sei então

se a gente conseguir colocar alguma hipótese a mais em cima da continuidade da função efe eu consigo descobrir possíveis candidatos para máximos e mínimos né tá bom então seus botar alguma condição zinho um pouco mais forte em cima da f1 conseguiu dizer olha se tiver máximo tem que satisfazer essa propriedade está esse é o que a gente chama de teorema de fermat tá bom é esses dois juntos vão permitir a gente estudar máximos e mínimos de funções que disse que o lema de firmar pega efe uma função definida agora no intervalo aberto chegando em r

derivava e x 0 1 ponto pode ser hoje máximo ou mínimo local tá o que eu posso dizer a respeito de um ponto de massa ou de mínimo de uma função de levava no intervalo aberto a derivada da função nesse ponto tem que valer 0 obrigatoriamente claro então que esse tema está dizendo pra gente que se você tem um ponto de máximo ou mínimo no intervalo aberto à deriva de 01 outro jeito de lei isso ser derivado da função num ponto diferente de zero não tem chance de se pontos e nem máximo nem mínimo é

claro como é que eu posso usar isso a meu favor se eu estou procurando pontos de máximo.de mínimo que tem que acontecer esse ponto vai ter que ter derivado a 0 se eu tô dentro do intervalo aberto é claro então quando você tem alguma estratégia para eliminar um monte de gente na busca de pontos de máximos e mínimos os possíveis candidatos a ponto de máximo e mínimo são as raízes da derivada da função pergunta sei lá onde a cultura de um povo disse imaginar uma é de crescer e de pessoal como maior dela no intervalo

de base do clube vamos pensar vamos analisar todas as situações primeiro você mesmo tinha me perguntado na aula passada coisa sobre esse tema lembra quer dizer o que o teorema do vale transporte que a função seja definida no intervalo fechado então vou mostrar se ela não tiver no intervalo fechado é falso exemplo considera essa função aqui pegar bem simples fdx definida no intervalo aberto 01 chegando em r que para cada x associa fx guache como é que o gráfico dessa função ele vai ter bolinha abertas 10 em aberto num bom pergunta essa função tem valor

máximo qual é o maior valor que ela atinge qual é o maior valor que ela atingiu não tem nada atendendo a nada ela atinge o valor 1 em algum ponto nunca então quanto mais eu me aproximar do valor o mundo mais próximo de um for chegar então eu consigo se eu tenho um certo ponto eu sempre consigo achar um ponto do domínio que o valor é um pouquinho maior certo essa função não tem máximo ela é contínuo mas não tem máximo porque o intervalo é aberto ta mas se você tem que olhar para a demonstração

quem seria o m nessa brincadeira que pensa que o intervalo aberto quem é o sup da função nesse intervalo qual é o maior número é maior do que todos os pontos da imagem um né exatamente então esse é um o que vai acontecer no caso como intervalo intervalo fechado eu não vou conseguir achar nenhum ponto que atingir esse valor do mesmo modo de maneira totalmente análoga quando scheidt e prada 0 conseguiu sempre diminuir o valor da função bom então tá claro isso aí né diga é que nessa condição aqui programa de formação a gente chega

lá tá então veja se a função não tiver definida no intervalo fechado não tem porque o turismo de vastas valer poderia valer poderia mas não é coberto pelo que o teorema pega o intervalo aberto assim de modo que a função se tem essa cara por exemplo tem até uma derivava eu nem precisava né essa função tem valor máximo tem ela atinge o máximo aqui atingir o mínimo aqui é uma função continua intervalo aberto eu tenho isso tem alguma coisa a ver com o teorema de vários extras não porque o tema de vastas só fala sobre

funções definidas intervalo as pesquisas estão mostrando é que se o intervalo foi aberto ele pode se tornar falso qual é outra condição que a gente precisava que a função fosse contínua então vou pegar uma função descontínua no intervalo fechado que não tem márcio está o exemplo a gente pode pensar graficamente depois escreve uma forma tá aí a esse intervalo fechado aqui sei lá até mesmo a gente põe número se precisar pode até um ponto aqui onde a função sport para infinito tá e nesse ponto eu defini la como sendo essa constante aqui não é o

gráfico da minha função você pode fazer uma função tipo chavinha é um sobre x até um certo ponto e constante igual não sei quanto a partir daquele ponto tá bom pergunta essa função tá definido no intervalo fechado sim ela é contínua não porque é uma contínua porque os limites laterais não convergem para o valor da função no ponto então tem uma função descontínua no intervalo fechado tem máximo não qual é o mal ela tinha nenhum quanto mais perto chegar a esse cara maior vai ser o valor da função tá então de fato a hipótese do

intervalo onde a fita definida ser fechado é crucial que a hipótese da função ser contínua no intervalo fechado também é crucial se não consigo construir 1 300 também se eu fechar bolinha aqui fechar bolinha que quer dizer que a função está definida no zero está definida num portanto o domínio passou a ser o intervalo fechado 0 mas sim e aqui está escrito que a derivada ele observou se a gente fechar aqui a função passa a ser definida no intervalo fechado e aí você está falando que é derivada a derivada dessa função constante igual a um

ela não vale zero em nenhum ponto qual é o problema que isso gera em relação à turma de firmar em um porque o tema de formatar pressupondo que a função definida no intervalo aberto ta a gente não sabe deriva' funções em intervalos fechados até dá pra dar esse conceito e tudo mais mas a gente não quer fazer isso agora tá bom então são dois caras que se complementam na o teorema de vasteras ti diz que sempre tem uma função o máximo e mínimo por uma função continua no intervalo fechado o format diz o que se

você tiver no intervalo aberto todo ponto de máximo e mínimo tem derivado igual a zero qual é a diferença entre o intervalo aberto e o correspondente intervalo fechado nos dois extremos né tá então como é que eu posso usar esses dois temas para estudar máximos e mínimos se eu pego uma função que é de que derivava eu o intervalo aberto e é contínua no intervalo fechado que eu posso fazer eu uso o teorema de fermat no interior e procure os possíveis pontos de máximo e mínimo no interior a acho quem são calcula o valor da

função desses pontos reserve no intervalo fechado eu sei que tem todos os possíveis candidatos ao máximo e mínimo que eu achei no interior afirma jaime que teria inteiro afirma me deu quem está faltando olhar os dois pontos do extremo então eu acho uma certa quantidade de possíveis candidatos aqui que são os caras que fizeram a raiz e depois olha o que acontece com a função em cada um dos extremos do intervalo atipicamente isso vai produzir pra gente uma quantidade infinita de pontos e você testa o valor da função em cada um desses pontos e ver

quem é o maior que o menor está um existe um outro te conta quem são os possíveis caras no interior e depois de volta aqui estas estrelas tá vamos provar esse tema que a demonstração é bem mais fácil do que essas e é super construtiva assim ela te ajuda a entender muita coisa