Minicurso de Cálculo - Aula 3 - DERIVADA

estamos de volta para mais um vídeo dando sequência a essa série de cinco aulas que a gente tá fazendo sobre cálculo né no nível de profundidade realmente de aula e não dos vídeos típicos do ten cência que são ali para te dar um gostinho de como a coisa funciona mas em vídeos de 10 12 15 minutos não tem como a gente dar mais profundidade tá então as aulas elas servem justamente Para isso elas estão aqui lembrando a você porque em breve a gente vai ter a nossa oferta de de black friday do dominando cálculo que

é a melhor oportunidade da história para você entrar pro dominando cálculo e aprender cálculo e pré-cálculo pelos porquês né entendendo a razão das coisas vendo sentido nas ideias através de um método diferente de aprendizagem então se você tem interesse nisso já dá uma olhada no link da descrição antes mesmo de começar a aula que é para você saber como que você vai fazer para poder aproveitar essa oferta de black friday que entra no ar a partir do dia 11 de Novembro anota aí 11 de novembro mas não vai ficar no ar por muito tempo né

Então essa é a sua chance de entrar pro dominando cálculo pagando o melhor preço da história bom a aula de hoje é a terceira aula da série A gente já fez uma aula sobre limites depois uma aula sobre continuidade e agora a gente tem a aula sobre derivadas vocês vão perceber que as aulas elas vão ficando talvez mais fáceis com o tempo porque porque realmente o conceito de limite é o conceito mais difícil de todos uma vez que você tenha superado esse conceito você vai aprender sobre continuidade Mas você ainda não tá ali tão à

vontade com conceito de limite mas é mais uma oportunidade de você ver limite novamente eh num maior detalhe Então quando você entra na parte de derivada você já tem essa experiência com limite então a coisa vai ficando mais fácil tá que a gente vai basear isso daqui muito nas ideias das aulas anteriores então em imprescindível que você assista as aulas na ordem tá a gente vai deixar essas cinco aulas no ar por um certo tempo mas depois elas vão ser retiradas do ar beleza Bom vamos lá na aula de hoje a gente vai falar basicamente

de quatro tópicos primeiro tópico é o problema das tangentes de fermar que remonta ali a origem da ideia de derivada o segundo tópico é a própria derivada a gente vai falar vai definir o que que é a derivada vai interpretar a derivada e vai calcular também algumas derivadas na prática depois a gente vai falar do problema de máximos e mínimos né como que a gente faz para encontrar máximos e mínimos de funções que é algo ligado à otimização e que é a principal aplicação das derivadas na prática especialmente no cálculo de uma variável tá E

no final para ilustrar todo esse processo a gente vai e encontrar o vértice de uma parábola né a gente vai usar todo esse Arsenal do cálculo para mostrar como é que a gente sabe que de fato o vértice da parábola é o ponto médio entre as suas raízes bom vamos começar então primeiro vamos lá falando sobre o problema da tangente tá e o problema de otimização do fermar o fermar foi um cara que viveu ali no século X né E que tem grande importância tanto pra matemática quanto pra física e apesar disso O ferm não

era matemático de Formação nem físico de formação ele era um jurista ele fazia matemática e física nas horas vagas tá então eh as ideias que ele trouxe para esse universo foram certamente muito mais impactantes do que as ideias que ele trouxe Pro universo dos juristas então eh ele é uma inspiração né para muita gente aí que é entusiasta às vezes da Matemática aliás tem vários alunos no dominando cálculo que não são matemáticos que não são físicos que não são Engenheiros tem gente que tá fazendo dominando o cálculo e é médico tem pessoas que T essa

pretensão de aprender mais a respeito de matemática né então elas acabam entrando também pro dominando no cálculo para começar a aprender cálculo né que é a base da matemática do ensino superior tá bom qual que era a questão aqui do fermar que levou ele eh a começar a considerar a ideia realmente das derivadas tá imagina aqui que a gente tem essa função que eu desenhei nesse gráfico aqui e o objetivo que o fermar tinha em mente era encontrar os pontos pon de máximo e de mínimo dessa função ou seja o seu maior valor e o

