Conjuntos e Números

bom essas gravações se destino as pessoas que estão seguindo problemática nosso programa de mestrado profissional em ensino da matemática organizado pela sbm e que segue uma certa linha já tem determinada e um dos capítulos dessa linha bem determinada é o curso em que o primeiro dos primeiros cursos que é o curso de que se intitula conjuntos número de funções o qual segue a o conteúdo do livro a matemática do ensino médio volume 11 de autoria de minha paulo césar redor do vaga e e homologado então esse livro já está na 11ª edição então vou seguir

a trajetória do livro começando do começo e nessas aulas nessas gravações eu pretendo cobrir todo o conteúdo do livro com alguns comentários e observações eu quero primeiro me observar que assistir essas aulas e se essas gravações tem a vantagem de permitir evidentemente as pessoas estão assistindo voltar e eu virei a mesma coisa várias vezes até gravar porém não dispensa de maneira nenhuma leitura do livro porque nas gravações eu não vou é impossível por tudo que está contido no livro as observações dos comentários é de 7 não dá como não tem como por outro lado vamos

fazer alguns comentários que não estão no livro de um modo geral a sequência é a seqüência do livro embora eu não tenha declarado não é com uma fala um texto de um de uma peça de teatro da novela de televisão que a pessoa segue exatamente o que está no script vai ser mais ou menos a improvisado bom então o curso de conjuntos no menu números e funções objetiva tratar da matéria do primeiro ano de matemática do ensino médio esse primeiro ano de matemática do ensino médio é tem um conteúdo bastante razoável bem escolhido e procure

estabelecer as bases para poder desenvolver matemática dos usados nas aulas do 2º e 3º anos sente ensino médio então vamos começar com conjuntos inúmeros que eu pretendo falar inicialmente sobre isso conjunto de números bom a noção de conjunto é é a noção fundamental básica da matemática já há algum tempo e se algum tempo se refere mais ou menos ao início do século 19 que toda a matemática é formulada em termos da linguagem de conjunto às vezes a gente encontra nele assim expressões como a teoria dos conjuntos existe terrorismo com a gente existe uma teoria bonita

mas não é isso que se faz o que se faz no colégio é a linguagem dos conjuntos e linguagem extremamente conveniente porque ela permite tratamento dos assuntos da matemática de forma que seja precisa e geral porque precisam e generalidade são os atributos fundamentais dos tópicos da matemática então conjunto porque aqui é o conjunto um conjunto é formado fui elementos um conjunto a é formado por elementos se x é um elemento ea então escreve-se x pertence a esse símbolo significa que o x elemento do conjunto a então porque se utiliza de forma sistemática desde aquela época

portanto já há bastante tempo a noção de conjunto como sendo o elemento fundamental para a linguagem matemática eu falei disso é o efeito porque se quer dar aos conceitos matemáticos precisão e generalidade mas os conjuntos substituem substituir as propriedades e as condições o que quer dizer isso objetos tenham acesso à propriedade que se está estudando por exemplo está estudando ângulos então ângulos retos então o conjunto dos ângulos retos o elemento pertence àquele conjunto do ângulo reto então quando eu escrevo que x pertence a todos dizendo que x possui aquelas propriedades aqueles atributos que caracterizam todos

os elementos de a mesma coisa pra condições que meu é semelhante x conjunto a pode ser definido por meio de condições a condição para que o elemento pertence ao conjunto a é que ele seja um ângulo reto então essa é uma condição ou então eu escrevo assim a equação x 2 - 2 x mais um é igual a zero então se chama de ar o conjunto dos elementos na verdade esses elementos são números quando se inscreve uma equação está se inscrevendo uma condição é um conjunto a dos números se está a assistir dois menos dois

tiros mas não é igual a zero esse é o conjunto que os nossos livros escolares chamo o conjunto solução da equação da equação mas que os matemáticos e as pessoas que usam matemática mundial não chamo conjunto soluções às raízes da equação por acaso aqui nesse exemplo esse conjunto só tem um elemento que é o número um porque x 2 em 2 mais um é igual a zero significa que china - um ao quadrado é igual a zero mas o porquê este 2002 nós um quadro de che - 1 então isso significa que x - um

