Cálculo I - Aula 30 (3/3) Funções dadas por integrais

[Música] paga duas funções definidas no intervalo haver integráveis tais que fdx é igual a gtx a exceto um número finito de pontos dá pra imaginar essa situação quem tem duas funções que são ambas integráveis e o gráfico delas é igualzinho exceto um número infinito de pontos onde o valor da f1 não necessariamente igual valor da g então se você tem o gráfico é quase o tempo todo os dois gráficos passam exatamente um em cima do outro e num ponto ou outro um cara dá um pulo também que você acha que dá para dizer em relação

as integrais df no intervalo a b é integral de gelo intervalo abel se os gráficos delas são quase iguais o tempo todo que se espera que aconteça com a área embaixo do gráfico pensar efetivamente aonde que pensa assim qual que é a área da região onde fdx é diferente x é um número finito de pontos então é são possa se você for pensar lá na frente novamente aqui está a soma de rehman a os valores da ufdg vão ser diferentes num um palitinho diária 0 né porque hotel é só é só um ponto onde é

diferente depois um outro ponto onde uma diferente da outra então vamos acertar isso um número finito de retângulos diária 0 entre aspas e portanto você não espera que isso contribua para a área do gráfico se espera que seus integrantes sejam iguais mas você podia pensar desse jeito falou então na soma de rima que estou fazendo é somar um monte de palitinhos de a 0 estou tomando um monte de zero porque integral mundo a 0 às vezes dá um medo porque não é isso que a gente tá fácil é só um modelo bem intuitivo então tentar

demonstrar esse fato de uma maneira relativamente simples faz o seguinte considera a função fdx - gtx está a diferença entre as duas funções que você pode dizer com certeza hdx é integrável integrável porquê porque é integrável já integrava a diferença de integráveis é uma função integrada quanto vale hdx na maior parte dos pontos 0 por quê fg são iguais exceto um número infinito de pontos então hdx é igual a zero exceto um número infinito de pontos que nós vamos fazer é tentar calcular integral dessa função hiv que é integral dessa função h vale zero como

é que a gente calcula integral pega uma partição né então se p é uma partição de a b e eu escolho c e tal que agradecer e 0 posso fazer isso vamos pensar você pegou o intervalo a b fez uma partição você faz uma partição ser dividir esse caso subiu intervalo dividir quantos pontos tem dentro de cada sub intervalo para subir intervalo o intervalo infinitos bons ea gente já viu que a quantidade é a mesma que da reta real inteira mas não importa então dentro de cada sub intervalo da partição existem infinitos pontos tem chance

de todos eles a função ser diferente de zero claro que não é porque ela a função h ela é diferente de zero número finito de pontos dentro de cada intervalo infinitos então o que eu posso fazer eu posso pegar uma partição e dentro de casa subi intervalo eu pego um ponto sei onde a função a galiza zero sempre tem por quê na maior parte do tempo a função h vale zero também então qualquer intervalinho sempre vai ter pelo menos um na verdade infinitos pontos aí onde h vale zero escolhi enquanto que da soma de riman

da função h relativa a essa partição e essa escolha dos seis como é que é a soma de rima hd seis vezes delta tem quanto vale htc e dell tem 10 portanto eu tenho uma soma de riman que vale zero para qualquer parte são eu pegar as normas das partições tendendo para zero todas as somas de rimini construídas dessa maneira vão valer 0 então eu achei somas de riman que convergem para zero eu sei que a minha função é integrável não é então qualquer sombra de renan tem que convergir para o mesmo valor que o

valor integral se eu achei algumas que vão para zero e todos têm que convencer o mesmo valor quanto vale integral 0 isso implica tudo isso que eu falei na implica que integral de até b dhd x 2 x 0 e quem é integral de hdx a integral da diferença é a diferença dos integrais né então se essa diferença vale zero porque as duas são iguais provamos resultado vamos ver como é que a gente usa isso na prática vou pegar dois exemplos fazemos contínuo 1 a 1 se eu pegar esse aqui as contas são bonitinhas a

