Estatística e Probabilidade - Os axiomas da teoria das probabilidades

[Música] Olá pessoal bem-vindos a terceira semana da nossa disciplina estatística e probabilidade nessa semana a gente vai estudar um pouco de probabilidade estatística é uma ciência que cujo fundamento matemática está na teoria das probabilidades ela é uma disciplina independente tem seus métodos mas na raiz dos métodos estatísticos que são bastante sofisticados e avançados hoje em dia estão pensamentos probabilísticos relativamente simples a gente tem que conhecer um pouco de probabilidade se alguém já viu probabilidade essa é uma boa hora de revisar os conceitos a gente vai ter oportunidade de falar só dos conceitos mais fundamentais então

esses aqui da nossa aula de hoje eu espero que vocês entendam bem e tenham clareza sobre o significado dos diversos elementos espaço amostral probabilidade independência nas próximas aulas a gente vai falar de probabilidade condicional Então vamos lá vamos começar o nosso estudo hoje a gente vai ver os axiomas da teoria das probabilidades Quem são as regrinhas que o pessoal declarou que são suficientes para a gente estudar teoria de probabilidade isso é o significado de axioma é um princípio que a gente aceita faz sentido Não é inconsistente eles são consistentes entre si e dali pode se

construir todo um edifício existe um raciocínio para origem desses axiomas que a gente vai ver nessa aula tá bom vocês devem depois estudar praticar porque probabilidade em particular é uma coisa que a gente aprende fazendo resolvendo muitos probleminhas Então vamos lá probabilidades probabilidade que que é provar uma probabilidade é um número um princípio é um número que a gente atribui a um evento e um evento o que que é evento é alguma coisa que pode acontecer chover ganhar na loteria bater o dedão na Quina da mesa tudo isso é um evento evento jogar uma moeda

e dar cara então Eventos São coisas que pode acontecer e probabilidade é um número que a gente associa a esse evento que tem que significado a nossa crença de que aquele evento pode realmente acontecer eu tenho certeza que isso vai acontecer eu dou uma probabilidade alta Ah não isso nunca vai acontecer eu atribuo um valor pequeno eu atribuo um valor numérico que se o valor é pequeno eu acho que aquilo não tem chance de acontecer se o valor é grande eu acho não isso tem muita chance de acontecer então probabilidade carrega esse esse significado intuitivo

tá bom a definição matemática de probabilidade é difícil mas nessa interpretação intuitiva a gente tem uma noção mais ou menos Clara do que se trata né então na abordagem frequentista podemos definir a probabilidade do eventual como o número de vezes que ele é observado dividido pelo número total de observações se eu jogo um dado mil vezes e a face número 4 aparece 170 vezes eu digo que a probabilidade de eu jogar o dado o máximo que eu posso fazer o melhor que eu posso fazer o que eu sei até o momento é que aproximadamente em

17% das vezes o dado mostra a face 4 essa é uma probabilidade frequentista ela é baseada na frequência de observação de um evento quando essa quando o número de observações é muito grande tende ao infinito a gente pode dizer que a probabilidade é aquilo Se eu jogar um dado 100 trilhões de vezes e observar Quantas vezes o número 4 saiu não dá do honesto eu vou ter que trocar o dado várias vezes aí nesse experimento eu digo que aquela probabilidade de eu da próxima vez que for jogar o dado sai um número quatro abordagem frequentista

como vocês podem imaginar essa abordagem é falha por exemplo qual a probabilidade de chover amanhã bom vamos observar 10 mil amanhãs aí tem que ser o dia tal do mês tal do ano tal tem que esperar o universo circular 10 mil vezes até chegar nesse dia de novo para eu medir quantas vezes choveu para dizer que a probabilidade de chover amanhã é tanto não é né pessoal não dá é falho então abordagem frequentista é falha por isso que existe uma outra abordagem chamada bem hesiana tão importante em estatística influencial tá bom probabilidade se lançarmos um

dado honesto n vezes e observamos quantas vezes saiu a face 4 eu defino número de vezes que eu observei a face pelo número total de observações no caso do dado o dado é uma figura simétrica ele é um cubo todos os lados são iguais a densidade do dado é igual um dado honesto tem uma densidade homogênea Então por uma questão de simetria eu sei que eu tenho seis possíveis resultados e esses seis possíveis resultados são totalmente equivalentes entre si então eu acredito que cada um vai sair com um cesto de probabilidade tá argumentos de simetria

são importantes em probabilidade também mas a gente não precisa se preocupar com isso agora tá legal que que é um experimento aleatório quando eu lanço um dado eu tô fazendo um experimento que eu não sei de antemão Qual é o resultado eu sei quanto vai dar se eu lançar uma moeda eu falo não vou lançar uma moeda e vai dar cara não eu não sei então Experimenta aleatório é um termo fundamental na teoria das probabilidades que significa a realização de um experimento cujo resultado eu vou observar no final vou lançar moeda e vou ver que

