Cálculo I - Aula 7 (3/3) Regras de Derivação e Exemplos

[Música] vamos levar mais uma pela definição que a função sobre x né e aí usar ela junto com esse resultado para tirar a regra do quociente então exemplo olhar para a função fdx gomes sobre x que vão pegar um número real quer no domínio tá pertencente à estrelas reais não muros e tentar calcular é filhinha dp/da tem que dar né a filha de pedro que quer por definição limite quando x tende própria fdx - fdp sobre x - p nesse caso concreto um sobre x - um sobre ip sobre x - tá tira o mínimo

no numerador ali o que vai sobrar limite quando x tende à p d pm no x sobre peixes tudo isso / x - espelho certo simplificando aqui vai ficar com limite quando x tende à p d - 1 sobre o peixe que a gente sabe um sobre x é uma função contínua que o qual o limite só substituirá a estudar - 1 sobre el quadrado que é sempre um número real que provamos que a função sobre x é derivado em qualquer ponto e seu derivado é menos 1 sobre o quadrado se quiser pensar isso é

uma extensão daquela regra do tombo né mostrou que x a emi como é que derivava tombava ou n chavão do expoente esse cara você pode pensar com um x elevada - 11 se você quiser tom menos um e tirar um expoente ficar menos um e levar menos 1 vez x elevado - 2 - em geral aquela regra dessa regra do tombo vale para qualquer expoint fixo né x elevado a alfa a derivada setor comercial fosse foi um número uma constante seu expoente varia junto com osh sair outra coisa tudo bem então a gente sabe de

levar um sobre x sabendo dele vão sobrar x a gente sabe que ele vá conscientes a a sua dúvida é sobre como definir a função roth x num caso concreto de fato eu tinha até observado isso não é conveniente usar aquela definição em casos concretos então se você se eu te dou uma função aquela função rodrich se ela pode não ser muito fácil de obter para este exemplo específico mas por outro lado você vê que usará que ela existe é contínua uma coisa que é super fácil para fazer as demonstrações então por exemplo se você

pega lá fdx igual a cena de x no ponto pegou a pista obrigou 2 você for tentar escrever tem que escrever o cene x como sendo sendo dipp sobre dois mais o vejo qual é a função se até olha seu x for diferente do pis sobre dois e passo dividindo se achar uma fórmula praxes diferente do ponto em questão mas é justamente que a função seja contínuo naquele ponto então como é que vai fazer para descobrir o valor delas teria que calcula o limite e calcular esse limite é a mesma coisa que calcula derivada pela

definição usual então do ponto de vista prático aquela definição de diferenciar a habilidade com a função roth x não é muito boa tanto aqui um exemplo né rui costa função sobre x não peguei o roubo porque eu podia me enganar com as contas aqui na frente de vocês então fui pelo limite que eu tinha certeza que ia dar certo tá bom naquele caso nesse caso dá pra baixar a função ro também não se embanana não mas eu tenho enfatizado que pra calcular a melhor coisa que tem é usar essa definição para derivada ou aquela h

tendendo para 0 que a gente foi muito útil no caso da função da econométrica tá então tendo agora a derivada da função 1 sobre x e sabendo derivar composta de funções eu vou conseguir escrever uma fórmula para a regra do consciente tá isso vai ser um corolário porque é uma conseqüência do que a gente fez até agora a consequência é relativamente simples tá aí você pega duas funções f e g derivava weiss 1 p e por uma razão que vai aparecer agora eu preciso que a gente pensa diferente de zero então efe sobre g o

consciente das duas funções é derivado em p e vale a seguinte fórmula a derivada df sobre gênero no ponto p é derivada df vezes o valor de g - o valor de fps é derivada de g sobre o quadrado da função vamos reduzir essa fórmula de uma maneira relativamente simples usando que a gente já tem olha efe sobre g eu posso escrever essa privada no ponto pê da seguinte maneira eu posso escrever isso como sendo efe vezes um sobre g derivado ponto p tudo bem tudo compondo esse inconsciente como um produto df vezes um sobre

g pergunta f é derivava vel por hipótese sim g é derivava eu sim um sobre gb vável sim porque um sobre gdm vável porque ela é composta da função jequié deriva' véu com a função sobre x certo então como a função 1 sobre o xv derivava eu hein sobre x composto com qualquer função que vai ser de nível vai ser de nível também estão concretamente como é que a gente pode escrever isso se você escreve hd y como sendo um sobre y você concorda que eu posso escrever um sobre gtx como sendo hdx que a