seu menor valor tá olhando aqui no gráfico ó a gente vê que vamos pintar aqui de vermelho a gente vê que esse ponto aqui mais ou menos né seria o máximo dessa função você vê que nenhum outro ponto da função ultrapassa esse daí e esse aqui seria pelo menos localmente né se você pensar nesse pedacinho aqui da função esse cara aqui seria um ponto de mínimo tá e qual que foi a ideia do fermar para descobrir esses pontos de máximo e mínimo ele Apelou para uma intuição geométrica e ele pensou no seguinte uma maneira da

gente dizer que esse cara aqui é o ponto de máximo é olhar olha só a ideia do fermar é olhar o que que acontece com a reta tangente a essa curva azul da função conforme a gente se aproxima desse ponto onde a função assume um valor máximo e também do ponto onde a função assuma um valor mínimo olha só o que vai acontecer imagina que essa reta vermelha aqui ela é uma reta Opa Veio muita coisa que ela é uma reta tangente tá essa tangente ó Conforme a gente vai se aproximando do ponto de máximo

ela vai deitando ela vai ficando horizontal no ponto de máximo mesmo ela parece que fica perfeitamente horizontal e depois disso ela deixa de ser horizontal vai continuando vai continuando vai continuando até chegar no ponto de mínimo Onde Aqui ó no ponto de mínimo a tangente aparentemente volta a ser horizontal e o ferm percebeu isso ele intuiu que de fato isso deveria acontecer sempre que você tivesse um ponto de máximo ou um ponto de mínimo na função portanto ó essa observação do fermar fez o quê transformou o problema de encontrar máximos e mínimos de uma função

no problema geométrico de calcular retas tangentes então ele trouxe geometria para dentro dessa jogada que aparentemente não teria nenhuma geometria apesar da gente ter introduzido isso aqui já graficamente para você ter a intuição esse problema de encontrar Mass e mínimos ele não depende de existir um gráfico na função por exemplo se você tem ali uma empresa e você tem uma série de produtos né E você quer precificar cada produto de um jeito e tal encontrar um valor legal para esses produtos você tem dados numéricos e o seu objetivo é o quê maximizar o seu lucro

então procurar máximos e mínimos por exemplo você também poderia tentar Minimizar despesas enfim encontrar máximos e mínimos é um problema que transcende a coisa gráfica né e ele tem origens puramente algébricas Então essa transposição pro lado geométrico é muito interessante e foi o que permitiu que a gente conseguisse resolver de uma forma bem geral esse tipo de problema e aí A pergunta agora é como que a gente faz para calcular retas tangentes tá E aqui é um daqueles momentos que eu sempre gosto de enfatizar né que durante o estudo do cálculo a gente tá o

tempo inteiro se apoiando em conteúdo os do ensino médio ou do até mesmo do Ensino Fundamental vamos chamar assim de matemática básica nesse sentido tá E que hoje em dia recebe o nome de pré-cálculo que são justamente aqueles conteúdos Chaves né aquela aquela parte aquele corte da matemática básica que é imprescindível para você estudar o cálculo E por que que é pré-cálculo porque eles são estudados antes do cálculo e normalmente num curso de cálculo você não revisa essa parte você pelo menos não entra a fundo nessa parte Então você já supõe você já pressupõe que

o aluno já chega no cálculo com esse conhecimento só que a gente sabe que muitas vezes isso não acontece na maioria das vezes isso não acontece então é por isso que no dominando o cálculo a gente tem aí mais de 20 horas de aulas e um monte de exercícios também só sobre a parte de pré-cálculo dividido em vários tópicos que são essenciais para você aprender cálculo direitinho então aqui a gente não tem tempo né de ficar eh revisando esses tópicos junto com com você muito menos aprofundando esses tópicos junto com você mas quem adquiriu dominando

