Cálculo de limites de funções de duas variáveis (Tópico 5, parte 1)

[Música] [Música] eu vou começar é revisando um pouquinho do que a gente viu na aula passada né então na hora passada a gente começou a ver funções de duas variáveis em r então eu tenho um domínio contido no ric dores não subir conjunto do r2 e f de dele é uma função que a cada xy pertencente à de associa então um é o número real z igual à f1 deste sítio né e aí a gente viu o que o gráfico df é um conjunto de pontos do espaço néon com são triplo ordenadas tais que o

x y está no domínio e o z é o f dos the x y e já a interpretação geométrica para esse conjunto é uma superfície né no espaço então eu desenhar gráficos de funções de duas variáveis eu preciso de uma aqui o gráfico df são os pontos do espaço x da forma xy fdx itu e aqui seria um ponto x e y do domínio não o domínio aqui tudo bem então nem sempre é fácil em geral não é fácil pensar no gráfico de uma função de 2 variáveis e a bom a gente o nosso objetivo

até o final do semestre é ter condições de qualquer que seja bom e tem condições de em situações razoáveis né determinar onde é que está o valor o maior valor de f ou menor valor de f dependendo da função eu quero achar máximos e mínimos tanto numa região grande um domínio aqui como eu poderia então nesse caso dessa figura esse é o ponto mais alto do gráfico então saber localizar onde está o ponto mais alto do gráfico manhã qual é o maior valor de f seria aqui no eixo dos vez né não acho sei qual

é o ponto mais alto da imagem ou eu poderia querer também restringe a um domínio poderia pegar um domínio aqui menor de canto e olhar o ponto mais alto deste pedaço tá e aí é um outro tipo de problema que você restringe se coloca restrições no domínio e você quer o maior ou menor valor de f restrito a uma certa condição já então você não vai pegar esse vai pegar um outro aqui que está no morrinho e até o final do do curso o que a gente vai o que a gente onde a gente quer

chegar é que resolver problemas de achar o máximo e mínimo valores máximo e mínimo de funções com duas ou mais variáveis né duas três já já dá um problema já podem ser problemas complicados suficientemente complicada agora a gente também viu na aula passada curvas de nível de funções e as curvas de nível podem auxiliar na nessa busca por valor mais alto de f valor valor máximo valor mínimo de f 1 então eu vou mostrar aqui um exemplo eu tinha deixado uma lição de casa nem uma gpu ver vocês chegaram a pensar em g de o

ver é igual a uva dizer eu tinha pedido pra vocês desenharem as curvas algumas curvas de nível dessa função e depois como complementação aqui eu vou querer achar o máximo eo mínimo o valor dessa função g num certo domínio tá bom como é que são os onde estão os pontos tais que gênio ver é zero então aqui curvas de nível então dessa geac algumas né algumas curvas então se eu faço g a curva de nível zero isso aqui quer dizer que eu vou procurar quais são os pontos do domínio seriam cuoco ver pertencentes ao domínio

qualquer domínio dessa função maior domínio possível os reais r 2 né aqui a gente está em r 2 então eu quero o v os pares o v tais que egídio vê a 0 é isso que a curva de nível 10 são os pontos do domínio tais qg da zero bom nesse caso aqui o v o vezes vê 0 quando o x é hoje eu estou acostumado x e y o e zero ou exerce certa e geométrica mente onde estão esses pontos se aqui o eixo dos e aqui o eixo dos vez o igual a zero

essa daqui então aqui o c zero e aqui também o c zero isso significa que o f de todos esses pontos 0 agora nós vamos ver mas alguns valores eu vou pegar dois valores positivos de dois valores negativos só pra gente ter uma idéia de o que a gente quer com isso eu quero saber a função cresce pra que lado se eu mandar pra que lado que eu vou aumentar o valor da função e andando pra outro lado eu vou diminuir ou vice versa então eu quero saber para que lado o que eu tenho que

