RAZÃO E PROPORÇÃO (Parte 1): Propriedades e Conceitos | Matemática Básica - Aula 24

olá pessoal tudo bem vamos ver agora mauá que envolve o assunto razão e proporção tá teremos um total de duas aulas sobre esse assunto já que ele é muito importante muito cobrado na prova do enem tudo bem olha só pessoa nessa primeira aula nós veremos a definição de razão e proporção veremos o seu real significado vemos algumas propriedades e faremos alguns exercícios para que você fique bem ligado em relação a esse assunto beleza começar então vem comigo aqui [Música] então pessoal vamos começar aqui ó com a definição de razão olha só o que diz a razão é a relação era só uma relação existente entre dois valores de uma mesma grandeza expressa geralmente por olha só a para b nós temos aqui a a dois pontos b mas normalmente a razão aparece com o significado de uma fação tudo bem então por exemplo se eu colocar uma razão assim ó três quartos bom que significa isso daqui três quartos a gente pode dizer que o numerador aqui dessa fração que representa o antecedente o antecedente dessa razão tá enquanto que 14 aqui eu conseqüente beleza então pessoal a razão é uma relação que existe entre os dois valores ou dois números beleza como você está vendo aí mas o mais importante é que você entenda o que eu vou explicar agora beleza vem comigo aqui quando comparamos duas medidas pessoa só fala com paramos aqui é muito importante está quando comparamos duas medidas dois valores ou até duas grandezas estamos determinando uma relação entre dois números que os represento horas exemplos aqui embaixo aqui na letra nós temos seguinte um concurso público possui 20 mil candidatos concorrendo às 50 vagas pessoas podemos fazer aqui uma relação candidato vaga olha só se nós temos nesse concurso 20 mil candidatos para 50 vagas então essa informação está aqui pessoal nós transformamos nessa relação que nada mais é do que uma razão agora pensa o seguinte nós podemos simplificar esses meninos aqui de que forma só se nós dividirmos o denominador por exemplo por 50 para manter aqui essa razão constante nós iremos dividir o numerador por 50 também os seus nós iremos apenas simplificar tá nós teremos então era só no denominador então 50 / 50 nós vamos ter um e 20 mil / 50 o resultado e 400 então essa razão aqui pessoal ela acaba representando está representando a relação candidato ou seja nós temos aqui há 400 candidatos para cada vaga beleza então pessoal uma razão acaba lhe informando muitas coisas a uma determinada situação nesse caso nós temos essa infração é que representa uma razão entre o número total de candidatos para numa total de vagas em um determinado concurso fazendo ali as simplificações nós chegamos nessa razão aí que indica que vocês estão bem alguns acostumados né indica o número total de candidatos para cada vaga beleza então uma simples fração que representa uma razão ela informa muita coisa em relação a determinada situação beleza vem comigo aqui agora olha o exemplo b que nós temos aqui dia seguinte em uma sala de aula existem 20 meninas e 15 meninos olha só que nós poderemos dizer em relação a esses números aqui nessa sala de aula então existem o que 20 meninas tá para um total de 15 meninos se nós dividirmos o numerador por cinco e o denominador por si 5 também nós chegaremos a seguinte relação olha só 20 de por 5 teremos 14 tá e 15 / 5 teremos o 3 ou seja pessoal para cada quatro meninas nessa sala de aula nós teremos três meninos tudo bem se nós somarmos aqui o número de meninas eo de meninos nós temos o total de alunos nessa sala de aula então nós poderemos fazer uma razão entre por exemplo o número de meninas que o total de alunos olha só são 20 meninas para um total de alunos que é igual a 20 mais 15 35 aqui nós temos uma razão então que compara o número de meninas em relação ao total de alunos simplificando a só / 5 em cima teremos 14 e dividir por cinco embaixo teremos 17 ou seja a pessoa só são quatro meninas vamos apresentar à cinta quatro meninas para um total de sete alunos ou seja a cada sete alunos nessa sala de aulas temos quatro alunos que são meninas beleza agora exemplos e aqui é dia seguinte os modelos mais antigos de televisores possuem telas 4 por três o que significa esse quadro por três que entender o seguinte ó 14 aqui ó está para o cumprimento que representar por helita enquanto que o treze que está para a altura do televisor beleza então mais ou menos eles eram assim é um pouco quadrados não é verdade por três significa que o comprimento aqui ó ele está para 4 assim como a altura aquilo do televisor estapar a 3a agora olha o que diz os modelos widescreen possuem telas 16 por nove e dez anos são os monitores que nós temos hoje que é o formato vamos dizer assim na tela de cinema tudo bem então esse formato aqui é um formato 16 por 9 agora pensa o seguinte nós tivermos por exemplo um monitor é um televisor que o comprimento por exemplo cerca de duzentos e quarenta centímetros como nós sabemos que esse monitor aqui eles na proporção 16 por 9 qual seria a altura desse monitor olha só como eu falei ali nós temos então que a razão entre o comprimento ea altura essa razão aqui ó desse monitor é 16 por 9 tudo bem agora acontece a largura aqui ó é de 240 centímetros então posso colocar aqui é duzentos e quarenta centímetros e calcular aqui no caso à altura desse monitor tá eu coloquei um x ali mas vamos colocar a letra h tá beleza altura aqui dele tudo bem então nesse caso aqui poderemos fazer simplesmente a multiplicação cruzada e nós chegaremos então que 16 vezes o h é igual a 240 vezes 19 essa multiplicação de 2. 