El problema más LOCO de la geometría | Disecciones de Dudeney

a principios del siglo 20 el famoso creador de puzzles henri durney propone el siguiente acertijo se puede cortar un triángulo equilátero en cuatro trozos y recolocarlos para formar un cuadrado sobre el papel la solución no es muy interesante pero al construirla ocurre algo imprevisto resulta que puedes unir las piezas con bisagras de manera que al doblarlas en un sentido consigas un cuadrado y al doblarlas en el otro un triángulo tiene su gracia dicen que edurne y estaba tan orgulloso del diseño que se fabricó una versión de madera y hoy en día hay arquitectos que lo

usan como inspiración para sus muebles o casas giratorias desde ese momento el mundo matemático intentó poner bisagras a otras parejas de figuras con polígonos más complicados y con el tiempo se encontraban diseños más impresionantes con figuras asombrosas el caso es que cada vez conocíamos más y más direcciones al estilo de today vamos disección es con bisagras pero había una duda que nadie conseguía resolver para cualquier pareja de polígonos que podamos imaginar siempre se pueden transformar entre sí con piezas unidas por bisagras y en este caso como se hace o existe alguna pareja de figuras imposibles

con las que no se puede construir una disección de disney durante más de un siglo nadie supo encontrar la solución de este problema hasta el año 2007 hoy vamos a enfrentarnos a un problema abierto durante más de 100 años y vamos a resolverlo pero antes de empezar vosotros qué creéis se pueden construir siempre o hay figuras imposibles [Música] durante años la mejor manera de construir una disección de dudley era el método de las tiras conviertes las figuras en una tira las super pones entre sí y si se cumplen una serie de condiciones la intersección te

indica como tienes que hacer los cortes el problema es que este método es poco flexible para figuras simples es efectivo pero con figuras un poco más complicadas a veces tienes que echarle mucha imaginación para convertirlas en una tira y una vez convertidas tienes que probar y probar hasta encontrar una disección de tournai y encontrarla es casi cuestión de suerte y muchas veces ni existe por eso el método de las tiras es un callejón sin salida para figuras un poco más complejas este es un consejo matemático para cuando te enfrentes a un problema difícil de esa

arma lo dividirlo en partes más sencillas que puedas controlar por ejemplo antes de preguntarnos si podemos transformar dos figuras con trozos encadenados podemos bajar el nivel y preguntarnos qué ocurre cuando los trozos no están cosidos o podemos hacerlo más fácil y centrarnos en alguna figura más sencilla se puede transformar un triángulo en un rectángulo haciendo algunos cortes este sí que parece un problema asequible para empezar puedes probarlo en casa con unas tijeras y un trozo de papel las reglas son sencillas los cortes tienen que ser rectos no vale darle la vuelta a los trozos y

la figura inicial y la final deben tener la misma superficie porque cortar ni quita ni añade superficie todo listo pues empezamos por el nivel 1 se puede convertir un triángulo en un rectángulo haciendo cortes pues sí y no es difícil apoyas el triángulo sobre la hipotenusa y dibujas la altura recortas por la mitad y haces un corte por la línea de la altura y los trozos que ha recortado encajan en la parte de abajo y ya está hemos transformado un triángulo en un rectángulo con un par de cortes este método funciona con cualquier triángulo inicial

puedes intentar demostrarlo siempre que recortes la parte superior encajará en los lados inferiores y un comentario aparte esta es una buena manera de ver que el área del triángulo es la misma que la de un rectángulo con la mitad de la altura lo que nos lleva a la famosa fórmula del área del triángulo un medio de base por altura fin del comentario aparte no obstante este método tiene un problema y si queremos que el rectángulo final sea más delgado o más grueso bueno entonces tendremos que transformar el rectángulo con otro método aquí tenemos dos opciones

una sencilla y otra más completa la primera consiste en cortar el rectángulo por la mitad y tener suerte para que encaje con la forma que quieres obtener pero si el rectángulo no encaja que es lo que suele pasar entonces usamos el segundo método colocamos la forma del rectángulo final sobre el inicial dibujamos la diagonal cortamos y desplazamos y el pico que sobra en este lado encaja en el hueco de arriba el caso es que con este método podemos convertir un rectángulo en otro con un par de cortes y con esto hemos resuelto el primer nivel

