INTEGRAL DE LINHA #02 ✒️

é mais uma aula especial para você e a gente vai falar da entregue ao de linha é importante que você saiba que entregar hoje Line aparece dessa maneira aqui integral de uma função aqui de duas variáveis por exemplo DS ao longo da curva c e eu gostaria que você entendesse o que esta notação significa por exemplo olha lá eu tenho uma curva cê vai vir uma Curvas e aqui se a curva senão tiver parametrizada você vai parametrizar então vamos supor aqui que eu tenho uma R que a curva ser parametrizada a legal profix mas eu gostaria que você entendesse primeiro Recordar do chamado o comprimento de arco você sabe muito bem que para calcular o comprimento de arco você faz que o meu é essa é o comprimento de ar é a minha integral Aí você faz seguinte pega essa R acha a derivada depois é um módulo EA integral desse módulo da derivada aqui em relação a p por exemplo no intervalo de atb e isso aqui Me fornece o comprimento de arma nas Legal então se eu tenho ali uma curva ser eu posso parametrizar após parametrizar você vai fazer o que achar derivada depois você acha quem um módulo E aí você pode calcular o comprimento de arco até às vezes dessa relação aqui daqui eu gostaria que você recordar-se um detalhe se é se é essa integral você pode falar o quê que a derivada de é faz esse conteúdo aqui você pode dizer que a derivada de S em relação a t vai ser nada mais nada menos que esse módulo aqui da minha derivada uma outra maneira que você poderia Record e aqui e se você lembrar das aulas que esse cara aqui é chamado velocidade escalar aqui eu tenho a velocidade escalar e a velocidade escalar é a derivada do espaço em relação ao tempo Mura porque isso vai ser importante porque a gente vai transformar essa minha integral aqui de Ninha e uma integral unidimensional a que eu vou ter apenas uma variável para calcular a integral em relação a t por exemplo então aqui no lugar desse DS você sempre Coloca essa relação aqui ó então não esqueça de é se você vai colocar a velocidade escalar vezes o tempo podemos pensar dessa maneira uma outra situação importante e esse F aqui como é que eu posso entender Olha lá aqui a minha ideia dessa minha integral de linha essa aqui como eu tenho 1ds 1ds teria diferencial do é um pequeno pedaço como eu tenho aqui esse meu R aqui que a curva parametrizada eu tenho comprimento de arco mas aqui eu tenho pequeno pedaço que eu vou chamar de DS eu vou desenhar aqui para você pois a Gerar é muito menor que isso é bem pequeno esse valor também aqui ó eu vou ter um valor eu gostaria que você entender que eu tô tentando te convencer que isso aqui é muito pequeno para dizer olha eu tenho aqui um pequeno retângulo esse meu retângulo bem aqui eu posso achar a área desse retângulo a profe a área desse retângulo aí eu sei é a minha base versus altura legal então a área desse pequeno retângulo aí vai ser a minha base que é o meu DS colocar para cá ordem dos fatores não altera vezes altura tu sabe quem é a altura eu tenho a minha função aqui f de x e y como eu tenho bem aqui ó o meu x e o meu Y eu vou ter aqui ó a curva está parametrizada Então eu tenho meu X em função de ter e o meu Y em função de ter então eu pego esse x e y jogam na minha função quando jogar na minha função eu vou ter o meu f de x y Só que no caso seria o f quando eu pego esse XY parametrizado aqui eu vou deixar essa notação por enquanto f de x e y aqui a dessa maneira eu achei a área desse pequeno retângulo só que eu posso fazer isso para vários pontos pede para cá taca taca taca taca foi feito isso aqui diga infinito retângulos aqui eu saio somando essa esse somatório aqui é a minha integral então aqui eu vou ter que a nossa área seria essa é a área dessa minha superfície lateral vai ser a integral do f de x e y DS ao longo dessa curva se mas é importante na hora do exercício você saber um detalhe importante aqui ó e essa minha integral eu vou mudar ela de cara Como assim mudar de aparência vou fazer assim ó no lugar de x y a gente substitui a forma parametrizada o x ou Y quando você tem aqui ó quando você parametrizou aqui você vai ter oxê em função de ter e você vai ter o y em função de ter aí eu pego esse carinha vou substituir aqui a gente coloca assim ó que eu vou ter um fdr só que é só um símbolo para dizer que eu pego as coordenadas de é que você para me pisou e você substitui eu aqui