Ondas (Aula 09, parte 2)

[Música] [Música] foi o 22 iniciais não um deles se move com uma velocidade ver constante em relação ao outro o eixo vertical é o eixo y isso porque fazendo justamente que essa linha se move na direção x exclusivamente em relação a isso y e z é o que expressa e y igual a y zelin e goze ou seja esses eixos coincidem ao a direção deles conhecido em todos os instantes não tem nenhuma propagação de um sistema de referência em relação ao outro nas direções y e z só na direção x e o sistema de referenciação

aliados bom ok bom vamos tentar é a pensar um pouquinho como que a gente poderia imaginar se eu tiver uma equação você tiver uma onda como a gente tratou aqui é o exemplo que a gente tem em mente é de uma onda numa corda mas a gente não está tratando os principalmente da onda na corda já está tratando o ideal alguma onda que a gente chama de uma onda transversal que quer dizer uma onda transversal que dizer que a perturbação que é exercida sobre partículas o que quer que seja que esteja no caminho da onda

essa perturbação está na direção perpendicular à direção de propagação então aqui o que está exemplificado ali é uma onda numa corda mas uma onda eletromagnética têm a mesma característica perturbação é perpendicular à direção de movimento de propagação da onda bom então se eu tenho uma onda transversal eu posso me perguntar eu vou ter um y de que vai ser dado por uma função f e x linha por exemplo eu posso me perguntar a energia associada qual o movimento que é transmitido para os diferentes pontos do meio conforme a onda se propaga o que que descreve

quais são as variáveis dinâmicas para escrever esse movimento posição y velocidade que eu descrevo a velocidade dos pontos sob passagem da perturbação eles se deslocam na direção y certo então o que eu quero saber eu quero saber a taxa com que y varia com o tempo não é isso velocidade mas a velocidade de todos os pontos da corda vai ser a mesma no mesmo instante de tempo não né então a velocidade vai depender da posição ipce posição x perdão e do instante de tempo te ora se eu pegar essa função aqui e de levar essa

função diretamente em relação ao tempo essa função ela não depende só do tempo ela depende de x também certo então o que eu quero na verdade para descrever a velocidade eu quero calcular a derivada de y em relação ao tempo mantendo x constante para cada ponto x eu fiz um ponto x eu me pergunto qual é a velocidade por exemplo da corda nessa posição x em função o tempo seja foram introduzidos ao conceito de derivado a parcial bom então não preciso me estender demais aqui ora se eu quiser agora saber a aceleração aceleração para ser

a segunda derivada de 2011 de 2 em cada ponta da corda em cada instante de tempo certo bom mas y depende do tempo através de uma única variável que tinha então eu posso calcular a derivada de y em relação ao tempo a partir da deriva de y em relação a única variável ou seja y é a função efe então eu posso calcular essa derivada derivando efe em relação à x linha e derivando x linha em relação ao tempo da cadeia y corresponde a função efe que depende de x linha x linha depende de t eu

acho a dependência em relação a teu derivo efe em relação à x linha de ônibus linha em relação até rock bon conforme a gente pode observar dessa expressão isso aqui é menos ver df deixes linha ok eu fazer a mesma operação de novo vou calcular de 2011 dt 2 vou chegar à conclusão que isso é de dt ddy de t portanto de de t d - v df deixes linha ou seja menos ver vezes de dois f desses linha 2 deixes linha de t mesma operação portanto de dois espiões de t2 vai ser igual a

ver ao quadrado de dois f e x linha dois toque a conta trivial né bial agora olha pra isso e eu percebo que se ao invés de calcular de dois f de t2 quiséssemos calcular de dois f x2 afinal onde dois itens não desculpa vai de 2012 y de x 2 afinal a função y depende tanto de x quanto de ter o cálculo seria muito similar não seria que a gente obteria de y dx é igual à do df deixes linha deixes linha deixes que é simplesmente df desses linha portanto de 2011 destes dois é

