O QUE É A BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL?: Encontrando, verificando e completando bases | Álgebra Linear

Oi Oi gente tudo bem O meu nome é Ester vê-las que sejam bem-vindos é o canal matemática no vídeo de hoje a gente vai falar sobre base aqui em álgebra linear Está bom então antes de começar já curti embaixo se inscreve no canal e Vamos lá gente então para gente conseguir concretizar um pouquinho o que é uma base vamos introduzir com outra coisa do dia a dia que é o sistema RGB para quem não conhece quando a gente vai reproduzir alguma cor em meios digitais então por exemplo na tela do seu computador na tela do

seu celular todas as cores que você vê ali são feitas utilizando o sistema RGB Então o que é isso exatamente cada cor que a gente está olhando aqui gente seja o branco seja laranja cada uma das cores são feitas através da mistura de vermelho verde e azul Então a gente vai ter determinada quantidade de vermelho determinada quantidade de verde e determinada o que vai mostrar para gente como é feito aquela determinada cor então por exemplo como a gente pode vir aqui nessa imagem o amarelo ele é feito pela mistura do vermelho e do verde e

nada de azul então no sistema RGB as cores tem uma quantidade que podem ir de 0 até 255 então pode ser 012 até chegar aqui no 255 então aqui no Amarelo A gente pode falar que a gente tem 255 de vermelho 255 de verde e a gente tem zero de azul que o azul tá de fora aqui na parte do Amarelo né então gente a gente pode falar que todas as cores que a gente vê no nosso celular computador são cores que são feitos através da mistura dessas três então é uma combinação dessas três cores

certo então por exemplo Rosa o rosa é uma combinação de vermelho com azul o branco o branco é uma combinação das três Então as três cores o nível 255 para formar o branco então Gente o que a gente tem alguns exemplos de cores então a cor preta é por exemplo a cor preta é como se a gente tivesse escrevendo se fosse uma coisa matemática né P = 0 x o vermelho mais 0 x verde mais 0 x o azul então o preto é 10 vezes cada uma das cores então ausência de todas as cores é

o preto né Agora se a gente quiser formar o laranja o laranja é uma combinação feita da seguinte forma 240 do vermelho mais 127 do verde mais nove do azul então gente para cada cor que a gente vê a gente vai ter essa combinação a gente vai conseguir escrever a cor como combinação dessas três como combinação do vermelho do azul e do verde Então se a gente criasse uma dimensão Assim com todas as cores dentro dessa dimensão e aí eu te falasse ai eu quero pegar o menor no a iva de cores que eu possa

conseguir fôrma todas as outras eu iria pegar o vermelho o verde eo azul o vermelho verde ou azul são a base para formar todas as outras cores Tá mas e se você falar e eu não quero só o vermelho verde ou azul eu quero acrescentar o rosa também Eu Posso acrescentar o rosa nessa base de cores então gente não faz muito sentido porque o rosa ele já é uma combinação do vermelho do azul então não faz sentido falar e o rosa também é a base das cores então Rosa já é uma combinação de duas dessas

cores da base e portanto não faria sentido a gente acrescentar ele em uma base então Gente o que permite que a gente fala que o sistema RGB é a base de todo o espectro de cores que a gente vê na nossa tela primeiramente essas três cores são independentes entre si ou seja não tem como eu formar o vermelho a partir do verde do azul você pode colocar a numeração que forno verdes nós e o pode ser 100 101 102 240 qualquer numeração neles que você nunca vai chegar no vermelho da mesma forma você não consegue

formar o verde a partir do vermelho do azul e nem consegue formar o azul a partir do vermelho do verde Então essas cores são independentes elas formam todas as outras mais uma no forma outra entre elas três então a gente também pode falar que isso aqui é uma base justamente por gerar todas as outras cores então é aquilo que eu falei se você tem um mundo com todas as cores possíveis assim várias e várias cores que você enxerga no seu computador e você quisesse tirar o mínimo possível de cores dele para formar todas as outras

