A História do Cálculo - Parte 1 | Uma Não Tão Breve História do Espaço

o episódio anterior demos uma breve indicação de como os números reais podem ser colocados no espaço e no tempo agora veremos como usá-los para descrever a dinâmica no mundo e esse episódio será um mergulho na história do cálculo diferencial uma das Ferramentas matemáticas mais poderosas já descobertas para a investigação da natureza e o cálculo diferencial como entendido hoje é um assunto um pouco técnico por isso parece adequado apresentado da maneira como se desenvolveu historicamente Afinal a história fornece a razão o sentido e o porquê das coisas serem como são e no final do período grego

os matemáticos estavam interessados no estudo de curvas geométricas mais Gerais que reta e circunferências e elipses curvas que surgem como lugares geométricos de ponto e sujeitos a determinadas condições por exemplo a parábola pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a uma reta fixa r e a um ponto fixo f são iguais Outro exemplo é a conchoide de Nicomedes que pode ser construído através de um aparato mecânico dois tipos importantes de problemas referentes a curvas geométricas foram estudados na antiguidade no primeiro dado um ponto sobre a curva busca-se encontrar a reta tangente

a ela nesse ponto no segundo dado uma curva o várias delimitando uma região no plano deseja-se calcular a área dessa região a Arquimedes e Apolônio foram matemáticos que se destacaram no estudo desses problemas o que eles infelizmente não tiveram condições de saber a que esses problemas estão intimamente relacionados entre si as dificuldades para perceber a relação entre os dois problemas eram muitas os gregos não conheciam números negativos Não dispunham de boa notação matemática não haviam descoberto o plano cartesiano que naturalmente resulta na geometria analítica embora o brilhante a colônia tenha chegado muito próximo disso e

o mundo grego ruiu e no decorrer dos séculos o espírito curioso grego sobreviveu no mundo Bizantino e árabe que preservaram e desenvolveram parte do conhecimento acumulado na antiguidade eles introduziram na matemática notação numérica indo-arábica os números negativos desenvolveram a álgebra como disciplina independente da geometria desenvolveram a trigonometria astronomia e etc à medida que idade média se encaminhava para o final muitos textos antigos se tornaram conhecidos pelos europeus ocidentais esses fatos históricos possibilitaram um renascimento cultural que também foi um renascimento da pesquisa em matemática seguindo de ônibus gregos antigos os bizantinos e os árabes Pararam o

esforço para reconstruir a sofisticada obra de Apolônio por exemplo levou à descoberta de novas curvas geométricas do plano cartesiano e da geometria analítica por René Descartes e Pierre de e hoje o mestre analítica tornou-se possível estudar os problemas geométricos através da álgebra fixamos um ponto no plano geométrico escolhemos dois seguimentos de mesmo comprimento comunidade e traçamos duas retas perpendiculares pelo ponto fixado em seguida tomamos como sentido Positivo na horizontal é aquele que vai dar origem para a direita e chamamos essa reta de eixo das abscissas na reta vertical o sentido positivo é aquele que vai

dar origem para cima e a essa reta damos o nome de eixo das ordenadas e aqui no primeiro momento não se fala em liberdade de escolha porque estamos Considerando o plano cartesiano como um objeto matemático análogo a reta real ele é pensado como Universal mais adiante falaremos como plano cartesiano se relacionam comprando geométrico no sentido que vimos o episódio 10 Enfim no plano cartesiano pares de números reais tem correspondência um-para-um com os pontos sobre o plano com essa construção a geometria ganha uma nova e poderosa linguagem a linguagem da álgebra por exemplo o teorema de

Pitágoras nos permite dizer o que é uma circunferência de raio unitário tendo como centro a origem do plano cartesiano cada ponto na circunferência gera um triângulo retângulo com hipotenusa unitário então a circunferência é dada pela equação x ao quadrado mais y ao quadrado = uma é uma reta qualquer no plano cartesiano assumir a forma da equação x + y + c = 0 a reta 3 x + 2Y - 6 = 0 é a reta que passa pelos pontos zero e três e 20 e essa importante descoberta somada as tentativas de resolução dos problemas da

antiguidade excitados levaram ao renascimento dos infinitesimais na matemática no propósito agora mostrar como a geometria analítica aliada a noção de infinitesimais torna-se uma ferramenta poderosa vamos analisar nesse Episódio apenas o problema da Inteligência da reta sobre a curva e ver algumas aplicações para isso a utilizaremos notação moderna Por uma questão de maior clareza e vamos usar a letra i de Para representar as quantidades infinitas de mais que apareceram o método de enfermar Primeiro vou apresentar um método desenvolvido por Pierre de fermat para encontrar a tangente a uma curva e um determinado o ponto P o

método consiste em encontrar o ponto de interseção da reta tangente com eixo X ou eixo das abscissas esse ponto junto com a projeção do ponto P sobre o eixo X fornece um número a que firmar chama de subgerente relativa ao ponto P para encontrar esse número ele percebe que a reta tangente é como um caso limite de uma sequência de retas secantes a curva analisada e acerta secantes tem dois pontos de interseção com a curva analisada a medida que a sequência de retas secantes vai se aproximando da reta tangente esses dois pontos vão-se aproximando até

se fundir em um único. O ponto P e é aqui que os infinitos mais tornam-se importantes o que uso deles nos permite trabalhar intuitivamente com a aproximação da reta tangente por retas secantes na verdade Nós pensamos no final do raciocínio que a quantidade de infinitesimal é tão pequena quanto se queira a ideia de firmar e considerar que o ponto diferente DP na reta secante e vou chamar de pontos e Kant está infinitesimalmente próximo do ponto P nessas condições a primeira coisa que desejamos saber qual a coordenada do ponto secante em relação à quantidade infinitesimal e

as coordenadas de p e para descobrir desenhamos uma curva genérica no plano cartesiano e analisamos a geometria da situação aqui tomamos a quantidade de infinitesimal de maneira exagerada para facilitar a visualização podemos usar o bom e velho o teorema de Tales no sentido de semelhança entre triângulos para encontrar as coordenadas do ponto secante notamos que o ponto secante tem coordenadas x + y + z agora por semelhança entre triângulos podemos descobrir quanto vale de percebemos que Y está para a assim como de estar para ir isso implica aqui de = y quer dizer sobre ar

portanto. Secante terá coordenadas x + z y + y z sobre ar e note que o ponto secante está sobre a curva de maneira genérica pode ser representada como f de x y = 0 assim pode encontrar a reta tangente gosta substituir a coordenada do ponto secante na equação da curva rearranjando os termos igualaria zero e por fim isolar o valor lá na equação resultante e nos permite achar o ponto de interseção da reta tangente ao eixo X esse ponto será dado por x - a e vamos ver como é simples por exemplo aplicar essa

técnica para a circunferência de raio 1 centrada na origem Suponha que queiramos encontrar a reta tangente ao ponto raiz de 2 sobre 2 raiz de 2 sobre 2 o qual facilmente se vê que pertence a circunferência substituindo o ponto x + y + y e z sobre a na equação da circunferência temos expandindo essa expressão obtemos o seguinte usando a equação da circunferência podemos eliminar um em seguida Podemos dividir tudo por e e depois podemos regular e zero um ursinho isolamos a a equação resultante assim ah ah será igual a menos y ao quadrado sobre

X e agora que sabemos a expressão para lá podemos substituir o ponto raiz de 2 sobre 2 raiz de 2 sobre 2 Na expressão logo para esse ponto A A será menos raiz de 2 sobre 2 daí concluímos que o ponto de interseção da reta tangente a circunferência sobre o ponto raiz de 2 sobre 2 raiz de 2 sobre 2 com eixo X é a raiz de 20 E para finalizar vejamos Como obter a equação da reta tangente a uma vez que dados: existe uma única reta passando por eles podemos encontrar a equação da reta

passando pelos pontos considerados como a equação da reta deve ser da forma a x + y + c = 0 devemos encontrar os valores de A B e C que satisfazem as condições massa substituir os pontos considerados na equação geral e resolver o sistema de equações resultante e esse sistema de equações é facilmente resolvido isolando-os e na equação de baixo e substituindo na equação de cima uma rápida inspeção nos leva a concluir que a = 1 B = 11 e c = - site de 2 é a solução para o problema E assim a equação

da reta tangente e será portanto x + y - raiz de 2 = 0 e este é o poder da geometria analítica aliada a noção de infinitesimais é com esse tipo de técnica os infinitésima é se popularizaram na Europa Foi então que a Isaac barrow mentor de Isaac Newton inventou uma outra forma de encontrar a reta tangente mas já que Berry considerou o mesmo tipo de figura que firmar e raciocinou de maneira análoga e ele tomou uma curva genérica sobre o plano cartesiano e investigou a reta tangente a essa curva no ponto P ele forçou

a aplicação da semelhança entre os triângulos PTM e pt br embora o ponto que esteja sobre a curva e consequentemente os dois triângulos não sejam exatamente semelhantes e como lá do QR tem tamanho infinitesimal ele considerou que isso fornece uma boa aproximação assim dizer Isaac barrow RP está para QR assim como o MP está para termo ou seja de sobre e é igual a mp sobre termino isso é muito parecido com que enfermagem havia feito aplicando o método de Isaac Bell para um ponto P na circunferência obtemos o seguinte expandindo os termos usando a equação

da circunferência descartando os termos infinitesimais ao quadrado que são relevantes por serem muito pequenos chegamos a de sobre igual a menos x sobre y dessa forma também é possível obter a equação da reta tangente então entraram em cena Isaac Newton E gottfried leibniz eles se concentraram no estudo de uma classe ou particular de curvas para as quais as ordenadas tem uma certa relação de dependência com as abscissas e as regras que descrevem essa dependência foram denominadas por leibniz e outros matemáticos como funções as funções Se mostraram ideais para a descrição do movimento visto que se

o eixo das abscissas se apresenta o tempo o eixo das ordenadas poderá representar por exemplo a posição ou a velocidade ou ainda aceleração do objeto em movimento um exemplo simples de função resulta das retas no plano cartesiano não paralelas ao eixo das ordenadas a função que descreve a reta nessas condições e a função afim y = x + b e se tomarmos: x 1 x 2 no eixo das abscissas aí eles corresponderam y1 e Y2 no eixo das ordenadas assim e tinham 2 menos y 1 = ax-2 menos um portanto a = y 2 menos

y un sobre x 2 - X1 esse valor a é chamado coeficiente angular da reta quando x = 0 Y = B B é chamado coeficiente linear da reta e agora repare o seguinte o método de Zach berkman para encontrar retas tangentes a curvas o plano é o método que fornece o coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto em questão coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função é o que chamamos no cálculo de derivada da função é um dos méritos de Isaac Newton foi perceber que esse conceito permite descrever analiticamente algo

impensável anteriormente taxa de variação instantânea a velocidade instantânea por exemplo é a taxa de variação instantânea da função posição a cada instante de tempo os desdobramentos dessas ideias mostra que isso foi um divisor de águas na história da ciência Newton chamava as quantidades que forem com o tempo de efluentes e suas derivadas de flexões os termos modernos ainda não estavam popularizados naquela época Além disso dado um fluente x Nilton de notas reflexão por x. e essa mutação ainda é utilizada ocasionalmente no cálculo mas os temas fluente flexão caíram em desuso live nesse fez a mesma

descoberta que nem o Tom mas seu olhar sobre o assunto foi no sentido matemático ele é responsável pela notação amplamente usado em cálculo diferencial hoje em dia como toda a boa notação a inventada por Laden foi ganhando o significado de cada vez mais profundos no decorrer dos séculos como veremos adiante para alarmes a razão entre os infinitesimais de escrito por Isaac barrow de subir e o inscrito como ty sobre DX lágrimas ao contrário de Newton ficava bastante À vontade quando você me pediu as infinitas demais nesse sentido ele foi - matemática aqui no tu embora

no século 20 Como já vimos os infinitos mais tenham recebido tratamento rigoroso na época de leibniz estava muito longe de um tratamento rigoroso E além disso a derivada para Live mizera referida como o coeficiente de um incremento infinitesimal de Y por un incremento infinitesimal de X para finalizar esse episódio vamos estudar a derivada de funções do tipo y = x n onde n é um número natural e ver algumas aplicações disso o caso mais Óbvio é quando o n = 1 ou seja y = x imediato perceber qty de x = 1 basta notar que

a função y = x tem coeficiente angular igual a 1 e nesse caso a reta tangente a um ponto conhecido com a própria reta e se n = 2 devemos aplicar o método de Isaac barrow substituindo x master X Y + de y na função y = x quadrado nós obtemos o seguinte aqui de x quadrado infinitesimal quadrado e por isso é imediatamente descartado como uma quantidade insignificante agora y = x quadrado Assim ficamos com x quadrado mais de Y igual a x ao quadrado mais 2x DX concluímos com isso que dydx = 2x a

morte aqui para cada ponto XY na curva o coeficiente angular da reta tangente e será 2x por exemplo no ponto 39 a reta tangente ao gráfico da curva tem coeficiente angular igual a 6 e repetindo essa técnica para Y igual a x ao cubo após abrir todos os termos usando o produto notável de grau 3 simplificarmos o que for necessário isolarmos as infinitesimais etc concluímos que dydx = 3x ao quadrado aqui percebemos um padrão se formar e conjecturamos que para o caso geral y = x dele a derivada deve ser envc X elevado a n

