Cálculo de limites de funções de duas variáveis (Tópico 5, parte 3)

[Música] [Música] então vamos só antes de ir pra coisas mais práticas só dá um exemplo de como é que acho delta porque o problema todo é encontrar o delta provar que o limite é ele é tarde um eps o arbitrário a chapa é o delta tá então eu vou pegar uma função simples um exemplo aqui é um fdp xy igual à x seja que é uma função muito simples né porque ela ela tem duas variáveis mas eu só tô olhando uma né eu tô dando uma para não me complicar muito peguei uma função bem simples

linha e eu vou provar por exemplo vamos provar pela definição é que o limite df de x e y quando x e y atende a um número qualquer vamos lá 1 pá 52 é quanto qual o palpite de vocês 5 né tudo bem esse é o palpite agora como é que prova a gente sabe que limite de fd x e y 5 quando x e y tende a 52 a gente sabe o que isso quer dizer isso quer dizer que qualquer preço não que eu pegar né é possível encontrar um delta tal que todo mundo

qualquer ponto que dá uma distância do ponto 5 2 então aqui 52 menor do que de alta e mark 0 há aqueles que se inscreveu tal que se aconteceu isso então a distância entre o fc x y e 15 é menor do que aquele épsilon dado é isso que eu preciso provar no caso aqui isso aqui é fazer isso aqui ó sim é um x menos 5 menor que é primo então eu tenho que resolver essa equação encontrar o delta é encontrar a região do plano em torno do ponto 52 que resolve essa equação agora

se eu fosse olhar essa equação e x menos 5 menor que épsilon isso aqui equivale a dizer que x menos cinco já entre - épsilon f1 né em somando 5 em tudo eu vou ter esse chip está entre 5 - épsilon e cinco mais apps se vocês olharem no plano onde estão os pontos x y que satisfazem a esta equação dos parecis xy que satisfazem essa função então aqui tem os 5 por exemplo aqui tem os 5 - as 15 mais épsilon isso seria no eixo mas eu tô com pontos do plano eu quero pares

de pontos os pares de pontos que tem o x assim onde eles estão eles estão numa faixa aqui não é estão nessa faixa qualquer ponto aqui eu tenho um ponto aqui de coordenadas sei lá um x e y aqui chita entre 5 - épsilon em 5 + epson aqui ou 5 - épsilon esse aqui os cinco mais épsilon se o ponto está nessa faixa aqui o x dele cai aqui não é isso então isso aqui se eu estou pensando no plano isso aqui não determina uma faixa de pontos agora eu não quero uma faixa né

eu queria uma bolinha uma bolinha em torno do ponto 52 vão marcar o ponto 52 aqui faz de conta que os 52 tá aqui ó que eu aqui o qual é a bolinha em torno dos 5 2 eu posso pegar que garante que esta equação vai estar satisfeito qual é o raio que eu pego ou qualquer número menor então eu pego o raio igual ao épsilon ou menor tanto faz então eu tomo um raio aqui delta q é igual é o menor é o menor do facebook então aí eu vou passar a limpo né isso

aqui foi um rascunho rascunho então agora vamos fazer sério então seja épsilon qualquer aí eu tenho que dizer que é possível encontrar eu encontrei né eu vou pegar o delta igual épsilon menor que acho que tá então eu tomo um delta positivo tal que o delta é menor ou igual ao edson bom e aí eu tenho que provar que todos os pontos que estão aqui dentro o f deles a distância entre o f desses pontos e 15 é menor que apps vamos provar que se a norma entre x y e 52 a distância entre esses

dois pontos foi menor do que esse delta e maior que zero então a distância entre o f do do ponto e o 5 é menor do que é preciso então essa parte tem que provar mas isso é fácil vamos ver ó c nova de x e y - 52 o que quer dizer isso aqui é menor que têm alta o delta eu falei que é menor ou igual a epson né agora essa distância que e raiz quadrada de x menos 5 ao quadrado mais y - 2 ao quadrado então eu estou pegando 11 pontos que

satisfazem a esta equação aqui já vou pormenor igual é menor que edson não é porque essa distância menor que téo tô aqui por sua vez menor o edno então é menor que é agora vocês concordam que se isto aqui é satisfeito ou aqui é uma soma de quadrados se a soma de dois números positivos e tira a raiz quadrada jádel menor que épsilon vocês concordam que isso implica que sem essa a sem essa parte vai ficar a raiz quadrada de x menos 5 ao quadrado da menor quieto porque se a soma já era menor se

jogar fora um pedaço fica melhor em tudo fica bom o dia da 0 aqui em sp mas daqui pra cá é verdadeira agora o que quer dizer isso isso aqui é o módulo isso é módulo de x - eu estar aqui e isso é o ft x y - o limite que é 5 então eu provei que se eu pegar uma bolinha com raio menor ou igual ao epson que foi dado todo ponto que está dentro dessa bolinha e o diferente desse destaque porque não me interessa no cálculo do limite não me interessa olhar para