você iria pegar essas três cores aí você fala tá Por que que você tá falando de cores se eu vim aqui para aprender áudio branco é porque gente na álgebra linear uma base é exatamente isso que a gente acabou de ver então aqui no caso a gente vai falar sobre a base de espaços e subir espaços vetoriais que são aqueles assuntos que a gente viu o anteriores e basicamente a base desses espaços gente mas tem um determinado conjunto de vetores então lá gente tinha o vermelho o verde e o azul né aqui a gente vai

ter os vetores formando nossa base e essa base primeiramente esses três vetores um ser linearmente Independentes então lembra que as três cores eram Independentes entre si os vetores também vão ser e o requisito geral é que esses vetores gerem o nosso espaço como um todo ou seja que a gente consiga escrever qualquer elemento do nosso espaço ou Subir espaço como uma combinação linear dos elementos da base então da mesma forma que acontecia que né a gente conseguiu escrever qualquer cor com uma combinação de vermelho verde e azul Oi gente então vamos voltar para aquela analogia

da aula anterior que a gente viu o espaço vetorial como um pote cheio de elementos aqui dentro fazendo as alterações né então vamos supor que eu tenho esse espaço vetorial aqui e aí eu descobri que esses dois elementos aqui são a base desses passo o que isso quer dizer que qualquer outro elemento do que de dente Por exemplo esse elemento pode ser escrito como combinação linear desses dois então qualquer outro elemento deste espaço tem que poder ser escrito com uma combinação dos elementos da minha base tá bom gente então vamos ver melhor como que funciona

isso na prática gente sabe o espaço R3 que a gente conhece se a gente quiser uma base desse espaço ou seja um conjunto de vetores que gere qualquer outro componente aqui nesse espaço a gente pode pegar a base canônica O que é uma base canônica é uma base a base mais trivial que a gente tem a base mais simples que a gente consegue e ali e no caso a base canônica do R3 é justamente esse conjunto de vetores 100010001 simples né então a gente consegue escrever qualquer vetor de R3 com uma combinação desses três mas

então vamos provar que realmente isso aqui é uma base como que a gente faz para provar que determinado conjunto vai ser base do nosso espaço primeiramente a gente tem que provar que esse conjunto de vetores ele e como que a gente faz para provar que em conjunto L gente a gente tem que resolver um sistema onde Alpha vezes o primeiro vetor mais Beta vezes o segundo vetor mas Gama vezes o terceiro vetor Vai resultar no vetor nulo e como a gente sabe por esses três vetores serem ali ir a gente só pode encontrar alfa beta

e Gama igual a zero se algum deles de algum valor diferente de Zero eles já não Ah tá bom gente então vamos resolver isso aqui para ver se realmente alfa beta e Gama valem zero nessa igualdade primeiro a gente vai multiplicar cada um dos vetores pela constante né agora a gente pode somar esses três diretores aqui do lado esquerdo o quê que isso dá para gente a gente tem um sistema onde simplesmente Alfa = 0 primeira coordenada aí na segunda coordenada Beta igual a zero e na terceira coordenada a gente tem Gama igual a zero

portanto gente realmente nossos três coeficientes geraram Então tá provado que esses três vetores são linearmente independentes então a gente já tem o requisito ali para formar uma base agora quando a gente tem uma base gente a gente sabe que esse conjunto de vetores tem que gerar qualquer outro vetor do R3 Tem qualquer vetor do R3 tem que poder ser escrito com uma combinação desses aqui e o que eu quero dizer assim de uma forma genérica quando a gente fala de gerar todos os pr3 a gente vamos supor um vetor qualquer DR3 que eu vou chamar

de X Y Z tá bom um vetor genérico que pertence a R3 Será que a gente pode escrever esse vetor com uma combinação desses três vetores aqui da base canônica para gente comprovar isso a gente vai fazer essa igualdade ó xyz vai ser a combinação desses três então a vezes o primeiro vetor mais de vezes o segundo vetor mais se vezes o terceiro vetor então aqui a gente está simplesmente escrevendo xyz com a combinação desses vetores da base canônica aí a gente tem que ver se isso aqui realmente é possível para gente escrever qualquer vetor