é igual a zero ou seja igual a esse conjunto tem um único elemento por aí nós já estamos vendo que uma condição uma propriedade um conceito pode definir um conjunto que tem um só elemento outro exemplo é o seguinte o conjunto todos os elementos tais que x 2 todos a conjunto o judo nos reais x tais que x 2 mais um é igual a zero esse é um conjunto interessante porque nenhum número real pode ser chamado conchichina zero porque todos no real elevada ao quadrado dá um número positivo 0 somado com um não pode nunca

ser igual a 0 somando com o seu número positivo 0 chamado bumbum maior do que o igual então esse a é o que se chama andava normalmente o conjunto vazio ainda dentro desse âmbito desses exemplos de equação de segundo grau você pode considerar o conjunto a o conjunto de nome reais chitas que x 2 nos três cinemas 2 igual a zero essa equação aqui chegando entre nós dois é igual a zero faturando x 2 - 3 x 2 a gente tem china - 1 - 2 e nós sabemos que o produto de 2000 só pode

ser zero se pelo menos um dos fatores é zero então isso aí dá o x igual a zero oxe perdão x igual a 1 o xv igual a 2 então os números reais tais que estes dois ministros em cimas 20 são os números 1 e 2 então a gente quer que a é o conjunto números 1 e 2 de um modo geral quando eu tenho a igual ao conjunto dos objetos x que cumprir a condição condição digamos ser uma condição por exemplo a condição de ser positivo de seu número positivo a condição de um de

um quadrilátero de ser um retângulo um programa são propriedade ou condições propriedade são cinco coisas o equivalente e tem se escreve assim por exemplo a igual ao conjunto dos inteiros o conjunto 2000 naturais maiores do que cinco então para representar isso normalmente nós usamos esse sinal aqui esse colchete peça-chave do x naturais que chama de em do conjunto naturais pelo conjunto naturais tais que x é maior do que o igual maior do 5º xii maior do que 5 1 é a mesma coisa que dizer que o conjunto dos nomes naturais mais do que 5 são

seis sete oito nove então esse é um sinal universalmente utilizado para indicar um conjunto são essas chaves no interior das quais escreve a condição que define os elementos do conjunto então se explicita 11 elementos do conjunto em geral explicitaram uns elementos do conjunto é uma coisa que não é sempre possível porque eu sei por exemplo que ver o conjunto do rio reais e não pode escrever uma um todo não mil reais não dá então essa é a nação geral de conjunto qual é a vantagem dizia inicialmente depois sair da conversa qual a vantagem de se

utilizar conjuntos em vez de propriedades o condições é que os conjuntos dispõe de uma augi bomba que as propriedades ou condições pode até ser expressas traduzindo essas as operações dessa obra pode ser adaptado para a propriedade de conselhos mas são meio desajeitados para conjunto essa algema fica muito mais simples muito mais objetivo que azar é algo que eu me refiro é o seguinte você pode operar com conjuntos foi a união de dois conjuntos intercessão de dois conjuntos a reunião de dois conjuntos é o conjunto dos elementos xista sx potenciar o xp que se há de

fazer um elemento pertença a esse conjunto a reunião em dois casos possível quando x potenciar ou quando x pertence à b quando você escreve x pertence à reunião de significa x pertence à ohl x pertence à d aqui cabe uma observação que é sempre interessante de fazer é que a palavra ou não é exclusiva às vezes a gente na linguagem comum utiliza a palavra ou de forma exclusiva no seguinte sentido eu quero ir pra estou aqui no inter quer ir pra cidade então eu posso o de táxi ou de ônibus então essa coisa essa alternativa

