Cálculo I - Aula 31 (3/3) Integrais impróprias: intervalos ilimitados

[Música] bom acho que tem de fato agora um último dos últimos tópicos que o que a gente chama de integrar as impróprias a gente vai tratar exatamente de calcular dois tipos de integrar o que não foram cobertos antes do que a gente pegou pra fazer integral e integral de riman era uma integral de uma função limitada no intervalo fechado o intervalo fechado finito de um número até 10 b então tem duas flexibilizações nesse conceito quais são elas eu podia pegar o intervalo ilimitado de um número até mais infinito de - infinito até um outro número

ou de menos infinito até mais infinito pensa que tem uma função está definido em toda reta real eu posso querer calcular embaixo do gráfico inteiro tá então esse é um tipo de integrarem própria quando o extremo de integração intervalo não é um conjunto limitado ea outra opção é quando eu posso estar no intervalo limitado mas a função adentro ilimitada esporte para o infinito em algum ponto entre o terceiro caso que o intervalo e limitar onde a função sport com o infinito também mas a gente trata esse como uma junção dos dois anteriores está então ver

o primeiro caso chama de integrar as impróprias parte 1 tá então definir o que é esse objeto então vamos pegar uma função definida de vamos dizer drr integrável no intervalo fechado até pra todo o tempo e me senti a é que isso quer dizer bom quem madrugou que a mãe maior igual tanto faz bom então pega uma função de modo que se você fixa o extremo-esquerdo igual a um valor a de aa até qualquer número se calcula integral bom então guay eu te dei por exemplo é igual a 1 e você escolhe o número 39

então eu sei calcular integral da função f1 até 39 outro escolhe 47 seixal com integral de 1 até 47 outro vem com menos raiz de pis e cálculo integral de menos raios de piatã é bom então se você sabe calcular a integral da efe em qualquer intervalo a gente define integral imprópria desse jeito a integrarem própria gente vai escrever assim como seu integral de a até mais infinito de efe dt de te amo xis aqui só pra ficar com a mesma pontuação do ano está a que é a integrar o día até mais infinito vai

ser simplesmente o limite quando te tende para o mais ínfimo itu integral de a pt está a nossa hipótese é que esse objeto existia para todo o número te integral de até tem existe então deixa uti até o infinito e de claro que é integral de até mais infinito é o limite das integrantes em cada intervalo finito tá bom a idéia isso aqui os isso aqui eu sei calcular a qualquer valor de t filter aumenta eu posso querer calcular esse limite é o que a gente vai dizer se esse limite é infinito eu vou dizer

que é integral é divergente ela diverte se o limite é um número ao dizer que integral conversa tá então se o limite é finito dizemos que integral de até mais infinito fxx é convergente e vai ser divergente em caso contrário está bom não preciso escrever alguns exemplos primeiro vamos tentar calcular a integral de 1 até mais infinito de um sobre x ao quadrado de x o que é isso pela definição de seu limite quando te vende para mais ínfimo itu integral de uma até te deum sánchez quadrado geometricamente isso aqui tem um significado sem limite

o que é isso aqui tá na tua função 1 sobre x ao quadrado certo o número 13 é o número t que é integral de uma tv essa área não é que vai ser integral em própria então é a área embaixo do gráfico inteiro a partir de 1o será que isso dá um número será que dá infinito como é que você faz isso calcula né a gente sabe uma primitiva para um sorriso ao quadrado qual a função qual é uma função que quando teria andam sobre x quadrado - um sobre x de 1 até te

ver como é que esse limite então a ficar menos 1 sobre t - - um limite existe quando teve para infinito enquanto que dá isso aqui é que a gente conclui e essa integral é uma integral convergente e eu vou dizer que a área da região ilimitada de 1 até mais infinito embaixo do gráfico 1 x quadrado é igual então é uma coisa que você vê que não tem fim uma região limitada com a área finito segundo exemplo vão fazer um sobre o x a mesma coisa que vai dar isso pela definição é integral de

1 até te limite quando teve a mais infinito de um sobre xx o que dá isso quem é primitiva de um sobre x lm do módulo x mas como x é positivo maior do que um aqui não posso ignorar o módulo isso vai ficar l e t - lnd 1 a 1 enquanto vale on isso é zero quanto quando teve para o infinito quem é eli ndt mais infinito né portanto essa integral é um integral de ver gente que quer dizer comparado com essa outra você pegar aqui pensar que o gráfico branco a 1 sobre

x quadrado como é que tá um sobre x ali antes do 1 ele é um pouco maior né mas depois ele fica menor então o que a gente está mostrando é que essa área cor de rosa que está acima da área em um bairro em cima da área sobre o gráfico de um software quadrado ela tende para o infinito então veja as desculpas que um sobre x as duas funções têm para 0 mas a área acumulada em baixo de um sobre x quadrado é um em área com o lado embaixo de um sobre x infinito

