📚 CÁLCULO DE ÁREA POR INTEGRAL - Cálculo 1 (#46) Com vários exemplos resolvidos

o olá pessoal sou professor paulo pereira você está em mais uma aula de cálculo desse curso completam aqui de cálculo um hoje vamos falar do cálculo de áreas por meio de integral como vimos pessoal a integral ela está associada a uma área de baixo do gráfico de uma determinada função então é claro que integral passa a ser uma importante ferramenta para calcular a área a gente podemos muitos exemplos legais aqui tá bom e antes de iniciar bem rapidinho queria mandar um abraço aqui para camila do instituto politécnico de castelo branco em portugal a galera também

está em quarentena lá então estudando o cálculo né algumas pessoas claro por essa playlist que eu fico muito contente de ajudar parabéns a todos vocês aí todos os estudantes do mundo que o mundo parou pouquinho logo isso vai se resolver com certeza mas a educação estudo não pode parar então tamo junto conta comigo sempre e agora sim vem comigo pessoal cálculo da área por integral então a gente vai calcular aqui a área entre o gráfico de uma função f que a gente conheça as retas x igual a e x guabi que são retas verticais tá

bom e o eixo dos x a gente tem aqui há três casos importante o primeiro é quando a área que a gente quer calcular olha aqui ó função f a reta x igual a a reta x igual bmx então ele ficou com essa área que eu pintei de verde muito tranquilo que o modo automático direto simples a área mas sem integral variando aqui de a até b integral definida da tua função época simplesmente calcular integral definida é um tanto cessar tiver na parte de baixo abaixo do esfinge o que aconteceria que você pode fazer a

mesma coisa só que você vai encontrar o resultado negativo tá bom porque tá embaixo e aí você coloca um módulo simplesmente isso ah então não tem problema a área estar em baixo problema nenhum só que você pode encontrar um valor negativo é esse valor negativo você joga o módulo nele fica positivo porque é claro uma área sendo o valor positivo tá bom é possível a gente tem uma situação também como essa aqui onde você tem uma função f uma função g ele você quer calcular a área entre as duas funções ilimitadas ali pelo a e

b também é só você fazer f - g é fácil entender isso que o f seria tudo até essa parte de baixo aqui e o gesso essa parte de baixo como você diminuir é assim mesmo gesso fica final a parte entre as duas funções super tranquilo vamos começar aqui um exemplo passo a passo eu vou fazer vários exemplos nesse vídeo então fica comigo até o final e vai valer a pena determinar a área compreendida entre f de x = - x ao quadrado mais quatro e o eixo dos x olha só não seria extremamente necessário

mas eu acho bem bacana você fazer esse gráfico aqui para você visualizar o que que tá acontecendo e principalmente saber quais são os extremos ali da onde eu tô integral vai se definir tá bom pode sair de uma parábola né então a gente sabe que é uma palavra deixa eu fazer aquilo o plano cartesiano rapidinho e como toda parábola que tem o ar negativo olha lá a gente vai ter uma concavidade voltada para baixo tá bom o reparo que a gente tem o ar menos um o bebê que é o px não aparece então ele

é zero e esse quadro aqui é um ser que é justamente a interseção com o eixo y ah tá certo a gente já estudou isso eu vou agora só fazer as raízes porque as raízes são interseção com o eixo x para calcular as raízes e você igual a expressão à zero resolve né e vai ficar x ao quadrado = 4 e quando a gente com como é que x igual há mais ou menos dois não seja 2 - 2 então digamos menos dois está aqui oi e o 2 vai estar mais ou menos aqui e

pronto então já sei que a minha função tem um gráfico que passa por ali deixa eu pegar aqui uma é uma cor diferente vamos fazer que minimamente esse desenho oi e aí continua né claro e para cá também e ele continua para cá sendo que como eu interrompo no eixo x eu tô falando de que área pessoal essa área aqui ó você já sabe que eu quero o show direto de modo então automático como calcular integral definida da onde do menos dois até o dois é só isso falta somente isso muito legal né bom então