igual à de dois f e x linha 2 já posso comparar isso aqui com isso né o que a gente repara que é derivada a segunda derivada temporal parcial de y é proporcional a segunda derivado a parcial de ny em relação à x portanto a gente constata que de dois f d 2 estimado perdão deixe os dois é um sobrevive ao quadrado de dois biliões de t2 ou se quiserem de 2 bilhão desses dois - um sobreviveu ao quadrado de 2011 de ter dois é igual a zero isto é o que a gente chama equação

fazer melhor a equação de ondas em uma dimensão nada complicado agora qual é a pergunta pertinente e daí a gente saiu de algo aqui y x ct e frauches e te igual a isso aqui a gente partiu disso para escrever essa equação aqui que diabos a gente vai fazer com essa equação quem pode fazer com essa equação bom a primeira pergunta é qual é a solução dessa equação já antecipei pra vocês qual é a solução dessa equação mas a gente vai justificar nessa questão vamos lá então isso aqui é uma equação que eu tentar escrever

de modo que vocês enxergam o que estou escrevendo então olha vou fazer assim isso aqui é uma equação diferencial parcial linear a coeficientes constantes o mogi é de segunda ordem não é de precaução diferencial parcial de segunda ordem pronto linear a coeficiente constantes homogênea ok bom a gente aprendeu até aqui a tratar de equação diferencial ordinária de segunda ordem linear a coeficiente constantes homogênea ou não certo será que o fato de a gente ter aprendido a tarde é de hoje nos dá aquilo que a gente precisa para tratar de rp pelo menos dessa equação diferencial

parcial que a gente deve poder dizer se a equação a equação de segunda ordem o que a gente disse sobre a equação diferencial ordinária de segunda ordem a solução não não foi isso que a gente disse isso aí a solução que a gente obteve mas não foi isso que a gente disse a agente disse que a solução geral correspondia a combinação linear de duas soluções independentes porque a solução precisava admitir duas constantes arbitrárias porque duas constantes arbitrárias porque formalmente a equação de um solução de uma equação diferencial de segunda ordem corresponde a duas integrações idem

aqui não é correspondida duas integrações mas a integração aqui é um pouco diferente porque porque essa derivada uma derivada parcial então para obter o comportamento dessa função com shim o que é preciso fazer é preciso integrar duas vezes em relação à cheia para cada valor de t para obter o comportamento em relação até eu tenho que integrar duas vezes em relação até pra cada valor de x então essa equação de taça de forma similar a equação diferencial ordinária a yoki de segunda ordem a gente tem formalmente duas integrações agora se eu integrar seu integrar em

relação à cheia faz alguma diferença para a solução se eu somar uma função de x em relação à x se eu fosse ao somar uma função arbitrária de t não né quando calculado elevada parcial em relação à x a dever de levar a parcial de uma função apenas de t é nula né então para todos os efeitos dessa função vai ser uma constante idem quando eu falar da integração em relação a ter qualquer função de x vai ser uma constante a conclusão é que a gente deve ter duas funções arbitrárias como solução da equação ao

invés de a gente ter duas constantes arbitrárias agora a gente tem duas funções arbitrárias bom no fundo o que isso quer dizer é que se eu tiver duas funções independentes a combinação de duas funções e independentes deve se a solução geral do problema duas funções independentes é a solução geral olha aqui o que é isso aqui é a combinação de duas funções independentes eu posso ter mais do que duas funções independentes não porque a equação de segunda ordem então nós vimos que essas duas funções independentes arbitrárias são solução da equação que a gente construiu a

equação a partir dessa solução o que está concluindo aqui é que isto aqui é a solução geral não pode ser nada diferente disso porque a gente só tem direito a duas funções arbitrárias então qual a solução geral certamente poderá ser escrita em torno em termos dessas duas soluções arbitrárias gostava raciocina circular a gente partiu da solução para mostrar que ela é solução geral da equação derivada partindo da própria solução divertido né e daí e daí bon jovi como é que a gente está em termos de tempo temos tempo suficiente vou fazer o seguinte com você