Face foi mostrada mas eu não consigo saber de antemão nisso que intervém a aleatoriedade eu não sei de antemão o resultado do experimento Então esse é um experimento aleatório Tá bom por exemplo o resultado do lançamento de um dado de uma moeda os números que serão sorteados na próxima loteria eu não sei de antemão eles vão ser misturados e sorteados eu não consigo dizer se eu soubesse eu sempre ganhava né ou o preço de determinada ação de empresa amanhã o preço de uma ação ele segue o que se chama de passeio aleatório ele é um

passeio Oratório bem complicado ele é correto relacionado ele tem as diferenças entre os valores de amanhã e de hoje tem Caldas pesadas é uma coisa é um processo estocástico mas a observação desse valor amanhã dado que eu já sei até agora é um grande medida imprevisível então fazer uma previsão dessa ou fazer essa observação pode ser contado como um experimento aleatório o estudo de probabilidades então de experimentos aleatórios que estão na raiz da teoria das probabilidades envolve dois elementos um espaço amostral a gente já vai dizer que que é e uma função probabilidade quer dizer

lembra que probabilidade é um número que a gente atribui a um evento que representa a nossa crença de que aquilo pode acontecer se muito ou seco qual é a função que atribui esse número te dou o evento a função me devolve o número Essa é o que a gente chama de função probabilidade Tá bom vamos lá espaço amostral espaço amostral a gente chama de Ômega maiúscula anotação tradicional para espaço amostral é Ômega maiúsculo o S maiúsculo também de 100 Paul Space em inglês o pessoal usa as vezes a letra s mas tradicionalmente a gente usa

a letra ômega ele é um conjunto então é importante aqui olha espaço a mostrar um conjunto o que já deixa no ar aí de que teoria de probabilidades tem a ver com teoria de conjuntos tá bom de todos os possíveis resultados do experimento aleatório se eu jogo um dado vou observar faz o que que pode acontecer posso observar a face 1 2 3 4 5 6 Então nesse caso isso passou a mostrar é o conjunto desses possíveis resultados seu lançar dois dados e observar os valores que saíram nas Duas Faces sem sem me preocupar com

a ordem quem é o espaço amostral bom eu posso observar um posso observar um dois posso observar dois um Ah não porque um dois e dois um são equivalentes eu não tô observando a ordem se eu tivesse observando a ordem era outra coisa um três assim por diante lançamento de dois dados mas agora eu quero saber a soma das faces aí vai de 2 a 12 Então veja só experimentar o espaço amostral não descreve o experimento Ah eu lancei dois dados tudo bem que que você quer observar a soma das faces ou As Faces o

número que saiu são dois espaços a mostrar bastante diferentes então o espaço amostral Depende do que queremos observar tá bom e uma função probabilidade a função probabilidade é uma função que associa a cada evento elementar do espaço amostrar um número que que é evento elementar é um conjunto de um cara só um conjunto um subconjunto que só tem um elemento eu chamo de evento elementar por exemplo lá no dado Ômega é um dois três quatro cinco seis o dois é o evento Elementar o três é o evento elementar número par número par não é evento

elementar número par é um subconjunto 2 4 6 então evento elementar é o átomo dentro do espaço amostral chama-se assim mesmo tá conjunto atômico só tem um cara lá dentro não dá para dividir atômico né então no lançamento de um dado e para um dado honesto eu digo que pedir Ômega 1/6 para todo o ômega do espaço amostral Seja lá o cara que a probabilidade de sair 5 no sexto qual a probabilidade de sair 3 vezes 1/6 tá bom no lançamento de uma moeda honesta o espaço amostral é cara e coroa cara eu coloquei a