cálculo vai ter acesso a isso de forma bem completa tá E lá no dominando né em qualquer outro bom curso de pré-cálculo que você veja por aí lembrando obviamente que o dominando do cálculo ele não é só um curso de pré-cálculo Ele também é um curso de cálculo tá ele tem uma parte de pré-cálculo mas eh você no material de pré-cálculo você vai ver que qualquer reta ela pode ser parametrizada no no plano cartesiano ela pode ser descrita no plano cartesiano através de uma equação do tipo Y igual a um certo M que é uma

constante vezes a variável x mais uma outra constante B Beleza então você determina uma reta conhecendo os valores de b e dessa constante m tá e também no estudo ali de geometria analítica né que é algo que você faz no pré-cálculo também você sabe que esse B ele é o ponto aonde é o ponto aonde a reta cruza aqui o eixo Y né E esse ponto esse valor M aqui ele tem relação com a inclinação dessa reta né ele tá relacionado ao ao chamado coeficiente angular da reta que a gente calcula a partir de de

uma informação geométrica dessa reta né a partir de uma certa tangente que vai surgir conforme a gente for analisando bom então a nossa missão é encontrar uma maneira de determinar esses coeficientes m e B que vão determinar Nossa reta tangente mas antes disso geometricamente como que a gente calcula como que a gente encontra a reta tangente se você for pensar por exemplo em ir desenhando na mão como é que você tem certeza que de fato você encontrou a reta tangente isso não parece uma tarefa muito simples de ser feita né então Ó a maneira como

a gente faz inclusive geometricamente é a maneira como a gente vai fazer ali vamos dizer também do ponto de vista algébrico tá que é o seguinte ó vamos imaginar que a nossa reta tangente vamos fazer aqui assim e deslocar para cima vamos imaginar que essa aqui é a reta tangente eu vou botar até pontilhado para ficar para ela não ocupar espaço uma ideia que é a ideia geométrica por trás da origem da própria questão da derivada é que pra gente chegar na reta tangente que que a gente faz a gente começa com uma reta secante

que que é uma reta secante é uma reta que intercepta o gráfico da função em dois pontos diferentes então por exemplo se eu chegar aqui ó e escolher vamos dizer um ponto x aqui esse ponto x ele vai bater ali no gráfico mais ou menos aqui assim que vai dar um valor F Dex que é mais ou menos aqui assim um pouco torto isso vamos refazer aqui ó vai ser um ponto mais ou menos aqui assim tá vamos botar tracejado para não ocupar tanto espaço bom então Ó aqui foi onde bateu a minha F Dex

tá isso aqui é um outro ponto Então vamos imaginar tá esse outro ponto aqui então Ó Vamos considerar a reta secante Entre esses dois pontos que eu já marquei aqui ó a reta secante ela vai ser mais ou menos isso daqui é assim né fazer assim e abaixar um pouquinho ela ó tá mais ou menos isso aqui mais ou menos aqui a gente vai ter essa reta secante que passa pelos pontos a f de a e XF Dex a minha missão é tentar encontrar a tangente nessa tangente aqui que a gente fez de pontilhados vermelho

que é tangente do gráfico da função no ponto de coordenada x = a y = f de A tá e a gente vai fazer isso aproximando através de reta secante então a ideia na verdade é ir tomando valores de x cada vez mais próximos de a e veja que se eu pegar por exemplo um valor aqui ó um valor aqui assim olha só onde que esse cara vai bater vai bater aqui né vai bater mais ou menos aqui que vai dar um F mais ou menos aqui tem que descer um pouquinho mais ou menos isso

aqui né Mais ou menos isso aqui e a reta secante que passa por esses dois pontos V fazer de verde ela já tá batendo aqui ó seja deve ser mais ou menos mais ou menos tem que dar zoom para poder encaixar direitinho isso aqui mais ou menos aqui ó deu Praticamente em cima vamos dar uma mudadinha aqui só para ilustrar um pouquinho melhor para você ó ó mais ou menos aqui assim tá então vamos fazer aquele aquele famoso desenho do ponto gordo né que é para esconder as imperfeições do desenho Então vamos imaginar que esse