exclusivo que se eu for de táxi não posso de onde eu estou no táxi então se eu for de onde eu não tô indo de táxi mas a de matemática ou não é exclusivo que viu baixa que mandar duas coisas seja verdadeira tem uma piada uma pedra como toda piada matemática é meio sem graça mas é uma piada de de matemática e história de um médico obstetra que acaba de fazer um parto bem sucedido e sai da sala de parto e o pai da criança está esperando o doutor foi um menino e uma menina aí

o médico responde foi lá embora porque o médico sabia um pouco de matemática então amigo que nasceu foi o menino ou menina não pode pode ter sido outra coisa então foi menino ou menina não foi um cavalo foi um cachorro um gato uma menina então é isso aí é é exibir a natureza do ouro e mais demais você pode escrever que esse sim x é maior do que 4 o x1 é menor do que 8 então isso aqui a condição x maior do que 4 significa o conjunto dos naturais por exemplo vai apresentar sempre por

n assim o conjunto em atuais ou seja 12 347 ac time x é maior do que 4 cv o conjunto de 15 6 789 esse conjunto que x menor que 8 o conjunto no cedro naturais 7 6 5 4 3 2 e 1 então quando eu de bichinhos é maior do que 4 x 98 dizendo que x pertence a um desses dois conjuntos se x pertence a um desses dois conjuntos então não é a união sou chamado de de ar o conjunto de todos os naturais tais que x é maior do que quadro e de

conjunto de todos os naturais tais que x é menor do que 8 então o que eu estou dizendo aí é que a reunião de um conjunto de todos os naturais que são ou maior do que 4 ou menores do que oito todo o número natural está ok ok então essa reunião de arte com b é o conjunto de todos os níveis naturais porque se você olhar para esse dois conjuntos e ver que ele inclui todos os números naturais 12345678 sendo que entre eles aparecem uns que são os 7 6 e 15 estão no conjunto a

e estão também no conjunto b então a intenção b o conjunto dos número 556 exceto bom então tá a indicada como é que se considera conjuntos por meio de um conjunto de propriedades e por meio de condições e exibia que o exemplo de um conjunto que só tem um único elemento chamado conjunto unitário e também o exemplo de um conjunto que não contém elementos nenhum conjunto vazio o conjunto vazio ele não deve ser objeto de muita especulação não mas é bom ter em mente o seguinte ele é introduzido a fim de evitar as sessões começar

a fazer ele fica muito complicado enunciado se você não admitir o conjunto vazio então se admite poderem dizer significa simplesmente que é um conjunto que não tem elementos ou seja conjunto vazio ele pode ser definido por qualquer propriedade contraditória por exemplo é o conjunto de todos os x tais que x é diferente de x nenhum objeto pode ser diferente de si mesmo então seu conjunto vazio qualquer propriedade contraditória definir o conjunto vai ser uma coisa peculiar antes disso eu falar sobre o conjunto militar disse uma palavra quando você tem um conjunto unitário são ditos o

único elemento então você pode dizer que a pertence à mas não pode dizer que o conjunto a pertence à não é isso aqui é um elemento isso aqui o correto qual é relações desse conjunto e se ele é igual mas não pertence a uma relação já venci andei rapidamente a nação de reunião e interceção essa nação de reunião intercessão é como eu disse são uma coisa extremamente útil porque ela permite permite tratar algebricamente alternativo x pertence ao xp tendência b enquanto que a intercessão de ar com b o conjunto de todos os objectos x paec

x pertence a um e xp tem saber então com essas duas noções a gente pode efetuar essas operações a reunião em intercessão suas operações são operações que são obviamente associativos quer dizer se reuniar com de depois vai ser a mesma coisa que reúne b conselho depois de uma reunião com a secular província ambos os ambos os conjuntos eles representam os mesmos elementos eles contém menos elementos onze anos que estão ou em a ou b ou c qualquer dessas três possibilidades permite que o elemento pertence a esse conjunto a intercessão também essa propriedade outra coisa é