DR3 nesse formato a gente aqui R3 tá bom E aí gente fazendo a mesma coisa que a gente fez na hora que a gente foi provado se era ele ir a gente vai ter que x y z = BC é isso multiplicando pela constante e depois você manda os três vetores né O que isso quer dizer gente que se a gente for escrever qualquer vetor x y z como a combinação desses três é só a gente fazer simplesmente a igual a x b = y e c = z então lá vamos supor que eu quero

escrever o vetor 235 que é um vetor de R3 né Eu quero escrever ele com uma combinação desses três vetores Como que eu posso fazer bom eu simplesmente vou pegar a igual a x b = y e c = z então Ó o a vai ser igual a x então a = 2 duas vezes 100 o b o b vai ser igual o y então B = 3 tão três vezes 0110 e os e o c = z então ser igual a cinco Então cinco vezes Zé 101 se você fizer conta aqui multiplicar pela constante

depois somar os três vetores pode ter certeza absoluta que você vai encontrar 235 você vai encontrar Exatamente esse vetor aqui gente então o que a gente fez aqui a gente provoca que o conjunto ali da base canônica ou no 0000001 formam uma base para o nosso espaço em três então é uma das bases que a gente consegue usar ali quando a gente está no espaço vetorial R3 tá bom Então nesse caso a gente percebeu que quando a gente quer escrever qualquer vetores R3 como combinação desses três vetores os coeficientes simplesmente vão ser o valor de

x y e z Tá bom então a gente consegue pegar qualquer retorno R3 pode ser o vetor maior que você quiser eu menor Ali você vai conseguir escrever ele com uma combinação desses três vetores agora vamos fazer o seguinte se eu tirar aquele terceiro vetor então o setor 001 e eliminar ele desse conjunto será que vai continuar sendo uma base DR3 bom se a gente permanecer com vetor 1000 10 eles são linearmente independentes você pode fazer o sistema você vai encontrar aqui os coeficientes valem zero agora será que eles geram o espaço R3 então se

eu pegar o vetor genérico pertence R3 então xyz que é um vetor de R3 eu consigo escrever qualquer vetor ele como a combinação desses dois a gente então vamos fazer a mesma coisa que a gente fez no caso anterior Vamos tentar escrever o xyz que é o Victor genérico como a combinação de 1000 10 Então primeiramente a gente vai multiplicar os vetores pelas constantes agora vamos tomar os dois vetores a gente vai ter que x y z = 0 que a zero + B que é br-060 que é Zero G e além das coordenadas aqui

o que a gente vai encontrar na primeira coordenada a gente tem x igual a na segunda a gente tem Y = Bi e na terceira a gente tem dizer igual a zero o quê que isso quer dizer se a gente tem causa esse conjunto de vetores como base pro R3 a gente só vai conseguir escrever aqueles vetores que tem a terceira coordenada valendo 10 então a gente vai conseguir ser ver 230 450 agora se eu quiser escrever 521 eu já não consigo essa base suposta base aqui não seria capaz de Gerais se vetor então isso

aqui seria uma base para um subespaço onde a terceira coordenada sempre vale 0 mas não é uma base para o R3 porque não R3 a gente tem vetores que a terceira coordenada não é nula e esses vetores não podem ser gerados por esse conjunto que então gente em três bases canônicas que é bom a gente saber então por exemplo no R2 a base canônica que a mais simples que a gente pode usar ali é o conjunto formado pelos vetores 10 em 01 ou seja qualquer vetor de R2 pode ser escrito com uma combinação desses vetores

aqui ou então o espaço vetorial dos polinômios de grau dois qualquer polinômio de grau dois pode ser escrito como a combinação desses três termos aqui de x ao quadrado x 1 o que isso quer dizer gente se eu tiver o polinômio x ao quadrado + 2x Como eu posso escrever ele como combinação dos elementos dessa base bom x ao quadrado + 2x vai ser simplesmente uma vezes o primeiro termo que a x ao quadrado mais duas vezes o segundo termo que é x + 10 x o terceiro termo que é um então eu tô escrevendo

x ao quadrado + 2x que é um polinômio de Segundo Grau né Como assim um dos componentes dessa base e para qualquer outro polinômio de grau dois eu também consigo escrever com a combinação desses três aqui tá bom a gente também tem a base canônica das matrizes dois por dois ou seja o espaço vetorial formado por matrizes de duas linhas e duas colunas então qualquer Matriz desse espaço aqui pode ser escrita com uma combinação linear dessas quatro matrizes a nossa base canônica então se eu tiver a matriz 2540 que é uma matriz de duas linhas

