Propriedades de Integrais | Cálculo 1

Oi Oi gente tudo bem Meu nome é Ester Velasquez sejam bem-vindos ao canal matemática no vídeo de hoje a gente vai continuar nosso curso de cálculo um e a gente vai falar sobre integrais tá bom o assunto de hoje é propriedades de integrais então tiver o que a gente pode e o que a gente não pode fazer nada de calcular integrais Então antes de começar já curti embaixo se inscreve no canal e vamos lá ó Oi gente vamos começar falando sobre a propriedade mais básica que a integral da soma ou da subtração ela fala que

quando a gente tem a integral da soma ou subtração de duas funções Isso vai ser a soma ou subtração das integrais ou seja se você tiver integral de atb gfdx mais ou menos dia de X Isso vai ser a integral de f de x e até B mais ou menos dependendo do sinal que você tiver aqui a integral de arte de nos dias de X Tá bom então aqui nesse caso a gente tem integral de x ao quadrado mais x de 1 até 2 como que a gente pode escrever isso aqui gente a gente tem

a soma de duas funções aqui dentro da integral da função x ao quadrado e da função X então a gente pode escrever isso que como a integral de 1 até 2 de x ao quadrado de x é mas já que a gente tem um sinal demais né a integral de 1 até 2 DX DX tá bom e fazendo dessa forma aqui as integrais separadamente vai dar exatamente o mesmo resultado do que fazendo aqui de uma vez beleza gente mesma coisa se a gente tivesse sinal de menos aqui se fosse sinal de menos só ia mudar

que aqui ó em vez de mais seria menos tá bom mas também daria o mesmo resultado gente outra propriedade que é importante a gente saber é que quando os limites de integração são iguais ou seja quando o número Zinho aqui debaixo é igual o número que de cima a integral sempre vai ser igual a zero porque gente não pensar o que é integral a integral é a área sob uma função aqui no gráfico né mas vamos supor que esse aqui se a sua função f de x e você quer saber qual é a área da

sua função de um até um Ou seja você quer saber sua área aqui em baixo aqui nesse espaço não tem como né gente se fosse é de 1 até 3 daria seria essa área aqui agora de um até um quando os limites de integração são iguais não tem como tá bom sempre vai dar zero se esse número de cima for igual número de baixo então aqui nesse caso a integral de x ao quadrado mais x de 1 até um vai ser igual a zero não tem como calcular uma área onde os limites de integração são

iguais beleza gente também importante a gente saber sobre a integral de uma constante quando você tem integral de uma constante aqui dentro ou seja algo que não tá dependendo de x é um número qualquer um dois três 3,5 algum número que não está dependendo de X a integral sempre vai ser a própria constante vezes a diferença dos limites de integração sendo que o limite integração de cima sempre vem primeiro Tá bom então o de cima menos e debaixo vezes a constante e essa vai ser a área sobre essa função constante aqui então por exemplo que

nesse caso é uma função constante f de x = 3 certo uma função constante e que vai ser uma reta horizontal se você quiser saber qual é a área sobre essa função de x = 1 até x = 6 você quer essa área que certo mas olha só a gente isso aqui é a área de um retângulo como que a gente Calcular área de retângulo é a base vezes altura certo altura aqui no caso vai ser o valor da sua função constante no caso que vale três e a base Quanto que vale essa base aqui

bom no e justiça começando em 1 e terminando em seis então vai ser tudo isso aqui que é o 6 - isso aqui que é 16 - 1 = 5 então a área de isso aqui seria três vezes 6 - 13 x 5 = 15 então a integral da função constante 3 o x de 1 até 6 vai ser a constante três vezes o limite de integração de cima menos e limites de integração de baixo então três vezes 6 - 1 que é 3 x 5 = 15 então a área sobre a função constante a