propriedade distributiva você se você imaginar como antigamente nos primórdios da teoria dos conjuntos quando eles começaram a falar em conjunto se estabelecer os primeiros fatos a respeito dos conjuntos anotação não era essa em vez de ar reunido com de que com esse símbolo era usado esse símbolo aqui em vez de a então essa saber se eu desse símbolo é exato de cima de multiplicação então a reunião era como se fosse uma soma ea multiplicação ea intenção é como se fosse uma duplicação então aqui por exemplo seria uma soma x um objeto é igual a distributividade

a intervenção se multiplica por cada parcela o curioso é que tá conjuntos vale que cada uma dessas operações e distributivo em relação ao outro diferente de números por exemplo as multiplicação e distributivo em relação à soma mas a soma não é distributivo em relação à multiplicação mas aqui não se você tomar a intercessão dele reunião c é igual a reunião c intercessão de janeiro se a verificar esses fatos se você quiser verificar isso tentei quando se quer provar que dois conjuntos são iguais você tem que provar que cada elemento de um eles têm um deles

é dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos elementos então cada elemento de um elemento do outro e cada elemento do outro elemento do isso requer para ser visto com mais cuidado a nação de inclusão entre conjuntos a conteúdo e b significa que tudo o elemento já é também elemento bebê isso resumidamente de uma linguagem concisa que a gente usa principalmente no quadro negro e suas gentes prima é assim que se x pertence à então pelo fato de schipper pertence à abba em resumo a que ele pertence também à dele então escreve assim x pertence

à implica que x pertença de indiciar contínuo ea relação de inclusão a quantidade b significa que todo elemento de a é também elemento de bebê então se x pertence à então xp perceber isso em termos de proposição condição a gente usa assim a proposição que implica na proposição que é é a tradução lógica para a inclusão matemática de conjuntos pública que significa que se a proposição perfil verdadeira que também é então isso é implicação lógica isso corresponde a dizer que todo elemento se você tem o conjunto dos elementos que cumpre a condição p&d o conjunto

zé neves que cumpre a condição que significa que a está contido em b então todas essas noções básicas de lógica como implica em piqué consequência dia de sete são podem ser traduzidas em termos de conjunto e o conjunto então a noção de conjunto com essas propriedades substitui a nossa lógica de implicação então a inclusão de conjuntos temas aspectos bastante naturais e que são utilizados a toda hora a gente precisa de estabelecer com cuidado e insistir nesses pontos parecem pontos extremamente abstratos e relevantes mas eles permite que a gente utiliza uma linguagem precisa e geral isso

é que é fundamental então durante algum tempo a gente está falando aqui generalidade mas logo logo a gente tenta na matemática porque realmente matemática se ocupa de duas coisas matemática pode se dizer que é uma ciência que se aplica se a culpa basicamente de dois objetos que são números e figuras ou mas geralmente se quiser falar de números de espaço espaço onde estão contidas as figuras a ação de inclusão é a noção de inclusão é é a nossa relação e reflexiva simétrica ou antes inmetro e transmiti-lo reflexiva significa todo o conjunto k conteúdo em si

mesmo céu a coisa mais evidente se x pertence à então x pertence à antes cinética se a estar contido e b e ao mesmo tempo b também está contente em ganhar então e significa o quê que todo elemento de a pertença b e todo elemento db pertence à então a e b têm os mesmos elementos entoação iguais a e b são iguais isso é uma relação de simétrica e a relação é transitivo se a está contida em b e d está contido em ser então a está contida em ser aqui convém uma observação professor não

cometa o erro de gramatical de dizer que descrevessem se a conti de b&b vencer então a vencer esse símbolo aqui dispensa o uso dos e que não significa então não significa implica então é isso aqui ficou a frases sem sentido que se está contida em lei bem acontecer implica a convencer fica incompleta se se isso é verdade então tá faltando então por que todas se fosse eu tenho que botar o então depois para dizer isso aqui é uma hipótese e depois que o que vem depois e então é a conclusão então isso está errado não