e duas colunas Isso vai ser duas vezes essa primeira Matriz mais cinco vezes essa segunda mais quatro vezes essa terceira mais 0 x essa quarta então a gente está escrevendo uma matriz 2 por 2 com a combinação dos elementos da base canônica agora a gente uma coisa importante um espaço sub espaço vetorial pode ter várias bases essas que a gente viu são as canônicas as mais é Mas independente da base que a gente se encontrar qualquer uma delas vai ter o mesmo número de elementos Tá bom então se a base canônica de R2 tem dois

elementos qualquer outra base de R2 também vai ter dois elementos se a base de P2 a base canônica aqui tem três elementos qualquer outra base de P2 vai ter três elementos também esse número de elementos é o que a gente chama de dimensão do nosso espaço então a dimensão do R2 é dois a dimensão dp2 é 3 a dimensão de m2 por dois é quatro e qualquer outra base que a gente se encontre para esses espaços aqui vai ter esse mesmo número de elementos tá bom gente então vamos fazer exercício que a gente vai considerar

o subespaço do Espaço M 2 por 2 e tem um subespaço dentro do espaço vetorial das matrizes que tem duas linhas e duas colunas e esse subespaço tem a seguinte propriedade a matriz abcd tá o que você é duas vezes a Então se é o dobro de ar e o de é a soma de A com b e aí a gente quer encontrar uma base para esse sub espaço w como que a gente pode fazer isso gente sempre que a gente tem um subespaço dado assim dessa forma a primeira coisa que a gente vai fazer

para encontrar uma base ali é escrever um elemento desse subespaço Como assim escreveu um elemento desse sobre espaço bom a gente sabe que as matrizes ali vão ter o formato a b c d Só que no caso desse sub espaço w o que vai acontecer bom o ar e o b permanecem normais ele não deu nenhum requisito aqui para a e b só que você ele vai ser duas vezes a então dobro desse número aqui e o de vai ser a soma de A com b então de igual a + B então isso aqui gente

é uma forma genérica de escrever algum elemento do Sul o w qualquer elemento de w pode ser escrito dessa forma aí olha só o que eu vou fazer agora gente concordo aqui nessa matriz A gente só tem dois termos A e B em qualquer linha e coluna que dessa Matriz só o ar e o beco estão mandando a gente não tá mais trabalhando conselho com de porque a gente fez essa substituição Então você parece a matriz em duas matrizes uma só com a e outras só com bebê então a soma de duas matrizes então no

primeiro termo no primeiro tempo a gente tem só o ar no segundo a gente tem o bebê então pela primeira Matriz ele vai ficar 0 no terceiro a gente tem dois a e aqui o ar Então eu peguei todo lugar que tinha a e separei uma matriz e isolada agora eu vou pegar tudo que tender e colocar em outra Matriz então aqui vai ficar zero porque a mais zero Dawn a né aqui vai ficar simplesmente B aqui zero e aqui bebê então gente se você somar essas duas matrizes você vai chegar exatamente nessa mar é

a única coisa que eu fiz foi separar uma com a e outra com B agora o que eu vou fazer vai ser o seguinte eu vou colocar o ar em evidência na primeira Matriz Então vou colocar ele para fora e colocar o bem em evidência na segunda Matriz Beleza então na primeira Matriz vai ficar a vezes aí aqui a / a é um aqui permanece 02 a / a é dois e aqui vai ficar um também então aqui a gente só colocou lá para fora se você multiplicar o a pela Matriz você vai chegar nisso

tá bom e na segunda Matriz a gente vai ter B vezes 0101 colocando bem evidência então gente quem que é a base do nosso subespaço WS duas matrizes aqui elas fazem parte do nosso conjunto gerador do sub espaço w elas geram qualquer outra Matriz aqui dentro desse sobre espaço Então se vou pegar uma matriz pertencente a w vamos ver dois três Então é dois B3 aí você vai ser o dobro de ar e o de vai ser a soma de A com b bom então isso aqui é uma matriz pertencente a w né pode ter

