Alguns INFINITOS são MAIORES que outros

pense em algo grande Provavelmente você está pensando em Algum objeto físico pode ser uma estátua ou quem sabe uma montanha quem sabe planetas ou até mesmo galáxias mas esse nós quisermos pensar na maior coisa que existe Será que ela tem uma natureza física no sentido de existir mesmo no nosso universo essa é uma pergunta aberta Mas isso não quer dizer que a nossa jornada acaba por aqui Se quisermos pensar em coisas absurdamente enormes que não conseguimos nem imaginar nós vamos ter que usar uma ferramenta importante a matemática com a matemática nós podemos falar de coisas infinitamente grandes e esse é o tema do vídeo de hoje o Infinito ou melhor os infinitos conceito de infinito é interessante porque nós estamos falando dele o tempo todo de vez em quando nós imaginamos tempo infinito quando falamos do universo ou então dizemos que nós amamos alguém infinitamente ou quem sabe até simplesmente usamos o conceito de infinito para tudo aquilo que nós não conseguimos ir além com as nossas palavras que são bem limitadas nós usamos o infinito inteira mas você sabe o que é o infinito sem tem direito confortavelmente porque esse vídeo Vai fundo eu vou começar com o exercício de regressão para que qualquer coisa exista é preciso que alguma outra coisa tenha existido antes você existe porque os seus pais existem e eles existem porque os seus avós existem e os seus avós existem porque os seus bisavós existiram e É sim vai pulando algumas gerações nós podemos chegar a um ponto da sua linha genealógica onde quem gerou toda a sua família nem mesmo é da mesma espécie que você essa regressão é como uma cadeia de dependências em que sempre existe alguma coisa antes mas a questão é até onde é possível estender essa regressão tipo a gente pode infinitamente ou onde ela acaba Será que antes de qualquer coisa existir existir algo Eu sei que essa parece ser uma pergunta sem sentido mas só porque nós perdemos a noção do que existir significa eu falei que esse vídeo uma dentre muitas as possíveis interpretações de existir é simplesmente acabar com a noção de tempo nós vamos abandonar qualquer conceito como um antes e um depois nós vamos ficar apenas com o eterno presente uma constante usando essa interpretação o universo sempre existiu ele nunca foi ele nunca será ele apenas é mas se essa interpretação estiver errada então nós deveríamos buscar por uma espécie de fundo sabe um primeiro em um último momento aquilo que sustenta tudo que existe e aquilo que vai encerrar tudo que foi e isso é bastante problemático uma regressão desse nível é tão longa que ela Possivelmente chega a ser infinita E aí fica cada vez mais difícil de ver e entender como que as coisas estão relacionadas é assim que as pessoas se sentem assistindo Dark por exemplo por exemplo o nascimento dos seus pais parece ter impactado a sua vida muito mais do que o nascimento do planeta Terra apesar de ambos serem necessários para sua existência o elo entre esses dois fatos possuem diferentes e quanto mais distantes os fatos são mais fraco ela se torna a coisa fica ainda mais estranha caso esses elo se prolongue infinitamente nesse caso por mais que a gente procure o início de tudo é simplesmente impossível de encontrar isso vem da própria definição de infinito que aquilo que não acaba não tem o fim não tem o último elemento e esse é o problema da regressão infinita em que a resposta ou justificativa para um problema nunca É de fato alcançada mas só prolongamos ela infinitamente Pronto agora que você já sabe o que é uma regressão infinita eu posso perguntar o quão grande o infinito pode ser e não eu já adianto que infinito não é uma resposta para saber o quão grande alguma coisa é nós precisamos medir essa coisa mas como que nós podemos medir o infinito antes de responder isso eu gostaria de agradecer a lura por ter feito esse vídeo em parceria comigo é a maior escola online de Tecnologia do Brasil e nela você pode aprender desde programação até edição de vídeos como do ciência todo dia são mais de 1408 cursos para você aprender coisas