quando você escreve isso não precisa botar esse símbolo desse símbolo não significa então esse símbolo significa implica ou acarreta ou têm como consequência isso implica acarreta tem como consequência o é condição suficiente para por que então essas propriedades aqui traduzidas em ter lógica significa toda a proposição implica nela própria claro se apliquem baby implicar então as duas proposições são equivalentes você tem uma produção p implica que nunca princípio aplica aqui se posso eu posso até mudar se publica aqui e que implica r e que implica é então que implica é agora isso aqui dá certo

se p explica que quem clica então tem pública é essa transitividade agora se eu quiser ousar só símbolo sem palavras é tão implica que e quem ficar em r implica que essas duas implicações em que tem como conseqüência a outra implicação bom p implica que por exemplo todo todo retângulo todo quadrado é um retângulo então se p significa a propriedade de uma figura ser enquadrado e que significa propriedade de ser retângulo então tempo aqui porque tudo quadrado é um retângulo tá mas não é verdade que todo retângulo seja quadrado nesse caso quando você tem uma

proposição tem pública quer que implica que quem pratica pp rs por cá a recíproca de uma proposição pode ser falsa como nós acabamos de um exemplo todo num todo mundo / 4 divisível por 4 é um quadrado mas nem eu o perdão é para todo mundo dizer por 4 é pá mas nem todo o número para dirigir por quatro então a propriedade de um número se dividiu o quatro é uma propriedade ip e propriedade sipá é o propriedade de que então todo mundo / 4 é pá mas não é verdade que todo mundo todo o

número passa diesel por 46 é um exemplo disso então quando vale uma propriedade quando valeu a implicação e vale também é recíproca se você tem que perder se pay per click aqui e que implica então escreve s p é equivalente à que tem que definir o mesmo conjunto conjunto dos elementos que cumpre a propriedade t que cumpria condição ter que satisfazem a propriedade que p é o mesmo conjunto dos elementos centrais da propriedade que nesse caso a gente escreve se p explica a equipe pm que implica que a gente se querem que pequim que são

afirmações equivalentes isso é extremamente importante segmento e com toda clareza significa de si e que então esquece equivalente e disse que pequim e valente que significa que o conjunto dos objetos que cumpre a condição p é o mesmo conjunto dos objetos que cumpre acontecendo que tem uma coisa que que me deixe um pouco irritado e ligeiramente a pessoa falar que satisfaz uma propriedade o objeto não satisfaz uma propriedade em propriedade é um atributo é uma qualidade a pessoa tem ou não tem aquela propriedade satisfaz uma condição nenhuma coisa que dizer com propriedade não cumpre uma

condição não precisa usar as palavras adequadas então isso aqui é equivalente a lógica ele descansa condição necessária insuficiente cantei é condição necessária e suficiente para que a condição necessária e suficiente para que um pólo nome sendo lhe para todos os valores de x é que eles tenham todos os seus coeficientes iguais a zero condição necessária e suficiente agora se for p implica que somente a gente disse que o pp que é condição necessária para que para que o terceiro é verdade é necessário que se que seja porque p explica que e epi ao mesmo tempo

se diz que o pp é condição suficiente aqui eu tenho um colega que já faleceu foi nosso altura aqui o morgado que ele fez sobressair na sua longa experiência como professor de ensino médio ele observou o seguinte que os alunos têm uma certa facilidade para entender o que significa condição suficiente mas que quando chega e fala em condição necessária eles ficam titubeando em geral a observação prática que ele fez à minha tentativa de explicação para isso é que quando são suficientes é uma coisa mais foto que é necessário é necessária para que um quadrilátero seja

um quadrado é necessário que ele tem uns quatro anos no reto mas não é suficiente ele além de ter o andré tem que ter tem que ter também os quatro lados iguais então sul necessária é mais fraco do que suficiente então por isso que as pessoas têm mais facilidade de entender necessário do que suficiente bom então nós estamos falando aqui sobre o conjunto estabelecendo essa relação que existe entre as noções básicas de conjunto e as noções básicas de lógica e eu quero dizer uma palavra a respeito dessa desse mito que prevaleceu durante a época de