certeza que essa Matriz pode ser escrita com uma combinação dessa com essa no caso aqui vai ser duas vezes a primeira Matriz então duas vezes 1021 mais três vezes a segunda Matriz 0101 então gente o exercício já deu para gente as características do sub espaço w e a partir dessas características a gente encontram conjunto gerador a gente encontrou uma base para esse subespaço certo então gente a base desse subespaço é formado pela Matriz 1021 e 01 01 então combinando essas duas mas vê se você consegue escrever qualquer outra Matriz de subespaço aí você fala tá

você não disse que matriz 2 por 2 a base tem que ter dimensão quatro sim gente o espaço vetorial das matrizes dois por dois tem dimensão quatro só que que a gente está falando de um super espaço dentro desse espaço Tá bom então a gente atribui o características aqui que fizeram a gente sumir com os coeficientes C e D Então como que a gente só trabalhou com a e b isso permitiu que a gente escrevesse a base de subespaço apenas com dimensão dois então É como se eu pegasse que não RGB um super espaço dentro

de todas as cores e aí eu peço esse super espaço que não utilize nada de cor vermelha então que só utiliza as cores verde e azul a gente vai estar eliminando algumas cores ali né Por exemplo Amarelo Rosa o branco já não podem ser formados mas a gente tem um sub espaço aqui que a base é o verde eo azul o piercing vamos dar uma olhada nesse exercício aqui a gente tem um subespaço vetorial que é o w esse w é definido por esses quatro vetores então ele Deus quatro vetores que estão em w e

aí a gente quer encontrar uma base para esse sobre espaço Ou seja a gente quer encontrar um conjunto que qualquer outro vetor aqui possa ser escrito com uma combinação desse conjunto que a gente tem que gente qual é o requisito para a gente ter uma base a gente sabe que os vetores dessa base tem que ser linearmente Independentes Então o que a gente vai fazer aqui é ver se esses quatro vetores são LD ou ele ir Se eles forem l de obras tensão Se eles forem LD a gente vai ter que eliminar vetores até a

gente tem um conjunto L ir e como que a gente pode saber se esses quatro vetores são ele de ow.ly você pode escolher a melhor técnica para você ou você pode fazer aquele sistema Alpha vezes o primeiro mais B o segundo tudo isso igual o vetor nulo E aí você vai ter que ter os seus coeficientes todos valendo 10 para que seja ele ir então se algum deles não valeu Zero Não É ele ir ou então a outra técnica que é o que a gente vai fazer aqui é colocar os nossos diretores em uma matriz

então cada linha é um vetor e a gente vai escalona essa Matriz como que isso vai ajudar a gente saber se o conjunto L D ou l Bom pelo que a gente viu em propriedades de matrizes se uma das Linhas eram ou então se uma linha For múltiplo da outra se duas linhas forem iguais isso vai dizer para gente que os vetores são LD agora se isso não acontecer os vetores vão ser ele tá bom se a gente conseguir escalona até o final fazer tudo bonitinho quer dizer que os vetores são linearmente independentes Então vamos

lá como que a gente vai fazer para escala nessa Matriz primeiramente vão tentar zerar esse e esse termo aquilo nossos pivôs então na segunda linha a gente vai fazer ela a segunda linha menos a primeira linha porque aí 2 - 260 e a terceira linha ela vai receber a terceira linha mais duas vezes a primeira linha que fica menos quatro mais quatro que dá zero então gente como vai ficar isso na segunda linha a gente tem 2 - 2 que é zero aí aqui a gente tem menos 2 - menos um que vai dar -