a área é igual a integral de menos dois a dois da função quem a função a menos x ao quadrado mais 4dx vamos fazer essa integral que que não é difícil vamos lá aqui é tranquilão você aumenta um expoente né e divide pelo meio e valor dois mais um é três então ficou x ao cubo mantém esse mesmo sair sobre três e a integral do quarto é só tacar um fiozinho mais 4x é isso variando claro não esqueçamos de menos 2 ou menos 2 a 2 e aqui a gente usa claro o teorema fundamental do

cálculo é só substituir o x pelo 2 - o valor substituindo x pelo menos dois vamos fazer isso e jogando o dois pessoal menos dois ao cubo menos dois ao cubo sobre 3 + 4 x 2 é com muita calma tô fazendo devagarinho para você menos esse menos aqui da forma né o teorema fundamental do cálculo agora o substituto ou menos dois são menos ou menos dois ao cubo é sobre três + 4x - 2 e mais quatro vezes menos dois agora vamos ser feliz fazendo essa conta aí ou menos dois ao cubo menos oito

naturalmente mais 4 x 2 que vai dar oito claro né lá no parentes eu tenho olha menos dois ao cubo menos oito só que vai ficar positivo é sobre 3 a quatro vezes menos dois é - 8 bom vamos lá então e olha acho que vai dar para cortar uma coisa aqui não infelizmente não dá para cortar nada porque era só menos oito terço e mais 8 e esse menos aqui no final todo mundo vai ficar menos oito terços e o menos oito vira mais 8 horas é bom pessoal que que eu vou fazer aqui

oito mais 8:16 ao menos oito textos com menos 83 você pode fazer menos oito com menos oito da menos 16 e manter o trecho embaixo e agora você faz três vezes é 6048 - 16 vai dar 32 e mantém o três embaixo é o resultado é a nossa área muito legal muito gostoso de fazer tranquilo e geral essa parte vão cair funções que não são difícil de você integrar que a ideia é a teoria o conceito que calcular you então galera tira o print ó e vamos seguir porque eu tenho mais exercícios muito mais exercício

ainda esse vídeo para que o estudo possa ser completo tamo junto continua comigo só vou pagar o quadro quase apagado pessoal um vem comigo vamos trabalhar mais aqui como calcular a área sombreada então tem nos deu aqui a função y = seno de x conhecida nossa né que é o gráfico aqui entre o ex essa parte da função e aqui também isso é uma coisa que a gente pode fazer aqui é o seguinte tá calcular integral de 0 ap da função sendo x aplicar aí o teorema fundamental do cálculo vão ter essa região e depois

calcular dpa2 pe lembrando que essa parte ela está embaixo logo resultado vai ser um número negativo mas é só você jogar o positivo não tanto se você quiser calcular somente essa aqui e multiplicar por dois tá resolvido porque claramente a gente tem que essa região é idêntica a essa ficou claro então eu vou escrever para você ó ou você faz a área pensando nisso aqui ó o integral de 0 a pe e da função seno de x e não pode fazer direto de 0 2pi não porque essas áreas vão celular que uma tá em cima

positivo ou tá em baixo resultado negativo tá então você quebra aqui no meio e aí você continua dp até o do isp da mesma função é só que lembra essa aqui vai ficar negativa porque camarao até embaixo e como é que a gente resolve a questão do negativo para uma função na hora de calcular jogando módulo tá bom a gente opa a gente viu isso falei disso no comecinho né é nesse nesse caso aqui também só fazer isso então tá resolvido você vai achar um valor e vai botar o positivo dele eu te falei não

precisa gente nesse caso não precisa nem seria difícil tá mas não precisa se você quiser faz essa maneira só como treinamento é mas é claro que você pode imaginar que nesse caso aqui a área e ela é duas vezes a integral de 0 a tep do seno de x dx porque é igual claramente né e acabou pela modelagem da função cena tá bom e aí fica muito mais fácil vamos aqui calcular a integral integral do seno é a derivada do cosseno é menos oceano né então integral do siena menos o cosseno claramente menos o cosseno

de x que tem que variar de 0 até pe e olha lá de 0 até p então vamos substituir pelo pe eu vou botar logo direto aqui ó ou menos dois cosseno de pi agora diminui - troca por zero tá menos dois né o resultado aqui cosseno de 0 oi e aí tu vai lembrar que o cosseno de pia quanto trigonometria básica pessoal e três aqui o eixo dos cê no eixo dos cossenos pior pizza aqui ó bom então no costão já deu aqui menos um que é o tamanho todo já estão isso aqui e

