Matemática do Zero | Dízimas Periódicas Simples e Fração Geratriz - Brasil Escola

seja bem-vindo estudante ao canal Brasil escola eu sou o Pedro Ítalo o seu professor de matemática e na aula de hoje eu quero falar com você sobre dízimas periódicas simples continuando Nossa playlist fantástica para você aprender matemática de uma vez por todas matemática do zero Então fique de olho que a nossa videoaula já vai [Música] começar o que que são dízimas periódicas são números decimais infinitos que em algum momento após a vírgula vão aparecer apenas repetição por exemplo 0,777777 é 8,3 4949 4949 17,13 123 123 123 certo isso são dízimas periódicas eu vou colocar um

exemplo Zinho aqui na tela para você pra gente trabalhar alguns outros assuntos que tem por trás dele vamos supor essa dizma aqui ó e 18 vírgula 4 93 e uma barra no 93 O que que significa essa barra essa barra está dizendo quem é o nosso período ou seja quem é a nossa repetição escrever isso então é a mesma coisa que eu escrever para você 18 ví 4 93 93 93 blá blá blá infinitamente Ok quando a gente olha para essa dizima periódica Eu tenho algumas partes que você tem que saber a nomenclatura delas Tá

bom então por exemplo esse 18 aqui ó o número 18 ele está representando para nós a parte [Música] inteira dessa dízima tá então aqui está representando parte inteira o número após a vírgula que não pertence ao período que no caso seria esse quatro porque esse quro não pertence à repetição é chamado de parte não periódica parte não periódica e aqueles algarismos que estão repetindo né aqui no caso quem tá repetindo é o 9 e o 3 o 93 ele é o nosso período Ou seja a parte periódica Então isso é dízima periódica as dízimas periódicas

elas podem ser divididas em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas na aula de hoje eu quero falar com você das Dimas periódicas simples o que que são as dízimas periódicas simples são aquelas dízimas em que o período aparece imediatamente após a vírgula por exemplo 0,4 e uma barra aqui em cima desse 4 é a mesma coisa que 0,4 4 4 4 0,7 uma barra em cima do 7 é como se fosse 0,7 7 7 tá vendo que o período nessas duas dízimas aparece imediatamente após a vírgula então é uma disma periódica simples ah Professor

Então quer dizer que esse exemplo que você deu aqui é uma disma periódica não simples Exatamente é uma dizma periódica que nós vamos ver depois que é chamada de composta por quê porque após a vírgula tem esse numerozinho aqui ó que não faz parte do período então é uma dízima periódica composta porque eu tenho número depois da vírgula que não faz parte do período nesses dois exemplos que eu coloquei aqui à sua esquerda o 0,4 barra e o 0,7 Barra São Dimas periódicas simples vou te dar outro exemplo 0 V 18 e a barra no

18 que é como se fosse 0,18 18 18 18 dízima periódica simples vou te dar um outro exemplo 0,13 e a barra no 123 é como se fosse 0,13 123 ah Professor mas uma dizima periódica simples ela sempre tem que ser 0 V alguma coisa não necessariamente não necessariamente eu posso colocar aqui para você e um exemplo de 2 v 8 e a barra no 8 é como se fosse 2,888 dizima periódica simples porque depois da vírgula aparece imediatamente o período só mais um pra gente fechar com chave de ouro aqui vou colocar para você