gente usou essa propriedade aqui tá bom a constante vezes a diferença dos limites de integração gente agora se for menor que zero na hora de calcular a área a gente sabe que a área não pode ser negativa né então vai ficar menos cê vezes bem menos Ah tá bom Caso seja negativo então se você quiser saber qual é a área sobre a função menos dois que uma função constante de 1 até 5 isso que vai ser menos - 2X 5 - 1 E no caso ao menos com menos aqui vai dar mais né então fica

mais 2 às vezes 5 - 1 que é quatro se vai dar oito Delmar e positiva né se a gente não colocar sinal de menos aqui ia dar uma área negativa e a gente sabe que não é possível uma área ser negativa então toma cuidado porque sempre que ser constante aqui tiver sinal de menos a gente vai acrescentar esse menos na hora de calcular a área tá bom se exercício falar calcule a área sobre a função aí a gente acrescenta esse sinal aqui agora vamos falar sobre a constante multiplicando a função dentro da integral Então

a gente tem que diferenciar aqui era só a constante dentro da integral e integral da constante aqui no caso que a gente vai falar é quando eu tenho uma constante multiplicando uma função tá bom nesses casos se você tiver integral de uma constante vezes a função f de x a gente pode remover a constante para fora do integral então integral da Constante vezes a função é a mesma coisa que a constante vezes a integral da função Tá bom então vamos ver aqui nesse caso o que que a gente e a gente tem a integral de

1 até 5 de 2x ao quadrado mais 4x gente 2x ao quadrado mais 4x a gente pode colocar o 2 em evidência né os dois são multiplicados por 2 aqui são múltiplos de 2 então a gente pode escrever isso como a integral de 1 até 5 de duas vezes x ao quadrado + 2x isso aqui colocando dois em evidência né então gente agora a gente tem o integral de uma constante que é o dois multiplicando a função x ao quadrado + 2x O que que a gente pode fazer aqui colocar o dois para fora aí

fica duas vezes a integral de 1 até 5 de x ao quadrado + 2x Então vai dar o mesmo resultado gente isso que a gente tinha no começo e isso que a gente tem agora vai dar exatamente o mesmo valor Lembrando que a gente ainda pode usar propriedades da integral bom né E aí fica assim duas vezes a integral de 1 até 5 de x ao quadrado de x mais a integral de 1 até 5 de 2xdx beleza gente só que nesse caso necessariamente tem que ter esse parênteses aqui porque o dois essa constante aqui

tem um explicando todas integral então quando a gente separa integral em duas ele vai ter que estar multiplicando as duas tá bom gente outra propriedade que é super importante a gente saber é quando a gente inverte os limites de integração ou seja levo de baixo para cima e o de cima para baixo se você tiver a integral de f de x de A até B e por algum motivo você precisar inverter os limites de integração você pode inverter a vontade desde que você adicione o sinal de menos na integral ou seja quando a gente inverte

os limites de integração a gente vai colocar esse menos aqui então e a integral de3x de 2 até um gente é muito mais intuitiva a gente pensar em uma integral quando o valor menor tá embaixo e o valor maior tá em cima não é fica muito mais intuitivo e a gente perceber ele e como que calcula Então vamos tentar inverter aqui a gente pode colocar a integral de 1 até 2 de 3 XX Mas para não modificar integral aqui para não dar um valor diferente a gente acrescenta o sinal de menos aqui ela está bom

Aí sim vai dar o mesmo valor que teria que da gente e se a gente tiver a integral do fdx de A até B mais a integral do fdx de B até C Isso aqui vai ser a mesma coisa que uma única integral de f de x de ar que é onde está começando aqui até você que é onde está terminando digamos assim porque a gente vamos pensar o seguinte se a gente tiver uma função desse tipo aqui e aí Havan é isso aqui o bebê tá aqui e o cê tá aqui se você tiver