el más fácil pero el más largo ahora ya sabemos cómo transformar cualquier triángulo en cualquier rectángulo y podemos compararlo con la solución de tournai nosotros necesitamos cinco trozos el solo 4 no está nada mal pero igual que en un videojuego todo lo que hemos aprendido en este nivel nos ayudará a superar el siguiente nivel 2 se puede transformar cualquier pareja de polígonos haciendo cortes pues sí y si entiendes el nivel anterior este es muy intuitivo porque por muy complicada que sea la figura inicial siempre la puedes cortar en triángulos y cada triángulo lo puedes convertir

en el rectángulo que tú quieras con un poco de maña puedes unir todos los rectángulos para formar un gran cuadrado en resumen puedes transformar cualquier polígono en un cuadrado pero también lo puedes plantear al revés es decir puedes convertir el cuadrado en cualquier figura que tú elijas es el mismo proceso pero rebobinado y si unes los dos pasos resulta que puedes transformar cualquier pareja de figuras utilizando cortes rectos haciendo una parada intermedia en un cuadrado por comodidad he borrado los cortes al dibujar el segundo cuadrado pero los cortes totales serían los de las dos transformaciones

a la vez son muchos no son bonitos pero permiten resolver el problema este teorema del nombre rimbombante se conoce desde el siglo 19 y con el método que propone se puede transformar cualquier polígono inicial en cualquier polígono final pero como las matemáticas hay que vivirlas os dejo el enlace a una página web interactiva donde puedes dibujar las figuras como tú quieras y ver una animación de cómo se transforman con el teorema una maravilla [Música] por último solo nos queda el nivel más difícil el que estuvo más de un siglo sin resolver cualquier pareja de figuras

se puede transformar con las piezas unidas por bisagras la respuesta es que sí que siempre puedes la idea consiste en utilizar el diseño de los niveles anteriores y añadir bisagras donde puedas por ejemplo vamos a transformar un triángulo en un cuadrado para compararlo con la solución de duda el primer paso es fácil porque se le pueden colocar unas bisagras en las esquinas y todo sigue funcionando igual por desgracia para el segundo paso tenemos que desplazar una pieza completa y no es posible añadir bisagras en ningún punto todo estaría genial si pudiéramos añadir una especie de

cadena con la que desplazar toda la pieza pero por qué no la recortamos nosotros esta fue la idea del artículo de 2007 lo que podríamos llamar el método de la cadena para mover una pieza con bisagras hay que recortar dos cadenas una cadena principal que una a la posición inicial y final y una cadena gemela en el punto de llegada las dos formadas por triángulos el proceso de trasladar una pieza es como una coreografía separas la cadena original separas la cadena gemela guardas la cadena original y colocas la gemela en el hueco original ojo si

se hace con gracia todos los huecos se quedan tapados y no hay piezas que atraviesen el material todo se queda perfect lo ponemos en práctica en el caso del cuadrado las cadenas quedarían de esta manera la principal que une la posición inicial y la final y la gemela en el punto de llegada separas la principal separas la gemela guardas la principal y guardas la gemela voilà o una pieza trasladada la gracia de este tipo de cadenas está en sus triángulos pueden hacerse muy largos para cubrir más distancia y más finos para que ocupen menos espacio

con ellos podemos mover cualquier trozo a la distancia que queramos por ejemplo para mover el último trozo a su posición final tenemos que construir una cadena bastante larga buscamos un borde sobre el que recortarla y la recortamos la cadena gemela también ocupa mucho espacio y tiene que estar muy plegada pero aunque el aspecto sea muy complicado el método es el mismo desplegamos la cadena original desplegamos la cadena gemela guardamos la cadena original y guardamos la cadena gemela por último añadimos un par de cortes para plegar todo sin que se atraviesen las piezas y ya está

hemos convertido un triángulo en un cuadrado con trozos encadenados si comparamos esto con la solución de tournai y vemos que la nueva forma es horrible no es muy práctico porque hay muchas piezas y algunas son tan finas que no se podrían construir sin embargo este método sirve para cualquier figura inicial y final piensa como sería para una figura más compleja el nivel dos te dice qué forma tendrían las piezas y el nivel 3 te diría cómo moverlas con bisagras y cadenas esto se puede aplicar a cualquier polígono en fin aquí termina el problema geométrico que

estuvo más de un siglo sin resolver no es interesante solo a nivel visual tiene algunas aplicaciones en el mundo de la nano ingeniería y la robótica pero si os lo enseño es porque creo que refleja una enseñanza básica en matemáticas resolver un problema complejo siempre empieza por resolver uno más simple solo hay que elegir bien el punto de partida no crees [Música]