letra k Aí cabe cara e c para coroa e a gente sabe que probabilidade da cara é igual a meio que é igual a probabilidade de sair coroa se o dado for honesto não tiver limado tiver sim metricamente for uma boa moeda Tá bom o que acontece é que essa função ela deve me permitir também calcular a probabilidade de eventos compostos por assim dizer então por exemplo qual a probabilidade de lançar um dado e saiu o número par Aí você olha dentro do espaço amostral e fala Opa número par não tá aqui dentro aqui dentro

desse espaço amostral eu tenho um dois três quatro cinco seis número par é um subconjunto desse conjunto número par eu subconjunto formado pelos números 24 e 6 eu quero saber calcular essa função probabilidade esse P sua função P que é a probabilidade de alguma coisa deve me permitir calcular P de alguma coisa acontecer alguma coisa é um subconjunto Então essa é um requisito da função probabilidade Tá bom então o que que ela é ela é uma função que atribui aos eventos do espaço amostral números que números pode ser qualquer número a p de 3,27,5 Pedro

não sei que a raiz de 2 bom em princípio pode mas vamos dar uma olhada lá na nossa interpretação frequentista de probabilidade ver que está escrito bom probabilidade de o evento acontecer um certo número de vezes dividido pelo total de observações que foram feitas esse número não quer negativo eu não tenho como observar menos três vezes alguma coisa ou ele é zero ou ele é um número maior que zero Quantas vezes você observou a face 4 nenhuma tudo bem zero Quantas vezes você observou a face 4 em 10 lançamentos duas vezes tudo bem então o

que acontece que a probabilidade que é o número de observações dividido pelo número de total de experimentos que você realizou que de observações que você fez é um número maior igual a zero por definição a probabilidade de acontecer alguma coisa é um né vou jogar o dado qual a probabilidade de acontecer qualquer coisa qual a probabilidade de sair um ou dois ou três ou quatro ou cinco ou seis ou o dado sumir e cair no bueiro boa probabilidade de alguma coisa acontecer é um então a gente já sabe que P de Ômega deve valer um

Pedro espaço a mostrar P de algo acontecer vale um qual a probabilidade não vai ser nada eu jogo uma moeda mas ela pode sair cara coroa ou cair de pé como Às vezes acontece aí em sorteio de lado de campo de futebol o juiz joga moeda moeda cai de pé tem que lançar de novo porque nesse caso não tava previsto ou quer dizer qual a probabilidade de acontecer qual a probabilidade de eu jogar moeda e nada acontecer zero então a probabilidade de um experimento aleatório ser executado e a gente não observar absolutamente nada é zero

então a probabilidade do conjunto vazio nada aconteceu é zero tá joguei a moeda e a moeda foi abduzida bom isso acontece uma vez em cada 100 trilhões de anos tem uma probabilidade lá é 0,00 com 50 k zeros certo tudo bem mas tá lá certo não é nada problema de nada acontecer é zero Então esse raciocínio essa comparação com o nosso raciocínio frequentista nos leva aos dois primeiros axiomas e teremos as probabilidades a probabilidade de qualquer evento do espaço mostrar maior igual a zero e a probabilidade de espaço a mostrar em ter um Tá bom

mas ainda se A e B são conjuntos de juntos quando eu faço a união deles o total de elementos da união é o total do primeiro mas o total do segundo isso nos leva então a definição de que para eventos mutuamente exclusivos ou uma coisa acontece ou outra coisa acontece ou você obtém um número par no lançamento de dado ou você obtém o número ímpar Eles não têm intercessão não tem nenhum número ímpar aqui também é par quando eu faço isso a probabilidade de acontecer uma coisa ou outra é a soma das probabilidades bom como

consequência dos axiomas das probabilidades que a gente viu a gente pode deduzir uma série de fórmulas que são úteis no úteis no cálculo de probabilidades veja é Eventos São subconjuntos de espaço amostral Então a partir da álgebra de conjuntos União intercessão complementos né o conjunto complementar é o conjunto dos elementos que não pertencem àquele conjunto então o vazio é o complemento do universo e vice-versa essas noções de álgebra de conjuntos nos permitem então aplicar essa função probabilidade que tem aquelas propriedades que a gente acabou de ver a eventos quaisquer evento é um subconjuntor do espaço

