Cálculo I - Aula 25 (3/3) Integral de Riemann: o Teorema Fundamental do Cálculo

[Música] mas ainda assim a gente não disse como calcular então a pergunta natural é como calcular quer dizer como calcular uma resposta super desagradável que é calcula que limite eles estilo que não dá em geral tá então a ideia é fazer a ponte vamos a partir 11 uma parte bonita assim é estabelecer uma conexão entre a área embaixo do gráfico de uma função ea derivada de uma e o que isso tem a ver com que a gente estudou de derivados né lá no finalzinho daquela primeira aula eu fiz uma observação no caso concreto né se

você pegasse a função x quadrado a área embaixo do gráfico tinha a ver com a taxa de variação de uma função que era função x ao cubo sobre três que é aquela que quando o derivado da china ao quadrado então você tem naquele momento quando você percebe isso você tem uma conexão entre o cálculo de integrais que representam áreas sob gráficos e o cálculo de derivados que dá o coeficiente agora na reta tangente ou que representa taxa de crescimento de uma certa função então para isso a gente precisa estudar esse conceito que a gente vai

chamar de primitivas e vamos ligar a isso com cálculo diárias através do que a gente chama de teorema fundamental do carro tá um dia assim a uma primeira versão do termo fundamental local então o primeiro de tudo a gente precisa dizer o que é uma primitiva de uma função não vou por aqui drr tá mais pra pensar que a f é uma função definida no intervalo aberto tá aí uma função que é uma primitiva é uma outra função efe tá aqui é super importante tá eu vou falar e vou pedir que vocês prestem muita atenção

nisso é super importante que o domínio da primitiva seja o mesmo domínio da função original está sem função definida no intervalo roberto 01 uma primitiva tem que ser uma função que também seja definido no mesmo intervalo aberto 01 data definida em toda reta real a primitiva tem que estar definido em toda reta ela tá uma primitiva df é uma função é fã dele vá ver o tal que a derivada dessa função é fã é a função f1 ou seja desde levar a função se quiser pensar assim ao descobrir a primitiva de uma função descobrir qual

é a função que quando o derivado da a função original então vemos exemplos você tem efe ind x igual ao cm x você sabe me dizer uma primitiva para essa função e forma uma função que quando deriva da conselho ceni não é fácil 2 pegar uma outra bem mais difícil ^ x fala uma função que quando deriva da elevada x 3 x ao quadrado - 3 x 1 e fará uma função que quando eu devo x ao cubo sobre três funciona a primeira parcela e agora três meses quadrado mais 7 pode ser mais nove mais

menos 15 mais raios dp também é primitiva legal vamos pensar então já está todo mundo dividindo todas sendo de xv e xvii conselho x alguém consegue adivinhar uma primitiva o que eu devo para dar isso aqui não sei se está muito precoce mas você percebe que é derivada deste aqui é esse né e quando você multiplica uma derivada por uma coisa seria uma coisa multiplica pelo derivado do outro que estava cético uma regra da cadeia né então deve ter alguma função composta que quando eu devo da isso né engel que produz com o resultado da

derivação produto a regra da cadeia certo então o que você acha que faz sentido de levá la para que sobram uns e no vezes conselho deve ser alguma coisa composta com o senado né porque quando deriva' vai aparecer derivada do cene x sta então o que é isso ó para ficar a sós e no em ser uma composta por que devia ser um sendo elevada ao quadrado então a gente está chutando aqui netão sendo um quadrado de x sobre dois né quando dorival tombo dois mata a ficar sendo vezes o derivado de dentro do conselho

tá então esse cara aqui - e por exemplo é uma primitiva então dá para você algumas você chutar e acertar boa parte da da semana que vem das aulas na semana que vem vai ser desenvolver técnicas para descobrir quem são primitivas porquê porque isso vai te ajudar a calcular a área embaixo de gráficos o que a gente pode dizer a respeito de duas primitivas de uma mesma função então botões com uma obra a se é fã e gestão são primitivas de uma mesma fim o que eu posso dizer é que dá pra dizer a respeito

de fg sedução primitivas de uma mesma função que isso quer dizer que a filhinha é igual à f e g linha também é igual efe certo portanto é fão em revisão são duas funções que têm a mesma derivada que a gente pode dizer a respeito de duas funções até mesmo ter levado isso ou seja isso e portanto a função é fão - revisão é uma função que hoje é derivado de zero que teremos o valor médio dizia pra gente toda a função que tem derivado a 0 no intervalo é constante nesse intervalo bom isso clique

aqui efe - de é uma constante portanto frg de x mais uma constante ou seja é uma coisa que a gente já experimentou a lina duas primitivas quantas primitivas tem uma função se ela tiver alguma primitiva se você achou uma seja são infinitas porque basta somar qualquer constante tá bom duas funções que diferem por uma constante são primitivas derivados são primitivos uma vez na função e vice versa tá bom então se você achar uma primitiva e seu colega achar outra pode ser que os dois tenham acertado porque elas podem diferir uma constante e pior né

isso não quer dizer que ela vai estar sempre assim né porque às vezes você usa um método para calcular primitiva seu colega os a outro vocês vão produzir princípio duas formas completamente diferentes mas que se os dois acertaram que você sabe que as duas representam a mesma função há menos de uma soma constante então isso é uma coisa engraçada quer dizer se você calcula primitivas via métodos diferentes você começa a obter igualdade estranhos assim não intuitivos entre funções a gente pode explorar e sim no momento mais oportuno bom então a pergunta natural que a gente

não consegue escolher ainda eu disse agora e depois a gente prova isso quando tem uma função tem primitiva é quando ela integrava a gente não pode ser muito descontínua quando ela tem perspectiva também é uma pergunta difícil de responder mas com certeza a gente afirmar aqui toda a função contínuo tem primitiva o que é um certo ponto de vista um alívio e do outro ponto de vista um desespero porque é um alívio porque se alguém te dar uma função contínuas e veio a função continua até primitiva qualquer momento de desespero que logo depois se tem

eu quero achar e nem sempre você consegue a gente prova que a primitiva existe mas nem sempre é possível escrevê lo tá então uma coisa que é interessante por exemplo você vai gastando tempo e não vai conseguir descobrir uma função cuja derivada seja elevado - x quadrado por exemplo qual a função quando o derivado da isso eu sei que existe uma função porque isso aqui é contínuo então tem primitiva que vai tentar escrever não dá pra gente mostrar mas você consegue mostrar que em é possível mostrar não dá pra fazer agora que é impossível você

escreveu uma fórmula que quando deriva da isso aqui de modo que dessa forma só tem as funções que a gente conhece exponencial logaritmo trigonométrica etc etc então existe uma primitiva existe qual é não sei escrever é a parte chata disso é que essa função uma função super importante para as aplicações práticas então é muito interessante você saber calcular a áreas sob o gráfico de funções desse tipo o que a gente vai fazer relacionar a área sobre funções comprometidos em seu telefone de um local não pára pra fazer uma das funções mais importantes você já não

consegue fazer isso hoje abertamente se apela para métodos numéricos preste mais integral e têm tabelas de valores se você olhar em qualquer livro de estatística no final tem uma tabela com os valores dos integrantes dessa de uma função desse tipo porque é importante então isso é que a gente vai provar depois tá mal que vem no máximo e vamos tentar escrever o tema fundamental do cálculo hoje já consegui fazer alguns exercícios da lista como que não estamos no tempo dez minutos ótimo então essa é a primeira versão do termo fundamental do carro tá então seja

efe definida no intervalo a b está chegando em r contínuo bom você continuam por integral não sejam isso e efe gr/rr uma primitiva jefinho definida no intervalo aberto contendo a b é porque eu estou falando isso porque a gente não definir o que quer de levar o intervalo fechado tá então é fã é uma é forma primitiva desafio quem quer dizer quer dizer que quando eu dei lhe vai fã é fã linha é igual é fininho eu estou pedindo que isso aconteça em todos os pontos desse intervalo só que para calcular derivado do iphone preciso

dele lá no intervalo aberto então pedindo que não esteja definido no intervalo um pouco maior do que o intervalo abin aberto ta bom para poder calcular a tarifa uma vez feito isso a gente tem a fórmula mágica como é que se faz para calcular isso aqui é simplesmente perfeito bom ou seja calcular integrais que são o que calcular a área embaixo do gráfico tá extremamente relacionado com o cálculo de primitivas que tem a ver com derivados então tem que tomar cuidado dizer que é integral de x quadrado x ao cubo sobre três é uma coisa

perigosa ao cubo sobre três é a primitiva de x ao quadrado a integral de x ao quadrado sociedade no intervalo enquanto que é integral desses ao quadrado no intervalo 01 um número que número é esse a área embaixo do gráfico e como eu calculo esse número pego a primitiva da função é fininho e cálculo nos estranhos então dá pra gente quer dizer aquela coisa super complicada que era um limite no das somas de rima e tetra eu consigo trocar pelo que pelo consigo trocar pelo cálculo de uma primitiva então qual é o plano para calculá

integrais a gente saber calcular primitivas tudo bem esse aqui é um problema que a demonstração é relativamente simples dá pra gente fazer nesse pedacinho da lousa que eu acho tá eu vou calcular isso aqui e vou partir disso aqui para tentar chegar nessa integral tá bom então o que a gente faz hp uma partição vamos dizer assim indo de 0 a pm uma partição do intervalo a b tá bom ver se você deixa a escrever isso aqui desse jeito é fã de bbb - afonjá quem é o bebê na partição é o fdn não é

porque o último ponto da partida sempre extremo direito do intervalo e o primeiro é o 3 0 tá certo que dá pra fazer eu posso somar subtrair o mesmo termo aqui dentro de um jeito mágico que é o seguinte não posso escrever fdtl ou subtrair o iphan calculado no penúltimo cara da partição para não estragar eu somo ele de volta tudo bem subtrai o anterior que é fã de tênis - 2 som lá no final então vai ter uma reticência saque eu voltei no final o que mais é fã de 30 - a desculpa mais

é fã de t1 - é fão de o menos efe dt um mais efe dt 1 - efe dt 0 tudo bem eu estou fazendo é somar subtrair a mesma parcela no miolo que que é isso se eu quiser sintetizar um pouquinho isso é a soma para indo de 0 até n gestão de ti - é fã de terem menos um tá bom justo agora o que é lembra do tema do valor médio que é fã de tem menos genérico é sanchez - y e pelo tv e me como é que ela dividia isso possui

menos y acerto isso é igual é fão linha de um certos e 1 ponto em 3 x e y quem é fã linha uma primitiva da f 1 então derivados certo então esse cara eu posso trocar simplesmente pelo que soma para indo de um atm do fmi de um certo cnpq é o cara que dentro vezes o tamanho do intervalo tem menos tem menos 11 ou seja falta de ter o que é isso aqui na amazon é uma soma de rima da função efe relativo a partição pelo original baseado na escolha dos 6 4 1

6 e eu escolhi não quem escolheu foi o tvm pra mim né esses e isso vieram do tv bom o teorema do valor médio em cada parcela dessa sua mãe produz não sei então eu tenho que essa soma de riman que vem do teorema do valor médio é igual à efe - a fonte tá certo eu sei que a função é fininho é integrável ea funcef é integrável que o que isso lhe garante que todas as somas de riman quando eu tomar o limite vai convergir com o valor integral então se eu tomar o limite

a norma da partição tendendo para zero desse cara eu tenho certeza que ele vai convergir para integral porque esse copo se ela é integrável qualquer que seja a partição e qualquer que seja a escolha vai entender o valor integral de até bdf dx certo essa é uma das possíveis se eu tomar esse limite se tomar limite disso aqui com a norma da parte não tem medo do projeto vai pra quanto em que converge para integral porque integral existe então esse cara com verba integral isso aqui converge para quanto é constante então se você tomar o

limite dos dois lados o limite com a norma da parte ontem para 0 disso aqui é quanto ele mesmo porque o número constante eo limite da norma da partição termine para 0 disso aqui é quanto à integral então é integral ao fdp - a região você pode escrever fazendo norma dp tender para zero temos um lado o lado esquerdo da expressão é constante e o lado direito com verba integral então se é constante o limite ele mesmo pelo lado direito com véu integral tá bom então tá aí uma demonstração facinha do teorema fundamental do cálculo

como é que a gente usa pode usar para calcular qualquer área que a gente sabe calcular primitiva de funções são exemplos o fazer só um já a agente passa como é que se faz isso um exemplo bem inocente que a gente tem ali umas fmd xx ao quadrado o que eu preciso do my phone x qual sequer sabe achar uma vez ao cubo sobre três você sabe achar outras infinitas qualquer uma mais uma constante então que o problema fundamental do cálculo está dizendo pra gente integral de zero até 11 de x ao quadrado de x

é é de 1 - 0 ou seja um terço - ah bom e se tudo que você conseguir descobrir permite você sabe calcular a integral desse jeito pergunta se eu tivesse usado outra primitiva ea mudar o resultado você acha que sim né como é que seria qualquer outra primitiva seria mais uma constante aqui então o que é que ia virar isso aqui ia ficar um terço mais cá - o valor da função 10 tá então independente da primitiva que você encontrar como você sabe que quaisquer dos primitivos diferem por uma constante independente da primitiva escolhido

o resultado é sempre o mesmo tá bom então você pode calcular sei lá por exemplo integral de - pi sobre dois eu vou deixar dois bobinhos não tão bons vinhos assim então a gente faz depois esse é o primeiro não prova que vem vamos calcular integral de menos sobre dois até sobre dois de concelho xx tá vamos tentar calcular integral de menos sobre dois ataques sobre dois dos e no the xx esse aqui é bem legal o cálculo integral de 1 até a de um sobre xx bom então acho que a gente não tá mais

um tempo não tem um minuto deixa a gente calcula esse seis fazem esses para a sexta-feira ea gente confere o que deu pra fazer a partir do ano que vem que a gente vai fazer técnicas para descobrir primitivas de funções ou seja como desfazer derivado basicamente a estratégia é a seguinte o que a gente sabe de derivar regra da cadeia a regra do produto vai produto cadeia a gente tem que ter o alguma técnica que desfaça a regra do produto chama integração por parte de uma regra que diz faça a regra da cadeia que é

mudanças de variáveis integral tá bom a gente começa a partir disso na aula que vem e esses três ou seja conseguem fazer e da lista três eu acho que já dá pra fazer a primeira parte com certeza tá bom que essa foi uma crítica né na avaliação ficou muito tempo teoria sem fazer exercício então agora já da primeira aula primeira página da lista tá bom então até sexta obrigado hum