a integral de atb que essa área aqui saber se a função né mas a integral de Beto é seca essa outra área Você concorda comigo que somando essa área um com essa área dois aqui a gente vai ter a área inteira de Ah até ser essa área toda aqui ó é a soma das duas áreas portanto a integral de até de mais integral de bebê até ser é a mesma coisa que integral de até ser que essa área grande aqui então aqui nesse caso a gente tem a integral de 3 x 0 até um mais

a integral de 3 x de 1 até 2 A gente pode escrever isso que como a integral de 0 até 2 de 3x e vai dar exatamente o mesmo valor que daria Essas são aqui tá bom gente gente é importante a gente saber sobre o sinal da integral quando f de x é positivo entre a e b então a integral do fdx de A até B vai ser positiva tá bom vai dar um valor maior ou igual a zero agora é só fdx forno negativo entre a e b então a integral vai dar um valor

negativo gente Lembrando que integral pode dar negativa Tá bom agora esse exercício falar especificamente eu quero a área sobre essa função aí a gente vai ter que colocar um modo ali na hora de calcular Beleza então vamos pensar nessa função aqui que ser desenhada vamos chamar ela de f de x tá bom se a gente for calcular a integral do fdx de menos dois até menos um isso que vai dar positivo ou vai dar negativo gente nesse intervalo o f de x é positivo então necessariamente a integral do fdx nesse intervalo na positiva tá bom

isso é calcular a integral do f de x DX de menos um até 0,25 ou seja essa área que que eu tô rabiscando agora ela vai dar positiva ou negativa gente como nesse intervalo sua função é negativa tá baixo 2x então aqui a sua integral Vai resultar em um valor negativo tá bom lembrando que quando a gente tem integral definida a gente encontra o valor uma constante e essa constante aqui no caso mas ser um valor negativo ou seja se exercício que falasse qual é a área sobre a função entre -1 e 0,25 a gente

teria que acrescentar um módulo aqui para a gente encontrar uma área positiva beleza e por sim a integral entre 0,25 e três resultem o valor positivo porque nesse intervalo a função é positiva gente e se eu quisesse calcular integral eu fiz XD - 0,5 até 3 ou seja daqui até aqui no final será que ela daria positiva ou negativa Nesse caso tem uma parte da função aqui que é negativa né de menos 0,5 até 0,25 e depois de 0,25 até três ela é positiva gente será que nesse caso a gente tem o valor positivo ou

um valor negativo o que tá acontecendo aqui nesses casos se a gente for olhar por trás na hora que eu converso integral é que ele tá fazendo a integral de -0,50 0,25 mais a integral de 0,25 até três a gente vê o que atrás que a gente pode dizer se a propriedade né então a integral de menos 0,5 até três é a mesma coisa que a soma dessas duas integrais tem aqui nesse caso a gente o que que vai acontecer de menos 0,5 até 0,25 a gente vai ter uma integral negativa porque a função aqui

é negativa Ed o 25 até três a gente vai ter uma integral positiva porque nesse intervalo a função é positiva para cima 2x Então o que tá acontecendo aqui é que ele tá fazendo a integral nesse intervalo menos o Integral nesse intervalo Não ele tá subtraindo as duas e a que tiver o maior valor é o sinal que vai predominar ali no resultado final da nossa integral Tá bom então se você tiver um valor muito maior que na integral positiva o resultado final vai ser positivo agora se você tivesse uma área gigante aqui na parte

negativa e bem pequenininha aqui na parte positiva que entra dominaria seria um sinal negativo tá bom gente Então essa é a primeira integral aqui de menos 0,5 0,25 da negativa ele 0,25 até três da Positivo agora esse exercício pedir se a área sobre a função de menos 0,5 até três a gente teria que colocar o módulo aqui nessa primeira integral já que ela daria negativa nela a função negativa e na segunda integral a gente poderia manter assim porque ela já vai de positiva mesmo e a área tem que ser positiva vamos gente seu foi esse

vídeo de hoje espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir e se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e sai quando ela te matriculou lá no Instagram vai ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo