Como resolver sistemas lineares 3x3 - Usando a regra de Cramer

tudo bem pessoal aqui o professor dagoberto no nosso matemática e companhia e hoje nós vamos falar sobre sistemas lineares três por três isso mesmo sistemas lineares que tem três linhas e três colunas ou melhor dizendo é 3 equações 35 gremistas e nós vamos usar a regra de kramer para resolver esses sistemas nós já temos aqui no nosso canal um vídeo falando sobre escalonamento de sistemas lineares então se você perdeu esse vídeo é dar uma olhada depois clique em cima do que já está aparecendo na tela a indicação desse vídeo pra você dá uma conferida também

que é um outro método de resolver sistemas lineares 3 por 31 ok e antes também a gente começar a nossa aula já quero pedir pra você pra dar uma seguida nas nossas redes sociais o nosso instagram arroba matemática e companhia e também no nosso facebook facebook.com barra matemática e cia quase que diariamente nós temos lá muitas dicas de conteúdos dicas de estudo que são muito importantes pra você e também não vou deixar de pedir aquela curtida aquele joinha no final do nosso vídeo que lilic maroto que pra nós é muito importante ter os comentários no

final desse vídeo espero que ele seja muito útil pra você que tá aí me acompanhando beleza então indo direto ao ponto agora nós temos a seguinte situação ali para resolver o sistema de três linhas três colunas x + 2 y mais 13 igual a 114 x - y - e é igual a 3 e x mais y - é igual a 6 primeiro passo pela regra de câmera é construir a matriz dos coeficientes de calcular o determinante dessa matriz daquela madrid que nós chamamos de de então colocando ela lhe dê seria representado exatamente pela primeira

linha 1 2 e 3 depois nós temos a segunda linha 4 - 1 e menos um depois o 1 e menos um pra você calcular determinante dessa matriz que de ordem 3 é preciso repetir as duas primeiras colunas que seria 1 4 e 1 depois nós temos 2 - 1 e 1 agora vamos fazer então o cálculo desse determinante na diagonal principal conservamos o sinal ou seja 1 vezes - um vezes - um vai dar um positivo depois duas vezes menos 11 vezes um fica menos dois conservando o sinal e por último na diagonal principal

três vezes quatro vezes um que daria mais 12 agora na diagonal secundária nós vamos trocar esses sinais duas vezes quatro vezes menos um era pra ficar menos 8 vai ficar mais oito e seguindo um vezes - um vezes um era pra ficar um negativo mas vai ficar um positivo porque trocamos o sinal e por último era pra ficar menos três mas vai ficar mais três horas que a gente consegue fazer aqui é nessa soma e subtração um mais um é dois positivo 2 positivo com dois negativo se anulam o que sobra 12 mais oito mais

3 12 mais 8 20 com mais três o nosso determinante dos coeficientes 23 no próximo passo nós vamos fazer agora o determinante de uma matriz chamada the xx que seria esse de x é quando nós eliminamos a coluna do x que seria a nossa primeira coluna no lugar dos elementos do x nós vamos colocar os termos independente ou seja 1 3 e 6 1 e agora repetimos as outras colunas normalmente coluna do y 2 - 1 e 1 coluna do z 3 - 1 e -1 e pra fazer determinante vamos repetir as duas primeiras colunas

136 e depois 2 - 1 e um positivo vamos pro determinante então de xis como fazer conservamos o sinal na diagonal principal ficaria um positivo depois duas vezes - um v6 daria menos 12 e agora três vezes três vezes 1 daria mais nove trocando os sinais teríamos duas vezes três vezes menos um era pra ficar menos seis mas vai ficar mais seis e aqui na nossa multiplicação 11 vezes - o vison era pra ficar um negativo vai ficar mais um e por último três vezes menos 1 vezes 6 era pra dar menos 18 mas por

causa da regra nós vamos colocar 18 positivo e o nosso de x então somando os valores positivos nós teríamos um mais 12 com mais 18 20 29 com mais 6 35 e 35 menos 12 nós teríamos o dx igual a 23 nós já podemos com essas duas informações calcular o valor do x só para lembrar o x nada mais é do que a divisão do dx pelo de ou seja 23 / 23 que vai dar um já descobrimos o valor do nosso x agora o nosso próximo passo vai ser fazer a matriz do de y