4,36 Barra no 36 é como se fosse 4,36 36 36 36 dízimas periódicas simples as dízimas periódicas são números racionais Ou seja você consegue escrevê-las em forma de fração você consegue escrevê-las em forma de fração e essa fração ela é chamada de fração geratriz bom eu vou pegar aqui vou colocar para você esses exemplos que eu escrevi aqui para você ó numa próxima página pra gente discutir eles vamos lá colocar aqui dará uma ajeitadinha aqui nesse negocinho ó a dizima periódica 0,4 4 4 4 tem como fração geratriz [Música] 49 que que isso significa que

se você pegar o 4 e dividir por 9 Olha o que que vai acontecer não dá acrescenta o zero o zero é a vírgula que número eu multiplico por 9 dá próximo de 40 4 4 x 9 36 sobra 4 acrescento o zero continua por 4 dá 36 sobra 4 4 4 4 4 então a fração geratriz da dízima periódica 0,444444 é 49 é chamada de fração geratriz porque é a fração que gera aquela disma periódica 0,7 7 7 se você tivesse que dar um chute qual chute seria que você colocaria hein se você pensou

em 7 9 7 sobre 9 você está correto Se você pegar su calculadora ou fazer na mão mesmo 7 di por 9 vai dar 0,777 Ah mas Professor fiz aqui na minha calculadora e apareceu 0,7777777 e um 8 no final tudo bem É porque a sua calculadora seja ela normal né ou celular tem uma quantidade limitada né de algarismos então ele faz uma aproximação Então mas se você fosse fazer a divisão é 7 7 7 7 7 infinitamente 0,18 tem como fração geratriz 0,18 18 18 18 18 é a mesma coisa que 18 sobre 99

1899 E aí obviamente é possível simplificar por 9 e simplificando por 9 18 9 é 2 99 di 9 é 11 então é a mesma coisa que 2 so 11 0,123 123 123 Pensa aí no que eu já escrevi para você se você tivesse que dar um chute que qual seria o seu chute se você pensou em 123 sobre 999 você está correto 123 so 999 é possível s simplificar por 3 123 di 3 41 e 999 di 3 333 2,888 88 acredite é 28 - 2 sobre 9 ou seja 26 so 9 4,36 36

36 é a mesma coisa aqui 436 - 4 sobre 99 por que que se eu tô que eu tô rindo é porque eu tenho certeza que a maioria de vocês pode estar pensando assim ó cara como que esse professor está chegando nesses números como que ele tá chegando nesses números Calma eu vou te provar o por que a resposta das fração da fração geratriz dessas dízimas periódicas são esses valores vamos começar por esse 0,444 tá aqui ó 0 V 4 4 4 quando a gente não sabe um negócio na matemática nós temos o costume de

chamar ele de uma letra Qual que é a letra A mais comum que a gente chama é x Então vou chamar isso aqui de x que que você vai fazer agora você tem que ter um raciocínio na sua cabeça você vai ter que movimentar com a vírgula o número de casas do período por exemplo 0,4444 o meu período é o número 4 é um algarismo Então você vai movimentar a vírgula uma casa para a direita mas só que para você movimentar a vírgula uma casa para a direita você vai pegar e Vai Multiplicar esse número

por 10 Então você vai pegar toda essa equação e vai multiplicá-la por 10 quando você multiplica por 10 que que nós vamos ter x x 10 10x 0,44444 quanto você multiplica por 10 anda uma casa com a vírgula pra direita então vai ficar 4 4 4 4 por que que a gente faz isso porque a ideia é você juntar essa nova equação com a equação anterior e montar um sistema um sisteminha nós vamos montar um sistema de duas equações por qu Note que o que está aqui após a vírgula é igualzinho o que está aqui

após a v vírgula dessa outra equação então o que que a gente pode fazer nós podemos subtrair essas duas equações E aí nós vamos ter 10x - 1x 9 t e 4 Imagina você fazendo essa conta 4,44 4 4 4 - 0,44 4 4 o que tá aqui após a vírgula Já que é igual eles não vão sumir tá só vai sobrar 4 - 0 e Quanto que é 4 - 0 não seria 4 então esse número menos esse é 4 e aí o 9 que tá multiplicando nós vamos passar dividindo e nós vamos ter