parece estranho os dois estão aproximando de zero mas qualquer diferença entre elas é que um sobre x quadrado se aproxima do eixo x mais rápido do q1 sobre x né então vamos dizer que as parcelas que eu vou contribuir para a área de 1 sobre o quadrado aqui embaixo são bem menores do que 1 sobre o xv de alguma maneira eu estou somando números cada vez menores num sobre x quadrado em relação aos outros dias muito bem dá pra vocês têm desses conceitos vamos fazer isso por exemplo que é integral de - infinito até um

número menos infinita mais infinito a vamos dizer integral de - infinito até a get the xx que vai ser isso limite quando teve para - infinito integral de ter até a refletir de x se der um número ou chamar de convergentes da infinito - enfim você chama de divergente tá eu posso fazer a integral de - infinito até mais infinito xx aí eu vou ter que suportar a função é ficar definida mesmo em toda reta real é como é que eu posso calcular isso quebra em duas né pensa que eu vou mandar o extremo esquerdo

pará - infinito e o direito para o mais ínfimo itu não escolhe algum ponto há ali no meio e isso é que se escreve com o semi integral de - infinito até a da f1 mais integral de água até mais infinito tá bom vamos ver dois exemplos ah vamos tentar cálculo integral ver se converso não integral de - infinita t0 de elevador xdx que se acha qualquer sua intuição para isso você acha que convergem diverge não têm intuição ou não só num conversa prefere fazer conta mas nem olhando assim não dá vontade de dizer nada

mesmo como é que o gráfico desse potencial você concorda que no - infinito o que a gente pode pensar que a gente sabe desse potencial que esse potencial tende pra para infinito muito mais rápido do que qualquer polinômios no infinito então troca o x por um sobre x por exemplo que vai acontecer que a gente sabe que quando se estende para - infinita exponencial tende para 01 muito rápido e isso me garante que esse cara tem de pesar muito rápido portanto ela vai tender para zero mais rápido do que qualquer coisa do tipo 1 sobre

x lanús - infinito potência de 1 sobre x se ela vai trazer mais rápido do q1 sobre x quadrado vai para 0 - infinito e essa aqui converge então minha esperança que a outra com veja também cento estão não tá ajudando ainda se faz a conta na qual aponta para fazer aqui mas deixa eu te falar uma coisa muito importante a intuição te diz qual é a conta que você quer fazer porque não pensasse um espaço das contas que você pode fazer um dado problema infinito não pode fazer qualquer coisa algumas são os que vão

te levar o resultado correto para saber qual é a conta que tem que fazer um pouquinho de intuição gente precisa mandar pra escrever um algoritmo do tipo atenta tudo o que é possível e ver qual é o que resolve mas não tem critério para saber o que é possível que é razoável não há como é que a gente faz essa conta qual é primitiva de elevada x elevada x então isso aqui vai ficar no limite quando tem de prata - infinito de elevado à x substituído no extremo inferior - elevando x substituído no extremo inferior

tá que acontece quanto vale elevada 01 e quando te vai para - infinito que acontece com esse potencial - infinito esse potencial tende para zero então essa parcela tem de provar isso aqui é um então de fato essa área acumulada desde - infinita até 10 embaixo desse potencial é um número vale um diga a última partida em área integral de de - infinito mais infinito isso aqui eu posso santiago então é aquilo que eu comentei por cima né quem essa constante à praia escrever isso eu tenho que pensar que a sua função tal definida em

toda reta real é nossa hipótese para escrever esse objeto é que a função é integrável diá até qualquer número te escrever esse objeto não falei mas está implícito a função integrável de qualquer número t até a para todo ter menor do que a integral de t até a existe a definir se o objeto dessa maneira esse aqui eu defino quem integral de até te está definida para todo tem maior do que a e cálculo como a gente tinha definido anteriormente então esses dois objetos estão definidos eu digo que esse cara é a soma desses dois

você tem que escolher qual é o ponto alto vai pegar qualquer número no intervalo qualquer um desde que a função efe esteja definida em toda reta então temos esse exemplo qualquer um outro vamos pegar a d - infinito até mais infinito integral de um sobre quatro mais x quadrado de x a gente sabe fazer a primitiva de um sobre quatro mais x quadrado um corte de antemão vai como é que a gente faz essa conta essa é uma das semifinais 6 net você quiser pensar qual é o truque hoje 14 em evidência não é assim

ea gente faz o igual à x sobre dois isso aqui vai te dar o que a arco tangente dx sobre dois quando eu devo sair um meio que a mulher então foi 12 aqui na frente então quanto que vai dar essa primitiva desculpar-se integral aqui só que se você quiser você pode quebrar como duas ou seja calculado de uma vez né o limite de tempo para infinito de - tt você percebe que dá pra fazer isso porque na hora que fizer essa conta como é que fica essa brincadeira aqui isso aqui vai ser a primitiva

