Cálculo I - Aula 27 (1/3) Integração por partes

[Música] na última vez eu deixei um exercício pendente para vocês que era álcool a primitiva quer senão a quarta vez que o sinal cubo de x né esse aqui a gente pode colar tem diversas maneiras daqui a pouco a gente vai ver um outro método que se poderia aplicar aqui também mas nesse caso a gente só tem por enquanto o método da mudança é variável substituição coisa desse tipo a qualquer idéia que você tem seguro e cosseno um a derivada do outro a idéia é tentar juntar o máximo de potência de cena o que você

puder e deixar um conselho sobrando dá pra fazer isso nesse caso dá porque o expoente do conselho na internet então concelhos e para ficar um conselho ao quadrado e um conselho multiplicando se os dois fossem paris faz outra coisa a gente vai depois mas toda vez que você tem um deles pelo menos empate dá pra fazer esse truque aqui consegue escrever isso como sendo a quarta de x vezes conselho ao quadrado de x de x está a fazer bem devagarzinho a idéia é trocar esse conselho ao quadrado por semana alguma coisa que envolva só temos

não fica sendo a quarta de x que aconselham quadrado - e não quadrado muito bem e porque é bom fazer isso porque eu tenho um polinômios na variável seno e um conselho multiplicando então fica natural fazer a mudança e variável o igual a cena de x desse jeito a gente vai ter que de um conselho de xx e portanto as integral vai ficar o que sendo a quarta virou a quarta - o quadrado e coçando xx édel ou seja que a gente precisa calcular primitiva de um a 4ª - o a cesta deu bom a

gente sabe fazer isso né o a quarta uma primitiva ou a quinta sobre cinco o acesso a uma sétima sobre sérgio mas a constante integração também volta para variável x o era sendo então está sendo a quinta sobre 5 - sendo a sétima bom então potências dcm conselho para tratar sempre desse jeito se um deles for expõe tim para vocês e para uma delas descreve o outro todo com um polinômios naquela função da econométrica itália se os dois forem paris dá pra fazer uma outra coisa a gente vê daqui a pouco tá então acho que

temos bastante exemplos de exercícios que usam mudanças variável integral a outra técnica que a gente tem é que a gente chama de integração por partes a qualquer idéia a essa outra técnica a substituição ela era um jeito de desfazer a regra da cadeia passar essa integração por parte de um jeito de desfazer a regra da derivação produto de funções é nossa idéia xa primitivas então a ideia desfazer derivados então a gente sabe falar de se fazer derivadas de funções compostas e saber vamos ver como fazer agora desfazer de elevadas funções produto para isso a gente

lembra como era a regra do produto derivado de um produto era derivado do primeira vez o segundo mais o primeiro do segundo então diz fazer isso é tentar calcular primitiva dos dois lados então uma pergunta esquisita mas a resposta muito fácil quem é a função que quando eu devo da derivada df exige ou seja quem a primitiva da derivada df exige a própria face gené então uma possível primitiva pra isso fx gente está agora com por 1 x 0 tudo bem mais uma constante tá certo a gente tem que tomar cuidado com isso eu vou

enfatizar seu cálculo é primitiva de um lado e as duas coisas são iguais então eu voltei a primitiva primitiva de uma soma é a soma das primitivas então efe linha gt x de x + fdx gelinho the xx bom ou seja integral df linha ou melhor primitiva df linha vg é efe dvg - a primitiva df exige também então essa é uma fórmula que a gente tem é uma forma boa pra tentar calcular primitiva do que de funções dados por produtos assim como o método de substituição também substituição era bom quando você tem um produto

onde um dos fatores tinham a ver com a derivada de alguma coisa dentro do outro aqui em princípio são coisas que é a função que vem derivado ea outra um tem opção tem nada a ver em geral há coisas que a gente pode observar que primeiro a quando eu escrevo isso o que quer dizer isso aqui é uma função só ou não uma família né toda vez que você acha uma primitiva desse cara qualquer outra vai ser que você achou mais uma constante então isso aqui representa o conjunto de todas as primitivas da função da

claro e desse lado que eu tenho o conjunto de todas as primitivas dessa outra função então o que a gente conclui que eu tô aqui o que eu tenho na verdade não igualdade entre duas funções mas sim uma igualdade entre dois conjuntos de funções que eu estou dizendo o conjunto das primitivas dessa função é igual ao conjunto das primitivas dessa função com sinal trocado mais o produto das duas funções é claro então por que estou enfatizando isso porque se você faz essa coisa sem cuidado você pode trabalhar muito sem pensar no que está fazendo e