o ponto né então se eu pegar assim eu consigo provar que o ft xy menos cinco essa distância menor que é bom mas isso é isso foi só um exemplo tá e eu só consegui fazer porque é uma função muito simples funções muito complicadas fica muito difícil de achar o tal do delta então pra isso a gente tem alguns teoremas que ajudam a evitar essa canseira então nós vamos ver alguns o primeiro então um teorema que eu tenho é fica uma função a deixa eu fazer antes uma observação antes de falar do termo é quando

a gente está no plano suponho que eu tenho um domínio é um domínio de que é o conjunto dos pontos x y e x é maior que 0 y é maior quiser então esse conjunto aqui seria esse primeiro quadrantes em sengés então seria pontilhado aqui eu posso calcular limite para um ponto que está aqui eu com certeza eu posso calcular limite para 1 x 0 y 0 dentro do domínio posso querer fazer isso se o quanto está dentro do domínio consigo calcular o f dele e conseguiu também calcula alimente-se um bom que está aqui eu

não consigo calcular o f dele mas eu posso querer saber sobre os outros pontos que estão próximos então seriam os pontos que estão aqui quanto da wef e agora se eu tiver um ponto aqui ou o bem assim ó bem pertinho aqui pra esse eu não consigo calcular limite porque eu não consigo chegar perto do ponto tá certo então aí a em ó quando a gente calcula limite df dxy praxes e y atendendo à x 0 10 esse ponto aqui ele tem que estar de uma certa forma encostadinho grudadinho no no domingo ele pode não

estar no domínio mas ele tem que estar bem encostado e como é que a gente torna essa idéia um pouco mais rigorosa o que é estar bem encostadinho como é que eu digo fio um ponto támbém encostadinho num conjunto de um bem encostado no conjunto de então a então aqui eu tenho um conjunto de e eu quero saber esse ponto ele está bem eu ver tudo isso ganhamos esse ponto ele não está dentro do poder mas ele está bem pertinho como é que eu formalize essa ideia bom é isso que eu quero dizer tem um

nome a esse ponto peak é chamado ponto de acumulação do conjunto de um ponto de acumulação do conjunto e que propriedade ele tem a a propriedade que ele tem aqui qualquer bola aberta centrada em p um raio maior do que zero sempre tem um ponto diferente do pp que está em deus pra todo pra todo raio então mesmo que eu pegue um raio bem pequenininho sempre tem um ponto de de dentro dessa bolinha e diferente do b é isso que quer dizer pontos de acumulação então esse ponto que aqui ele não é ponto de acumulação

porque umas eu pegar distância entre o ponto ea reta e dividir por dois eu consigo um raio que e dentro dessa bolinha não tem nenhum ponto de d então esse ponto aqui não é ponto lação então pra esse ponto não faz sentido qualquer limite então a gente só cálculo limite pra pontos que são pontos de acumulação do domínio só diz que chama a atenção porque isso você vê em geral nós hipóteses do teorema seja x 0 1 0 1 ponto de acumulação do domínio da f1 começa assim né e aí vem o teorema mas porque

que vem isso porque não tem sentido pegar é fazer limite para um ponto que está longe ele tem que está coladinho tá bom essa é a idéia então agora eu sei que vão falar do teorema e como eu disse vai começar com seja x 0 1 0 0 1 0 1 ponto de acumulação do domínio df o domínio de df tá e suponho eu posso por várias coisas aqui primeiro que o limite da ef de xy quando xy tende a x 0 10 l então aqui eu tô assumir que o limite existe e l e

aí eu ouço por outra coisa isso ponha gama é uma curva o parâmetro usado em uma gama gama dt igual à x dt y dt conter no intervalo e tal que o gama de t está dentro do domínio então que bom essa curva gama precisa de várias coisas aqui gama de te pertence ao domínio da efe qualquer que seja te as funções x e y não são contínuos em 30 aí eu posso porque gama de 30 é o ponto x 0 10 e que gana de ter não é x 0 10 para outros valores de

t então nessas condições quando eu só deixa eu fazer uma figura para ajudar um pouquinho aqui eu estou supondo que tem um intervalo e aqui que contempla zero e aqui tem uma curva gama que leva esses pontos aqui no plano xy determinando uma curva tá nessa curva até pode não nozinho lá longe mas neste ponto x érea y10 ela passa uma vez só e todo o traçado dessa curva lá dentro do domínio dele tá e aí tem uma função efe que pega todos esses pontos e leva no eixo 200 ac que eu desenho em separado

e este perto desse ponto se eu estou perto desse ponto limite df x e y quando xy se aproxima de 100 do valor da l tá então se eu ficar perto das se eu chegar perto aqui vai dar perto daquele lá é são essas hipóteses a qual é a conclusão é que então quando eu posso fazer é composta né eu posso pegar um ter aqui e calcular direto quem é f de gama de tempo tão f de gama de ter essa é uma função de uma variável variável te dão esse aqui eu posso fazer limite