vamos pensar que a nossa função fdx não precisa ser necessariamente continuar essa que não vai ser mesmo tá ela é x ao quadrado praxes entre zero e um tá e vale 2 sobre x quando x foi estritamente maior do que o comum é que o gráfico dessa função a gente sabe desenhar até um é uma parábola com bolinha fechada certo no um pela direita tem de avaliar quanto dois né mas a bolinha aberto e aí daqui pra frente ela é um sobre x bom é uma função que eu posso dizer respeito dessa função descontínua dúvida

certo uma função de continuar no ponto 1 como é que eu faço pra calcular por exemplo a integral de zero até 27 x que aquela quarta propriedade do teorema das propriedades integral de me dizer se você tem uma integral no intervalo após quebrarem dois intervalos de juntos o mané então eu posso escrever como sendo integral de zero até um df x de x mais integral de 1 até 2x isso vale como é quanto vale integral de zero até um jeff x integral de zero até um intervalo 0 1 fxx ao quadrado aqui você tem que

tomar um cuidado no intervalo de 1 até 2 quem é a tua efe ela não é 2 sobre x 2 sobre x é no intervalo de 1 2 roberto na china é maior que 1 mas que esse problema está me dizendo que o valor integral como é que eu posso ler se que o valor integral daquela função do intervalo aberto no intervalo fechado é o mesmo porque eu posso eu posso pegar um novo eu posso pensar na função 2 sobre x com bolinha fechada e calcular essa área aqui é a mesma coisa tá bem então

como eu estou alterando o valor da função num único ponto a minha função efe essa a minha função gs você quiser bota bolinha aberta que bota bolinha fechado aqui com a diferença da função f para a função g elas são sempre iguais exceto no ponto x igual a 1 e quando eu troco num único ponto valor da função não altera integral então eu posso fazer conta desse jeito mesmo isso aqui vira 2 sobre x a gente sabe fazer isso x ao quadrado a primitiva x ao cubo sobre 30 até um vale um terço esse aqui

vai dar duas vezes log de 1 até 2 vai dar um blog de 422 heleno de 21 também a 0 você pode fazer conta desse jeito se é um ponto só segundo tem que tomar cuidado se a função explodisse para infinito aqui né se fosse uma coisa tipo 1 sobre x menos um tem que tomar muito cuidado porque não tem nenhum valor que eu completo aqui se quando eu chego no ponto a função explode para infinito ou menos infinito a gente estuda uma coisa que chama integral imprópria amo ver nas próximas aulas então vamos ver

tá claro como é que se faz a conta é meio que faz a conta sem se preocupar se mais com um finge que não se preocupam mais toma os devidos cuidados a um segundo exemplo é assim eu tenho efe dt é a função te tratei entre 01 e pra ter maior do que uma vale ter um quadrado - um sabemos fazer o gráfico dessa função sim né como é que o gráfico dela entre zero e um eps e tristes bolinha fechada a qui e dom pra frente o que ela é x ao quadrado - um

na paraíba eu estou interessado em olhar é o seguinte eu vou olhar para a função é fã de x que é integral de zero até x df de tdt está cuidado aqui e veja que o que eu coloquei variável diferente né o extremo de integração não é a variável de integração também então pergunta por exemplo se eu pego um x menor do que 1 enquanto que vale é fã de x pra esse xis aqui a área desse triângulo mineiro tá bom eu pego x é igual a 1 exatamente a área do triângulo inteiro se eu

pego x um pouquinho maior do que um que quer a área a área do triângulo inteiro mais esse pedaço certo ela vai acumulando toda a área embaixo do gráfico da efe vamos escrever essa expressão por extenso em que fx se o chile está entre 0 e 1 como é que a f é xuxa está entre 01 efe dt é t enquanto que vale a integral de 03 x de t é o quadrado sobre dois de x 20 x ao quadrado sobre dois está bom qualquer que seja x entre 0 e 1 a área acumulado embaixo