obter fazer tudo certinho entre aspas você acha que está certinho e obter com o resultado por exemplo uma igualdade do tipo zero a um tá porque como você pode escrever primitivas desses dois olhos é que pode ter uma coisa que é igual à que está aqui ela se cancela e sob uma constante igual a zero uma constante no idoso tem que tomar algum cuidado tem que ter simplesmente que embutida nessa expressão tem uma constante de integração embutido nessa expressão tem outra constante de integração que 16 mesmo tá bom então fazer um monte de exemplos disso

aqui em um outro caso pode ser que apareça essa situação vai ser primitiva de x cosseno xx a começar tá se não tivesse no contexto de integração por partes e tentaria fazer alguma mudança de variável que se enxerga alguma coisa como sendo a derivada do que está dentro da outra e não né então certamente sabe que não vai funcionar em um tipo de mudanças de variáveis então vamos tentar o que a gente tem na mão que a integração por parte do que a integração por parte eu preciso escolher eu tenho um produto de funções um

deles eu vou pensar que é o que já está derivando que o outro que eu vou te levar tá então nesse caso quem você tem vontade de pensar que o fmi linha o que eu tenho vontade de pensar que é o g aqui se você chamar esse cara df linha como foi sua sugestão esse aqui vai ser o g tá vamos ver o que vai acontecer se você tem isso se é fininha x quem é que fala numa função que quando deriva da xc1 quadrados sobre dois não vamos nos preocupar com as constantes agora a

gente só lembra que tem que pôr no final tá esse g é isso aqui quem age linha se g é conselho xg linha - nx muito bem pela fórmula integral de é fininha vg é o quê efe vg tá certo cf desse jeito ela ficar x ao quadrado sobre 2 vezes o conselho de x - a primitiva de efe vg linha que é - sendo o menos pela forma integral fica mais aqui foi essa o seu palpite ajudou a gente não né piorou porque que piorou porque eu tinha o costume de grau 1 vez uma

trigonométrica eu troquei essa primitiva uma primitiva de um cara de grau 2 mesmo tempo no metro então essa não foi a melhor escolha deixa falar vamos trocar vão pensar que essa aqui é a f e essa aqui a geninha e corrigir então se f x eu vou precisar da ef linha quanto vale a linha 11 se geninho é co sendo quem a gente x sendo bom agora que acontece vou precisar de fvg vai ser x vezes sendo x - a primitiva de quem é fininha vezes g1 vezes cenas cheias agora é melhor né então isso

vai dar xc no xis e fala uma função que quando deriva da cena - concelho com esse - aqui max e à constante integração tá certo tá então uma as primitivas praxes conselho x são xx mais cosseno chamada uma constante você faz a conta para saber se acertou nesta deriva isso aqui quanto é derivada disso vamos levar rapidinho elevada desse produto deriva o primeiro copio segundo mais copia o primeiro dele no segundo derivada de si - mx1 derivado da constante a 0 quando ele veio então sempre pra você verificar se você acertou o cálculo de

uma primitiva bem ótimo pegar mais exemplos está com uma primitiva do actor gente de x tá não vai confundir e dizer que é um sobre um x quadrado sobre umas quadrada derivada justamente o que eu quero fazer o contrário qual é a função que quando o delírio da arco tangente vou te mostrar isso aí como um exemplo da integração por parte de integração por fax você aplica para produtos de funções e aí você está vendo um produto estava escrito de tinta transparente mas se quiser pode ver que o número 1 multiplicando aqui tá certo e

eu consigo pensar nisso desse jeito tá se você tenha um número 1 multiplicando esse cara veja vale a pena chamar esse aqui df linha hoje a linha não porque eu sei que lá na frente eu vou ter que aparecer a primitiva dele se eu soubesse quanto à primitiva desse cara já tinha feito exercícios então a idéia aqui é chamado de f linha de x e se um invisível e de gt x x bom bons iof linha é um quanto vale fx vamos esquecer a constante se g arco tangente g linha derivada do ópio tangente 1

