Estatística e Probabilidade - Probabilidade: Exemplos resolvidos

[Música] Olá pessoal chegamos a nossa oitava vídeo aula da semana 3 do nosso disciplina de estatística e probabilidade a gente vai ver na aula de hoje alguns exemplos de resolução de problemas envolvendo probabilidades elementares aquelas noções de espaço amostral eventos igualmente prováveis e como a gente calcula a probabilidade de um determinado evento usando fazendo essas contas mesmo na prática né A gente vai ver também uma aplicação da lei da probabilidade Total um exemplo super característica é visto sempre porque ele é muito ilustrativo do uso que a gente faz da lei da probabilidade Total como ela é importante útil na prática na hora de calcular mesmo uma probabilidade e o exemplo é surpreendente a gente vai ver que nossa intuição às vezes nos engana muito então vamos lá a gente vai fazer umas continhas para praticar tá primeiro a gente tem que entender o que são eventos e prováveis se no espaço amostral Ômega maiúsculo eu tenho n eventos elementares lembra eventos elementares são aqueles eventinhos subconjuntos formados de um único elemento né um elemento atômico então se eu tenho um espaço amostral com n eventos elementares e eu digo que todos eles são e que prováveis eu tô dizendo que a probabilidade de eu realizar o experimento aleatório que esse espaço é mostrar representa e observar Ômega 1 o amiguinha 1 é igual a probabilidade de observar qualquer um dos outros elementos que estão lá dentro então é isso que tá escrito aqui perdi Ômega 1 igual a pedir Ômega 2 igual até que tec tec o mega n todos eles valem p agora quanto vale b bom é muito simples de obter né como p a probabilidade do espaço amostral inteiro vale um que tá escrito nessa fórmula verde é isso se vocês olharam do lado esquerdo eu tenho o negão do lado direito tem um só que o Pedro espaço amostral inteiro é o p daquele conjunto lá cheio de gente dentro Rafael Pedro Ômega 1 Ômega 2 só que esses caras são todos disjuntos a probabilidade de dar Omega 1 ou perdão a probabilidade de observar o ômega 1 é disjunto ele é independente ele é exclusivo com a probabilidade de observar omega 2 e assim por diante Então o que acontece a probabilidade desse conjuntão é a soma das probabilidades dos elementos que é esse primeiro somatório que tá aí como todos eles são aqui prováveis todos eles valem P então tem uma soma de p + p + p + p n vezes então eu tenho NP = 1 se NP = 1 então a probabilidade de um evento elementar de um experimento em que todos os eventos são Eco e prováveis vale um sobre ele tá bom esse é só uma forma uma maneira da gente escrever isso matematicamente para descobrir ou algo que a nossa intuição indica né se eu tenho n possibilidades por exemplo um dado Eu tenho seis possibilidades um dois três quatro cinco seis essa seis possibilidades são improváveis então a probabilidade de cada uma é um sexto Tá bom mas eu quero a partir desse conceito calcular o a probabilidade de um eventão então eu tenho o evento a por exemplo no caso dos dados eu quero a probabilidade de observar uma Face par bom ser para não é um evento elementar eu dentro do espaço amostrar eu não tenho um dois três quatro cinco seis para o ímpar Eu tenho um dois três quatro cinco seis então o evento ser observar uma Face do dado par é um subconjunto do espaço amostral formado pelos elementos 2 4 e 6 se eu sei a probabilidade de cada elemento de cada evento atômico né elementar eu consigo calcular a probabilidade do eventão a consigo quanto vale bom se o evento a é formado por m eventinhos elementares e cada um tem a probabilidade um sobre n a probabilidade de a vai ser um sobre n mais um sobre n mais um sobre n teq Tech mais um sobre n vezes então a probabilidade de um evento contido num espaço amostral em que todos os eventos são equiprováveis é o tamanho dele dividido pelo tamanho total é isso que está escrito aqui na nossa última equação a probabilidade de um evento dentro de um espaço amostral em que todo mundo aí que provável é o tamanho dele dividido pelo tamanho do espaço amostral é m sobre n nesse caso o que nos leva a seguinte conclusão quando eu tô calculando probabilidades de eventos e prováveis eu quero saber contar quantos casos Quantos eventos favoráveis eu tenho dentro de a para poder dividir isso pelo número total de eventos dentro do espaço amostral Então eu tenho que contar Quantos eventos favoráveis eu tenho quantos casos fala quantos casos correspondem aquilo que eu tô procurando eu quero jogar o dado e observar uma Face par Quais são os casos favoráveis sair 2 sair 4 ou sair 6 eu tenho