no ar - a primitiva no limite tá certo mais a primitiva no limite - a primitiva no ar tão primitiva não aparece aqui com um sinal positivo que negativo cancela aqui vai ficar primitiva no limite mais infinito - a primitiva no limite - infinito então isso aqui se você quiser você pode calcular automaticamente como sendo o limite quando te tende para o mais infame tu integral de - tt de um sobre 4 x 2 x 1 o que é isso em vista dessa continha que a gente fez vai virar essa primitiva limite quando te informais

infinito do ar duas vezes o arco tangente sobre dois desculpa de ter sempre dois - dentro até a quanto que dá isso lembra que há muita gente é uma função internet então é ficar dois arcos tangente dt sobre 2 - 2 a tangente de -3 sobre dois se menos por lá fora então isso aqui vai ficar o que limite quando te entende para mais ínfimo itu de quem 4 enquanto que dá isso que acontece com arco tangente quando teve para mais ínfimo itu ó se o tempo é para mais ínfimo itu ter sobre dois também

vai tudo bem se eu tenho sobre dois têm de preencher um mito enquanto que o arco tangente de uma coisa que tem para infinito e sobre dois então isso aqui vai dar sobre 24 bom ou seja se você pegar como é que o gráfico dessa função oi nós obrigado em tinha dois aqui com esse é o quarto aqui é meio esquecido um quarto então fica meio aqui aqui é meio aqui é meio não aqui fica só isso é porque dobra então vai dar ok sobre a então se você fizer o gráfico da função 11 sobre

quatro mais x quadrado está a gente sabe fazer a área embaixo desse gráfico é iguape sobre dois do - infinita mas enfim o desenho gráfico a gente consegue calcular qualquer integral impróprio e ver se elas convergem de velho com isso dá para fazer umas coisas legais nas aulas de exercício a gente faz a gente sabe então calcular volumes sabem calcular o volume de sólidos de rotação e sabemos qual a área superficiais nesses mesmos óleo tá certo então pega por exemplo a função 1 sobre x e calcula o que seria o volume de 1 até mais

infinito dá para calcular isso dá né se você pega uma função um sobre x eu tenho direito de calcular e pegar o sólido de rotação gerado por essa curva eu poderia calcular o que seria o volume ali dentro que seja o volume aqui bem até o infinito como é que era forma pi vezes a função ao quadrado não era isso vai servir vezes um sobre x ao quadrado deixe a gente sabe calcular essa né o pipo lá fora da integral e um sobre esse quadrado a gente com álcool isso é que dá um número certo

é menor do que o infinito gente coap vez um número que tinha dado antes eu sei calcular a área superficial a gente é uma forma também não vou dizer que vai ser integral de ontem mais infinito como era a fórmula 2 pi vezes fdx vezes a raiz quadrada de um mas é filhinho ao quadrado quem quer filhinha 71 sobre safina - um sobre x quadrado vai ficar - um sobre esses quadrado tudo ao quadrado vai ficar x 2 mais um sobre x a quarta isso fez a quarta mais um tá bom sites quadrado aqui fica

assim né tenta calcular essa primitiva e ver o que vai dar isso aqui você fizer a conta vai dar mais ênfase no ataque que isso quer dizer uma coisa bem esquisito né eu tenho quer dizer não é um sólido de verdade porque se trata aqui é limitado né mas eu tenho uma figura uma superfície que o volume dentro dela é um número ea área lateral dela infinita ou seja você construiu se um balde desse jeito você consegue encher ele com o pili tros de tinta as você não consegue pintar ele com a mesma à superfície

dele com a mesma tinta que nos encheu uma coisa meio paradoxal porque porque só dela não é um sólido não é limitado tá bom então pensa assim é uma lata de tinta que você consegue encher mas não consegue pintar a própria tinta você olhar o pincel e começou a pintar lateral dela quati infecta dentro da tinta lá dentro vai acabar e não terminou é isso que acontece estranho né tá então acho que ela gente já tá com o tempo mesmo lotado não sin son-ho acabou 9/11 está bom então na hora que vem a que a

última coisa que eu quero falar são dois assuntos que têm a ver com integração e coisas que a gente já viu antes então um deles é funções dadas por integrais em próprias a gente faz isso bem rapidinho e a última coisa é aproximar o cálculo de integrais de funções que não tem primitiva um pronome de taylor eu comentei isso rapidamente né se você tem uma que calcula integral de uma função que você não sabe achar primitiva eu posso aproximar essa função pelo seu povo em nome de taylor e aí dizer que a área embaixo da

função é aproximadamente a área embaixo do polígono de taylor no intervalo conveniente e obter estimativas para o erro então numericamente eu consigo aproximar integrais que não conseguiria calcular a gente faz escola que vem e já começamos a ver os exercícios da lista tá bom obrigado então e até sexta tá