160 o 16 está multiplicando 10 dividindo então h 2. 160 / 16 o resultado aqui ó 135 centímetros beleza então pessoal essa razão aí ela está relacionando o comprimento ea altura dos novos monitores e com essa razão e nós conseguimos chegar no valor da altura deste televisor sabendo seu cumprimento beleza o próximo passo agora é nós vemos o que significa a proporção beleza vem comigo aqui então pessoal vamos ver a proporção ea sua simples definição que diz o seguinte proporção é a igualdade entre duas ou mais razões tudo bem seu igualar por exemplo duas razões vamos começar por enquanto com letras aqui ó nós temos aqui uma razão igualar a outra razão por exemplo ce sobre de nós temos aqui então estabelecido uma proporção tudo bem agora como a pode ser uma igualdade duas ou mais razões eu posso colocar por exemplo aqui a x sobre y tudo bem e tudo isso daqui pessoal posso dizer que é igual a um certo valor cá e este valor cac preste atenção é só ele é conhecido como constante de nós temos aqui uma proporção é constante de proporcionalidade beleza mas o que significa esticar essa constante proporcionalidade olha só como nós temos aqui ó igualdades tudo daqui é igual né pessoal eu posso dizer então que há sobre b acaba sendo igual a esse valor cá beleza olha só um exemplo se o carro for igual a 3 nós vamos ter então que há sobre b essa razão aqui ó a sobre b é igual então supondo que o camisa 3 é igual a 3 agora acompanha seu cinema o bê que ó está dividindo e passa pra cá multiplicando então nós vamos ter o seguinte que oa ele é igual a três vezes o bê tudo bem então pessoal se o ar é igual a três vezes o bebê naquela fração ali nós temos o seguinte que o numerador ele vale três vezes mais que o seu respectivo denominador concorda comigo como nós temos ali uma igualdade de três frações e o cali foi exemplificado com o valor 3 está querendo dizer o seguinte que esses três numerador es eles valem três vezes mais ou seja são o triplo do que os seus respectivos denominadores bem então o valor do carro constante proporcionalidade ela indica quantas vezes numerador é maior ou menor em relação seu denominador comum é que seria menor se o kaká por exemplo fosse o valor no meio se o caso fosse o valor um meio que se fica os denominadores eles valem daí o dobro do que os seus respectivos numerador es beleza vem comigo aqui então seguir nessa ideia os e ele acaba sendo três vezes o valor do de pio x ele acaba sendo três vezes o valor do y beleza agora vamos ver algumas propriedades aqui que são importantes sobre as proporções a primeira aqui ó nós temos uma igualdade duas frações então nós temos aqui uma proporção e nós sabemos não é só uma igualdade de duas situações o que nós podemos fazer sem problema algum e à multiplicação cruzada então pessoal isso aqui é a mesma coisa que oa vezes o de é igual a ab vezes você beleza nenhuma novidade né em relação a essa propriedade agora nessa segunda propriedade aqui nós temos também uma proporção tá sendo representada por uma igualdade duas frações duas razões isso aqui pessoas podemos fazer o seguinte nós podemos gerar aqui uma terceira razão que a da seguinte maneira nós podemos somar aqui os bois numerador es tudo bem mas para que nada se altera a quim nós seremos obrigados a somar a que os dois denominadores ou seja bem mais o t toque pessoal existem mais propriedade sobre proporções mas essas duas são as mais importantes sobre esse assunto tá vamos resolver agora dois problemas que envolvem a razão e proporção lembrando que a lista completa pessoal de questões que fornece para vocês ela é a principal ferramenta para você abordar e aprender bem esse assunto razão e proporção ok vem comigo aqui nesse primeiro problema nós temos apenas um exercício algébrica envolve proporção olha só encontre o valor de x na seguinte proporção como nós vimos na pessoal uma igualdade que duas frações podemos simplesmente multiplicar cruzado nós teremos nesse caso o seguinte o dois então multiplicam numerador então dois multiplica o 2 x - 14 enquanto que 8 multiplica os 55 vezes oito teremos 40 tudo bem olha só nós poderíamos passar esse dois está multiplicando dirigindo ou simplesmente fazer aqui ó o chuveirinho 12 vezes 2x teremos 4 x 1 e 2 que multiplicam menos 4 teremos menos oito isso aqui é igual a 40 e se menos oito aqui é passando lá por outro lado um sinal positivo nós vamos ter então que 4x igual a 40 mais oito teremos 48 então dessa forma o quarto multiplicando se dividindo 48 / 4 teremos um x igual a 12 ok o problema aqui ó uma empresa possui atualmente dois mil e cem funcionários se há relação óbvia só a relação entre o número de efetivos contratados é 5 por 2 quantos são os efetivos então o pessoal olha só nós temos que os funcionários dessa empresa eles estão divididos entre efetivos e contratados então se nós somarmos efetivos e contratados nós teremos o total de funcionários que 2.