desse gráfico é isso aqui tá certo como é que você calcula isso enquanto que a primitiva desse cara tem um quadrado sobre dois no x vale x ao quadrado sobre 2010 embaixo embaixo tem que ter um cuidado né escreveu isso vai cuidado integral de zero até x de tdt praxes entre 01 em baixo como é que é vai ser toda a área acumulada nesse pedaço então é integral de zero até um jet tvt mais a integral de 1 até x ggf de tdt muito bem quanto o ft quando te varia entre zero e um bom

todo mundo acompanhou isso sim enquanto que efe dt quando ter maior do que um quadrado menos um então consigo escrever tudo bonitinho aqui né que vira isso esse cara a gente calculou escrever direto há desculpas eu fui rápido x ao quadrado sobre dois quando che está entre 0 e 1 e esse cara que vai dar o que enquanto que dá esse fator essa parcela terá um quadrado sobre 2011 ou simplesmente área do triângulo né 11 vezes um sobre dois meio mas quanto à primitiva desse cara de okubo sobre três - te isso de 0 3

x 1 até x tá certo então o que vai dar isso x ao cubo sobre três - x menos um terço mais um também isso aqui vale se o texto for seu x for maior do que 1 então tem uma função de chave e aí qualquer pergunta natural que a gente faz no local com quantos têm uma função de shaolin será que ela é contínua derivavam nesse ponto não é onde o que acontece enquanto que vale como é que eu faço para saber se a função é contínua olha pra x entre zero e um claro

que ela é contínua é um polonês praxes maior do que 1 é outro polônia então nesses pontos com certeza é contínuo onde que me interessa descobrir no ponto x igual a 1 como é que eu faço pra ver se a função é contínuo pontes igual a 1 o limite dela tem que ser igual valor no ponto na aula segunda terceira aula que a gente fez né então vamos lá tem que calcular isso quanto que vale o limite quando x tende para um erro pensar fazer os hotéis né antes tende a 1 pela esquerda o x

é menor do que 1 e portanto fx negócios ao quadrado sobre dois estudar meio onde se estende a 1 pela esquerda enquanto estende a um pela direita quanto que dá antes tende a 1 pela esquerda a cara da função pela direita desculpa a cara da função é essa aqui e quando che se aproxima de um pode fazer as contas vai dar meio não é igual enquanto que vale a função no ponto x igual meio então os limites laterais são iguais portanto o limite existe o limite é meio e é igual ao valor da função isso

implica df é contínuo vou escrever a equipe enfatiza olha inclusive em x igual tá ou seja mesmo a função é fininho tendo uma descontinuidade a área acumulada é contínuo tá então a função f1 tem uma continuidade nesse ponto mas a área com o lada é continuar nesse ponto qual é a próxima pergunta se a gente sabe que é contínua falta ver que é derivava eu vou ver se é derivado como é que eu faço pra ver se a função de levava a calcular filhinha no ponto um dos outros pontos está claro que ela é derivado

na antiga derivada antes x coincidência é a derivada praxes menor do que 1 é o valor da função é fininho um ponto menor do que 1 ec x formar do que uma hora que deriva isso aqui isso no ponto x biguá vou precisar olhar o limite quando se estende a um pela direita e pela esquerda e um sobre isso tá então olhando os laterais enquanto que vale o limite lateral à esquerda quando x é menor do que 1 como é que a cara da função f1 x ao quadrado sobre 2 - meio na pf de

um sobre x menos 160 bota um meio em evidência quanto que dá isso fica x 2 - 1 em cima né mas se você quiser passar vergonhas e calcula se que o hospital olfatória mesmo né vai ficar x + 1 x menos um copo da x + 1 vezes meia então quando estevam isso aqui é também quando x tende a um pela direita como é que fica vai dar limite se estendam pela direita quem é o fx agora x ao cubo - x quanto que dá aquela coisa toda dois terços +6 né x ao cubo