três casos favoráveis Qual o número total de casos possíveis o tamanho e do espaço amostral esse tamanho é 6 então 3 / 6 dá meio então a probabilidade de jogar um dado observar uma Face par é meio que que eu precisei fazer eu precisei contar o número de casos favoráveis e eu precisei contar o número de casos totais que é o tamanho do espaço amostral como que a gente faz isso usando técnicas de análise combinatória frequentemente contar Ou a gente também fala enumerar enumerar é a mesma coisa que contar tá bom pessoal se eu quero contar o número de casos favoráveis frequentemente eu tenho que usar aquelas ideias da análise combinatória combinação com repetição sem repetição Então essas técnicasinhas que são básicas nos permitem contar corretamente sem esquecer ninguém e sem contar dobrado os casos favoráveis e também contar quantos casos totais eu tenho dentro do espaço amostral dividindo um pelo outro me dá a probabilidade do evento vamos olhar um caso vamos lá resolver um problema aqui ó eu tenho uma caixa de 24 lâmpadas uma caixa de supermercado vou lá comprar uma caixa de lâmpadas eu sei que lá dentro tem cinco lâmpadas queimadas dessas cinco lâmpadas de uma caixa de 20 dessas 24 lâmpadas aliás das quais cinco são queimadas eu tiro uma amostra e tamanho 4 eu tenho uma caixa com 24 lâmpadas ou ovos e cinco estão estragados eu vou lá e tiro 4 então tem uma amostra de tamanho 4 minha pergunta é o seguinte qual a probabilidade desses quatro dois duas estarem queimadas então eu tenho a seguinte situação eu preciso contar quantas amostras de tamanho 4 eu posso montar a partir de 24 lâmpadas Eu tenho 24 eu vou escolher quatro enquanto as maneiras diferentes eu posso escolher quatro elementos de 24 Esse é o tamanho do meu espaço amostrar o meu espaço amostral é formado por todas as combinações de quatro lâmpadas quantas combinações de quatro lâmpadas eu posso montar a partir de 24 lâmpadas Então esse é o tamanho de Ômega e quantas combinações de quatro contém duas que são queimadas esse é o número de casos favoráveis eu vou contar esses dois casos dividir um pelo outro e a gente vai chegar na resposta à pergunta qual a probabilidade de nessa amostra de quatro lâmpadas duas estarem queimadas bom Primeiro vamos calcular o tamanho do espaço amostral o número de casos totais podemos escolher quatro lâmpadas aqui é quatro tá bom podemos escolher quatro lâmpadas de um total de 24 lâmpadas desse dessa maneira aí 24 4 a 4 não é eu tenho que montar um conjunto de quantos conjuntos de quatro elementos eu posso montar a partir de 24 elementos Esse número aí 24 4 a 4 esse coeficiente binomial esse número Vale 212. 520 então ótimo quantas combinações de 4 a partir de 24 Então esse é o número total dentro dessas 212. 520 possíveis amostras tem amostra com as quatro lâmpadas queimadas tem amostra sem nenhuma lâmpada queimada tem um monte com uma lâmpada queimada tem um monte com duas um monte com três tá bom tem um monte com nenhuma é a maior parte das amor dessas 212 mil à mostra não tem nenhuma lâmpada queimada então a gente já sabe quanto é Ômega vamos contar os casos favoráveis os casos favoráveis são o seguinte tamanho do evento número de casos favoráveis bom eu posso escolher eu tenho cinco lâmpadas queimadas nas 24 eu vou tirar quatro dessas duas são queimadas então no fundo eu tenho que escolher duas de cinco não é que eu escolhi é que por acaso eu peguei aquelas mas por acaso eu posso pegar duas lâmpadas queimadas de um total de cinco de quantas maneiras diferentes 5 duas ou duas maneiras diferentes por acaso é 10 e as outras duas lâmpadas boas porque minha voz tem tamanho quatro de 19 né então eu tenho uma eu tenho uma reserva de 19 lâmpadas boas das quais eu vou pegar duas e eu tenho uma reserva aqui de cinco lâmpadas queimadas do qual eu vou pegar duas eu posso pegar Duas de Cinco de cinco duas ou duas maneiras diferentes eu posso pegar duas de 19 e 19 2 a 2 maneiras diferentes como eu vou pegar duas boas de 19 e duas queimadas de 5 e significa vezes princípio elementar de Contagem e é vezes ou é mais então vou fazer esse número vezes esse então o tamanho de a é 52 A2 que é 10 vezes 19 2 a 2 que é 171 dá 1710 então eu tenho 1.

710 maneiras diferentes de pegar uma amostra de quatro lâmpadas das quais duas vieram daquelas que são queimadas e duas vieram daquelas que são boas qual a probabilidade então de do total de 212 mil 520 amostras eu escolhi justamente uma amostra que tem quatro duas lâmpadas boas e duas queimadas bom número de casos favoráveis dividido pelo número de casos totais 1710 / 212. 520 da aproximadamente 0,8%.