Cálculo I - Aula 29 (2/3) Sólidos de Rotação: áreas

[Música] como é que a gente pode então fazer isso nesse caso aqui quem que é que eu vou precisar vou precisar dessa medida assim é que se ele tá certo quanto que essa medida que é o comprimento vamos dar um zoom naquela figura eu tenho o gráfico da função no caso está passando assim né tem aqui a reta tangente certo - 1 enquanto que a medida daqui até aqui quem é essa medida poderia fazer uma coisa tipo pitágoras né ou usar uma informação muito importante que essa inclinação é dada nessa reta de chegada pela derivada

da função do ponto então se traçar um mapa o paralelo o eixo x aqui quanto que é esse ângulo esse ângulo ao fae eu vou ter o que a gente dele é o valor do derivado não é isso então como é que eu posso escrever essa medida essa medida hipotenusa desse triângulo triângulo retângulo que a gente sabe que por exemplo opôs e no deal faye quem quer chamar esse cara aqui de novo de ali tá essa medida é delta tem está certo dividido e poderoso l quem é ele então passa a multiplicar vai ficar 1

sobre cosseno então vai ser secante de al fayed delta tem bom o que é secante lembra que se cante ao quadrado é um mais tangente ao quadrado né então eu vou ter que o ele vai ser a raiz quadrada de um mais tangente de alfaya o quadrado da uti e quem quer ao fae tem gente de alfie é o coeficiente angular dessa reta e portanto é derivada da função no pontos e mais é filhinha de sair ao quadrado e portanto quem que seria a área do tron em questão vai ser do spe quem é o

raio se erre pra gente é o fdci tudo bem efe e quem é o l essa coisa então vai dar raiz quadrada de um mais f linha de ser ao quadrado ok eu sou má todas essas e vou obter uma estimativa para a aproximação eu sou aqui você podia ficar um pouquinho cabreiro com o fato por exemplo se você está nesse caso sakineh quando a função da crescente o hotel ideal é negativa o que acontece nesse caso qualquer relação entre esse ângulo e esse aqui usamos em questão estão suplementares à tangente a mesma você pega

uma p a gente não muda só pensar no gráfico da tam gente sabe como ele age - pi sobre dois eps sobre dois em todos os outros valores basta transborda também então você não precisa se preocupar se a função é crescente ou decrescente no intervalo em torno de cada ponto porque na hora que se eleva o quadrado se quisesse podia botar módulos e cante aqui dá na mesma tá bom é importante ter isso na cabeça a gente tem essa coisa quando você somar todas essas áreas laterais o que a gente vai obter vai dar uma

soma né se você somar tudo isso vai dar 2 pin fdc e raiz quadrada de com um mas é filhinha de ceira ao quadrado eu tô te ei você consegue ver isso como soma de rima de alguma coisa relativa essa escolha dos 62 pi fdx droga com o cabo raiz quadrada de um mais f linha de x ao quadrado e génova mesmo argumento sua função é ficar agora a opção ser mais coisas do que continua né estou usando é filhinha estou pensando que a minha função originalmente é derivado tá então se à efe por uma

função de levava o bota aquela de classe c1 é que a filhinha seja contínua também é o que eu posso ter todo mundo aqui é contínuo então eu estou fazendo uma soma de rima de uma função contínua por exemplo isso me garante que essa função é integrável e portanto quando a norma da parte entende para zero essa soma de que vão convergir para integral a gente tem que a área tomando limite a área e da rotação em torno do eixo x é integral de até b de quem do isp fdx raiz quadrada demais fmx ao

quadrado bom a gente consegue calcular se consegue algo a mais pelo menos consegue expressar a área de superfície sob medida pela rotação de um gráfico em torno do eixo x dessa maneira que você podia fazer pegar a mesma o mesmo gráfico e rodar em torno do eixo y fala também eu tô vindo de trás pra frente o primeiro volume depois áreas e depois cumprimentos poderia tomar um cuidado né se você calcular esse cumprimento integrar ao clássico cumprimento integral que você está calculando seria a área de um cilindro com altura igual o cumprimento do gráfico e

raio igual desculpa com altura igual ao cumprimento do gráfico e ohio que você for escolher não sei qual é porque que e cilindro é tem a mesma área que a área da superfície rotação é que ela está propondo o seguinte é é uma coisa interessante pega ser sólido todo mundo está vendo que ele gera uma superfície meio curvado dinho a área dessa superfície o que ela está pensando é porque eu não pego esse gráfico stico e róndon só vai produzir um cilindro porque a área de cilindro é igual a área dessa superfície podia cena você