ouro da banda chamada matemática moderna que grassa já passou foi reduzido as suas devidas proporções é que havia uma crença de que você estudar matemática é preciso saber lógica matemática não é preciso na soja a matemática é um assunto interessantíssimo tem problema difícil fundamentais mas não não é uma coisa necessária para matemática aqui no rio por exemplo não sei se eu tenho dois colegas que sabe alguma coisa lógica e matemática o que precisa de lógica matemática para aprender as coisas essenciais e matemática essa coisa que esteja tudo substituído por um conjunto pronto para a posição

eo conjunto 07 para aquela posição a ação é o conjunto com judeh inclusão de conjuntos e assim por diante bom uma coisa interessante nossa básica de lógica é a negação de uma proposição isso dá origem a erros e vamos falar um pouco sobre isso começamos com a contrapartida dessa nação de negação de uma proposição a contrapartida em termos de conjunto não seria o conjunto complementar o complemento eu tenho um conjunto a pra falar no complementar de ar o complemento ea eu preciso me referir a um certo conjunto bem grande que é chamado o conjunto universo

o universo do discurso que é a seguinte é que o é esse conjunto bem grande que é o conjunto de fé definir o contexto da nossa discussão se eu tô falando de geometria plana o conjunto universo é o conjunto dos pontos do plano seja o plano euclidiano se eu estou falando de etienne análise real o meu conjunto universo é o conjunto dos mil reais então conjunto universo eu é o assunto da discussão em pauta então você tem um conjunto universo é o assunto em pauta só se fala todos os elementos pertencem a oito é esse

não é que não exista outro elemento mas nossa conversa vai então disse eu estou falando de de voleibol está falando de futebol então vamos falar sobre futebol o conjunto universo ou então seja um subconjunto de um todo o conjunto que eu vou considerar todos são considerados em um subconjunto de todos os objetos são objetos do conjunto então o complementar o conjunto complementar e ao conjunto de todos os elementos de um táxi que ele não não ele não estão em a às vezes escreve também que vende a 6 caiu o outro - ah mas nós não

vamos usar esse símbolo não é às vezes é bom usar também o seu complementar então se a é definido por meio de uma propriedade perca josé - de ação aqueles elementos de um tempo a perder por exemplo há algum conjunto dos números que não são primos ou seja que seu conjunto josé dos números que pode ser expresso um produto de dois fatores então o complemento de hael conjunto dos números primos aqueles conjuntos que não pode ser expresso como conjunto um produto de dois fatores exceto se um desses fatores é igual então só é a seguinte

um soco do nosso universo agora para ser o conjunto dos naturais sobre os quais não falar daqui a pouco vão fazer de conta que a gente já sabe alguma coisa quando estiver falando do meu filho agora os professores do colégio quando vocês estiverem falando sobre o conjunto se quiserem dar o exemplo não dá exemplo de fora da matemática de dezembro dentro da matemática isso é uma coisa que tem várias vantagens primeiro lugar você é estimular os alunos a pensar em usar a linguagem correta quando estiverem fazendo a temática em segundo lugar e isso é faz

com que você reveja as situações matemática de forma digamos assim de maneira informal falar naquele com aqueles objetos sem mesmo sem ter definido por exemplo ainda não falei números naturais nessa coisa é lógico que vem depois mas eu estou falando desse exemplo aqui então seja a o conjunto dos números primos o número atual é primo quando ele não pode ser inscrito um produto de dois fatores nenhum dos quais é igual a 1 ou seja não pode ser descrito como um produto de dois números ambos menores do que ele dois números naturais então complementar de a

o conjunto dos muros do conjunto dos números que não são um primo são múltiplos seu nome se pode um elemento pertenceu complementaria quando ele pode ser inscrito como produto de dois nomes que onde m é maior do que um ip que é um então esse é um número muito eu pode ser escrito com um produto e dois números que são ambos maior do que 10 complementar de a om a noção de complementar corresponde em termos lógicos em termos de proposição em termos de afirmação em termos de condição a negação por exemplo a negação do da