e um lugar desse DS no lugar DDS você é a velocidade a velocidade aqui vezes quem o tempo EA ti vai aparecer o intervalo de variação tão alter varia de A até B e aí você vai transformar a sua intervir ao DNA e uma integral de uma só variável e dessa maneira vai calcular é importante para que você tenha essa interpretação eu vou até resolver uma questão aqui perguntando a área lateral para ser a área lateral realmente essa minha função ela tem que ser uma função que assuma valores positivos e uma função contínua porque eu quero somar eu Infinity retangular não pode ser beijo continuar de repente dar um salto não cabe legal a ideia mas Prof como é que eu faço isso no Exercício então roda a vinheta que a gente vai fazer um exercício rápido né [Música] E aí [Música] e calcule a integral de X + 2Y DS ao longo da curva C onde esse será que é a cm circunferência abaixo Professor como é que eu tenho que conversar resolvendo essa questão primeiro você tem que parametrizar a nossa curva então eu tenho bem aqui a curva ou essa curva bem aqui o óleo a professor isso é que eu tô recordando isso aqui tem a ver com uma circunferência eu sei parametrizar uma circunferência ótimo Começa por aí você vai começar assim ó eu vou chamar esta curva aqui olha a minha curva ser vai ter uma parametrização que vai ser a minha R em função de um ter esse R é a parametrização dessa minha curva bem aqui aí você começa assim não esqueça que a parametrização quando tiver a ver com uma O que é sempre nesse esquema aqui ó R cosseno TRT só que esse R que aparece aqui ele é o nosso raio e pelo Poder da Fé a gente percebe que o raio aqui é dois então aqui no lugar desse R você vai apagar perfeito especial você apaga e coloca aqui não viu tio Agora sim está parametrizado mas isso aqui a parametrização da minha circunferência onde no caso lá o te o parâmetro T varia de 0 até 2 pe que é uma volta e aí eu já te dei obeso né Se aqui é uma semi-circunferência esse meu parâmetro ter aqui vai variar de quem Ah já sei professor de 0 a tep correto então você não pode esquecer que esse meu ter varia de 0 até ter após você obs a parametrização da sua curva você vai fazer os seguintes passos vai calcular a nossa primeira derivada quem é a derivada de sete ar eu sei Professor Diga lá então menos dois seno de ter e bem aqui dois cosseno de ter então aqui está a minha derivada após você fazer a sua derivada não esqueça você tem que fazer agora um módulo dessa derivada e o módulo a norma né que é a raiz quadrada de cada um elevado a segunda potência esse primeiro a segunda e o segundo elemento aqui a segunda potência agora não vai passar vergonha nessa conta aqui você não pode você é TOP você chega agora aqui ó e vai fazer da seguinte maneira você vem aqui ó olha para o lado para ver se ninguém tá E aí venha cá menos 2 elevado a segunda muito bom quatro então aqui vai dar 4 sendo a segunda bem aqui dois a segunda 4. cos e na segunda você coloca o quarto em evidência vai ficar sendo é levado a segunda mas cosseno a segunda E aí você olha de a profe eu conheço essa fórmula aqui eu aprendi no meu ensino médio é a fórmula fundamental sendo a segunda mais cos e na segunda vale um Então esse aqui é o número um uma vezes quatro é quatro e aí raiz quase quatro você sabe que vale dois mas Professor porque eu tenho que fazer isso é porque esse carinho aqui ele é nada mais nada menos que a minha velocidade e você sabe que a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo então a e coloca DS por de T = 2 e aí está dividindo passa multiplicando e agora sim você tem que DS vale 2dt sempre objetivo é Inicial é você fazer isso mas por quê Porque eu vou pegar essa minha Imperial vou anotar aqui ó entregue ao de X + 2Y aqui DS ao longo da Curvas e eu vou substituir porque eu tenho o valor desse xixi quando você para me avisou a sua curva você tem aqui ó esse primeiro que aparece aqui ó ele é o meu X em função de ter esse aqui é o meu Y em função de ter que é que eu tenho que fazer pegar esse x esse Y substituir aqui vem cá ajuda o tio aqui no lugar do X vai aparecer dois por sendo ter legal aqui do e o valor do Y quem é o valor do y2c no deter e aqui que tal a jogada o DS Tá bem que o dsa a então essa parte aqui ela é importante essa primeira parametrização porque eu vou substituir sim e é a segunda parte já chá derivada achar o módulo que a velocidade