Sequência de Fibonacci

[Música] [Música] Olá caríssimos bem-vindos Neste vídeo eu vou falar da sequência de Fibonacci é um tema que se relaciona com coisas que eu já falei com coisas que eu vou falar daqui a pouquinho vocês vão ver que a sequência de Fibonacci se relaciona com a razão Áurea que eu falei no vídeo sobre arte e razão Áurea e vai se relacionar com questões de biologia que eu falarei em outro vídeo neste vídeo eu vou falar da sequência de Fibonacci essa sequência dizem os historiadores já vem alguns livros que ela já era conhecida muito tempo que já

a referências bem antigas na antiguidade de uso dessa sequência mas na Europa na civilização que ocidental ela aparece no ano 1202 então é fim da Idade Média mas ainda a idade média no livro do cara do Leonardo de Pisa ou fibonatti né nascido de fibo um livro chamava liberar 1202 ele coloca a historinha dos coelhos que é uma espécie de charada e cuja resposta é a sequência de Fibonacci já vou contar como é que é o coelho a história do coelho deu construa a sequência daí a gente vai discutir algumas propriedades da sequência Qual que

é a historinha que o Fibonacci conta no livro e que não tem nada de Ecologia tá as regras que ele coloca ele coloca como se fosse uma charada descubra né responda essa pergunta é as regras que ele coloca não tem nada de natural de ligada à realidade biológica de coelho nada disso são uma pessoa interficiais é um exercício de matemática de raciocínio então ele fala assim eu quero saber como é que evolui a população de coelhos que eu tenho Quais são as informações No início tem um par de coelhos jovens é um casal de coelhos

jovens o casal fica adulto em um mês e todo o casalzinho de coelho assim que fica adulto acasala e depois de um mês nasce mais um casal de coelhos que nascem jovens e esse casal que acabou de nascer vai levar um mês para ficar adulto e vai imediatamente acasalar e gerar mais um casal de coelhos e a pergunta dele é com essas regras como é que evolui o número de casaizinhos de coelhos começa com um jovem quando eles ficam adulto acasala e depois de um mês nasce um casalzinho jovem que não acasala espera um mês

e os jovenzinho vai acasalar e vai gerar mais um grande e aí vai então com essas regras como é que fica o número de casaizinhos de coelho não é difícil de fazer o acompanhamento no início nós temos um casal quero um casal jovem inicial e eles nem acasalam porque começou com um casal jovem passou um mês nós continuamos com um casal só que agora ele é adulto Porque ele leva um mês para ficar adulto Isso faz parte das regras agora então tem um casal adulto acasala imediatamente e daqui um mês nasce um casalzinho jovem então

daqui no segundo mês eu vou ter dois casais um é aquele adulto que já tá aqui desde o começo da história que é adulto e o outro é o casal jovem que acabou de nascer de acordo com as regras do Fibonacci esse casal adulto acasala imediatamente e o casal jovem não então depois do terceiro mês esse nós vamos ter três casais porque três esse adulto Inicial que continua o tempo inteiro adulto agora e acasalando o adulto que antes era jovem agora virou adulto Então nós vamos ter dois adultos o que tá desde o começo e

o que acabou de ficar adulto que era jovem e o jovem que acabou de nascer no quarto mês bom no quarto mês esses dois adultos vão gerar dois coelhinhos dois casaiszinhos novos porque esses dois adultos vão acasalar e daqui um mês trazem dois casais novos então daqui um mês nós vamos ter cinco esses dois adultos que estão já adultos aqui mas esse jovem que é aqui que terá virado adulto então três adultos e esses dois adultos geram dois jovens e a gente tem sim e assim vai e sabe qual que é a o fato um

aqui essa é a sequência de figurantes Qual que é o fato um que era o desafio do fim durante Qual é a lei de formação dessa sequência quantos vai ter depois sabe quantos vai ter depois três mais cinco porque nesse momento tem cinco todos estarão vivos todos serão adultos Não importa se hoje eles são adultos ou jovens daqui um mês depois do quinto mês todos esses cinco estarão vivos e serão adultos então eu vou ter esses cinco aqui serão cinco adultos no quinto mês e esses três que já eram adultos que são os três daqui

de trás que viraram adultos vão gerar três novos então é a soma desses cinco com esse três esse três são os que chegaram aqui adultos que vão gerar três novos e esse Total vai estar adulto aqui então no quinto mês a gente tem então a sequência de Fibonacci é essa sequência 1 2 3 5 8 13 21 34 que cada número é a soma dos dois anteriores Esse é o fato um que o número de Fibonacci de coelhinhos número de Fibonacci no instante do n + 2 é a soma no instante n + 1 com