amostral se eu quero calcular a probabilidade de um evento eu então aplico as regrinhas da álgebra de conjuntos para obter algumas identidades a partir daqueles axiomas Então as principais identidades que a gente consegue deduzir que são muito úteis na prática quando a gente está calculando probabilidade de Eventos São essas aqui por exemplo a probabilidade do conjunto vazio é zero qual a probabilidade de nada acontecer como a gente já falou aqui na É zero né veja o axioma lá do como agora diz que a probabilidade é um número maior ou igual a zero aquele intuitivamente para

a gente tem a ver com a abordagem frequentista né eu sei que é maior que zero por outro lado eu sei que no máximo ela é um então para qualquer evento esse número entre 0 e 1 o 0 quando o conjunto é vazio um Quando é o conjunto universo ômega o espaço amostral inteiro então a gente deduz que a probabilidade de qualquer evento é um número entre 0 e 1 bom pessoal fica a dica aqui eu aqui professor sempre vejo tô cansado de ver o aluno fazer uma conta resolver um problema e chega numa probabilidade

igual a 1,25 não pode né probabilidade é um número entre 0 e 1 não existe probabilidade negativa O estudante faz a conta pediá menos pedir B faz uma intercessão faz uma união e chegando numa probabilidade igual a menos 0,2 pessoal tá errado se der menos quiser e der maior que 1 tá errado probabilidade é um número entre 01 a probabilidade do complemento é 1 menos a probabilidade do evento Então qual a probabilidade de chover tanto qual a probabilidade de não chover um menos aquele tanto se a probabilidade de chover é 20%. a probabilidade de não

chover é 80 é isso que tá dito aqui se há é um subconjunto de b então a probabilidade de a é menor que a probabilidade de b a tem menos Ah tem no máximo o mesmo tamanho que b então a probabilidade de a é no máximo a mesma probabilidade de B tá bom a probabilidade da união de dois eventos é pedir a mais P de B Se A e B for em disjuntos forem eventos Mutantes exclusivos é isso e se não forem Se não forem a gente tem que subtrair aquele pedacinho que eu contei duas

vezes tá bom e se há um a dois etc eu tenho n conjuntos mutuamente exclusivos a probabilidade da União deles é a soma das probabilidades de cada um só que é uma generalização do axioma terceiro né das probabilidades Tá bom então esse aqui pede a união com b a mais P de B menos P de a interseção com b o pessoal sempre pergunta as pessoas se perguntam eu me fiz essa pergunta várias vezes Ah por que que não é esse que é o axioma então o terceiro né Por que que o axioma terceira é pedir

a mais P de B só se o evento Ford junto e não o contrário já que eles aparentemente né Esse aqui é mais completo que aquele né esse aqui considera eventos que não necessariamente são muito menos exclusivos boa razão é que este aqui dá para deduzir daquele e aquele dá para deduzir deste também Então nesse sentido eles são equivalentes só que dos dois aquele é o mais simples então na matemática a gente sempre ópta pelas definições dos axiomas que são mais simples Tá bom isso aqui pode ser generalizado para ele conjuntos a generalização para ele

e conjuntos é conhecido como fórmula de poincarré o princípio da inclusão exclusão quer dizer o Quantos elementos eu tenho dentro da união de um monte de conjunto quando eu aplico a função probabilidade dos dois lados eu tenho que a união com B união com ele o tamanho desse conjunto é o tamanho dos as menos o tamanho das interseções 2a2 mas aí eu descontei muito aí eu tenho que somar as interceções de 3 a 3 assim por diante vou somando e subtraindo somando subtraindo Isso se chama princípio da inclusão a fórmula de põe carré a versão

probabilística dessa regra da teoria dos conjuntos lá da Matemática discreta que diz que a probabilidade da união de um monte de eventos não necessariamente mutuamente exclusivos é dado por essa fórmula aqui e essa figura do lado dá para entender porque que quando eu subtraio bem intercessão com c eu subtrair também a intercessão com bem intercessão com c Então tem que botar de novo então fica incluindo excluindo até a contagem da certinha aplico a p de um lado aplico P do outro e obtém essa fórmula aqui tá bom essa fórmula geralmente até o terceiro termo aqui

com três conjuntos a gente usa bastante Tá bom então isso é o que eu preciso que vocês entendam de axiomas da teoria das probabilidades os três axiomas suas principais consequências o conceito de experimento aleatório o conceito de espaço amostral e o conceito de função probabilidade Obrigado pessoal até a próxima aula [Música] [Música]