escalar que a derivada do espaço em relação tempo é para você ter o ksds aqui e agora sim no lugar DDS você coloca 2 de te e esse meu ter você sabe muito bem que ele varia de 0 até pe tão de 0 até ter agora sim a sua Imperial de linha se transformou em uma integral definida aqui e olha uma só variável Legal vamos lá se ajuda aqui tá eu quero calcular Cuidado com essas contas aqui ó e aqui você pode fazer assim 2 x 2 4 coloca aqui quatro cosseno de ter Ei vem aqui 2 x 2 4 x 2 aqui oito esse dois multiplica cada um tão oito sendo ter aqui você coloca de T onde o meu ter varia de 0 até pe agora vou obter a primitiva vamos lá esse quatro sai teorema de na marra a primitiva de cosseno a professor é o seno porque a derivada de seno da cosseno perfeito a primitiva descer no a professor eu acho que é cosseno será que está correto que se você deriva cosseno da menos sendo e aqui não tem menos estão aqui ó é menos cosseno que a derivada de cosseno é menos sendo aí menos com menos é macho e tem oito aqui na frente é isso aqui variando você coloca aqui de 0 a tep quer que eu faça agora vou substituir o máximo menos um mínimo aqui vai ficar quatro cê no se coloca aí cena de pi8 cosseno de Pi agora aqui um parente menos o mínimo que quando você joga 04 seno de 0 - 8 cosseno de 0 observa aí deixa eu sair da frente para você copiar legal então no lugar do ter substitui o p depois substitui 10 e não esqueça não esqueça bem aqui ó os valores por exemplo quanto equivale seno de pi seno de pia que quanto equivale a Prof vale zero Então esse aqui é zero outro detalhe importante sendo de zero quanto vale 0 cosseno de Pi quanto vale é só vale menos um qualquer dúvida você pode digitar na sua calculadora aí que vai aparecer esses valores ou lembrado circulo trigonométrico - versus - é mais tão aqui vai dar oito esse aqui ó cosseno de 0 é um tão athletica - 87 - versus - será mais e aí oito mais oito vai dar 16 é a sua resposta dessa questão você vai fazer o seguinte agora porque o tio vai desaparecer para você bater aquela foto que eu já volto rapidão lá e vamos resolver agora é só próxima questão aqui ó a entrega Neo DX a segunda mais y a segunda mais ele DS ao longo da curva se sendo ser agora essa hélice circular se acalma porque já veio a parametrização aqui da hélice circular R bem aqui cosseno ter sendo ter IP do ponto P até que vamos devagar Olha lá como já veio a parametrização eu vou precisar fazer o que a primeira derivada então você vem aqui vamos anotar aqui ó a minha RT eu já tenho aqui o meu esquema ela vale quanto cosseno ter bem aqui sendo de ter e bem aqui ter eu vou precisar fazer aqui a nossa derivada você me ajuda vamos lá a derivada no caso RN a ser a derivada de cosseno - C a derivada de seno cosseno e a derivada de ter bem aqui em relação a ter vale um agora você vai calcular o módulo aqui módulo a Prof tem que fazer sempre assim aí quadrada de cada um elevado a segunda potência - terreno elevado a segunda cosseno de ter elevado a segunda e mais um elevado a segunda lembra que o módulo é a raiz quadrada de cada componente elevado a segunda potência Olha lá aqui eu tenho menos sendo a segunda mais cos e na segunda a lenda A base negativa e expoente par vai dar positivo então aqui eu tenho a fórmula fundamental você sabe que sendo a segunda mais cosseno a segunda esse aqui vai dar o número um então aqui eu tenho um a onda também Opa me dei bem aqui vai ficar assim ó módulo dr. na vai ficar raiz quadrada de um mais um raiz quadrada de dois só que esse meu cara aqui é nada mais nada menos que a velocidade EA velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo e isso aqui é raiz quadrada de dois e aí você tem está dividindo passa multiplicando Então tá no esquema porque agora eu posso fazer eu quero calcular a integral disse aqui ó vem cá eu tenho o valor do X já vamos subir aqui ó esse é o valor do X o valor do y o valor de Z que que eu faço Professor você vai substituir no lugar do X vai colocar bem aqui ó cosseno é levado a segunda não Gabi x coloco cosseno só que fica coçando a segunda no lugar aqui do Itaú e colocar sendo elevado a segunda vai ficar dessa maneira você coloca o seno fica elevado a segunda mas o z que é o meu ter Olha aí Isso aqui agora não esqueça quem é o DS está bem aqui ó raiz quadrada de dois de raiz quadrada de dois de onde no caso o meu Te levaria a gente