a soma no instante Então essa é a regra é a lei de formação da sequência de Fibonacci muito bonitinho o problema né você é legal e isso era mais ou menos o que eu Fibonacci no próximo vídeo eu vou discutir uma outra questão que essa sequência aparece na natureza aí é um negócio lindíssimo número de pétalas de flores tendem a ser a seguir a sequência de Fibonacci ela aparece em um monte de lugares na natureza e tem uma razão biológica para isso que a gente isso vou discutir que tá ligado a essa lei de formação

no fundo não é só para vocês ficarem com o gostinho da história na natureza tem muitos coisas que são cíclicas e que o próximo ciclo Depende de dois ciclos anteriores às vezes depende só de um mas tudo aquilo que existir na natureza e que depender de dois ciclos como o caso dos coelhinhos vai aparecer a sequência de Fibonacci isso é muito legal mas isso vou falar no outro vídeo o fato dois Esse é muito surpreendente existe o limite para ele entendendo infinito de um número da sequência de Fibonacci dividido pelo anterior e quando você manda

o n para frente e vai pegando cada número e dividindo pela anterior então aqui olha 1 dividido por 1 2 / 1 3 dividido por 2 5 dividido por 3 8 / 5 e vai em frente 13 / 8 21 / 13 34 / 21 e vai vai existe esse limite e ele é um número l esse aqui eu não vou demonstrar isso é uma coisa que tem técnicas de matemática para fazer isso mas eu não vou fazer nessa nessa discussão quero chegar em outro lugar o que é fácil de perceber e eu preciso desse

fato é que o limite é maior do que zero e menor do que Infinito ou seja que esse limite é um número real finito positivo Por que que ele é maior do que zero bom porque a sequência quando eu divido um número pelo anterior é sempre maior do que um porque a sequência crescente né Ela é a soma de duas coisas cada número é a soma dos dois anteriores Então esse vai ser maior do que o 5 Claro é o 5 mais o anterior então cada fn + 1 = fn + uma coisa então Ele

é maior então esses números são maiores do que um não poderia atender para zero certamente é maior do que um No Limite e não vai para infinito também porque o número da sequência por exemplo nunca é o dobro do anterior porque é o anterior mais uma coisa menor Então esse número aqui nunca vai ser o dobro desse então o fn + 1 nunca vai ser duas vezes o FM vai ser sempre menos porque é o anterior mais uma coisa que é menor Então esse L certamente está entre um e dois não só tá entre 0

infinito o l a gente consegue argumentar que tá entre um e dois mostrar que existe o limite já é um pouquinho mais Sutil mas depende de algumas propriedades da reta real mas se provando que está entre um e dois Se provar que é crescente aí uma coisa que tem a ver com o negócio que a gente chama que se chama do supremo é um probleminha de análise matemática que eu não vou fazer agora que não é tão tão difícil assim tá mas o que é mais legal é quanto que vale esse limite isso é surpreendente

o limite para ele entendendo infinito do fn mais um sobre o fn SL é o fi é a razão Áurea um mais raiz de 5 sobre 2 é a razão Áurea gente isso é muito interessante isso é muito legal muito bonito razão Áurea é uma coisa que tá lá também nos elementos de Euclides é uma das coisas que Euclides coloca no livro dele eu discutir razão Áurea num vídeo falando de história da arte história da matemática né conexão entre a arte matemática ideia de beleza aí essa sequência que aparece com uma brincadeirinha de uma de

um quebra-cabeças Lógico é um exercício de raciocínio com os coelhinhos o quociente tende para razão Áurea Olha que conexão mais estranha entre aqueles fatos geométricos que estão lá no livro elementos de Euclides e essa aritmética dessa regrinha que o Fibonacci criou e não é difícil de chegar essa conclusão Observe o seguinte eu vou colocar aqui fn mais um igual ao fn mais o fn -1 ao invés de começar no n + 2 Eu comecei no n + 1 então aqui ficou n a que ficou n - 1 um certo termo da sequência é a soma

dos dois anteriores o termo n + 1 é o n + 1 - 1 divide tudo por fn e agora olha o que acontece quando o n vai para infinito quando você manda o n e crescer Olha que coisa linda fn mais um sobre fn quando ele vai para o infinito é o tal do L que eu chamei de L aqui então aqui vai para L eu vou mostrar aqui da Razão Áurea não tô usando Que vou calcular e chegar à conclusão que dá razão bom E aqui é constante igual a um quando ele vai