sobre um x 2 fica bom isso porque fica bom porque eu vou ter lá na frente na primeira chuva que tem que calcular depois efe vg linha x sobre um x quadrado isso é bom porque é derivada do denominador aparece no numerador a gente já sabe que vai vir um logaritmo de alguma coisa por aí tá então seguindo a gente vai ter integral de 1 vezes o arquiteto gente de x de x 0 falo integral tô querendo dizer primitiva tá isso vai ser f psg ou seja x arco tangente x - a primitiva de quem

efe vg linda sabemos calcular sua primitiva aqui sim que método que a gente fez a substituição não é qualquer substituição boa pra fazer vamos chamar nessa aqui o igual a um mais x quadrado de uma vez quando recebeu 2 x 2 x 1 é portanto eu voltei x arco tangente de x - nossa primitiva vai ser quanto xdx quem é deus sobre 21 sobre um x quadrado 1 sobre o a vamos fazer aqui mesmo olha esse meio é uma constante como forma de integrar ao certo então o que sobra pra gente é integral de 1

sobre o de 14 motivo de 1 sobre o ln do módulo de utah não vamos esquecer disso acho que vai ficar x arco tem gente de x - meio do iene do módulo de u mas a constante de integração quem é o x quadrado a gente sempre tem que deixar tudo na variável original está mais quadrado e aí você podia pensar bom será que precisa desse módulo nesse caso não é uma x quadrado é sempre positivo então se você quiser pode tirar esse nome então qual é a função que quando eu devo dar com tanta

gente xv sorte tangente - meio do blog de uma esquadra tá se quiser e se começa a fazer coisas joga-se meio lá pra dentro fica logo da raiz de um esquadrão é tudo a mesma coisa importante está no feriado e alguém escreveu eu fiz um exercício de um jeito e obtive uma resposta que é diferente da que está no gabarito da lista errei pode ser que sim não vi o que ele fez mas pode ser que no caso ele me mandou resolução estava completa correntinha a única diferença é que ele integrou provavelmente um método por

um método diferente daquele que foi usado para fazer o gabarito e aí portanto que vai acontecer se um face integração por partes e outro fez uma substituição às dos primitivos são legítimas o que a gente sabe da teoria que duas primitivas de uma mesma função difere o que para uma constante então a resposta dele por exemplo se ele fizer o gráfico da da primitiva que ele achou que fizer o gráfico da função que está na resposta da lista os dois gráficos unta paralelos deslocados por uma translação vertical só isso às vezes essa transação pode ser

zero não é você que as duas funções seja exatamente a mesma escrita de outra maneira ou seja por exemplo se você põe eliene da raiz quadrada de uma escudada aqui depois vou fazer um exercício calculando de dois jeitos diferentes a gente vai ver concretamente como isso pode acontecer de uma maneira um pouco menos óbvia do que tem uma raiz quadrada aqui vão pegar um terceiro exemplo que vai depender do primeiro foi a integral é a área embaixo do gráfico quando você fala de integral definida naquele intervalo o perfeito perfeito vamos pensar em uma situação geral

tá pode ter alguma função é que o intervalo b a gente fez um exemplo concreto disso pelo tema fundamental do cálculo que era isso db - é fã de ar o dia foi uma primitiva tá certo se eu pegar uma outra primitiva g também primitiva da f1 certa função g tal que gelinho dx é igual à efe digitar uma outra primitiva da função f1 que eu posso dizer respeito da função g que g&f diferem por uma constante né ou seja se você quiser pensar gtx necessariamente fdx mais uma constante tá pelo tema fundamental do cálculo

se você 1 acham permite ver fãs me deu isso o outro show primitiva gestão que vai dar isso aqui região de betim - gestão de água tá quem que é gestão de bbb11 de água mas a constante que acontece então quando você calcula primitiva você não tá olhando pra área embaixo do gráfico da primitiva o que você está dizendo esse número aqui é a área embaixo do gráfico da função é minúsculo para calcular essa área eu pego uma primitiva imerso o valor é a diferença entre os valores dela nos extremos que era aquela brincadeira que

a gente falou que dizer o tema fundamental o cálculo relaciona essa área com o comprimento do intervalo na imagem a imagem de quem da primitiva é fã então você troca uma área por um cumprimento o intervalo se você lembrar disso até o cálculo 3 estou que vai ficar uma coisa bem legal pra você vamos esperar chegar