O PARADOXO que QUEBROU a MATEMÁTICA

por volta de 1870 lógico alemão de ótica cantor começou a desenvolver uma teoria com o objetivo bastante humilde fundamentar toda a matemática essa era a teoria dos conjuntos Mas o que ele não esperava é que essa teoria brigava um problema grave os fundamentos da Matemática estavam sob uma série ameaça e esse é o tema do vídeo de hoje então Senta Que Lá Vem história a ideia do cantor começa quando ele tenta estipular alguns princípios elementares que nós chamamos de axiomas axiomas são basicamente conceito e sem prova que nós tomamos como verdadeiros de antimão eles servem

como uma espécie de ponto de partida que nós podemos considerar Seguros ou até muitas vezes óbvios como dizer que eu sou igual a mim mesmo e nós podemos aceitar ou não esses axiomas e dependendo do que aceitamos conseguimos Obter ou derivar coisas bem diferentes como a teoria que o cantor estava tentando formular era sobre conjuntos Então faz sentido que a primeira coisa que ele tinha que definir era o que é um conjunto E acreditem essa não é tão simples quanto ela parece Se eu perguntasse para vocês o que são conjuntos muitos de vocês responderiam que

conjuntos são coleções de objetos ou coisas eu mesmo já falei isso no vídeo passado em outro contexto mas é de matemática e filosofia que nós estamos tratando aqui ou melhor que o cantor estava tratando em 1870 nós precisamos de uma definição mais precisa ir rigorosa tem um lado positivo até aqui a ideia de conjuntos é bastante intuitiva e de certa forma nós podemos dizer que ela existe desde que nós começamos a contar e agrupar coisas eu até posso ir além e dizer que nós podemos fazer um conjunto de qualquer coisa que nós podemos pensar nos

referir Como por exemplo o conjunto que tem apenas você como membro também conhecido como grupo do WhatsApp para lembrar de fazer coisas depois ou então o conjunto de coisas amarelas que tem dentro dele Girassóis bananas táxis Bob Esponja e muitas e muitas outras coisas ou quem sabe o conjunto de todos os números naturais maiores do que mil que seria infinito conjunto de todos os do ciência todo dia que nunca tiveram crises existenciais com pelo menos um vídeo do canal que provavelmente seria vazio A ideia é que conjuntos podem ser grandes ou pequenos assim como infinitos

ou vazios nós podemos definir um conjunto listando todos os objetos que ele contém de forma extensiva por exemplo o conjunto de todas as peças de roupa nessa sala seria composto por a minha camiseta porque eu tô sem calça só antes de continuar você gostaria de aprender tudo sobre inteligências artificiais e generativas e não é mais um curso genérico É a nova imersão Ilíada dura para você mergulhar em aplicações das novas e as para sua carreira tipo chat GPT a imersão e adallurece 100% gratuita dura cinco dias e é remota e usa o método de aprendizagem

da ludura em que você aprende com a mão na massa as inscrições vão até o dia 18 de junho Então corre se inscreva usando o link da descrição Não fique pra trás no conhecimento Principalmente quando uma oportunidade gratuita como essa surge Agora de volta ao vídeo Imagina que trabalhouso seria listar o conjunto de todas as estrelas do céu ou pior está a conjuntos infinitos o que na verdade seria impossível isso nós podemos definir conjunto de uma forma melhor usando apenas propriedades sem limite do que Elas seriam pelo menos por enquanto por exemplo a propriedade de

algo ser um objeto circular a propriedade de água ser maior que 10 cm ou ainda a propriedade de algo ser uma pessoa holandesa que viveu até os 37 anos que gostava de pintar e que cortou parte da própria orelha sim Salvador Dali nós podemos escolher tanto propriedades muito específicas como muito vagas Essa é a ideia de uns axiomas mais importantes da teoria de conjuntos indígena o axioma da compreensão e restrita não se intimidem com o nome complicado porque a ideia é simples dada uma propriedade P qualquer existe o conjunto dos objetos que possuem essa propriedade

pros curiosos colocando essa ideia em termos lógicos nós teríamos algo como isso aqui que está aparecendo na tela bem empolgante e vocês acharam que filosofia era só pensar ou seja existe um conjunto X para toda a coisa é y tal que Y só pertence a x somente se Y tem a propriedade P sendo que X é o conjunto de todas as coisas Y que possuem propriedade P Cara isso parece uma coisa que uma advogada me mandaria falar num vídeo não sei porquê não free tem o cérebro ainda porque eu vou falar isso de outra forma

que vai ajudar mas podemos descrever o conjunto de todas as capitais do Brasil como todo x tal que X é uma capital do Brasil que é igual ao conjunto que contém Belém em Belo Horizonte Rio de Janeiro Luís e todas as outras 23 capitais e além desse axioma havia um outras ideias como é de que os conjuntos que tem os mesmos elementos devem ser iguais ou seja o conjunto que tem o segundo planeta do sistema solar a estrela da manhã e a Estrela da tarde é igual ao conjunto que contém apenas Vênus já que eles

são apenas nomes diferentes para a mesma coisa além disso a ordem dos elementos dentro do conjunto não importa de modo que o conjunto composto por gato cachorro é igual ao conjunto cachorro gato e também não importa esses elementos estão repetidos porque o conjunto gato é igual ao conjunto gato Então vamos supor que eu vou chamar o conjunto contendo gatos os cachorros de A então se nós quisermos pegar apenas os elementos de a que sejam animais que latem nós teríamos um novo conjunto composto apenas por cachorros que é o que nós chamamos de um subconjunto de