que essa matriz do de y nós vamos tirar a coluna do y e permanecer com a coluna do x então vamos lá passo a passo nós vamos agora fazer então nosso de y o nosso de y volta à coluna do x então só se você está na dúvida volto aqui para te mostrar o 14 e um positivo é quando x então vamos lá nós temos 14 e um positivo agora vem a coluna do y que vai ser substituída pelos termos independentes volta ali 136 os termos independente ok então vamos lá 1 3 e 6 1

a coluna do z permanece 3 - 1 e menos um então vamos lá 3 - 1 e menos um pra calcular se determinante repetimos as duas primeiras colunas o íon 4 e 3 e 16 ok agora fazendo aquele cálculo não é sobre a regra de sarros uma vez três vezes menos um fica menos 31 vezes - um vezes 1 - 1 e 3 vezes 4 12 ok três vezes 4 12 12 vezes 6 80 o melhor 12 meses 6 72 certo agora vamos trocar esse sinal vamos lembrar que uma vez quatro vezes menos um era

pra ficar menos 4 vai ficar mais quatro depois nós temos 11 vezes - um v6 era pra ficar menos seis vai ficar mais seis e por último três vezes três vezes um era pra ficar mais 9 vai ficar menos 91 rock então seguindo agora as regras nós vamos somar todos os positivos certo pra facilitar um pouco então vamos lá 4 mais 6 10 com mais 72 fica 82 positivo certo então nós temos 82 - vamos agora somar os negativos devo 9 devo 1 e devo 3 ao todo né eu vou ficar devendo 13 então 82

-13 muito cuidado com a regra de sinal nós vamos ter exatamente 69 sendo assim eu já posso calcular o valor do y o y vai ser o valor do de y sobre o de então como vai ficar o nosso y o nosso y vai ser 69 / 23 que é o nosso d 69 / 23 o y valle 3 aí vem aquela dúvida será que para achá-los eu tenho que fazer tudo isso de novo não pra você achar z que é o nosso último valor a ser encontrado a nossa última encol grita você volta na

equação principal e escolhe a equação que te parece mais fácil qualquer uma das três situações você pode escolher você tem aqui uma equação número 1 equação número 2 e equação número 3 qualquer uma delas vai ser útil e você vai chegar no valor adequado z desde que você faça tudo certo então pra que você não fique com nenhuma dúvida eu vou pegar ali a primeira equação para te dar um exemplo x + 2 y mais 13 igual um ok então vamos lá x + 2 y + 3g é igual a 1 no lugar da letra

x nós vamos colocar um número que nós encontramos ali no início que era exatamente o número 1 brushes então nós vamos colocar ali um positivo mais de duas vezes o valor do y que é 3 rock e por último três vezes o valor do z que nós não sabemos igual a 11 mas vamos resolver primeiro a multiplicação duas vezes 3 nós temos seis ok então vou só separar aqui pra ser bem organizado o nosso cálculo com mais seis mais 13 é igual a 1 umas seis sete mais três vezes e é igual ao alvo para

terminar 13 é igual a 1 - 7 ou seja 13 é igual a menos seis e usei por último vai ser menos 6 / 3 use é igual a menos dois ok então quer dizer que a nossa solução de sistema ela vai ser representada pelo número 1 que é o xis pelo número 3 que é o y e pelo menos dois que o z e aí nós temos então a nossa solução de sistema mas claro que muitas vezes você deve estar pensando assim é muito cumprido é muito complexo fazer isso é demorado sim no início

é um pouco demorado porque nós vamos desenvolver a técnica e até você fica bom numa determinada técnica isso demanda um pouco de tempo então só quero te lembrar isso mas a regra de kramer principalmente no sistema 3 por três ela é bem eficiente quando nós queremos um determinado valor só quando não preciso fazer o sistema todo como por exemplo nessa situação aqui ó qual o valor de y no sistema então observa comigo o seguinte aqui eu só quero saber o valor do y eu não preciso saber o valor do x do y e z então