4/9 então a fração geratriz da disma periódica 0,44444 é 4/9 a outra que eu tinha feito com vocês foi o 0,777 Vamos fazer ele de novo vamos fazer ele também olha aqui para você ver que legalzinho ó 0,777 não sei chama de uma letra vou chamar de k agora vou chamar de k você vai movimentar a vírgula pra direita ou seja você Vai Multiplicar de forma por 10 né 100 1000 10.000 100.000 1 milhão de forma que a vírgula ande o número de casas do período o meu período é o o número s é um

algarismo para eu andar então com a vírgula uma casa eu vou multiplicar essa equação por 10 e aí o que que a gente vai ter k x 10 10k 0,777 x 10 é movimentar a vírgula uma casa pra direita 7 7 7 7 Observe que nessa minha nova equação o que está aqui após a vírgula é igualzinho o que tá aqui após a vírgula então A ideia é que nós peguemos essas duas equações e vamos montar um sistema já como as duas são iguais o que tá após a vírgula eu vou subtrair essas duas equações

que que é 10k - 1k é 9k e aqui você vai ter 7,777 7 Men 0,7777 o que tá após a vírgula está está Já que é igual some sobra 7 - 0 que é 7 o 9 tá multiplicando vai passar dividindo então o k é 79 logo a fração geratriz da Dima periódica 0,7777 é 79 a outra que eu mostrei para você 0,18 né então tá aqui ó vamos colocar ela aqui ó 0,1 18 18 18 vou chamar de uma letra vou chamar de y agora Observe que agora o meu período é 18 São

dois algarismos então eu vou precisar movimentar a vírgula pra direita duas casas então eu tenho que multiplicar por 100 exatamente E aí quando você multiplica por 100 Olha a minha nova equação que eu tenho y x 100 100 Y quando a gente multiplica isso por 100 anda duas casas pra direita então fica 18 vírgula 18 18 18 18 18 vírgula 18 18 18 18 18 como que está aqui após a vírgula é igualzinho o que tá aqui após a vírgula eu devo montar um sistema com essas duas equações e subtrair essas duas equações com o

objetivo de eliminar o que tá após a vírgula ó está está Já que é igual então sobrou 100 Y - 1 y 99y e aqui sobrou 18 - 0 que é 18 99 tá multiplicando vai passar dividindo Então nossa resposta é 18 sobre 99 tá aqui ó 18 so 99 agora você tem que saber critérios de divisibilidade E essas esses dois dígitos esses dois números eles são divisíveis por 9 18 di 9 é 2 e 99 di por 9 é 11 Eu acho que o 0,123 123 123 eu vou deixar como desafio para você pausa

o vídeo e faz aí aliás eu vou fazer vai não vou deixar essa para você não mas pausa e tenta fazer antes de você ver a resolução vai que que a gente vai fazer vamos chamar isso de uma letra vou chamar de X agora de novo x não para não ficar a mesma coisa né vou chamar de w pronto w o meu período é 123 são três algarismos Então vou precisar movimentar a vírgula três casas pra direita é por isso que nós vamos ter que pegar essa equação e multiplicar ela por 1000 1000 x w

1000w quando eu multiplico isso por 1000 vai movimentar três casas com a vírgula fica 123 vírgula 123 123 123 E aí tá vendo que o que tá aqui após a vírgula é igualzinho o que tá aqui após a vírgula então você pode juntar com Aquela minha primeira equação e montar um sistema com o objetivo de subtrair essas duas equações a fim de que a parte decimal Já que é igual está está se anule fica 1000w - 1w 999 w e 123 - 0 que é 123 passa o 999 dividindo 123 div por 999 se nós