cara aqui é o ponto que a gente marcou né quando a gente fez o x se tornar mais próximo do a do que tava antes então a gente caiu ali em cima e aí a gente determinou essa reta aqui essa reta verde tá tá que é uma outra reta secante só que agora com uma coordenada com ponto x mais próximo um pouquinho de a E aí você percebe o que que aconteceu nessa jogada Olha só Originalmente quando eu parti de um ponto x mais afastado olha só a diferença da reta tangente pra minha reta secante

uma diferença maior só que agora quando eu aproximei mais o x do a o que que aconteceu o que que aconteceu eu peguei aqui um valor uma reta né uma eu produzir aqui uma reta secante que é mais próxima da nossa reta tangente e a ideia justamente Essa é que as retas secantes elas vão aproximando a reta tangente à medida em que o X tende a a e aí no limite quando o x realmente tende a a no limite então o que que acontece a própria reta secante se torna a reta tangente Então essa a

ideia de reta tangente né a maneira como a gente define geometricamente a reta tangente é como um limite de reta secante quando você pega dois pontos e esses pontos eles vão tendendo um pro outro eles vão tendendo pro mesmo Ponto beleza então ó isso faz com que a gente tenha uma definição de derivada exatamente como um limite tá então o que que é a derivada a derivada ela vai ser quando a gente encontrar a nossa expressão aqui paraa tangente nesses termos aqui a derivada vai ser exatamente o valor desse coeficiente M aqui a derivada é

por definição a inclinação da reta tangente então a derivada ela vai ser obtida através de um processo de limite porque a própria reta tangente é obtida através de um processo de limite de reta e secante então aqui o que a gente tem que fazer agora para entender O que que é uma derivada é expressar isso daí que a gente falou intuitivamente geometricamente agora de uma forma algébrica Então vamos lá que que eu tenho aqui eu tenho um ponto x né E um ponto a que é o ponto onde eu quero encontrar a minha reta tangente

e para encontrar minha reta tangente eu preciso considerar primeiro uma aproximação dela através de uma reta secante seria talvez assim algo mais ou menos assim né Seria algo mais ou menos assim tá E essa reta secante ela vai ter uma equação que vai ser alguma coisa do tipo Y = MX + B certo e o nosso objetivo então é encontrar Quem que é o valor desse M aqui que a gente vai chamar no limite né quando essa reta secante for convergindo para uma reta tangente a gente vai chamar esse coeficiente da inclinação de a derivada

Beleza então Ó que que a gente tem aqui a gente tem o seguinte tá vamos dar um zoom aqui para as coisas ficarem mais claras Né repara que se eu continuar esse tracejado daqui que que eu vou ter ele vai bater mais ou menos aqui E esse outro tracejado bate mais ou menos aqui então a gente tem aqui dentro um triângulo que é retângulo né isso aqui esse ângulo aqui é reto e quais são os desse triângulo vamos pintar ele para ficar mais claro Quais que são os catetos desse triângulo retângulo o cateto horizontal ele

é o qu ele é Ó a diferença entre essas coordenadas né Ele é igual x- a certo e o cateto vertical el é diferença entre essas coordenadas Ele é igual então a FX Men f de a beleza portanto ó o coeficiente m né que representa a inclinação da reta secante quando a gente vê o estudo lá na geometria analítica né de como que a gente encontra o coeficiente de uma reta a gente vê que é só você fazer o quê você quer fazer na verdade ó a tangente desse ângulo aqui quando eu falo tangente aqui