acha chato estica existe algum cilindro que têm a mesma área que esse cara existe o problema do valor médio integral seu aplicar lhe aplica na fórmula pensando que a função fi é aquela raiz quadrada não funciona assim mas não é o que vamos fazer agora depois a gente vê a forma do cumprimento a tv porque isso funciona ou não também não temos aqui a área em volta em termos do eixo x se eu quiser rodar em volta do eixo y o que muda isso aqui em volta do eixo y concorda que a figura vai ser

completamente outra portanto área é outra mas o que vai mudar em relação à nossa conta na hora que eu fizer o tanquinho de contas e concorda que o segmento tinha da geral a 13 ao mesmo assim né antes eu estava pegando esse segmento e rodando em volta do eixo x para produzir esse ícone laranja agora vou rodar ele volta y produzir um outro koning um outro tronco de cone desse jeito aqui tá certo como é que é o comprimento a área lateral desse tronco de konya dó a fórmula vai ser a mesma o que muda

essa medida é a mesma e vai ser 2pi vezes com esta conferência que eu vou usar agora cumprimento da circunferência média né qualquer o novo raio eu sei então em vez de ter uma soma 12 pfdc e esse fator vou ter dois piques e esse fator então de maneira totalmente análoga à fórmula pra rotação de volta do eixo y fica assim na a2 pyxis vezes a mesma raiz bom agora porque como você é de uma para a outra quando eu giro no eixo x o meu amigo circunferência média entre aspas vai ter altura fdc e

quando gira em volta do eixo y ea circunferência de raio médio vai ter a eu sei nossas duas formas que a gente tem que fazer um exemplo e depois a gente calcula os complementos daria pra fazer essa aqui né veja que se consegue é se meter numa as complicações rapidamente né você pegar qualquer exemplo só vou fazer isso aqui pode dar uma primitiva bem chata tá bom nesse caso concreto e tafetá propondo vamos tentar calcular a área do do exemplo anterior da corunha né o que é que ia ser como eu falei essa conta ia

ser a área dessa parábola de fora que mais a área da parábola de dentro e qualquer uma delas quando for calcular vai ficar o que vai ser uma função com a drástica vezes a raiz de uma coisa quando eu terei a função quadrados que vai dar uma função linear e levando o quadrado vai dar um quadrado chega de novo em dois níveis um codinome de grau 2 vezes a raiz de um codinome de grau dois como você vai calcular se integral vai dar um trabalhão já achar uma primitiva pra isso então pensei num exemplo mais

que a gente faz a conta rápido já esse nem é tão rápidos então chutar uma função e tenta calcular suas coisas e pode pagar um preço caro eu paguei pra onde via não está bom era o desenvolvimento da fórmula todo mundo já entendeu desculpas se alguém estava copiando e tal como é que a gente calcula pegar fdx igual a cena de x intervalo de 0 a 1 o que eu estou querendo fazer nesse caso vou pegar a função sendo um x no intervalo de zero a pena uma coisinha assim também eu vou rodar esse volta

do eixo x utah quando jobs em volta do eixo x o que a gente obtém uma estrutura meio oval assim não é uma elipse então muito cuidado global eu quero calcular a área desse objeto como é que ficaria pela forma volume a gente sabia que alcock quiser como é calcular o volume integral de 0 ap felipe vezes e não quadrados sobre o cálculo integral de seu quadrado sim legal para tal com essa área então vou deixar indicado que o volume em volta do eixo x tá aqui a gente sabe fazer a área vai ser o

que é integral de zero até pe pela fórmula 2 vezes sendo de x certo vezes raiz quadrada de quem mais aderindo ao quadrado quem é derivada do céu o conselho então fica um mais um quadrado de x em x a gente consegue calcular essa primitiva também como que vamos fazer isso olha bem ir lá o que está dentro da raiz alguma coisa que está dentro da raiz tem a derivada forma multiplicando tá certo ele fala do sena - sendo então uma tentativa natural é chamar o depois nx deus vai ser - sendo de xx passar

e é isso aqui vai virar o que depois a gente acerta os extremos de integração cena de xx - deu então já vai ter um sinal de menos aqui fora do isp também sai que é uma constante tá bom então sendo xx já deu eo que é a raiz quadrada de um mais coocenal quadrado mais quadrada de com mais o ao quadrado quais são os extremos de integração agora tem que pensar quando x vale zero o vale 10 quando x vale p o vale - um bom então é integral de 1 até menos um décimo

mais quadrado você pode ficar um pouco assustado no começo mas está tudo certo né exatamente se você trocar esses caras julgar o sinal da integral troca e mata conhecimentos ou seja com certeza o resultado dessa operação aqui vai ser um número positivo integrando uma função positiva no intervalo vamos ver que estou andando de trás pra frente então vai dar uma isso aqui vai ser negativo conhecimentos da positivo porque quando o inverso extrema de integração troca o sinal você consegue demonstrar isso com uma mudança de variáveis que compõem essa integral com a função que leva 1