a e nós também podemos fazer conjuntos que tenham outros conjuntos como membros por exemplo um conjunto que contém o conjunto de animais e o conjunto de flores o ponto é que conjuntos podem ser construídos de muitas formas mas podemos até mesmo ter conjuntos que estejam contidos neles mesmos por exemplo o conjunto de todos os gatos contém a si mesmo ou seja o conjunto de todos os gatos é ele mesmo um gato não porque é conjunto são objetos matemáticos e não animais peludos que miam certo e o conjunto de todas as coisas que não são tartarugas

contém a si mesmo Sim porque conjuntos não são tartarugas Mas e o conjunto de todos os conjuntos não vazios contém a si mesmo ou seja o conjunto de todos os conjuntos não vazios é ele mesmo no Brasil parece que sim já que existem muitos conjuntos não vazios como o conjunto de estrelas no céu ou seja o conjunto de todos os conjuntos não vazios tem vários elementos logo ele não é vazio Essas eram algumas ideias da teoria ingênua de conjuntos que o cantor estava desenvolvendo ele pensou que existiria um conjunto para qualquer propriedade que nós pudéssemos

Criar e é aqui que entram mais dois personagens importantes da história bether Russell e got love fregue fregue também era um lógico alemão e assim como canto ele estava na busca pelos fundamentos da Matemática mais precisamente da aritmética mas ele apostou um pouco mais alto ele queria mostrar que toda aritmética básica poderia ser derivada a partir da lógica e um pouco de teoria de conjuntos e nada mais e esse grande projeto da sua vida foi chamado de logicismo e a sua teoria dependia do bom funcionamento da teoria de conjuntos e aqui que entra o resto

na história russa olhou para tudo isso e ele pensou bom se conjuntos podem conter a si mesmo e que eu posso construir um conjunto a partir de qualquer propriedade então imagine um conjunto formado por todos os conjuntos que não contém a si mesmos é o equivalente lógico a gritar truco e pedir mais nove esse conjunto de todos os conjuntos que não contém a si mesmo teria muitos membros por exemplo o conjunto de todos os gatos o conjunto de todas as flores o conjunto vazio e muito mais a pergunta devastadora do Russel foi a seguinte esse

conjunto composto por todos os conjuntos que não contém a si mesmos contém ele mesmo wrestl era Fantástico Calma Vamos lá eu vou chamar esse conjunto de R Então nós vamos definir da seguinte maneira R é o conjunto de todo o conjunto x tal que x não pertence a x então nós temos dois casos ou R pertence R ou R não pertence R No primeiro caso se o r pertence a r então pela nossa definição para estar dentro do conjunto ele precisa ter a propriedade de não pertencer a r então nós temos que se pertence a

r então R não pertence a r no segundo caso se R não pertence a r então ele cumpre a propriedade que define o conjunto logo ele é um membro do conjunto E mais uma vez faz parte dele mesmo ou seja se R não pertence a r então r deve pertencer a r mas essas duas conclusões são contraditórias nós temos que R só pertence a r caso ele não pertence a r vice-versa e aqui vocês podem explodir a cabeça porque essa é exatamente a ideia Esse é o famoso paradoxo de Russel e se você não entendeu

Não se preocupe porque realmente a conclusão é paradoxal A ideia é a mesma de outros paradoxos de Alto referência ou seja que referem a si mesmos como paradoxo do barbeiro ou paradoxo do mentiroso Então por volta de 1902 quando Freire estava prestes a publicar o seu livro leis básicas da aritmética fruto de todo o seu trabalho do seu ambicioso projeto de logicismo é uma carta explicando paradoxo e isso Faria a maioria do Fred cair por terra mas ainda assim o frei honrou seu compromisso com a verdade e adicionou um apêndice no início do livro dele

onde ele exibiam o paradoxo de Russel alertando que toda a teoria proposta naquele livro tinha um problema fundamental é uma atitude muito honrosa a gente tem que ser sincero porque na era de hoje principalmente no Twitter as pessoas simplesmente um fingir que estão certas Isso serve para você Mas as coisas não acabaram por aí a matemática ainda precisava de fundamento e diversas soluções foram rapidamente sugeridas se nós temos a liberdade de criar axiomas mas também temos liberdade de destruir ou modificar eles e foi a partir disso que surgiram soluções para o paradoxo uma delas foi

feita na teoria de conjuntos de Zé mell e frankl conhecida como CFC e amplamente utilizada na lógica na matemática a ideia deles foi restringir o axioma da compreensão que definia um conjunto a partir de outro conjunto definido por qualquer propriedade eles adicionaram um novoxiona chamado de regularidade em que conjuntos não poderiam pertencer a si mesmo logo um paradoxo não poderia ser derivado tudo fica bem os fundamentos da Matemática foram salvos mas só até meados de 1930 quando o Kurt getdel apareceu com um problema que digamos ainda hoje é uma das grandes limitações da matemática e

não só isso foi o que mudou o rumo de uma guerra mundial e possibilitou o desenvolvimento de computadores Mas isso é história para outro dia esse é o tipo de vídeo que provavelmente a gente tem que assistir mais de uma vez para entender completamente o seu significado mas o paradoxo de Russel é um exemplo muito bonito de como uma ideia quando muito bem executada com palavras pode fazer as nossas melhores teorias caírem E é assim que a ciência e o conhecimento avança E para finalizar o vídeo eu gostaria de deixar vocês com uma tarefa especial

tentem imaginar uma cor que não existe muito obrigado e até a próxima [Música]