andar né no plano para ter um valor maior do df eo ou menor então vamos lá a curva de nível 1 e obteve fazendo o gd o v igual a 1 ou seja o vezes vê igual a 1 quando é que o vezes verdão se o produto é um então por exemplo não é zero nenhum dos dois é igual a zero então eu posso como é diferente de zero eu posso concluir que o v é um sobre o isso aqui é o quim dama hipérbole né que passa aqui pelo um aqui tem um ramo e

aqui no - 1 - 1 também -1 vezes menos um também não né então aqui então todos os ponte o ev1 tais que o produto é um tudo bem aqui eu deixo aqui eu acho vê aqui é o se igual 1 a 1 aqui também tem sei qual é bom eu vou repetir aqui o sei qual a 0 quem está aqui né o 100 gol 1 a 0 em 6 goza nos eixos é uma coisa que eu queria que vocês reparar assim é que esta esta curva aqui essa ela é simétrica em relação à reta

y e goste 6 conseguem ver isso porque se eu trocar os negócios não o igov neta o igov por que se trocar o com v e nada muda né eu trocar no lugar se este ponto é um para o ver tal que o produto é um o simétrico aqui que é o vôo também é também está na na mesma curva o produto também não então se o troco as coordenadas e ver com veio o produto continua o mesmo então esse ponto e esse os dois estão na na curva então existe uma assimetria que só tô

querendo que fique claro porque isso vai ser útil depois então aqui a reta é ver igual ao tema simetria aqui só para ter certeza é só reparar por enquanto né então é bom fazer outra curva de nível ainda pra ser positivo o que vai dar contas fáceis é pegar quatro aqui vamos pegar ser igual a quatro eu tenho gd houve boa 46 somente se o v a 4 e aí eu posso considerar que o v é 4 sobre o isso porque eu sei que um com 10 e essa curva aí é o que é igual

é só que deslocado um pouco mais pra frente né ela passa por exemplo pelo ponto 22 aqui é 11 aqui tenho 22 a a curva de nível 4 é outra parecida com essa passando aqui pelo 22 esse é o nível 4 e aqui os e méxico também sem bloco bom por aqui dá pra ter uma idéia que conforme eu vou indo mais pra lá o que acontece é a minha figura não está muito boa mas aqui está atendendo seus pichai saque ele vai atender na família né que o que vocês podem observar se aumentar mais

ainda o sei o que vai acontecer vai aparecer uma outra mais para frente conforme eu vou então vou indo mais para lá né eu vou os e aumenta significa que o valor da função foi aumentando à medida que eu vou nessa direção ou pra cá também tudo bem e se você for negativa vamos pegar ser igual ao menos um eu tenho eu preciso resolver a equação gênio vê igual a -1 então o vezes v -1 e de novo eu posso dizer que o v é é a menos 1 sobre o que figura que eu vou

obter aqui é só o médico decide não é porque eu vai trocar o sinal de v então os pelos mesmos os que eu tinha na anterior naquela ali não cadeia já estes mesmos os mesmos valores do eu vou ter o oposto então é o simétrico desta aqui seria eu sei qual a -1 e aqui também só passando aqui tá bom e pra ser igual ao menos quatro é o simétrico dessa laranja aqui tudo bem tá pra ser igual ao menos quatro eu vou ter o v igual ao menos 4 sobre o que vai dar esta

outra aqui deu para ter uma idéia de própria que lado a função creche ou decresce dá pra ter uma idéia né e é pra isso que as curvas de nível estão servindo eu sei que pra qualquer ponto em cima dos eixos o valor da função é zero para qualquer ponto ao longo aqui dessa dessa e fere vê igual a 1 sobre o eu vou ter o valor da função é um e assim por diante tá bom e aí vem um probleminha que eu queria que vocês pensassem é considero um domínio assim o conjunto do x

e y tais quiches dois mais y2 é menor ou igual a 9 e o y é maior que zero maior igual a zero esse é o domínio da que eu vou pegar ea g g de o ver bom posso trocar xy por ver aqui só pra ficar eu vou pagar aqui vou pegar b é igual ao conjunto dos o v tais que o quadrado mas vê quadrado é menor ou igual a 9 e o v é maior ou igual a zero só pra gente poder aproveitar o que já foi feito então eu pego o v