garrafais a função h faz inverte um sobre o que tiver laden certo então eu consigo derivar h bola g pela regra da cadeia assim né quem é h bola g linha um ponto p qualquer pela regra da cadeia a derivada de uma composta é você deriva de fora isso aqui vai ser a galinha calculado em gdp certo vezes é derivada de dentro de linha dp enquanto é derivada da função h derivada de um sobre x em qualquer ponta - um sobre o ponto ao quadrado então isso aqui vou escrever como sendo menos 1 sobre o

gdp ao quadrado em linha de pedro já estavam lá tá bom certo então eu sei deriva' efe pensei de levar um sobre g 4 que é derivado de um sobre g - g linha sobre gel quadrado então posso aplicar a regra do produto que a regra do produto manda fazer como o dele um produto de funções de nível a primeira copia segundo mas mantenha primeira e deriva a segunda que é derivada da 2ª - um sobre geral quadrado no ponto p&g linha dp certo agora acabou só tirar um mínimo fazer as contas todas tudo bem

não ótimo então vamos perguntar o que não aconteceu a derivada de um sobre g a função 1 sobre g você concorda que pode ser descrita como a composta de h com função g onde o h1 sobre x 1 sobre y tá então h composto com g é um sobre jeitão dele vão sobre gêmeos uma coisa que derivava a composta como é de nível composta de h com g pela regra da cadeia é derivada dh calculado em gdp vezes de linha dp enquanto é derivada da função h1h1 sobre a coisa derivada de um sobre a coisa

é - um sobre a coisa ao quadrado então a derivada de h ao cob gp é - um sobre isso ao quadrado vezes o gênio tá bom então quando for de levar esse produto é dele veio primeiro coloquei o segundo mais copia primeiro ele vem um sobre g derivado de um sobre gesso tá ótimo agora é só tirar o mínimo e obter exatamente aquela forma o capital mínimo que é gdp um quadrado né isso vai ficar com heath linha de pvs gp - fdp dele certo então agora a gente tem ferramentas para derivados quase qualquer

coisa que aparecer na nossa frente tá se você pegar qualquer função que seja só uma produto composta e consciente de funções trigonométricas e polinômios a gente sabe derivados vamos fazer alguns exemplos sei lá vão pegar um consciente que a gente sabe a tangente de x né a gente não pode olhar como um conselho a gente x é o que se chama de x sobre conscientizar é um consciente então eu tenho que saber dele vá se eu souber de levar o numerador denominador em saber derivados e no sabemos sabemos o derivado do conselho portanto não tem

segredo vamos fazer vamos é filhinho dp quanto é que vai ser pela regra como é que se faz deriva numerador mantém denominador comum que é derivada do numerador elevados e no cosseno vezes mantenha o denominador no ponto p - copia o numerador deriva o denominador comum que é derivada do cosseno - enem - a grávida mais tá bom sendo dp e embaixo iluminador ao quadrado em cima fica com seu quadrado mais cedo ao quadrado um jeito diferente escreveu número um é então isso é um sobre coocenal quadrado dp que também é conhecido como secante ao

quadrado de um sobre cosseno secante é o que dá para dizer é derivada da tangente secante ao quadrado em qualquer ponto qual outro cara que sabe deriva' que é parecido com esse o tangente conhecemos sobre se pode aplicar forma o vt da fx igual o contingente de x o que é isso o sanduíche sobre os bichos está obviamente todas as suas formas elas valem onde faz sentido né cênicos e não são indenizáveis em qualquer ponto sim mas a função tangente só está definida quando o conselho não lula né então só faz sentido aplicar aquela fórmula

nos pontos p onde conselho de pé diferente de zero nos múltiplos de pi sobre dois o acerto essa aqui é a mesma coisa só que agora onde os e no vale zero então são os múltiplos inteiros dp como é que fica a derivada dessa função num ponto qualquer deriva numerador - seno copia denominador - copia numerador deriva o denominador elevado de sempre sobre seu quadrado de pequim que dá isso - um sobre seu quadrado dp também conhecido como - você cante ao quadrado derivada da cootran gente é menos você cante o quadrado vale a pena