- 1 pega uma função linear que ele pega o ponto 1 e levando - 1 - 1 sabe quem é essa reta você sabe que essa reta faz dessa mudança de variável correspondente na integral claramente o coeficiente mubarak - uma então a nova variável vai ter menos aqui na frente fazê-lo chamas é igual ao menos um gol - o esses caras trocam o deu é menos deseja somos um movimento também é assim que você vê que trocando extremos de integração mudas final a inter então tá aí temos essa primitivas integral para calcular a gente consegue

ir ao colégio integral agora raiz quadrada de um mais um quadrado tem que lembrar de algumas identidades econométricos né se fosse menos um menos alguma coisa ao quadrado se pode pensar que é um c no conselho quando é um mais a identidade que a gente vai usar é secante de no caso ao quadrado é um esta gente ao quadrado então qualquer mudança de variável boa aqui se eu fizer é o igual à tangente dever ao quadrado com essa mudança é legal posso fazer a função tangente se encaixa em todas as coisas que a gente precisava

derivava etc e uma coisa que é importante qual é o domínio dessa função aqui quais são os valores que o pode atingir qualquer número real dentro da está sendo positivo então e à tangente é uma função sobre gestora né certo então qualquer número um sempre vai ser tangente de alguém então por isso que eu posso fazer essa mudança então há esse cuidado né dependendo do sistema de integração por exemplo aqui fosse de -20 até 20 eu não posso colocar o igual ao conselho que o conselho nunca vai atingir os valores nos sistemas de integração então

tem que pegar uma função que não há mudanças de variáveis sobre a diretora no intervalo de integração está usando então o que eu posso fazer isso e nesse caso quem é o de um secante ao quadrado de ver tv fazendo essa mudança de variável eu vou ter que a deixe se é menos do isp aquela primitiva como vai ficar a integral quando o vale 11 quando é igual a um tem até gente de ver a gente vê um portanto vê sobre 4 quando o igual a menos 1 quem tem que ser v diga-se que perdeu

na mudança de variável qual delas fizemos duas o igual tem gente de ver o qual foi produzida aqui porque eu fiz isso eu preciso tentar transformar isso aqui alguma coisa que a gente saiba calcular tá certo então você tem que olhar para as coisas e aquela brincadeira que faz sentir alguma clarividência o que eu vou fazer pra dar certo tá então na hora que você olha para as coisas e tem que automaticamente carregar na tua cabeça todas as identidades ergométricas que todas essas e no quadrado mas com sinal quadrado a 1 já são mais eficientes

está então como é que a gente pode fazer isso eu tenho mais alguma coisa ao quadrado das identidades que a gente tem qual é a que envolve um mais alguma coisa ao quadrado das e cante então ok como fazer isso chamei cut tangente se o futebol que a gente vai ficar com um mais tangente ao quadrado vou trocar os e cante exatamente 11 mais tangente ao quadrado é semelhante ao quadrado raiz quadrada dá seqüência ao quadrado nesse intervalo o melhor neste novo intervalo vamos terminar aqui fica - pi sobre quatro tudo bem e aí no

intervalo de - pi sobre quatro adeptos sobre quatro a seqüência positiva como é o gráfico das e cantina 10 ela vale 1 e número 2 1 sobre o santos pode prefeito tá então ela é positiva nesse intervalo que eu vou ficar com que um mais tangente ao quadrado de ver que é um mais tangente ao quadrado de ver secante ao quadrado então tenho raiz quadrada de ser campeão quadrado o que é isso módulo das e kant nesse intervalo a seqüência positiva então não preciso escrever um modo bem e que é o deu seqüência ao quadrado

de v de v ou seja essa aqui se resume a calcular a integral de menos - dois níveis é integral de sobre quatro amigos sobre quatro de ser campeão ocupa de ver a gente calcula na aula passada uma primitiva praticante álcool já pega aquilo ali substitui nos extremos acho o valor também não vê uma coisa inocente assim rodei um sendo que recalcular já está integrado ao corpo então qualquer coisa que você pegar pode dar um monstro simples e não sabe o que fazer também já que apareceu essa dúvida diga nesse caso não precisa mais a