isso é a oi as duas vezes são constantes são funções certo o que a gente mostrou que essa é uma função qualquer jeito é uma função qualquer tá se eu fixar x como essas funções são funções da combinação de se eu fiz a uma das duas por exemplo eu pegar e fixar num determinado instante t e olhar forma da minha corda ou do que quer que seja onde a minha onda está se propagando isso vai virar a função efe se eu pegar a bom ea função g se quiser outra coisa que eu posso fazer senão

eu vou parar num ponto específico uma posição específica e eu vou olhar o comportamento naquela posição específica é é mais ou menos dizer o seguinte para eu resolver uma equação deste tipo aqui não basta como é que a gente resolve a equação diferencial ordinária a gente usa como condições iniciais a posição ea velocidade não é isso para eu resolver essa equação ou aquela equação ali não basta eu dizer pra você qual é a posição ou seja o deslocamento em y num ponto específico da corda eu preciso te dizer qual é a posição em todos os

pontos da corda certo eu preciso dizer também qual é a velocidade em todos os pontos da corda então exemplo de condições iniciais corresponderia a dizer y e x 0 e de y dt x 0 dado está me dizendo que está me dizendo qual é a posição inicial o deslocamento inicial em todos os pontos do espaço x qual é a velocidade inicial em todos os pontos do espaço x então as minhas condições iniciais não são duas constantes são duas funções se eu tiver essas condições aqui você determina completamente essas funções x fg ok a gente nós

nós vamos ver exemplos tá vamos ver exemplos ok a qual é o próximo passo tem várias próximos passos possíveis está um próximo passo seria exemplificá funções f e g eu prefiro que a gente aproveite que a gente deduziu a equação de ondas pra gente mostrar a aplicação dessa equação de ondas num contexto específico qual é o contexto mais simples pra gente aplicar isso que a gente usou como modelo o que a gente desenvolveu o movimento de uma corda não foi bom é é eu poderia ter trazido aqui uma corda de verdade e excitado essa corda

pra mostrar pra vocês eu não trouxe uma corda de verdade eu trouxe uma simulação de computador eu trouxe algo que se assemelha a uma corda o movimento é exclusivamente na direção transversal e o a propagação tá associadas diferente tensões ao longo da direção longitudinal o que a gente vai fazer é mostrar que de fato uma corda admite solução ondulatória ele vai para mostrar isso a gente vai derivar uma equação de ondas numa corda e isso vai nos dar de brinde aquilo que a gente sempre obtém nesses casos que é a velocidade de propagação das ondas

na corda em função dos parâmetros então como é que a gente obtém equação das cordas vibrantes então que a gente usar como o nosso modelo que representa uma corda essa corda hipóteses a corda é muito longa ela está sob tensão ter nas extremidades ok então mas as extremidades estão a perder de vista a outra hipótese é que a gente vai fazer é que o deslocamento em y é pequeno o que esse deslocamento pequena significa é que se eu tiver situações como essa aqui em cada ponto esse ângulo teta vai ser sempre pequena tá ângulo teto

vai ser sempre muito menor do que um bom bom porque a gente quer fazer a gente quer analisar a dinâmica portanto descrever o movimento da corda de alguma maneira eu não vou entrar em detalhes a gente não vai entrar em detalhes nisso de alguma maneira essa corda foi excitada e eu quero analisar a dinâmica associada ao movimento acorda com para analisar essa dinâmica o que a gente vai fazer é considerar uma pequena porção de corda então vou pegar quem é essa figura aqui em que em princípio na corda é extremamente intensa ela se estende há