para o Infinito dá um mesmo porque FM por fn é sempre um e aqui eu escrevi errado aqui n - 1 e sabe o que que vai aparecer aqui aqui não tá um termo dividido pelo anterior Aqui tá o anterior dividido pelo termo é o termo n e o anterior dividido por ele quando ele vai para infinito esse quociente é relacionado com esse aqui quando ele vai para infinito é um termo dividido pelo que vem antes Aqui é um termo dividido pelo que vem depois ou a mesma coisa o que vem antes tá em cima

e o que vem depois tá embaixo aqui que vem depois tem em cima o que vem antes está embaixo Aqui tá invertido que vem antes está em cima que vem depois tá embaixo quando ele vai para infinito isso aqui tem de para o mesmo limite só que invertido um sobre l e essa é a ligação entre a sequência de Fibonacci e a razão Áurea porque a hora que você resolve esta equação você cai na razão Áurea multiplica tudo por L fica L2 igual a l + 1 quando eu multiplico tudo por L fica L2 fica

l e aqui cancela fica um ou seja L2 - L - 1 = 0 é uma equação do segundo grau Delta é 5 - B ao quadrado B ao quadrado menos 1 ao quadrado que dá 1 - 4ac 5 então L é igual menos B1 mais ou menos raiz de Delta mais ou menos raiz de 5 sobre 2A que é 2 com o menos vai dar número negativo então não interessa então o l é a razão Áurea Fi 1 mais raiz de 5 sobre 2 Olha que genial e a essência de aparecer a razão Áurea

tá nessa história do ser a soma dos dois anteriores e que isso tem a ver com as aplicações em biologia e isso tá conectado também com aquela ideia de beleza que tava lá no Euclides é muito legal esse tema todo né por isso que eu vou explorar mais vezes para terminar o vídeo eu vou contar uma outra história que é real onde aparece a razão Áurea o Fibonacci inventou a história dos coelhinhos tem um lugar na natureza em que aparece a razão é muito engraçado isso que eu vou mostrar para vocês agora sem falar em

coelhinho as abelhas por exemplo as abelhas melíferas Elas têm as fêmeas e os machos com finalidades diferentes na Colmeia e é a rainha que decide que ovos que vão virar fêmeas e que ovos que vão virar machos e assim tem uma quantidade de ovos que estão todos com o ovo que veio da fêmea da rainha então tem lá a parte feminina todos os ovos tem uma mãe E aí a rainha inocula em alguns ovos O componente masculino que ela coletou dos machos e em outros não então nas abelhas melíferas algumas alguns ovos recebem o ovo

que veio da mãe e o esperma que veio do pai essa serão as fêmeas as que ficam só com o ovo da mãe e que a rainha não completa a fertilização viram os machos os trabalhadores e isso gera uma situação em que os machos só tem mãe porque eles não foram inoculados com a parte masculina na fertilização e as fêmeas tem pai e mãe então é muito divertido fazer a árvore genealógica de uma Abelha macho então tô falando de abelhas só que eu tô agora Olhando uma abelha que é um macho tá ela tá aqui

essa aqui é o macho Quem são os pais pai só tem um que é a mãe porque ela não recebeu aquela virou macho porque ela não recebeu o a parte masculina o esperma que a rainha não colocou quando a rainha coloca vira fêmea e a mãe bom a mãe é fêmea então a mãe tem tem dois eu vou escrever de outro jeito então tá aqui escrever assim aqui tá o mar e aqui eu vou colocando a mãe agora a mãe a mãe tem uma mãe e tem um pai porque essa aqui é fêmea isso aqui

recebeu os dois componentes Então aqui tem dois me confunde aqui no jeito de escrever fica melhor é fazer assim achei o que eu devia ter feito desde o começo o macho mãe mãe pai então aqui macho é um mãe um aqui tem dois e agora a mãe tem mãe e tem pai e o pai só tem mãe então aqui a árvore genealógica tem três e depois vai ter cinco mãe e mãe cada uma vai ter dois porque são femininas receber os dois agentes e esse pai só recebeu da mãe então agora esse aqui vai ter

dois bisavó o que que é que pai mãe avô bisavô trisavô vai ter dois um dois cinco e essa sequência é a sequência de Fibonacci E aí o exemplo é mais real e não é do coelhinho com essa engraçada e isso existe né na natureza bom é quase que uma curiosidade né para vocês bom eu vou ficar com esse vídeo por aqui espero ter apresentado para vocês a sequência de Fibonacci como que ela é bonita e interessante