decorar tudo isso não sei é de cada um esse tipo de coisas que é melhor se fazer na hora pra mim é racismo confia muito na memória por essas coisas e agora a gente pode derivar coisas mais complicadas por exemplo não tão complicadas mas se você pega fdx igual à tangente dx ao quadrado como é que a gente deriva isso um ponto p qualquer você tem que enxergar o que está acontecendo ali você vê que tangente x ao quadrado uma composta de funções qual é a composta qual é a composição de funções que está fazendo

só peguei um número x aplicando a função x ao quadrado no resultado tangente certo então como é que eu vou levar essa composta da última para a primeira né qual foi a última coisa que a gente fez tem gente tão qual é derivada dele vai ser a derivada da tangente calculada nesse ponto então é isso né secante ao quadrado de papel quadrado vezes é derivada da função que está dentro do tanque gente que é quanto 2x no ponto pv vale dois perigosos o certo é diferente é claro que é diferente mas é bom enfatizar da

derivada da tangente ao quadrado de x né vamos lá eu já volto a gente só escrever aqui aqui né esse 2 p é a derivada da função x ao quadrado que eu preciso calcular aqui se você quiser olhar o que você tem a seguinte você tem um número x está aplicando a função x ao quadrado está certo e depois à tangente em cima desse x ao quadrado então se você quiser pensar aqui tem uma função g e aqui tem uma função efe como a gente tinha feito então quem é a derivada dessa função aqui é

derivada da função de fora quem é derivada da tangente secante ao quadrado calculado no ponto g de x no ponto pê vezes a derivada da função jeito tá então essa aqui é o contrário é que está acontecendo aqui eu tô pegando x calculando a tangente e depois elevando o resultado ao quadrado tom certo então como é que fica a derivada dessa função nova aqui qual foi a última coisa que a gente fez levar o quadrado derivado do olival quadrado é duas vezes a coisa então vai ser duas vezes tangente dp vezes a derivada da função

de dentro que a gente tá você vê que muda muita coisa né tá bom diga nessa ordem quer dizer qual a diferença dessa pra essas funções envolvidas são as mesmas e levar o quadrado e tangente eu só com pulso numa ordem depois concurso na outra aqui eu tô primeiro e levando ao quadrado e depois calculando tangente então quando for de levar o que eu devo primeiro ele o primeiro são gente e depois multiplicam pelo derivada aqui o que eu fiz o primeiro calculei tangente e depois ele vê o quadrado então o que eu faço qual

deriva o primeiro primeiro ao último quem é derivada de levar ao quadrado duas vezes e derivados da coisa ao quadrado duas vezes a coisa duas vezes a coisa vezes a derivada da de dentro que é derivada do tangente secante ao quadrado tá bom então é um efeito mesmo descascando cebola fácil e você pode ter expressões que envolvam produtos compostas e um monte de coisa assim né sei lá último exemplo talvez a é qualquer cana prova no passado esses exercícios com interpretação do derivado como coisas físicas a gente vai fazer a partir se você tiver anunciado

a ifá sim a gente vê tá bom até você achar e tudo bem é vamos selar x vezes secante ao quadrado de x tá eu tenho me arrependido mas vamos fazer as contas já pus na lousa bola é o que vai ser o fmi linha dp como é que deriva isso tem primeiro de tudo tem um produto para levar um produto como é que a gente deriva deriva a primeira então é filhinha dp vai ser derivada dessa primeira função que é quanto um no ponto pv vale 1 vezes segundo então vai ficar secante ao quadrado

dp mais aí vou copiar segundo no ponto pê vezes a derivados e campeão quadrado como é que você tem você cante ao quadrado o que eu estou fazendo primeiro eu calculei secante depois de levar o quadrado então voltei e vá levar o quadrado primeiro então vai ficar duas vezes à seca ante no ponto pê vezes quem a derivada do que estava dentro do elevador quadrado que é derivada do cecam ti quanto é derivada das e kant mas a gente faz para cálculo de elevadas e cante o que é secante 1 sobre cosseno não deriva com