é menos um já o colchão de zero é aqui né você não quiser aqui mesmo que é um com esse cara aqui eu não sou tão ficou menos 2x menos um que é dois aqui menos 2 vezes um que é menos dois mas conheci menos fica mais resultado dois mais 24 lindo isso né era só fazer então esse daria dois e se daria menos dois mas como tá no modo ficaria dois positivos do nós 24 é dar um resultado não precisava perder tempo fazendo duas integrais faz só uma onde fica por dois acabou fechou só

maravilha é muito bem vamos sair tipo para o exercício 3 agora e se você tá comigo até esse momento significa que você tá gostando imagino eu e se assim for deixa curtir no vídeo custa nada perto aí é curtida verifica se tá inscrito no canal se não tiver inscreva-se que ajuda para caramba tá valeu mesmo a todos vocês que já fazem isso e vamos encontrar área entre y igual a x ao quadrado y = x + vão fazer o desenho desenho é fundamental para gente compreender bem tá acontecendo claro que dá para fazer sem desenho

tá mas eu particularmente gosto de ir ilustrar o que a gente está fazendo acho que fica legal isso tá bom vamos lá pão cartesiano e aí a x ao quadrado é uma função conhecidíssima nossa né essa aqui ó e aí em y igual a x ao quadrado tem mistério nenhum e a gente já precisa ter essa noção claro se estamos estudando capa y = x + 2 é uma função afim é uma reta corta o eixo y no dois vamos fazer aqui de preto então e vai cortar aqui no 2 o digamos por dois esteja

aqui e a raissa o que x + 2 = 0 x = - 2 só vai cortar aqui no menos dois digamos botar um pouquinho mais para cá ou menos dois fez aqui então o nosso desenho é a região aí entre essas duas funções é toda essa região aqui e você vai observar que eu preciso descobrir qual é o o limitante ali o ar e o bebê para fazer integral definida e por enquanto eu não tenho então quê que eu vou fazer ó poder coisa porque eu vou usar laranja para ficar bem debaixo para você

se eu descobrir esse cara aqui o que é intercessão né elas duas funções mesmo tempo que se eu descobri esse cara aqui e passa bem aqui ó e onde é que eu vou aplicar é a minha integral i a júlia é esse menos dois pra cá como é que eu vou descobrir isso bola das funções porque são os pontos de interseção o musical as duas funções tampa descobrir quem são esses caras hálito só x ao quadrado tem que ser igual aquela lá né tem que ser igual a x + 2x ao quadrado menos x menos

2 igual a zero a soma aqui é um além do negros não trocado o produto é menos dois só pode ser então dois e menos 12 vezes - 1 - 2 e 2 - 11 então aqui eu descobri e esse aqui claro estamos negativo é o menos um ó e aqui então dois acabou agora vamos partir para conta vou fazer integral a área portanto é integral de menos 1 até 2 lembro esse é o caso que eu faço a função de cima menos a função de baixo eu falei isso também no começo né que é

uma região entre duas funções a de cima menção de baixo a de cima e reta a x + 21 ou menos a de baixo que a parábola x ao quadrado a dx vamos calcular seu integral é tranquilo fazer integrado aqui x 2 sobre 2 o interior aqui da 2x e integrando aqui da x3 sobre 31 e olha que lindo gente maravilhoso né que varia de menos 1 a 2 ou menos uns definida entre menos 12 tá bom vamos seguir aqui agora vamos substituir tudo por 2 e se você me permite vou fazer relativamente rápido trocando