é possível já acabou né aqui ó 123 so 999 é possível simplificar por 3 e aí nós vamos ter 41 333 viu só o último tá o último aqui ó vou fazer esse ó 2,888 8 8 tá aqui ó para você ó vamos lá 2 v 888 chama de uma letra vou chamar agora de a meu período é o número oito um algarismo Então você vai ter que movimentar a vírgula uma casa para direita Então você vai multiplicar por 10 multiplicando por 10 nós vamos ter a x 10 10 a esse número vezes 10 movimenta

uma casa com a vírgula fica 28 vírgula 8 8 8 Observe que o que tá aqui após a vírgula é igualzinho o que tá aqui após a vírgula então meu objetivo é juntar essas duas equações e subtrair essas duas equações por quê Porque como o que tá após a vírgula é igual se eu subtrair está está vai sumir aí olha só o que que vai sobrar 10 a - a 9aa o que que eu tinha feito com você 28 - 2 eu só 26 então o a é 26/9 Uai Professor então pera aí quer dizer

que existe um macetinho para fazer isso aqui rápido existe existe um macetinho para fazer isso aqui rápido e é o que eu vou colocar aqui agora na tela para vocês Qual é a dica passo um escreva o número formado pelos algarismos que não fazem parte do período junto com os que fazem parte do período Esse é o passo um passo dois subtraia o número formado pelos algarismos que não fazem parte do período e o passo TR o número de algarismos do período é o número de noves que colocamos no denominador tá aí o macetinho para

você fechou passo um né vou até colocar aqui de umas cozinhas diferente para ficar algo bacana para você tirar o seu print depois postar e nos marcar pô marca a gente lá do brasilescola for marcar no Instagram @ brasilescola oficial tem também o nosso tiktok Brasil Escola marca a gente lá Fechou então ó passo um escreva o número formado pelos algarismos que não fazem parte do período junto com os que fazem parte do período passo dois subtrai o número formado pelos algarismos que não fazem parte do período passo TR o número de algarismos do período

é o número de noves que colocamos no denominador Vamos tentar fazer uma questãozinha seguindo esse macete Olha só para você ver essa questão aqui ó Apresente o resultado da expressão na forma fracionária Então vamos seguir o macete ó copiei o macete aqui cont control ctrl v coloquei aqui para você vamos resolver primeiro essa dizma periódica aqui ó 0,66 não é o satanás tá 666 Não não é isso é 0,66666 Presta atenção Qual é Escreva o número formado pelos algarismos que não fazem parte do período junto com os que fazem parte do período Então quem é

que não faz parte do período aqui o zero quem é o período o se então fica 0 se pô mas eu não preciso 06 fica apenas se apenas seis passo dois subtraia menos o número formado pelos algarismos que não fazem parte do período quem não faz parte do período aqui é o zero então menos z0 pô eu nem preciso colocar esse menos z0 aqui porque não vai mudar nada e o passo três o número de algarismos do período é o número de noves que a gente coloca no denominador meu período é seis um algarismo Então

vou colocar 1 no denominador Pronto agora simplifica por tr e a gente conclui que isso é 2/3 olha esse outro aqui ó 0,25 25 25 25 segue os passos vai segue os passos Conseguiu Conseguiu enxergar que isso é 25 99 faz essa outra aqui ó 0,77777 a a gente já fez né pô Perdeu até a graça É 7/9 então isso aqui é como se você tivesse 2/3 mais o outro ali né que é 25 99 menos o outro ali que é 7/9 bom como nós temos frações nós vimos essa aula né Nós vamos tirar o

mínimo múltiplo comum e o mínimo múltiplo comum entre 3 99 é 99 aquele negócio de por 3 vai fatorando lá que você vai encontrar Tá bom tô acelerando por causa do nosso tempo divide pelo de baixo Multiplica pelo de cima 99 di 3 dá 33 33 x 2 66 + 99 di 99 é 1 1 x 25 25 Men 99 di 9 11 11 x 7 77 e agora a gente faz a operação 66 + 25 vai dar 91 91 - 77 14 14 99 avos fechou curta e compartilha se inscreva no canal se não

é inscrito Ative o Sininho para você receber as notificações das próximas aulas que nós vamos estar cortando para você Ah não esquece lá embaixo deixar o seu comentário que eu vou estar respondendo não mais beijo para quem de beijo abraço para quem de abraço tchau [Música] obrigado