quando têm de até 0 e esse limite também é qualquer que seja a curva a demonstração é claro que eu provar que um certo limite l a demonstração precisa de sejam épsilon qualquer tem que achar um delta a demonstração tem que tem que ir por aí eu vou só a mostrar como é que seria uma demonstração você vai pegar o intervalo aqui que vai de menos de l - apps whately mais epson como limite da efe quando eu estou perto desse ponto não é como limite l por hipótese então eu sei que aqui existe um

raio vinho delta talk pra todos os pontos diferentes de che 00 mas dentro desse raio zinho o f desses pontos cai lá dentro aí eu olho aqui ó é então aqui tem uma um intervalinho aqui que vai de x 0 - aquele delta taxa zero mas delta e tem um outro intervalinho aqui eu posso pensar bom pra esse delta q eu arranjei aqui como a função x é contínuo eu consigo também um intervalo delta um digamos tais que pra te próximo de zero e o próximo é uma distância menor que o delta 11 x de

tê la aqui dentro e aí eu consigo também por causa da continuidade da função y eu consigo um outro intervalinho aqui que leva todo mundo no y de ter também lá dentro aí você faz um pouco de contas para garantir que será bom se torna menor desses intervalos deltas menor desses dois deltas que eu falei e você consegue achar o intervalo aqui em torno do texto 0 tal que todo mundo que está aqui cai dentro da bolinha néné esse pedaço de curva que está dentro da bolinha e daqui você cai lá dentro então você conclui

que se o tt próximo de zero a composta está próxima de l é bom isso é uma demonstração né os detalhes se alguém tiver interessado depois a gente faz mas é que assim o que eu queria dizer que o teorema vai ser muito útil para a gente mas a demonstração deles precisa ir para o sexo no entanto a gente vai usar o teorema para evitar o sexo nos deltas mas em algum momento precisa usar pra poder demonstrar bom pra que esse teor e meio útil este teorema útil pra dizer que assim qualquer curva que eu

pegasse o limite existe em vale é lhe se o limite da função existe a ll qualquer curva passando por esse ponto o limite tem que dar a ele o limite da composta tem que dar a ele e ele vai ser útil quando a gente tiver uma função que quando você anda por um caminho o valor encontrado é 2 a esse ano por outro caminho e o valor encontrado é 5 e aí você fala bom então o limite não pode existir porque se existisse pelos dois caminhos quem é que dá o mesmo valor que o l

então este teorema é útil quando a gente quer mostrar quando é que um limite não existe vamos fazer uns exemplos vamos pegar essa aqui ó qualquer domínio dessa função xy diferente de 00 tá e adivinha aonde que eu quero com o limite df limite df de che justamente quando eu chego perto do único ponto não sei calcular efe quero colocar esse limite o que acontece quando chego perto do zero zero então é bom ea gente tem que desconfiar é como eu falei que aquele teorema ajuda a mostrar quando é que o limite não existe então

vamos tentar mostrar que esse limite não existe está lá qual seria uma um caminho pra dar um certo valor né bom vamos pensar assim quando os quando y é zero o que acontece quando y a 0 eu fico com x quadrado sobre x quadrado não é que dá 1 quando x 0 eu fico com - ensinou quadrados ou y quadrado que dá menos um então eu já descobriu dois caminhos é só andar pelos eixos então eu vou chamar de gamão de t é a função te 0 então aqui eu tô andando ao longo do eixo

dos xof1 composto com gamal de te dá um bom estoque efe dt 0 que é ter enquadrado sobre ter quadrado que dá um para todo te diferente de zero agora eu vou pegar de uma a dois o que é 0 t tá com as duas tratei vai ganhar né então é quando eu olho pra esta curva eu tô andando ao longo do eixo dos y e f de gama 2 de t é f 0 t que é zero - de cuadrado sobre 10 mais de quadrado que dá menos um pra todo ter diferente dizendo então

o que aconteceu aqui quando eu me aproxima do zero zero eu esqueci de falar mas gama gama onde zero é 100 então ela passa pelos 100 anos e essa aqui também gama 2 de zero é zero zero então eu tenho duas curvas quando eu vou me aproximando aqui ou pela direita ou pela esquerda eu me aproximo 100 dá um valor da um e quando eu venho por esta curva aqui e me aproxima de 100 o valor da efe é - o então limite quando eu me aproximo de 100 que eu compro não existe certo então

a conclusão aqui o limite df de x e y quando xy tende a zero zero não existe vocês viram que quando era cálculo que era função de uma variável bastava em pela direita e pela esquerda né eu tinha só esses dois caminhos agora a gente tem muitos caminhos que levam ao mesmo ponto [Música]