por 22 ao quadrado 4 4 / 2 os dois aqui 2 x 2 é quatro tão mais 4 os dois ao como 883 tão menos e 83 é isso aí falou que eu troquei por dois agora o subtraio e troque por - 1 - 1 ao quadrado é um então fica um sobre dois duas vezes - 1 - 2 ou menos um ao cubo menos um conheci menos vai ficar mais um e repete o três embaixo o olá gentes o som melhorar um pouco aqui minha vida os dois mais quatro seis vou repetir se menos

ou de terços menos 83 é e aqui tem um menos dois que eu conheci menos fica mais 2 é um meio mais um terço vou fazer essa conta relativamente rápido tô ficando sem espaço tá três vezes 13 2 x 1 2 3 mais 25 embaixo o mc que há 236 tão 56 que ficou só conheci menos e fica menos cinco sextos eu vou somar os seis com 2 o que dá oito oi e o quê que eu vou imaginar aqui ó só fazer um respondo eu tenho menos cinco seis vou fazer aqui de na espinha

ou menos cinco sextos que eu vou somar com menos oito terços e aí eu vou jogar vamos colocar em cima embaixo por dois para ficar mais prático aqui menos 16 embaixo fica seis tá vendo que ficou mesmo delineador - 16 - 5 - 21 bom então menos 21 sobre seis tá bom te dá para simplificar né há 8 dá para te buscar por 3 - 7 sobre dois que a significação do menos 2016 que eu fiz mais com você apagar aqui e aí 2 vezes 8 16 - 79 mantenho dois embaixo isaías resposta beleza já

fechou tira aquele print continua comigo porque eu vou fazer um exercício agora um pouquinho mais elevado não é que seja difícil não tá só não é tão simples quanto isso aqui então abre teu coração vem comigo você vai aprender isso só vou pagar o quadro quadro pagar o pessoal vem comigo fazer esse aqui porque ele legal para caramba tem certeza que você vai compreender ele terminar a área em três curvas y x + 6 y igual a x ao cubo e y = - x sobre 2 a boa noção do bom entendimento sobre funções é

fundamental por exemplo a gente tem aqui y igual a x ao cubo um são clássicos e precisa saber gráfico de y igual a x ao cubo é esse aqui psol em alguma coisa mais ou menos assim tá certo vamos fazer agora as outras duas que são retas tá repara que quer y = x + 6 em vão pensar assim x + 6 vai cortar aqui no seis né vamos ver que o 6 esteja aqui por exemplo i can't be arrays é menos seis que se você toma x + 6 = 0 x = -6 então

digamos aqui está é o menos seis vamos ligar isso ligando a gente tem então a nossa reta e o nosso gráfico oi e aí cruzou lá em cima legal vamos fazer aqui a próxima folha de azul acabei de idade para você y = - x sobre 2 coeficiente linear zero então essa passa aquilo e ela é decrescente né menos x sobre 2 os 101 negativo então vai ser alguma coisa assim tá bom o digamos aqui não precisa ser tão cirúrgico né ela vai ser decrescente vai ser alguma coisa sem pronto e já é o suficiente

para a gente entender como é que essa coisa aí tá só essa aqui é y = - x sobre 2 corta-lhe porque a raissa zero essa laranja aí é a x + 6 eu vou escrever aqui ó é tipo igual x mais seis é a roxa é y igual a x ao cubo e pronto tudo desenhado a gente já sabe agora com exatidão o que tá acontecendo e a gente que essa área aí né entre as três curvas então quero sair aqui gente ó esse pedacinho que também entre as três curvas tá vendo e eu

vou fazer aqui uma divisão zinha né eu vou calcular essa área aqui e depois calcule a sara aqui porque fazer tudo junto vai ficar enrolado né que tudo junto você pega a parte dessa e parte dessa a embolou se eu pego só essa parte aqui o pega laranja azul show se eu pego só essa aqui eu pego laranja e bochecha compreendeu e a gente chama né então vamos dizer que a sara aqui olá seja uma área e a um tá bom oi e essa aqui seja uma área um dois e vamos à luta aí para