- 1 talvez você já tem notado que para chegar essa forma devemos seguir o mesmo raciocínio com o produto notável de grau n Ou seja é necessário aplicar o binômio de Newton que obviamente não tem esse nome por acaso enfim não vou abrir toda a conta aqui para ele natural qualquer Mas de fato de y deixe isso é igual a n vezes x elevado a n - 1 dessa fórmula geral vemos que se n = 0 isso é é igual a um série que de y sobre de x = 0 na verdade de um modo

geral se y é igual uma constante então dydx é igual a zero Porque neste caso o gráfico da função é uma reta paralela ao eixo X e portanto tem coeficiente angular igual a zero nós vamos dar uma interessante aplicação a este fato logo em seguida as aplicações Vamos considerar um problema físico bem simples da maneira de Newton consideremos o fluente posição de uma partícula que se move em uma dimensão apenas e é dado pela expressão x t = 4x t - t ao quadrado percebemos que do instante zero até duas unidades de tempo a partícula

percorre a distância de quatro unidades de comprimento no sentido positivo depois ali inverte a direção do movimento e nas duas unidades de tempo seguintes retorna à posição 0 e vamos agora calcular a flexão do fluente em questão Isto é a derivada da função posição em relação ao tempo ela é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo é a velocidade instantânea da partícula para isso basta aplicar a forma que ele tivemos ateriormente para cada parcela da função posição fazendo isso nós obtemos que a velocidade = 4 - 2T para que notamos várias

coisas que 0 a 2 A velocidade é positiva o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função posição é positivo o coeficiente angular da função velocidade não é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função a posição e a partícula está se movendo no sentido positivo no tempo igual a dois a velocidade se torna a 0 E no instante de tempo que vai de 2 a 4 a velocidade negativa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função posição é negativo a velocidade da partícula traz o sinal negativo Porque a partir

que está se movendo no sentido contrário esse problema físico que vimos sugere um problema matemático interessante consideremos uma função quadrática qualquer Y igual a x ao quadrado + BX + C sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola então gostaríamos de obter o valor de X para o qual a função atingir seu extremo que parece tipo de função pode ser um valor máximo ou mínimo a dependência o coeficiente a é positivo ou negativo e nem sabemos que para esse valor de X a reta tangente ao gráfico é paralela ao eixo X ou seja tem

coeficiente angular zero portanto a derivada da função quadrática neste ponto é zero e assim pode encontrar o valor de X basta calcular a derivada da função quadrática igualar a derivada a zero isolar X tô fazendo isso encontramos que o valor de X para o qual a função quadrática atingir seu extremo é menos B sobre dois a e no futuro próximo baseados nesse tipo de problema estudaremos uma formulação da física diferente da Nilton Viana Será uma das discussões mais interessantes que desenvolveremos nesta série estará relacionado com tudo que veremos adiante por isso esse é um problema

é importante para finalizar vejamos uma aplicação prática desse fato Suponha que temos um pedaço de corda de 6 metros e queremos envolver completamente uma área retangular com ele na verdade nosso objetivo será mais do que isso queremos o retângulo cuja área é máxima é Suponha que a área do retângulo seja a = X Y como a corda tem um comprimento fixo de seis metros o semi perímetro do retângulo formado por Elas têm três metros ou seja para todo o retângulo formado pelo pedaço de corda o semiperímetro é X + Y = 3 assim podemos isolar

e y na fórmula do semiperímetro e substituir na fórmula da área portanto a área será a = - x quadrado + 3x e essa é a fórmula para a área dos retângulos possíveis formados com um pedaço de corda ela é uma função quadrática FX portanto aplicando a fórmula que ele tivemos anteriormente para o ponto de máximo concluímos que x = 3 sobre 2 logo pela fórmula do perímetro Y = 3 sobre 2 ou seja o retângulo de área máxima Nas condições do problema é na realidade um quadrado ah é verdade nesse problema sempre obteremos o

quadrado como Solução Não importa o comprimento da corda que estamos considerando isso é um pouco do Poder analítico mas apenas a ponta do icebergue e na segunda parte vamos falar sobre o cálculo integral e sua relação com cálculo diferencial conheceremos uma das descobertas mais importantes da história da matemática O Teorema Fundamental do Cálculo não se esqueça de deixar seu like e comentários até a próxima