é igual a um vezes vê então eu quero que vocês me digam onde estão os pontos que vão dar o maior valor de g eo menor valor de gente tá pra quê pontos é temos g máximo né pontos de de g obtemos o valor máximo de g e valor mínimo de g então esse é um probleminha de máximos - que dá para resolver só analisando a figura que quer eu consigo resolver o problema geometricamente então vamos desenhar onde é que está o o domingo da posso arriscar mais aqui fica muito confuso acho que eu vou

repetir ali ó ó aqui tem uma curva de nível 1 aqui vai ter uma curva de nível 2 por enquanto é isso que a gente sabe aqui eu sei qual ao menos um gol a menos 2 a 1 pra cá eu não vou desenhar por quem por que o domínio que estou interessada tv positivo então não me interessa esse pedaço e como é que o desenho de aqui o de olha aqui ficou meio torto né ac - um aqui e aqui não ficou muito meu meu desenho está torto nessas já repararam que ficou bem torto

mas é de compra é esse conjunto aqui ó a soma desses quadrados menor ou igual a 9 onde está o teu igual a 9 seria uma circunferência de raio 3 centrado na origem é então menor ou igual é tudo está bem então do menos três até o 3 e ali mais ou menos coitado meu mas circunferência tadinha faz de conta que soube uma circunferência é isso aqui seria o x2 mais y2 igual a 9 para y positivo então eu tô pegando essa região de aqui esse é o de tudo bem onde vai estar o ponto

que vai dar o maior valor de f1 e onde está a tal ponto que dá o menor valor de f isso tem gente que já enxergou né que acontece a gente sabe que indo pra lá aumenta e indo pra cá diminui e qual é o último ponto o último o valor maior os e máximo né vai ser quando eu pegar uma curva aqui que eu não sei ainda qual é que encosta nesta ser conferida em ciência como a minha figura ficou torta né ela não ficou não dá muito bem pra ver que o que propriedade

teria esse ponto ele tá é fala mais então ele está nessa curva o quadrado mas vê quadrado igual a 9 que mais eu vou chamar esse ponto aqui dp que mais eu sei sobre ele porque só com isso existem infinitos que satisfazem isso aqui que que mais eu preciso saber o igov por causa da simetria tá eu preciso ter que o é igual a ver que é aaa aqui né faz de conta que esse r 122 e esse aqui nessa nessa reta que é o igual a ver ele tem que falar eo v positivo né

e então são três condições para eu achar que eu achar que ponto é esse bom bom aí eu fiquei com esse sistema aqui se eu substituir o igual a ver na de cima eu vou ter dois o quadrado igual a 9 vou por ver quadrado 2v quadrado igual a 9 então ver quadrado é 96 gols e como vê positivo eu vou escolher ver igual a r 3 sobre raios de 2 então esse ponto aqui ele é o 3 sobre raios de 23 sobre raios de 2 e qual é o máximo valor df restrito a esse

domínio de 9 memso certo porque é a última curva no sentido do crescimento da função essa é a última que encosta no conjunto para entender o ponto de mínimo estaria na interseção dessa reta ou igual ao menos ver com a circunferência aqui a x 2 mas mas o opa o 2002 igual a 3 netão vai dar um ponto que aqui cujas coordenadas vão ser menos três sobre raios de 2 e 3 sobre raios de 2 eo valor df de que é menos nove memso então -9 mail é o valor mínimo da função então o mínimo

é menos nove memso e o máximo é o nosso imenso deu pra entender o raciocínio então esse é um problema simples de máximos e mínimos que a gente consegue resolver analisando as curvas de nível e a região ali deu pra fazer em particular além da função se uma função não muito complicada o domínio era um conjunto fechado e ilimitado limitado quer dizer que eu enxergo adaptar ao fim né não é desses conjuntos que vão lá longe com x tendendo infinito não ele é limitado eu consigo ver que o x varia de menos 3 a 3

o y vai de 0 a 3 e uma região que eu consigo ver inteira lá dentro do desenho então por conta disso que eu consegui resolver o problema