buga mas ele não falou onde é o que ter varia vem cá Olha só vem aqui a parametrização de uma hélice circular mas circular como se fosse uma mola pode pensar assim ó tem uma mola aí é tá bom essa mola Onde vai de um ponto P até um ponto que aqui mas como é que eu vou saber qual é a variação de ter você olha para o final bem aqui esse final ele vai te contar ele é o x-9 por quê Porque o a situação mais simples se você tem que ter Então esse tem aqui é o último cara então tá dizendo que o te vale zero aqui ó e o que vale o pi Então quer dizer que varia de 0 até o pe Então você coloca bem aqui ó disseram até o pe morar não entendi você pode reforçar esse pedaço Posso sim Preste atenção quando o tempo 10 se você jogasse zero vem aqui e a ficar assim cosseno de 0 quer um sendo de 0 a 0 e aqui o próprio zerar a então quando te é zero vai dar esse ponto é um ponto da hélice circular e quando ter Vale P Você joga o Pia que cosseno de Pi - un seno de pi zero e bem aqui vai ficar o pe agora e aí a gente vai mandar bem olha lá olha lá garoto presta atenção bem aqui ó famosa fórmula fundamental sendo a segunda mais cos e na segunda vale um bem aqui tu viu aí como é bonito aí então vai ficar um master só tem a raiz quadrada de dois aqui ó então vai ficar assim ó essa raspa de 2 como é o número eu posso usar o teorema de na marra né tira na marra essa raiz quadrada de dois aqui ó vai ficar raiz quadrada de dois lá fora aqui a minha entregue é o de um master aqui você coloca de te variando de 0 até PE e aqui você calcula uma boa essa integral Aqui ó tá moleza você faz assim ó raiz quadrada de dois deixa lá fora Qual é a primitiva de um em relação a ter vai ser te Qual é a primitiva de ter a professor ter elevado a segunda sobre dois variando de 0 a tep E agora o que que você faz substitui o máximo menos um mínimo Então você vai substituir aqui ó deixa eu fazer bem aqui aqui do lado vai ficar raiz quadrada de dois temos fica bem Aqui PE mas pi elevado a segunda sobre dois quando você jogar o zero que eu tenho que jogar o máximo menos um mínimo joga 100 aqui vai zerar aqui vai dar zero ver mas que vai sumir todo mundo então aqui nós chegamos na resposta vou marcar a resposta aqui se você quiser usar a calculadora para achar um valor aproximado tio permite que você faça isso mas quiser colocar essa maneira quiser ficar inventando né colocar o pin evidência acho que não vai mudar a situação dá uma notado aqui faz aquela foto aí marca a gente aí nas redes sociais porque eu já estou voltando rapidose é uma outra maneira que poderá aparecer a entregar o de linha É desse modo com essa notação aqui a integral aparece aqui uma função duas variáveis deste uma outra função de y Aqui tá subtendido um parente civil você vai fazer o seguinte agora calcule essa íntegra el100 do seu segmento de reta de 02 até um e quatro primeiro eu vou ter que pegar essa minha pova ser vou ter que desenhar para parametrizar você faz assim ó deixa eu pegar a minha régua bem aqui aqui você tem vamos segmento de reta na boa está bem aqui o nosso segmento de reta que ele vai do ponto.

Ó 02 Aí você coloca que ponto 02 posso chamar de ar. A 02 até o ponto b vem aqui um e quatro tem um sentido isso é muito importante aqui ó de A até B e para você parametrizar quando você tiver segmento de reta é na manha primeiro você vai achar esse ver tô bem aqui mas com professor o assim vetores que se olha o vetor AB será a extremidade - a origem será b - a agora você coloca aqui o vetor AB e aí você substitui qual é o valor do Bea valor do B1 e quatro tá aqui o valor do B - O ar quem é o ar zero e dois dessa maneira Você tem o vetor AB o meu vento AB você vai fazer aqui a diferença assim ó 1 - 0 é 14 - 2 será dois não primeira parte da questão é você fazer aqui um rascunho tenho. A 02 tem o bebê aí um e quatro e você vai obter o vetor É porque tem que ser AB ele fala aqui ó no segmento que vai da02 até B1 e quatro então aqui eu tenho a origem e aqui é extremidade e e isso é importante para o vetor né vetor sem vier a extremidade - a origem mas muda o que isso vai me ajudar a se eu tenho a direção de se ver tô aqui eu tenho a parametrização desse segmento como é que eu faço próprio eu esqueci eu vou te ajudar já calma você faz assim ó se e coloca bem aqui o y quem vai ser o meu x sempre assim.

Inicial ponto inicial Aí você coloca 0 e 1 número dois.