100 concorda comigo olha essa informação aqui a se a relação pessoal poderia aparecer também a palavra se a razão a relação e razão seria a mesma coisa se a relação entre efetivos e contratados é 5 por 2 ou seja que é igual a 5 por 2 a pergunta é quando são os efetivos olha só ele resolver esse problema de duas maneiras está o que acontece eu posso reescrever isso daqui da seguinte maneira esse será que é o denominador ele passa multiplicando 5 enquanto que os 5 ele desce dividindo aqui o e tudo bem a sugestão trocando de posição eu posso reescrever suave como sendo e sobre os 5 tá isso aqui é igual à ce sobre dois tudo bem e nós vimos na propriedade anteriormente que nós podemos gerar aqui uma outra fração equivalendo essas duas aqui em da seguinte maneira se nós somarmos a que os dois numerador es nós devemos somar que os dois denominadores 2 + 5 teremos 17 beleza do total de funcionários e 2100 concorda comigo então efetivos mais contratados 2100 dividido pelo set me sentiria por 7 o resultado aqui é 300 lenda pessoal esse 300 ac ó nada mais é do que a nossa constante de proporcionalidade nós temos aqui é constante e proporcionalidade nós temos toda essa igualdade aqui nós podemos dizer com certeza que o e sobre cinco ele acaba sendo igual por exemplo a esse valor 300 ou seja só efetivos / 5 é igual a 300 que acontece - pessoal a constante aqui ó s 300 a mesma coisa que 300 sobre um está indicando que os valores que estão no numerador aqui ó são 300 vezes maiores do que os valores que estão os denominadores então o e até 300 vezes maior do que os 5 e isso a gente consegue passando cinco multiplicando e nós vamos ter que o que quantidade de funcionários efetivos é 300 vezes cinco mil e quinhentos funcionários está essa aqui é a resposta da questão nós poderíamos também conseguirá que o valor ó da quantidade de funcionários contratados contratados é o que esse valor será aqui é 300 vezes maior do que 12 ou seja você só pode ser 600 tudo bem a 600g por dois teremos aqui 300 eu tenho certeza que a grande maioria não resolver essa questão dessa maneira nós poderíamos resolver utilizando um sistema de equações querem ver vem comigo aqui em joão pessoa uma outra maneira de resolver essa questão seria da seguinte forma olha só efetivas mais contratados 2. 100 funcionários então olha só efetivas mais contratados 2100 tudo bem ea relação entre número de efetivos e contratados é exatamente igual a 5 meios tudo bem repare que nós temos aqui ó duas equações e essas duas equações possuem duas em contas que a gente pode fazer a gente pode ir em uma delas isolar por exemplo olha só o senhor pode dizer que guardou dois mil e cem - o é e nessa equação aqui de baixo no lugar dos e colocarmos esse valor que está aqui ou seja temos o seguinte ó o é dividido pelos e que é 2100 - o i isso aqui é igual aos 5 que acontece nós faremos aqui ó uma multiplicação cruzada tá nós vamos ter o seguinte 2 vezes o e teremos 12 e igual o sync multiplica todo o denominador aqui irá gerar o seguinte ó 5 que multiplica 2100 teremos 10 mil e quinhentos e o sync multiplicar - oe - 5 e passa no lado esquerda se menos 5 e ele passa com sinal positivo nós teremos então que dois e mais 50 teremos sete é igual a 10 mil e quinhentos o céu está multiplicando 10 dividindo se nós fizermos aqui 10. 500 / 7 nós chegaremos no valor efetivo igual 1.