novas e quem sabe até conseguir um upgrade na sua carreira uma posição melhor do mercado de trabalho e todos esses cursos estão disponíveis com apenas uma assinatura e a coisa só fica melhor porque eles foram legais e fizeram um desconto especial para quem usar o QR Code aparecer na tela ou o link na descrição a lura. tv/ciência TodoDia então não espere para aprender algo novo porque vocês não têm tempo infinito e falando em infinito como que nós podemos medir algo infinito mas usamos réguas ou trenas para medir os objetos do mundo termômetro para medir temperaturas contadores gaider para medir radiação e matemática para medir o infinito e assim como para medir 30 cm nós precisamos apenas ter bem definido que é 1 cm nós vamos começar a medir o infinito usando números Então o que são números Existem muitos tipos de números eles são usados por nós o tempo todo se eu quiser contar o número de pessoas nessa sala comigo eu vou dizer que são três pessoas aqui nessa sala 18 pessoal E essas pessoas constituem um conjunto o conjunto de pessoas que estão nessa sala comigo se eu quiser contar o número de rinocerontes nessa sala eu vou contar apenas um rinoceronte os números 3 e 1 representam o tamanho dos conjuntos três é o tamanho do conjunto de pessoas e um é o tamanho do conjunto de rinocerontes o tamanho dos conjuntos tem um nome especial que é cardinalidade três é a cardinalidade do conjunto de pessoas nessa sala essas coleções de objetos como pessoas ou rinocerontes podem ser vistas como conjuntos matemáticos e eles podem ser conjuntos vazios pequenos com um dois ou três elementos grandiosos Com milhões ou até bilhões ou até infinitos um exemplo de conjunto infinito é um dos números naturais 0 1 2 3 4 190 45. 8 bilhões e assim vai não existe um último número natural e essa propriedade de não ter um último número é uma forma de definir um conjunto infinito e são os números do conjunto dos naturais que nós usamos para contar as coisas do mundo o tanto de amigos que eu tenho zero a população mundial 8 bilhões nós estamos usando o conjunto dos números naturais para contar mas será que também existe um número que conte quantos números um conjunto tem eu falei que esse vídeo é fundo isso é um número com tamanho infinito capaz de contar indefinidamente nós vamos fazer um experimento para tentar medir o tamanho de todos os números naturais e tentar encontrar um número infinito assim imagine que você seja responsável por organizar uma festa dos números naturais e dos números pares para poder fazer as duplas de dança você pede para que esses dois grupos façam uma fila de um lado nós temos os números naturais 0 1 dois três quatro e cinco do outro nós temos os números pares 0246810 Então você junta o zero com o zero o um com o 2 o 2 como 4 o 3 com 6 o 4 com 8 e assim por diante a pergunta é você consegue fazer uma dupla com todos os números tenta responder aqui nos comentários É sério a gente volta em cinco quatro responde [Música] a resposta é que sim você consegue você talvez tenha respondido que o tamanho do conjunto dos Padres é menor já que intuitivamente ele parece ser metade do total mas o infinito não é intuitivo nesse caso os números pares são parte dos números naturais mas possuem o mesmo tamanho a mesma cardinalidade se eu conseguir juntar os dois grupos de números formando uma dupla com cada um deles então ninguém vai ficar sem dupla todos vão estar conectados em paz ou seja se eu consigo ligar todo e cada número de um conjunto a outro conjunto eu tenho uma correspondência um a um e nós chamamos isso de função injetora caso exista essa correspondência entre cada e todos os elementos entre dois conjuntos eu posso concluir que eles possuem o mesmo tamanho a mesma cardinalidade é isso que aconteceu na festa dos naturais e pais como ambos os grupos são infinitos não existe um último número que sobra todos estão conectados existe uma função que liga todo e cada número dos números naturais o número dos naturais pares de outra forma os infinitos números naturais conseguem contar os infinitos números pares ou seja o infinito