- x aí vai ter dois terços mais meio mas vou ter que subir subtrair o valor da função que é meio da só isso aqui tudo isso / x - um a quanto que dá isso você substitui x igual a um da zero em cima de alguma coisa que não está bom ao cubo sobre 34 x ao cubo sobre três substituem chegou a 120 em cima e embaixo o meio boa pergunta cadê o meio esse meio que estava aqui eu não vou fazer fx - f de um quanto vale a pedir um meio cancelou tá

então daí só é certinho e você vê que tem 10 em cima da hora embaixo um limite para calcular como é que faz fattori se quiser quais são as raízes do numerador 16 mas é que se você quiser se faz com o hospital ainda não ter vergonha né 0 sobre o zero que vai dar x ao quadrado menos um continua igual ao nosso vale zero que a gente conclui os limites laterais não existem portanto é quer dizer existem mas são diferentes portanto efe não é derivado em mim então o que aconteceu a função dada pela

integral a função dada pela integral é contínua independente da descontinuidade da função original mas ela não é de nível no ponto onde teve essa descontinuidade a particularidade desse exemplo não tá gente tem um teorema vou escrever anunciado a gente demonstra ele na hora que vem a bom termo que a gente tem não teremos que te dizer exatamente quando tem uma função dada por uma integral é contínua quando é derivava eu e quanto é derivado em cada ponto terá anunciado ele direitinho tá então se f é integrável um certo intervalo fechado a b e você tem

um cd dentro desse intervalo então a gente pode dizer o seguinte a função é fã de x que é a integral de 70 x df de tt é contínuo bom esse tema sutilezas aqui que a gente não vai poder tratar muito mas vale a pena comentar a função é contínua e nos pontos de continuidade jefinho é fã f maiúsculo é derivava eu e vale é tão linha nesses pontos num ponto o campeão de f1 é contínua dessa forma tá já vimos uma coisa parecida com essa lembra quando a gente provou que toda função continua a

admitir a primitiva a gente provou quem que era o candidato a primitiva exatamente um cara desse tipo eu mostrei que o fdx - fp sobis - p a gente fez o limite com xx mais a ganhar né fx mais h - fx sobre h dá um certo valor qualquer diferença o que tem de diferente agora em relação a um ano antes antes eu estava supondo que a minha função é fiera contínua em todo o intervalo aqui não aqui a função não precisa ser contínuo em todo o intervalo se eu for continuar num ponto então a

função dada pela integral é derivavam naquele ponto ea derivada é igual ao valor da função original naquele ponto então aquela coisa que a gente fez antes era essa situação quando era contínua em todos os lugares que eu tô entendendo por causa do iof não é contínua em todos os lugares que a gente já viu os exemplos engraçado né gente viu exemplos de funções que eram contínuas um único ponto se essa função que é contínuo único ponto se ela for integrável o que esse problema está dizendo que a área com o lado embaixo do gráfico dela

é uma função contínua e só vai ter derivado da nesse único ponto onde a função original era contínuo você consegue imaginar uma função que é contínua em todos os pontos mas que não tem reta tangente nenhum ponto exceto um é uma coisa que você deseja sentir o lopes do papel mas que nenhum ponto tem uma reta tangente na constante ela tenha tanta gente a mesma em todos os pontos é uma função que desenha sem tirar a obra do papel mas em casa ponto ou não existe o coeficiente angular ou dependendo de por qual lado você

vai e lhe dar valores diferentes é uma curva muito maluca mas existe tá então pode ter situações desse tipo se você tiver uma função que é bastante diz continuar mas ainda assim integrável a gente conhece um exemplo lembra aquela aquele primeiro exemplo aquele da lista um aquela função de tomé que era descontínua somente nos números racionais a função que eles continuam nos números racionais a gente não tem como ver mas ela é integrável sendo é integrável aí embaixo dela produz uma função contínuo e quando ela vai ser derivava eu somente nos pontos e racionais que

hoje é contínuo em cada ponto e racional tenha reta tangente um pouquinho do lado tem o irracional que não tem mais tá na hora que vem a gente prova este teorema e ver como é que usa ele para resolver por exemplo os exercícios da lista tá com isso a gente já mata a lista inteira dá pra fazer tudo pelo menos a sessão até seção 4 [Música]