para uma situação como essa eu só vou fazer dois cálculos de determinantes o primeiro deles vai ser exatamente o valor do de que é a matriz dos coeficientes então nós temos ali o d vamos montar nossa matriz de ordem 3 que vai ser formada pelos coeficientes 12 e um na segunda linha 21 e -1 terceira linha 3 - 1 e menos dois vamos repetir a nossa agora a segunda ea primeira coluna 1 2 e 3 e depois 21 e menos um vamos calcular o valor desse determinante vamos lá passo a passo o nosso de vai

ser exatamente o mantendo o sinal nós teríamos menos dois na multiplicação - 3 - 6 dessa multiplicação porque duas vezes 1 vezes 3 16 só que eu tenho um número negativo e por último o -2 ok agora vamos voltar à nossa multiplicação trocando o sinal então eu tenho 2 vezes 24 vezes 28 era pra ser negativo mas vai ficar positivo ok então nós temos aqui 18 positivo agora por fim nós temos um vezes - um vezes menos um era pra ficar um positivo mas como troca o sinal negativo e por último nós temos 11 vezes

um vezes três era pra ficar 3 positivo vai ficar 3 negativo o nosso determinante então agora vou fazer a soma aqui mas antes vou fazer uma malandragem olha só - dois com menos 6 dá menos 8 - 8 com mais oito se anulam e sobra - 21 - 12 - 31 - 35 - 3 fica menos seis aqui tá dando valor negativo porque eu estou somando os valores na multiplicação - com menos é mais mas aqui pensa como se fosse uma dívida se eu devo 2 e devo ficar devendo três se eu tô devendo três

vou ficar devendo seis por último para fazer o valor do y nós vamos calcular o de y então pra fazer o valor do y simplesmente vamos pensar agora no seguinte vamos fazer uma outra matriz essa matriz é a chamada matriz do de y certo então vamos lá pro de y eu vou colocar novamente a coluna do x que seria 1 2 e 3 ok então vamos lá o 112 e três depois nós vamos fazer agora a coluna do y que vai ser substituída pelo 9 pelo treze pelo menos quatro então 93 e menos quatro e

por último a coluna do z 1 - 1 - 2 ok então 1 - 1 - 2 vamos repetir as duas primeiras colunas 19 2 e 3 e por último 3 e -4 certo então o nosso de y vai ser o que vamos lá uma vez três vezes menos dois vai dar exatamente -6 conserva o sinal nove vezes um vezes 3 vai me dar menos 27 ok eo vez 2 vezes menos 4 vai dar menos oito agora vamos trocar mas na multiplicação de volta nove vezes 2 18 dezoito vezes 2 36 era pra ficar -

só que vai ficar mais 36 temos ainda o vezes menos 1 vez menos quatro era pra ficar mais quatro mas vai ficar menos quatro e por último uma vez três vezes três era pra ficar nove positivo fica nove negativo bom o nosso de y então é quem vamos fazer agora uma soma que de valores lembrando é que nós temos sinais positivos e sinais negativos e positivos nós só temos aqui o número 36 rock então vou fazer o seguinte vou deixar que o 36 que está positivo e agora nós vamos somar os números negativos certo então

vamos pensar comigo eu devo 6 e devo 27 certo por isso que estou aqui lembrando a regra do sinal se eu devo 6 e devo 27 eu devo 33 menos 33 se eu devo 33 e devo 8 vou ficar devendo exatamente 41 devo 41 devo 9 vou ficar devendo 50 devo 54 então fazendo a nossa operação agora eu tenho 36 menos 54 36 com menos 54 vai dar menos 18 pensa comigo porque eu tenho 36 e devo 54 vou continuar devendo então fica menos 18 para nós calcular mas o valor do y nós vamos fazer

o quê de y / de então o nosso de y é o menos 18 que nós encontramos quem é o nosso de o nosso de exatamente o menos seis que nós encontramos no início então menos 18 / - eis aqui você aplica a regra dos sinais menos 18 com menos 63 positivo e aí nós chegamos no final da nossa resposta que é o que o problema pedia o valor do y especificamente somente o valor do y então assim né por hoje nós encerramos aqui mas eu quero aquele teu comentário no final desse vídeo se você

gostou se ele foi importante pra você também eu peço que você compartilha conhecimento com os seus amigos com as pessoas que os colegas não é que necessitam também conhecer essas técnicas pra aprimorar os seus conhecimentos em matemática tá certo então nos vemos no próximo vídeo um abraço valeu