eu tô falando da função trigonométrica de tangente tá e qual que é a tangente desse ângulo é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente tá então Ó o coeficiente a inclinação da reta secante é o qu é m igual a f Dex - f a que é o cateto oposto dividido por x - a que é o cateto adjacente tá então a inclinação da reta secante vai ser essa vai ter essa expressão algébrica tá E aí quando eu passo paraa derivada o que que eu vou fazer quando a gente passa para derivada né a gente

vai fazer o quê simplesmente a gente vai fazer o x tender ao a isso vai fazer o quê a nossa reta secante tender pra nossa reta tangente e portanto a inclinação M que tem essa expressão daqui conforme o X tende a a ela vai tender para o número que representa o coeficiente angular da própria reta tangente então Ó a definição da derivada né que é exatamente a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto a vai ser o qu a gente vai denotar isso daí como f linha de A então o m

da reta tangente a gente denota como f linha de a de a por qu porque é calculado no ponto a né a reta tangente no ponto a e isso daí então vai ser o qu vai ser o limite desses coeficientes da reta secante ou seja vai ser o limite do x tendendo quando X tende a a de fx menos o f de a sobre o x - a tá aí então a expressão da derivada né E já a sua primeira interpretação que é o que o coeficiente angular da reta tangente Beleza então ó de posse

da dessa expressão pra derivada a gente já consegue calcular a equação da própria reta certo Então imagina aqui ó que eu tô eu quero calcular a equação da tangente que eu já representei aqui a tangente em vermelho né Essa aqui é a reta tangente e eu quero calcular a reta tangente nesse ponto aqui que é o ponto de coordenada x = x0 né e y iG f de y0 então Ó que que eu preciso fazer eu preciso expressar uma equação da reta sabendo já que a inclinação dessa reta o coeficiente angular dessa reta é a

derivada no ponto x0 Então como é que a gente uma das maneiras né da gente encontrar uma equação da reta né é quando por exemplo eu conheço dois pontos dela tá então aqui ó eu vou ter um ponto XY genérico que é exatamente o ponto que eu quero expressar e algebricamente para encontrar uma relação que esses caras têm que satisfazer e o outro ponto que eu já conheço realmente é o ponto x0 f de x0 esses dois pontos eles têm que ser pontos da reta tangente tá então uma equação dessa reta seria o quê seria

eu fazer Y - fx0 que são os dois pontos as duas coordenadas Y da reta né vai ser igual ao quê vai ser igual ao coeficiente angular dessa reta portanto igual a f de x0 vezes o qu a diferença entre essas coordenadas aqui vezes x - x0 tá pô mas não entendi da onde que você tirou isso da onde que você tirou que isso daí é equação da reta isso daí vem exatamente da parte de pré-cálculo de geometria analítica né quando a gente começa ali a estudar o plano cartesiano quando a gente começa a se

ambientar com equações de retas equações de parábolas de círculos Enfim então é mais um daqueles conteúdos que vem lá do ensino médio e que eu sei que acabam sendo aí um uma pedra no sapato de muita gente na hora de estudar cálculo Né repara que várias das dúvidas que surgem durante o estudo do cálculo Por parte dos alunos São perguntas na verdade de coisas que estão sendo utilizadas que ainda pertenciam ao pré-cálculo e os alunos expressam essa dúvida durante o estudo do cálculo ou seja havia lacunas na formação por isso que quem pega o dominando

no cálculo não tem esse problema porque lá você vai suprir todas ess essas lacunas né porque a lógica do curso ela foi elaborada da seguinte maneira conforme eu ia fazendo a parte de cálculo eu ia identificando tudo aquilo que era necessário mas que era pré-cálculo e ia colocando lá na parte pré-cálculo então um lado da história conversa sempre com outro e o curso foi feito de maneira conjunta o pré-cálculo foi feito junto com o cálculo para que eu tivesse certeza que nada ia faltar para você beleza então Lembrando que vamos entrar aí em black friday