a regra do quociente vão fazer aqui no cantinho gt x 1 sobre concelho como é que se deriva isso pode fazer de dois jeitos pode olhar com uma composta de um sobre você um sobre x com conselho x ou aplicar a regra do quociente lembrando que o numerador a função constante igual a 1 eu nunca calculei aqui mas quando fica derivado da constante 0 né levado da função constante é zero está é uma boa coisa pra gente calcula um dia enquanto que vai ser o gelo linha se você quiser se escreve é derivado do numerador

vezes o denominador um ponto p qualquer - numerador vez a derivadas do denominador sobre o denominador ao quadrado que dá isso sendo sobre conceder tangente fica sobrando um conselho da tangente vezes e cante passar então isso aqui você pode trocar por ser campeão quadrado dp mais 2p secante dp tem um ali multiplicando secante ao quadrado vezes a gente tá bom posso pegar e qualquer o exercício em questão dois da prova [Música] já a sic é um bom exercício de regra da cadeia de fato ótimo então essa é essa aqui a sugestão dele é um exercício

que foi a segunda questão da prova do ano passado tá eu vou ler o enunciado por pra não ter que escrever muito olha diz assim uma partícula se movimenta ao longo da reta segundo uma função horária dada pela seguinte expressão a g&d t é igual à efe dt a quarta sobre dois f ao quadrado de ter a quarta mais 11 times isso aqui vale para todo ter pertencente à r hoje é uma função dele vável estão sabendo q f de um vale 1 ea sua derivada também vale 1 determine a partir com a velocidade da

partícula num instante tudo igual então é traduzido o que ele está pedindo da física e velocidade instantânea vai ser exatamente a derivada tá então ele quer saber no final das contas quanto valho g linha de um sabendo o keefe de um é igual a 1 e também que a filhinha de um é igual tá bom exercício é de nívia função g em termos das derivadas df essencialmente é isso como é que a gente teria essa função g é um monte de conta mas a gente sabe fazer para começar é um consciente não é isso então

g linha de t vai ser o que eu vou aplicar a regra do quociente aqui como é que a regra do consciente derivada do numerador tá vamos lá primeiro derivado no numerador quanto é a derivada do numerador poder levar aquele em relação até então vai ser f linha calculado entre a 4ª vezes a derivada de dentro quatro telco tudo bem essa derivada do numerador vezes o denominador mais um - copia numerador vamos levar o denominador comum que é a derivada do iluminador aquele 2 é uma constante 1 quando eu for de levar zero então preciso

levar só isso aqui como é que eu devo isso eu tenho a efe calculado entre a quarta eo resultado ele vê o quadro mas se você quiser pensar naquela cadeia que o desenho como é que é você tem o t calculou até a quarta depois calculou a efe e depois é que ainda você leva o quadrado tudo bem esse é o engajamento das funções que teve aí qual foi a última coisa que a gente fez levou o quadrado então como é que eu vou levar isso duas vezes o cara só pagar tudo aqui tá então

vai ficar duas vezes tinham dois na frente multiplicando passar então vai ter 12 da derivada efe dt a quarta ele vem essa aqui agora tem que multiplicar por esse que é quanto à filhinha calculado entre a quarta e depois vão multiplicar pelo derivado do tea quarta que é 4 hotel o tudo bem então delivery numerador copiei denominador - copiei numerador dele ver o denominador tudo isso dividido pela de baixo ao quadrado tá aí o exercício pede o que gera linha de um substituto igual nessa expressão e pronto tá difícil é chato pra caramba é mas

é o que a gente fez de nada além de saber aplicar um robot camente as regras de derivação tá então gelinho de um só vai substituir todo mundo ali o t por um então vai ficar com um f linha de 111 vezes 41 que vai dar 2 vezes um desculpa efe é o quadrado de 1 + 1 - f de um aqui quatro f de um f linha de 1 tá era dado no problema que o f de um vale 1 f linha também vale um só substituir fazer a conta não vai dar quatro vezes

três 12 12 - 16 a menos quatro sobre nova isso desculpas se errei alguma conta dessa última passagem mas a dele vai se percebe era uma expressão horrorosa você vai devagarzinho descascando elevando o preço de emissão está fazendo sol tudo tá com um do ponto de vista de exercícios da lista o que já dá pra fazer dá pra fazer a página 1 inteira a página 2 inteira a página 3 inteira ea página 4 inteira tá então até o 3.21 [Música]