afirmação por exemplo definiu conjunto ao ew partir da afirmação de que o número é primo complementar de ao conjunto saber dos objetos que nega essas propriedades e tempo não é prêmio significa de x qn pertenceu complementar de ar se e somente se ele é igual a mp dm é diferente é menor do que o ipê também é menor dp é a mesma coisa de dizer que mal deu ontem um menor e menor do que o próprio cada um deles é menor do que o produto que tal essa é a noção de complementar que corresponde a

negação estado passando da linguagem de conjunto com a linguagem de proposições o condições complementar ea negação e aí com ocorre freqüentemente principalmente de nossos alunos alguns erros de concepção pessoa que entende que negação é a mesma coisa que tomar o pulso por a negação de uma pessoa ser baixinha a negação da pessoas e batina não é alta negação de preto não é branco a negação de branco não é preto preto é o oposto de branco mas não é a negação da negação de preto é qualquer coisa que não seja a tv vermelho verde azul isso

aqui é a negação de preto pode ser qualquer lepra cor - preto então negação da negação às vezes a negação e o porto são iguais mas às vezes não por exemplo negação de para o número inteiro que não é pá é porque limpa então isso aí não pode ser para empatar ao mesmo tempo então o complementar representa a negação da afirmação de que o elemento pertence à então os elementos que não pertence à então por causa própria definição de complementar a gente tem algumas propriedades como por exemplo que o complementar de a intercessão com a

ro e vazio isso é que o objeto não pode ser ao mesmo tempo pertencerá e não pertence a nenhuma das duas coisas é verdade outra verdade é que nem eu complementar de ar reunido com a vai dar todo o conjunto todo o universo que um objeto e hoje está em ao não está se está etapa complementar se não está se está em assim não está entrando complementar a outra propriedade é que se a da conti db então o complementar de bebê está com tino complementar de ar na verdade vale também que se se o complemento

da dita continua complementar de a então atacante do bebê porque o complementar do complementar de ar é igual a essas propriedades que regem o complementa além das quais existem mais o duas que são chamada lei de modo algum motivo chamada lei de móvel augustus de moda no campeonato inglês viveu 200 anos atrás a lei de marcas é o seguinte se você tem dois conjuntos ahb complementar da reunião de ar com b é complementar de arte intervenção complementar de um objeto não está nem estará na reunião seguinte que não está em área e ele não está

em dele se ele não está em a ele está indo complementar ideais ele não tem como não gostar também de lista complementar de ver e aqui também quer dizer complementar da reunião é intercessão e complementar a intenção é reunião essas propriedades formais das operações e em suas relações com a lógica ficam bastante claras se a gente usar o chamado diagrama de veneno um recurso recurso didático muito interessante tanto em três conjuntos saber sertão nessa situação se quiser verificar por exemplo se á reunido com um bebê intercessão c é igual a intenção c b eu olho

pra quê ainda a reunião de intercessão c a reunião de isso aqui seu a reunião de agora a reunião de intercessão c é a parte de a reunião de que está também sei que esse pedaço aqui essa parte aqui tem a reunião mas não está em sexto aqui tem a reunião de então esse aqui o que é isso aqui isso aqui é a interseção c reunido com bento a sessão ser porque essa parte aqui é a antecipação c e essa parte aqui é b não ser tão tem essa parte em comum aqui muita importância então

a gente verifica a realidade aqui de modo geral é sempre interessante a desenhar desse auxílio intuitivo pra perceber significa se eu quiser provar os seus a de grama eu vou ter que mexer com os conectivos ou ii e aqui ou aqui e isso aqui representa uma lei de utilização a regra para a utilização desse conectivos que uma lei de que às vezes fica meio complicado a melhor maneira é você escrever sob forma de conjunto e é isso que tira a conclusão muito bem aqui no livro esse capítulo que o capital inicial sobre o conjunto está

recheado de recomendações e observações de natureza digamos assim metodológica para os professores não faça isso não faça aquilo que se ganha essa direção foi bom em seguida o capítulo que se segue é esse capítulo 2 do livro se refere a números naturais o capítulo está encerrado