mais infinita ea - infinito e vou considerar um pedaço de corda e vou considerar a dinâmica desse pedaço de corda então aqui o meu pedaço de corda aqui e aqui eu tenho então uma posição x uma posição x + delta gente e obviamente essa corda tá presa ao restante da corda que se estende ao infinito tá bom que eu posso dizer sobre as forças que atuam na corda eu posso dizer que aqui desse lado eu tenho uma atenção que puxa esse pedaço de corda pra esquerda eu vou chamar isso de t d x ok aqui

eu tenho tensão que puxa a corda pra direita vou chamar isso de te deixes mais delta x eu vou dizer que aqui é horizontal eu vou dizer que esse ângulo aquieta dx mais delta sheik que este ângulo aqui é teta deixei isso é bom eu estou supondo que a corda é muito longa ela é homogênea que quer dizer uma corda homogêneo que a massa se distribui uniformemente ao longo da corda bom se ela é homogênea eu vou desprezar a seção de cordas então eu só considero na a massa uniformemente distribuída caracterizada por uma densidade linear

me o que amy me é de m d x e isso é uma constante é isso que caracteriza uma corda homogênea bom então se isso é verdade eu posso dizer que a massa da porção de corda vale delta e me igual a mim mesmo delta cheio né certo bom e eu quero tratar a dinâmica dessa massa delta m é o trato da dinâmica disso delta m vezes e dois ippons de t2 massa vezes aceleração igual a ter de tomar cuidado ao fazer isso com mais cuidado delta m vezes a vai ser igual a te dê

x + delta fins mais te deixes há uma coisa que está desprezando aqui que estou utilizando aqui estou escrevendo força na resultante das forças igual à massa vez aceleração essas são todas as forças que atuam sobre esse trecho de corda que está faltando peso ah eu estou desprezando o peso comparado com atenção estou dizendo basicamente que a tensão na corda é muito maior do que o peso o que isso quer dizer isso quer dizer que se eu pegar uma corda pra para excitar ela tá tão esticada que ela não for na barriga né se ela

não tiver como atenção forte e claro a acorda forma uma barriga já brincaram com um pedaço de barbante na vida você puxa um pedaço de barbante ele fica chocado você tenha uma corda de um instrumento musical por exemplo não tem barriga se você quer usá la com um instrumento musical você pegar uma corda de um violão onde um violino você afrouxar muito você não toca nada certo ok bom isso aqui em princípio eu tenho um movimento em x movimento e y qual é o movimento que eu espero na direção x ótima resposta nenhum o que

eu espero eu espero que te ching x de x + delta x + 3 x de x seja igual a zero tá bom em y eu vou ter ty dx mais delta x mas ty de x ora é interessante ouvir aqui decompor agora né seu de compuser eu vou ver que te ching x de x + delta x é igual ao módulo de ter de x + delta x cosseno detecta dx mais alta x certo assim como peixes vai ser o módulo de ter de x na verdade - oceano de teta deixe se estão de

acordo com isso olha a figura na projeção ao longo do eixo x projeção ao longo do eixo x ttx foi definido aqui portanto é menos modo disso vezes por semana e tenta o toque como nós fizemos a aproximação essa aproximação de teto é muito menor do que 1 isso implica que o módulo de ter de x em x + delta x modo de ter na verdade perdão em fins mas delta x é igual ao módulo de t enfim dito de outra maneira como a corda não tem deslocamento ao longo do eixo x atenção ao longo

da corda é constante isso seria óbvio quando a gente pode dizer que a tensão ao longo de um fio de uma corda é constante nos sistemas que a gente tratou até agora quando a massa e desprezível né certo uma com uma corda ideal né ela tem duas características ela inês tem cível de massa desprezível inexistem cível significa que estabelece vínculo massa de previsível significa que ela transmite esforços ora aqui eu não posso desprezar a massa que estou querendo justamente estudar a dinâmica do movimento acorda então não posso desprezar massa no entanto se eu me restrinjo

ângulos pequenos porque eu não tenho um movimento ao longo da direção fizesse implica que o módulo da tensão vai ser constante ao longo da costa vai ser o mesmo em todos os pontos da corda tudo bem