em breve né a partir do dia 11 de novembro e quem tiver interesse dá uma olhada no link da descrição para não perder essa oportunidade de pegar o melhor preço da história no dominando cálculo mas vamos em frente a partir dessa expressão o que você conclui é que a reta tangente ela vai ter uma expressão Y = F linha de x0 x x - x0 mais o f do x0 Beleza então essa daí vai ser a expressão da reta tangente esse é o nosso coeficiente que a gente cham antes de m e esse esse camaradinha

aqui juntamente com esse produto aqui né - x0 x F linha x0 eles juntos vão formar o coeficiente que a gente chamou de B Beleza então como exemplo primeira aplicação dessa ideia né Vamos calcular aí qual que é a equação da reta tangente da parábola de gráfico de de de equação Y = X2 no ponto x = 1 tá tá nesse ponto x = 1 ó o y também vai ser 1 Então já tá aqui desenhado para você é esse ponto aqui e a gente quer encontrar então a equação dessa reta tangente tá então a

primeira missão é o quê calcular a derivada do X qu tá como é que a gente calcula essa derivada então ó vamos chamar aqui de chamar logo de F linha né F linha de 1 que é a expressão da derivada no ponto x = 1 ela é o quê pela definição ela é o limite da inclinação das retas secantes em outras palavras é o limite quando X tende a 1 de quê de X qu - 1 sobre x - 1 tá exatamente essa expressão daqui só que agora substituindo pelos valores corretos então o que que

tá acontecendo aqui isso daqui é o quê é a mesma coisa que o limite quando X tende a 1 aqui em cima eu tenho uma diferença de quadrados né porque um é a mesma coisa que 1 quadrado então Ó eu posso usar um produto notável aqui que é outro conteúdo de pré-cálculo que as pessoas esquecem quando chegam no ensino superior ou então não aprenderam muito bem na no ensino básico e acaba travando demais o seu caminho tá e aqui a diferença de quadrados ela pode ser escrita como a diferença entre os números vezes o a

a soma desses números né então isso é a mesma x qu - 1 a Quad é a mesma coisa que x - 1 x x + 1 beleza e isso aqui você divide por x - 1 tá como a gente tá vendo o limite quando a gente vê o limite a gente não faz o x = 1 em nenhum momento então ó como X é diferente de 1 esse camarada Aqui de baixo é diferente de zero aqui de cima também a gente pode simplificar um pelo outro tá então isso daí vai dar o quê vai

dar o limite quando X tende a 1 de x + 1 E aí sim aqui não tem problema nenhum isso daqui é uma função contínua né x + 1 uma função contínua então o limite vai ser exatamente a mesma coisa que substituir o X pelo 1 ou seja isso daí vai dar do né Então esse é o coeficiente angular dessa reta né então a equação da reta a equação da tangente ela vai ser o quê Ela vai ser Y iG o coeficiente 2 né vezes o qu vezes x - 1 que é o ponto onde

a gente quer calcular mais a f de 1 que é o quê que é 1 quadado que é igual a 1 tá então é igual a isso daí ó se você quiser 2x - 1 Beleza então tá aí a primeira reta tangente que a gente tá encontrando usando já a definição de derivada né e veja como que a gente precisou de duas coisas aqui uma de cada aula passada tá além obviamente do conteúdo pré-cálculo mas a gente Us usou a noção de continuidade para matar esse limite aqui no final e justamente usamos os limites até

para calcular a derivada né a partir da definição Então você veja que o conhecimento ele vai se empilhando no cálculo né então é muito importante que se você caiu aqui de que de de se você caiu aqui de para-quedas você volte nas aulas anteriores Porque sem elas você não tem como entender isso daqui a menos que você já saiba de algum outro lugar aquele conteúdo mas se você nunca viu não tem como você acompanhar a partir daqui você tem que voltar na aula um so limites depois ir paraa aula dois continuidade para poder chegar na