calcular e essas duas ares vai ser difícil não vai ser tranquilo logo de cara eu preciso é para calcular o a um preciso da intercessão né preciso desse ponto aqui ó cê vai concordar comigo sua um gente ele vai daqui a interseção entre essas duas ó ó e até aqui como é que tá super de boa que é o zero tem que saber se ficar então a interseção entre o menos x sobre 2 e o x + 6 vão fazer um rascunho aqui ó menos x sobre 2 tendo que ser = x + 6 e

vai ficar menos se passo 2 para lá 12 x + 12 eu vou ser 3x = - 12 a x = -4 e olha que maravilha então descobri que ao menos quatro sou tão a um integral de -4 até 0 é de quem da laranja que tá em cima - azul é aquele caso que eu tenho que subir aí porque ali está entre laranja x + 6 ou menos azul com jogar um menos aqui fica positivo sério concordar comigo mas sim sobre 2 e essa área 11 e daqui a pouco eu faço ela e para

calcular a área dois vai de 0 até aquilo ah tá esse cara cidade como ver o skar vamos fazer a intercessão né interseção da roxa com a laranja ou seja x ao cubo é tão ser igual a x + 6 que vai nos dar aqui um x ao cubo o meu x - 6 e essa preparação de terceiro grau a gente vai ter que dar uma rebolada aqui para descobrir qual é a raiz mas a gente pode também dar uma leve cacheada porque no olho sabendo que é uma rede positiva tá acima do zero eu

consigo visualizar que sem muita dificuldade que o 2 é uma raiz quer ver é um cristao x2 os dois ao cubo é 8 os dois ao cubo é 8 aí vem 8 - 2 - 6 opa menos dois né tô trocando o chip - 2 chips ó tá vendo que vai dar 08 - tão o 2 é uma raiz com certeza vai ser o 2 que a gente quer beleza gente carnaval mastercard ar não na realidade que eu tô usando aqui que olhando as raízes nacionais como aqui o a1 e o último carinha menos seis

se ele tiver raízes racionais tem que ser divisor do menos seis aí menos um e logo de cara eu vi que menos um não eram raíz aí depois dois e menos dois ou dois arrays e para completar aqui menos três e três ou menos seis em seis são os divisores esse cara que seriam as raízes tá então nós são zinho de polinômios mas ficou tranquilo descobrir essa raiz dois então a integral a dois perdão a área dois ficassem integral de 0 e até dois lá da laranja - laranja x + 6 - um x ao

cubo beleza gente bom então vamos lá fazer a um lá um a um o integral que vale a x ao quadrado sobre 2 + 6 x mais x ao quadrado sobre dor mas como já tem o dólar 224 variando aqui o de menos 4 a 0 vamos trocar lá por 10 maravilha trocando por 100 ou tudo né 000 - e aí tá aprontando com -4 agora me permita fazer um pouquinho mais rápido que a sua conta né - 4 ao quadrado 16 decidiu por 28 16 vezes menos 4 - 24 - 4 a 16 de

seja por 4 a 4 e que maravilha então ficou aqui ó 814 12 12 - 24 - 12 com esse menos aqui fica positivo 12 estão aonde 12 vamos lá dois agora e há dois integral de 0 a 2 não não foi escrever de novo já vou fazer a conta claro né integrando x 2 sobre 2 e integrando os seis spx integrando x ao cubo você tem um x ao cubo né e fica - x4 sobre quatro variando aqui definida de 0 até 20 tô trocando por dois vamos lá vou quadrado 44 dividido por 2

é 26 x2 é 12 12 a quarta 16 / 4 é quatro então -4 quando eu diminuir e trocar por zero fica tudo zero né então ficou legal que ficou de boa a12 - 48 mais duas 10 portanto a área total que é a um mas o a dois ficou sendo 12 mais 1022 olha que lindo gente mora bonitinha né incrível tira o print a espero que eu possa ter te ajudado isso aconteceu mais uma vez deixa a curtida se inscreve no canal tamo junto beijo grande valor