natural é uma cardinalidade Ele conta algo e é por isso que esse infinito é um número infinito bem especial na matemática nós temos até um nome especial para o tamanho dele Alex zero Alef 0 é o tamanho de todos os conjuntos infinitos contáveis que possuem uma correspondência um a um com os naturais e é o menor infinito Que nós conhecemos Calma que eu ainda não cheguei na parte do vídeo que Alguns infinitos são maiores do que outros a gente mal começou esse é o paradoxo de Galileu quando se trata de infinitos nem sempre todo é maior do que as partes só que o Alef 0 é diferente de qualquer ideia de número finito que nós temos Se eu tentar adicionar um eu continuo tendo aula e fizeram como resultado da mesma forma Se eu tentar somar Alef 0 eu continuo com Alexânia as operações normais de soma subtração multiplicação e divisão deixam de valer por isso Precisamos de uma forma de diferenciar os números normais nós precisamos colocar ordem as coisas literalmente para saber o que vem antes e o que vem depois nós vamos ordenar os números usando ordinais ordinais indicam uma ordem de número qual vem antes e qual vem depois o primeiro o segundo o terceiro Mas vamos voltar para a festa dos números naturais Imagine que você esteja esperando sua vez na fila do banheiro e para passar o tempo você começa a contar o número de pessoas né fila se a fila for finita com o número finito de humanos ou números então a ordinalidade de todas as pessoas na fila vai ser igual a sua carinalidade ou seja se a última pessoa da fila estiver na vigésima quinta posição então o tamanho do conjunto de pessoas da fila também é 25 mas essa festa pode ficar um pouco estranha e a fila do banheiro pode ser infinita então por favor apertem os cintos porque nós agora vamos sair do território dos números finitos e por território dos números infinitos Existem muitos infinitos alguns maiores do que outros alguns mesmo tamanho Mas todos possuem uma ordem diferente para representar a ordinalidade desses conjuntos infinitos nós vamos usar a letra grega Ômega então o primeiro ordinal infinito é Ômega e corresponde a ordem do cardinal Alef 0 a diferença entre Ômega e Alef 0 é a seguinte Alef 0 representa a quantidades totais é como dizer que existem Alef 0 números naturais o Alef é um cardinal por mais estranho que isso soy já o ômega é um número que representa a ordem não existe um último número natural mas existe um primeiro número maior do que todos os números naturais que é o ômega assim como um é o primeiro número e 10 é o décimo número Ômega é o infinitésimo número e o que vem depois do infinitese no número exatamente infinitésimo primeiro número ou Ômega mais um depois no segundo número que é uma amiga mais dois e assim por diante agora pra parte estranha não faz sentido dizer biômega é menor do que Ômega mais um Eles apenas possuem ordens diferentes ou seja quando estamos falando de números infinitos infinitos diferentes podem ser do mesmo tamanho isso pode parecer absoluto mas faz todo sentido se você pensar mais um pouco o conjunto dos números pares é diferente do conjunto dos números ímpares Mas eles têm o mesmo tamanho Omega + 1 só vem depois de Ômega mas os dois têm o mesmo tamanho que é Alex zero Alef 0 representa o tamanho e Ômega representa a ordem é como se você estivesse numa fila com pessoas da mesma altura que você nenhuma delas é maior ou menor do que você mas vocês ocupam posições diferentes nessa fila nós podemos seguir contando infinitos Ômega mais um Ômega mais dois Ômega mais Ômega que é infinito vezes dois nós podemos ainda contar o ômega infinitas vezes ou ainda colocar o homem elevado ao homem mas todos esses infinitos ômegas diferentes possuem o tamanho a mesma cardinalidade que é justamente Alef 0 Ok mas então Se somar multiplicar e levar infinitos não é o suficiente para criar um infinito maior do que Alex zero como que a gente faz isso nós precisamos encontrar algo que não pode ser contado pelos infinitos números naturais que existem algo que não cabe dentro do infinito que é Alex zero e para isso Nós só precisamos provar que não