pergunta dele é se eu achar primitiva dá seqüência ao clube eu preciso voltar a escrever tudo na variável x nesse caso não precisa porque porque eu já deixei os extremos compatíveis com da variável ver então vou pegar primitivas e cante ao cubo a gente tem aquela fórmula secante vezes tangente mais logo na seqüência mais tangente umas coisas desse tipo e substituirá esses valores já vai dar tudo certinho bom diga sobre qual só que sim a tabela é essa dúvida importante porque eu estou dizendo que quando o igual - um porque eu tô pegando tangente porque

eu tô pegando vê igual - pi sobre dois têm vários valores têm vários valores onde é tanta gente atinge menos um é porque eu tô pegando nesse intervalo porque eu tomei o seguinte cuidado eu queria um pedaço da tangente que atinge que cobra intervalo que o igual - 1 a 1 a quantos quanto os intervalos possíveis até gente está definido é que ela cobra inteiro intervalo vários você pegar o gráfico da tangente estou pegando menos 1 a 1 o tem um pedaço da gente que passa aqui tem outro então que eu estou fazendo quando eu

escrevi essa tangente eu tô pensando na inversa dela nesse pedaço então quando eu falei - um aqui é um e aqui - 1 quando eu peguei esse valor como sempre sobre quatro esse aqui tem que ser menos pessoal e quatro tocos e gandu no mesmo ramo da inverso se você quiser pensar ver é igual a arco tangente dill qual dos arcos tangente eu tô pegando eu peguei esse para inverter se eu pegasse é a mesma coisa o que acontecer se eu tô trabalhando nesse pedaço para o cara que aparece aqui para dar 13 sobre quatro

tá certo que o outro vai ser menos ou o menos sobre 4 a 1 e 3 sobre quatro outras cinco pessoas e quatro na hora que fizer a conta é a mesma coisa também diga estou desejoso significa aceitar os stents [Música] está dizendo uma questão de prova se você carrega o que se quer dizer com carregado nunca trocar os extremos tá é que por exemplo você escrever o que está pensando é escrever daqui pra cá deixando intervalo 0 ap aqui tá se você deixa eu entendi é veja se você deixa a 0 e pia que

está errado porque esse objeto não é igual a esse com extremos de zero a pique tá então se você não gosta de ficar mudando o sistema de integração a melhor coisa para não ter nenhuma confusão na leitura calcula primitiva cálculo integral indefinida volta pra variável x substituir o extremo está a não correr o risco de apanhar a e b que não avisa que a e b tá então assim eu vou calcular isso aí começa na linha de baixo vocal com essa primitiva aqui acha volta faz tudo que tem que fazer volta pro variável x e

substitui os extremos originais nesse caso fica mais rápido cálculo assim tal porque é muita mudança de variável então isso é uma coisa que dá pra fazer então eu fiz duas mudanças de variável né na outra turma rapaz ficou com uma dúvida não entendeu direito estava acontecendo mas foi muito boa pergunta dele o que aconteceu aqui eu estou chamando o cara de uma nova variável e aqui a variável estou inventando uma função é que eu falei tudo isso de uma vez só mas são dois métodos como se encontra na literatura um chama mudança de variável e

outro chama substituição tá isso aqui é uma mudança de variável eu estou chamando concretamente x d arco cosseno de um e fazendo toda coisa igual a gente fez um primeiro exemplo e aqui estou fazendo uma substituição todo sendo que um é essa nova variável tá então pensar em substituição à mudança é a mesma coisa ou você faz uma com a função ou o inverso tá e tudo isso se corrige na hora de pagar o preço do de um da relação do deu com the xx deu desde um vai ser alguma coisa vezes de x de

x vai ser o inverso dessa coisa vezes eu quero ter levado o inverso inverso do derivado a gente sabe disso tá ok você podia por exemplo fazer direto é o que a gente fez olha a gente chamou o de co cena de x e depois ouvir outra gente de vez quer dizer o quê que conselho de x em volta gente de ver certo podia fazer isso direto e derivando sei até o que menos sendo de x em x igual ou semelhante ao quadrado de ver tv é quando você pega e troca isso direto aqui seja

dá um pulo em caiaque de uma vez não é muito muito educativo fazer isso mas às vezes se encontram as soluções para esse jeito não vale a pena não está claro como é que você calcular essa área achamos a primitiva substituir nos extremos foi