1 e 1 - menos um que vai dar dois na terceira linha a gente vai ter menos quatro mais quatro que dá zero aí aqui vai ficar menos um e aqui dois e a quarta linha a gente não mexeu né porque o pivô já tava Zerado ali gente vocês estão reparando o que que aconteceu aqui a segunda e terceira linha ficaram iguais a gente ficaram idênticos assim sem tirar nem pôr e ela é o que a gente ainda consegue fazer a linha 4 pode receber ela mesma só que negativo é dividida por dois G E

aí buga tudo né olha isso a segunda a terceira EA quarta linha idênticas e iguaizinhos o que isso tá falando para gente que esses três vetores ou seja os três que a gente colocou aqui a princípio uma combinação linear do outro não tem como então por exemplo você consegue escrever 02 - 4 como combinação desses dois então - 414 como combinação desses dois esses três vetores são LD gente eles cara iguaizinhos aqui no nosso escalonamento então o que que a gente vai fazer tirar esse vetor Será que basta não né porque a gente ainda vai

ter esses dois ele de Ah tá então tira tudo não precisa também gente a gente vai tirar só dois desses vetores para sobrar apenas um ali que seja da família né que seja da família dld então a gente pode manter o 2 - 1 - 1 com o elemento da nossa base só que entre os outros três a gente vai tirar dois então vamos tirar esses dois aqui tá bom bom e o que vai sobrar para gente o conjunto formado por 2 - 1 - 1 e 2 - 21 então esses dois vetores são vetores

linearmente Independentes Então não é múltiplo do outro né E eles conseguem gerar qualquer outro vetor aqui de w você consegue escrever por exemplo - 414 como combinação desses dois vetores até escrevi aquilo - 414 como combinação deles mesma coisa para o 02 - 4 você consegue escrever ele como a combinação desses dois vetores Entre esses dois vetores formam uma base para os elementos que compõem o sobre espaço w agora a gente esse exercício também pede para a gente completar essa base que até a gente formar uma base do espaço R3 Então a gente vai ter

que acrescentar algum vetor aqui para gente formar uma base do espaço R3 como eu sei que a gente vai acrescentar apenas uma coisa porque o RT e ele tem dimensão igual a três qualquer base dele vai ter três componentes o lembra que da base canônica então aqui como a gente ainda tem dois componentes a gente vai ter que acrescentar mais um que é bom para a gente ter uma base do espaço R3 gente simplesmente tem que ser o vetor que seja linearmente independente desses dois então por exemplo eu não posso colocar o - 414 porque

a gente acabou de ver que ele é combinação linear desses dois então eu tenho que acrescentar algum setor que eu vou chamar de Vetor ABC tá o que ele seja L ir com esses outros dois vetores porque aí eles três vão formar uma base para N3 no geral a gente vai tentar pegar algum vetor simples como o vetor 001 tem um dos vetores de Base canônica a gente então se eu quiser acrescentar o vetor 001 para formar uma base para ir três eu tenho que provar que eles três são ele ir para isso a gente

monta esse sistema aqui né E aí o alfa ou Beta e o e tem que dar igual a zero para ser ali se algum deles não deseram eu já não Posso acrescentar o 001 porque não vai ser base então gente multiplicando os vetores pelas constantes e somando tudo a gente consegue igualar as coordenadas né a zero aqui e aí a gente vai cair nesse sistema de sistema a gente pode resolver por escalonamento Mas como eu sei que quase ninguém gosta a gente pode fazer substituição aqui na primeira linha a gente tem dois alça mais dois

betas igual a zero isso vai dar para gente dois Alfa = - 2 beta e portanto Alfa igual - Beta que é a mesma coisa de falar que Beta é igual - Alpha Então esse - Alpha aqui da segunda linha a gente pode substituir por Beta então vai ficar beta - 2 beta igual a zero isso da Beta igual a zero se der é igual a zero Alpha também vale zero né Agora vamos ver se o gama também vale zero aqui na terceira linha a gente vai te o mais zero mas Gama igual a zero

portanto Gama igual a zero ou seja os três coeficientes zeraram aqui e portanto esses três vetores formam um conjunto linearmente independente então a gente pode acrescentar o vetor de 001 para formar uma base Dr três então a base DR3 vai ser 2 - 11 - 12 - 21 e 1001 então a gente já viu a base canônica de R3 né que aquela mais simples que a gente viu lá atrás e essa aqui é outra base outra base que a gente também consegue ter no espaço re3 que também é linearmente independente e vai gerar qualquer outro

vetor DR3 através de uma combinação linear bom gente então foi isso no vídeo de hoje espero que vocês tenham entendido não esquece de curtir e se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e segue o canal até matrícula lá no Instagram para ficar por dentro de tudo bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo