Derivando I: derivando constantes, polinômios e como encontrar equação da reta tangente | Cálculo 1

oi oi gente tudo bem meu nome é ester velasquez e sejam bem-vindos ao canal matemática do vídeo de hoje a gente vai continuar nossas aulas sobre derivadas aqui no curso de cálculo um e a gente vai ver as derivadas de algumas funções que a gente vai se deparar muito nos exercícios tá bom tem nossa primeira aula se tivesse propriedades mais básicas e aí a gente vai ver ele como ele algumas funções que a gente vai usar como que a gente pode usar nos exercícios beleza então antes de começar já curti embaixo se inscreve no canal

e vamos lá e oi gente não começar com uma propriedade muito importante das derivadas que fala o seguinte que a derivada da soma de duas funções então a derivada de f de x mas a justiça derivada de isso tudo né é a mesma coisa que a derivada de f de x mas a derivada de gtx então a derivada da soma é a soma das derivadas beleza a mesma coisa que a diferença das derivadas se você tiver a derivada da diferença entre duas funções então a derivada de f de x menos e dx isso é a

mesma coisa que a derivada de f de x menos a derivada de x tá bom a gente importante ressaltar o seguinte a derivada da soma é a soma das derivadas a derivada da diferença é a diferença das derivadas mas o mesmo não vale para derivada do produto e preservado do quociente tá bom a gente animais frente como a gente faz se tiver derivada do produto de duas funções ou da divisão de e aí beleza agora vamos falar sobre a derivada de polinômios se você tiver um polinômio de grau ele x elevado a n aqui independente

desse valor de n que você estiver a derivada desse polinômio vai ser o seguinte você vai fazer se ele cai aqui multiplicando sua função então m vezes x elevado a esse n - 1 então o expoente cai e aí aqui em cima agente subtrai um beleza então vamos ver se exemplo aqui a gente quer saber a derivada de 4x ao quadrado mais x lá na propriedade de soma de derivadas a gente sabe que isso aqui é a mesma coisa que a derivada de 4x ao quadrado mas a derivada de x né porque a derivada da

soma é a soma das derivadas agora vamos levar cada um dos termos qual é a derivada de 4x ao quadrado isso aqui é um polinômio de grau dois né e portanto a gente pode fazer o expoente o e subtraiu um aqui em cima então vai ficar assim ó o expoente km explicando aí fica duas vezes o quatro que já tava aqui vezes o x elevado a 2 menos um agente subtrai um aqui no expoente né e qual é a derivada de x bom x x elevado a um então não deixa de ser um polinômio então

esse um vai cair multiplicando aí fica uma vezes x elevado a 1 - um agente subtrai um aqui no expoente beleza gente então a gente só tá fazendo expoente caí e subtraindo um aqui em cima então vai ficar oito vezes x elevado a 2 menos 1 que é um mais umas vezes x elevado a 1 - 10 então a derivada dessa função é 8 x + x elevado a zero é igual a um né que fica um vezes um quê bom então a derivada de 4x ao quadrado mais x é 8 x + 1 então

se você pegar essa função 4x ao quadrado + x e traçar uma reta tangente a ela indeterminado com x essa reta tem gente vai entende nação 8x mais um tá bom dependendo do valor de x onde a gente tiver passando agora vamos calcular a derivada da segunda função aqui a derivada da raiz de x + x a quinta bom mais uma vez a derivada da soma é a soma das derivadas né então a derivada da raiz de x + a derivada de x a quinta como a gente pode derivar raiz de x a gente não

viu derivada de raiz ainda né como que eu vou fazer isso a gente vai escrever ela de outra forma para ir a gente conseguir calcular essa derivada você concorda comigo que a raiz de x é a mesma coisa que x elevado a 1 sobre 2 porque a gente sabe lá de matemática básica que o número a elevado o bebê sobre ser é a mesma coisa que a raiz com índices e de ar elevado haver portanto a raiz quadrada de x elevado a 1 é a mesma coisa que x elevado a 1 sobre 2 beleza então

a gente vai derivar x elevado a 1 sobre 2 e depois derivar x elevado a quinta como que a gente pode derivar esse x elevado a 1 sobre 2 1 sobre 2 vai cair multiplicando e aqui no expoente a gente subtraiu né então vai ficar 1 sobre 2x x elevado a 1 sobre 2 menos 1 aí aqui a derivada de x elevado a quinta os cinco vai cair multiplicando e agente subtrai um expoente então vai ficar 5 x elevado a 5 - um agora vamos desenvolver essas continha saque aqui vai ficar 1 sobre 2x elevado

fala sobre 2 menos 2 sobre 2 concorda comigo que 1 sobre 2 menos 1 é a mesma coisa que 1 sobre 2 menos 2 sobre 2 porque um é dois sobre dois né 2 / 2 = 1 é a mesma coisa que a gente ter feito o mmc aqui aí aqui desse lado vai ficar cinco vezes x elevado a 5 - 1 que é quatro então isso aqui vai ficar 1 sobre 2x elevado a 1 sobre 2 menos 2 sobre 2 que é menos 1 sobre 2 e tudo isso mas 5 x a quarta esse

x elevado a menos 1 sobre 2 a gente pode ser da seguinte maneira quando a gente tem um número a elevado a menos b isso aqui é a mesma coisa que um sobre a elevado abrir certo então a gente pode mandar o x para baixo para o expoente ficar positivo aí vai ficar um sobre duas vezes x elevado a 1 sobre 2 e veio para baixo e o expoente fica positivo e esse dois aqui é esse dois que a gente já tinha aqui tá bom e isso mas 5 x elevado a quarta aí agora a

gente pode escrever esse x elevado a 1 sobre 2 como a raiz quadrada de x então por fim a nossa derivada é um sobre duas vezes raiz de x + 5x elevado a quarta beleza agora vamos levar esse aqui um sobre x ao quadrado como que a gente pode derivar-se o x ao quadrado tá aqui embaixo a gente manda ele para cima através dessa propriedade aqui né então a gente quer fazer a derivada de x elevado a menos 2 aí esse menos dois vai cair multiplicando e agente subtrai um expoente a verificar - 2x x

elevado a menos 2 menos 1 então menos duas vezes x elevado a menos 3 e aí mandando x elevado a menos 3 pé baixo por isso hein é isso que vai dar menos 2 sobre x ao cubo beleza então gente a gente encontrou a derivada da essas três funções usando essa regrinha aqui do polinômio que o expoente caiu multiplicado e agente subtrai um no expoente tá bom agora vamos falar sobre as derivadas de constantes gente a derivada de qualquer constante é igual a zero tá bom então a derivada de quatro é zero a derivada de

10 era derivada de menos 15 a 0 a derivada de qualquer constante ou seja números que não dependem de nenhuma variável sempre vai ser igual a zero beleza então por exemplo se você tiver a função 4x ao quadrado mais dois qual que é a derivada de só que bom o quadro x ao quadrado a gente pode fazer o 2 cair multiplicando né e aqui subtraiu aí vai ficar duas vezes quatro vezes x elevado a 2 menos 1 e o dois a gente sabe que é uma constante em constante é igual a zero portanto a derivada

dessa função vai ser simplesmente 8x porque o dois eles eram ou por causa da derivada tá bom e quando a gente tem uma constante multiplicando nossa função gente a derivada da constante vezes a função vai ser a constante vezes a derivada da função tá bom então aqui no primeiro caso a gente tem a derivada de duas vezes x isso aqui é a mesma coisa que duas vezes a derivada de x no caso a derivada de x = 11 né um cair multiplicando aqui aí ficar um - 1 = 0 então vai ficar duas vezes um

que é dois então a derivada de 2x = 2 assim como a gente viu lá na primeira aula tá bom aí aqui a derivada de 4x mais 84 x + 8 é a mesma coisa que quatro vezes x + 2 não é colocando o quadro em evidência então a gente que a derivada de 4 a x + 2 então isso aqui é a mesma coisa que quatro vezes a derivada de x + 2 e qual é a derivada de x + 2 bom a derivada de justiça a gente já sabe que é um e a

derivada de 2 = 0 então isso que é quatro vezes um + 0 = 4 portanto a derivada de 4x mais oito é quatro tá bom aí aqui a derivada de duas vezes fiz a quarta + 4 x + 6 a gente pode colocar o 2 em evidência fica duas vezes x a quarta mais 2 x + 3 e portanto a gente quer a derivada de duas vezes essa função então isso é duas vezes a derivada de x a quarta + 2x mais 3 qual é a derivada de x a quarta + 2x mais 3

vamos lá no x a quarta o 4 km explicando aí fica o elevado a 4 menos um aí fica uma vezes 2 x x elevado a zero e o três a gente sabe que uma constante e a derivada da constante é igual a zero né terça que vai ser duas vezes quatro x ao cubo mais uma vezes 2x elevado a 0 sendo que x elevado a zero é igual a um temos que vai ficar dois mais zero então fazendo chuveirinho aqui do dois com cada therma vai ficar 8 x ao cubo mais quatro e essa

é a derivada dessa função que a gente tinha que beleza gente agora vamos fazer uns exercícios aqui nesse primeiro exercício a gente quer encontrar a equação da reta tangente a função x ao cubo mais 2x no ponto 2 12 então quando x = 2 e y = 12 tá bom gente então a gente sabe como a gente encontra a inclinação da reta tangente né que é só a gente calcular derivada e substitui e pelo valor que a gente quer saber agora se a gente quiser saber a equação da reta tangente então qual é a equação

daquela reta que tá ali cruzando a nossa função em um ponto como que a gente faz isso vamos lá ver bom gente o primeiro passo quando a gente tem esse tipo de exercício é derivar a nossa função então a gente vai derivar x ao cubo mais 2x vamos lá qual é o f linha de x bom no x ao cubo o três pode cair multiplicando e a gente subtraiu um aqui no expoente né então vai ficar três vezes x elevado a 3 - um beleza e aqui no 2 x 1 que tá no expoente do

x pode cair multiplicando também aí fica umas vezes 2 vezes x elevado a 1 - 1 então isso que vai dar três vezes x elevado a 2 então 3x ao quadrado mas uma vezes 2 x 1 que vai dar dois eu não tenho essa aqui é a derivada da nossa função f de x tá bom gente uma coisa que você já pode ter notado é que quando a gente tem um valor multiplicado x e o xtz vado apenas é um a derivada de esse vai ser aquele valor que está multiplicando x tá bom então se

você tiver por exemplo x a derivada disso vai ser um que está multiplicando a x se você tiver 2x a derivadores e dois se você tiver x sobre 2 a derivada vai ser um sobre dois beleza então quando x elevado ao expoente 1 adesivado esse aquela constante que estiver multiplicando ele tá bom então a gente encontrou a derivada da nossa função esse foi o primeiro passo né agora o segundo passo é encontrar qual é a inclinação da reta tangente que a gente está procurando o valor desta inclinação vai ser dado quando a gente substituir o

x do ponto de tangência aqui na nossa derivada então no caso o x = 2 é o ponto de tangência e a gente o treino 3x ao quadrado mais dois tá bom então vai ficar três vezes 2 ao quadrado mais dois que vai dar 3 x 4 + 2 que dá 12 + 2x = 14 então essa é a inclinação da nossa reta tangente e portanto vai ser o coeficiente angular da nossa reta o valor que multiplica o x beleza agora vamos para o terceiro passo terceiro e último passo para a gente encontrar equação dessa

reta tangente a gente vai usar essa fórmula zinho aqui que com certeza você já conhece para ir a gente conseguir encontrar com a equação da reta tangente tá bom então a gente mantém esse y sy0 vai ser o y do ponto de tangência que no caso é 12 pelo que o exercício falou que né tem um y -12 igual o m que a inclinação da sua reta seu coeficiente angular que vale 14 né pelo que a gente em o passo 2 em 14 x esse x que a gente não tem menos o x o ponto

detergência q = 2 então y -12 é igual 14 x - 28 então y é 14 x - 28 mais 12 passando esse menos 12 por outro lado como mais nada e portanto y = 14 x - 16 portanto gente a equação da reta tangente a essa função f de x no ponto 2 12 mais ser 14 x - 16 pode ver que realmente a inclinação dessa reta vale 14 né é o coeficiente angular dela agora vamos fazer esse exercício que se um ponto percorre uma curva de acordo com a equação sgt igual um sobre

ter mas tem ao quadrado qual sua velocidade instantânea entre igual quadro segundo bom então a gente fez esse tipo de exercício lá na última aula né só que a gente fez usando aquela definição de derivada pelo limite agora vamos fazer usando as regrinhas que a gente viu nessa aula beleza então o primeiro passo é a gente lembrar que a velocidade é a derivada do espaço então como que a gente tem a função espaço para a gente ter a função velocidade a gente tem que dar ivar né a velocidade é a derivada do espaço em relação

ao tempo e aí quando a gente encontrar função velocidade a gente substitui ter igual a quatro segundos tá bom então vamos lá o primeiro passo é derivar a função espaço para isso a gente tem que derivar um sobre ter mais a derivada de t ao quadrado um sobre ter concordo comigo que a mesma coisa que te elevado a menos 1 então a derivada do espaço vai ser a derivada de ter elevado a menos um mas a derivada de t ao quadrado é bom agora e qual é a derivada de t elevado a menos 1 ou

menos um ka e multiplicando aí fica menos um vezes ter elevado a menos 1 menos um então caiu expoente multiplicando e subtraiu um aqui no expoente mas mesma coisa que não tem o quadrado né os dois caíram explicando aí fica duas vezes ter elevado a 2 menos 1 então isso que vai ficar menos um vezes ter elevado a menos 2 desse primeiro termo mas duas vezes ter elevado a 2 menos 1 que o próprio duas vezes tem portanto a derivada disso que vai ser menos um sobre t ao quadrado mandando esse ter para baixo com

expoente positivo mas duas vezes ter portanto a gente pode falar que a nossa função da velocidade em função do tempo vai ser menos 1 sobre o teu quadrado mais duas vezes ter beleza então o primeiro passo já foi que era derivar a função espaço para a velocidade agora é só a gente substituir ter por 4 segundos para encontrar a velocidade de santana em quatro segundos então se te for igual quadro segundos a gente tem que ver de quatro vai ser menos um sobre quadro quadrado mais duas vezes quatro isso que vai ser menos um sobre

16 mais oito se a gente for ver é mais ou menos 7,93 então quatro segundos esse ponto tá mais ou menos a 7,93 metros por segundo e fechavam fazer esse exercício que a gente quer saber qual desses derivados é maior e qual é menor então a gente tem essa curva azul aqui que representa na sua fdx né e aí a gente tem a reta tangente e menos 3,5 e menos um em três a gente quer saber qual das derivadas é maior e qual das derivadas é melhor e a gente sabe que a derivada é a

inclinação da reta tangente naquele ponto então o que a gente tem que ver aqui é qual inclinação vai ser maior até gente de qual ângulo é maior e a tem gente de qual ângulo é menor tá bom então vamos pensar nessa primeira reta aqui o ângulo que ela forma com eixo x é um ângulo menor do que 90 graus né é um ângulo teta onde teto ah é menor que pi sobre 2 em casa nossa 90 graus agora vamos analisar essa segunda reta aqui não tá muito reta mas ela tava tendo mais ou menos aqui

no eixo x e ela forma esse ângulo alfa com isso x de tal forma que esse ângulo é maior que 90 graus não é porque ela vamos pensar 90° seria esse ângulo menor que isso e maior que isso quando tá empinado para lá é um ângulo maior do que 90 graus então alpha é um ângulo maior do que pi sobre 2 ah e por fim vamos analisar essa reta aqui a reta tem gente em x = 3 essa reta não tá em que nada gente a internação dela é igual a zero então o ângulo de

inclinação dela é um ângulo beta talk beta é igual a zero beleza agora eu te pergunto qual das derivadas é maior e qual das derivadas é menor gente então pra gente entender melhor eu trouxe aqui um circulo trigonométrico para vocês o que eu circulo trigonométrico interativo do genebra e eu quero mostrar para vocês o seguinte a gente sabe que aqui no primeiro quadrante do circulo trigonométrico a gente tem ângulos entre 0 e pi sobre 2 e no segundo quadrante a gente tem ângulos entre pessoas de 2 e p certo vamos ver o que acontece com

a tem gente que tá aqui representado em amarelo quando a gente tem ângulos no primeiro quadrante então ângulos menores do que pi sobre 2 olha só a nossa tem gente está sempre positiva né lembrando que que para cima até gente positiva e aqui para baixo até e ativa mas para qualquer ângulo entre 0 e pi sobre 2 a tangente é positiva agora quando a gente chega em ângulos maiores do que pi sobre 2 olha onde foi parar o nosso tergente aqui embaixo né mas a gente passou a ser negativa então para ângulos entre 0 e

pi sobre 2 até gente é positiva e para ângulos entre pi sobre 2 e p a t gente é negativa então imagina que isso aqui é nossa reta essa parte preta que a nossa reta até gente que ela forma com eixo x é menor do que zero é negativa agora se nossa reta floresce aqui que forma um ângulo menor que pi sobre 2 com o eixo x aí nossa tangente é positiva gente então fizemos menores que 90° tem muita gente positiva os ângulos maiores que 90° se muita gente negativa e quando o ângulo vale 0

a tem gente também vale 0 qual desses derivadas é maior e qual desses derivadas é menor bom seguindo a lógica a maior essa aqui oi gente é maior que zero a menor essa aqui hoje até gente é menor que zero e essa aqui onde atende a gente é igual a zero tá no meio termo entre as duas né a gente que eu queria mostrar para vocês é que quando o ângulo é menor do que 90 graus o ângulo que a reta forma coaches a derivada é positiva quando o ângulo é maior do que 90 graus

até gente vai ser negativa então a derivada é negativa e a gente vai ver mais para frente porque que essa derivada aqui é igual a zero beleza por gente então foi isso no vídeo de hoje espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir e se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e pode comentar suas dúvidas em baixo tá bom então a gente se vê no próximo vídeo sobre derivadas gente beijo