existe uma correspondência um a um entre os elementos dos dois conjuntos Isso significa que um dos conjuntos vai ter pelo menos um elemento sem par e se você falasse isso para matemática no século 14 ele provavelmente ia bater em você pensar em infinito nessa época era meio que visto como besteira foi só no fim do século XIV com as matemáticas tiveram coragem de olhar para o infinito e falar nós vamos fazer contas com você e uma temática em especial fez isso melhor do que todos na época o nome dele era George Kant e ele nos deu a ferramenta para mostrar que existe sim algo maior do que o infinito dos números naturais ou seja existe algo maior do que os números naturais e esse é o conjunto dos números reais entre 0 e 1 números como um meio um quarto 0,7 0,12345679 e todos os números que são escritos como 0,00 E algum outro número atrás parem e pensem no que eu vou falar agora Porque é importante existem mais números entre 0 e 1 do que os infinitos números naturais e se você não acredita em mim eu vou mostrar isso usando que eu canto chamou de argumento da diagonalização a ideia dele foi colocar os números naturais e os números reais em correspondência E caso todos os números tenham pares Então os dois conjuntos devem ter o mesmo tamanho caso contrário o lado que fica com membro sobrando é maior faz sentido então tudo que nós precisamos fazer é colocar os dois conjuntos lado a lado e descobrir se o maior deles vai ser os naturais ou dos reais então nós vamos mostrar isso da seguinte forma Imagine que exista sim uma lista Entre todos os números naturais 1 2 3 4 e todos os números reais 0,1 11 0,11 e assim por diante isso quer dizer que para cada número natural existe um número real nós vamos montar uma lista ordenada de números reais por exemplo para o número um o número real é vamos supor 0,1 para o número 2 é 0,5 pro número 3 é 0,321 e para o número 31.

415 é um dividido por pi essa é uma lista de infinitos números reais que tem o mesmo tamanho dos números naturais Isso significa que existe um primeiro número natural e um segundo número natural e um terceiro e assim por diante agora nós precisamos mostrar que existe um número real entre 0 e 1 fora dessa lista então de um lado nós vamos colocar os números naturais e do outro nós vamos colocar um intervalo entre zero e um dos números reais em forma decimal a lista seria assim cada número natural corresponde a um número real qualquer entre zero por exemplo um está para 0,59,45 dois está para 0,07 e continuando isso todas as números reais estariam mapeado certo errado nós vamos construir um número que vai estar fora dessa lista infinita se nós conseguimos construir um número que seja diferente de todos os infinitos números da nossa lista então nós provamos que o intervalo de 0 a 1 é maior do que o conjunto dos naturais isso porque nós vamos encontrar um número que está fora da lista que compara os naturais e os reais nós estamos provando que mesmo essa lista sendo infinita sempre existe um número fora dela e nós vamos chamar esse número Extra de D e para construir de nós vamos fazer o seguinte para o primeiro dígito de D eu vou pegar o primeiro dígito da primeira linha e mudar ele por um que nesse caso é cinco que vira seis Agora dê é diferente do primeiro número da lista de reais para o segundo digito do segundo número nós vamos mudar ele também por eu nesse caso é sete e o dito viram oito no nosso número D Agora dê é diferente do segundo número da lista de reais se nós fizermos o mesmo pro terceiro número e o dígito mudando de 8 para 9 então agora dê diferente no terceiro número da lista no quarto do quarto número Mudamos o 9 para um zero e agora dê diferente desse quarto número também cada dígito de D é um dígito de um número diferente da lista mudado por um ou seja dê diferente de todos os números da nossa lista em pelo menos um dígito dê diferente do primeiro número da nossa tabela pelo menos no primeiro dígito diferente do segundo número pelo menos no segundo dígito diferente do quinto número pelo menos no quinto dígito diferente do número 15. 321 pelo dígito 15.