aula três de derivadas beleza vamos lá então agora a gente vai falar de uma outra interpretação da derivada até aqui a gente falou da derivada geometricamente ela é o coeficiente angular da reta tangente mas agora a gente vai ver uma outra interpretação da derivada que é também extremamente útil e é puramente algébrica exatamente a derivada como taxa de variação tá que que eu quero dizer com isso Ó imagina que você tenha uma função y = FX é sempre F né E aí ó eu tô interessado em ver como que essa função varia Eu Tô interessado

em ver a taxa de variação dessa função o que que é isso eu vou olhar então para duas coisas eu vou pegar dois pontos Diferentes né do do meu eixo horizontal vou pegar um ponto x e um ponto X2 e vou olhar o qu para duas coisas a primeira coisa é a diferença entre eles que eu vou chamar de Del x X2 - X1 e a segunda coisa é a diferença entre o valor da função nesses pontos ou seja o f do X2 menos o f do X1 certo isso aqui é o quê é como

que a variável independente variou e isso aqui é como que a variável dependente variou o que que eu quero saber eu quero saber a taxa de variação média Ou seja eu quero saber o que que é o Del Y dividido pelo delx então del Y so delx é simplesmente a taxa de de variação média dessa função beleza só que para várias coisas na vida inclusive na física né esse conceito é muito importante a gente não tá interessado apenas em ver variação Média a gente está interessado em ver ou pelo menos dar sentido algo que possa

ser chamado de variação instantânea tá então ó Qual que é a ideia então que a gente que a gente quer para criar esse conceito de variação instantânea né que se você for pensar por exemplo exemp em velocidade você tem a velocidade média e você tem também a velocidade instantânea que é uma coisa que tem grande utilidade na prática né o velocímetro do seu carro ele vai mostrar uma velocidade que Teoricamente é a velocidade naquele instante quando você é multado por exemplo através de um radar né através de um Pardal como a gente chama aqui no

Rio de Janeiro você precisa o quê você precisa medir a velocidade instantânea do carro quando ele passou na frente do radar então velocidade instantânea é uma coisa que tem importância prática grande só que se você parar para pensar como é que a gente calcula uma velocidade instantânea como é que a gente sabe que realmente naquele momento o carro estava se movendo àquela velocidade então isso vem desse conceito de velocidade instantânea que é uma aproximação que é um limite de velocidades médias a mesma lógica ali da tangente que é uma aproximação feita a partir de retas

secantes a a gente vai ter a velocidade instantânea como sendo uma aproximação a partir de de de velocidades médias tá E conforme a diferença entre esses pontos X1 e X2 vai tendendo a zero a gente obtém de fato a taxa instantânea de variação Ou se você quiser a velocidade instantânea Então vamos lá a variação instantânea Então vai ser o quê vai ser o limite quando o delx tende a zero né Ou seja a diferença entre os pontos tende a zero da variação média em outras palavras né o limite quando o X2 tende ao x1 do

F X2 - F X1 so X2 - X1 certo é uma expressão extremamente parecida com que a gente viu antes quando a gente definiu o que que era uma derivada bom então o exemplo primeiro exemplo de taxa de variação instantânea Eu já falei para você que é o exemplo da velocidade instantânea Tá então vamos ver na prática aqui como é como é que a gente calcula isso imagina que eu tenho aqui ó essa função que é a função da posição de movimento de um corpo qualquer tá então ele tá E esse corpo ele tá descrevendo

essa esse essa função aqui que tem esse gráfico e a gente tá interessado então em calcular encontrar uma expressão paraa velocidade instantânea desse corpo tá para fazer isso eu quero saber velocidade instantânea no tempo t0 então o que que eu faço eu começo num tempo T1 e vou ver o qu ó e vou ver a variação a variação média entre os pontos T1 E t0 lembrando que ela vai ser calculada de que forma né a gente vai pegar aqui ó esse isso aqui é um cateto né são dois catetos de um triângulo retângulo esse primeiro

aqui ó o horizontal é o qu T1 1 Men t0 que a gente chamou o quê de Del t e esse cateto vertical é o s de T1 menos o s de t0 que é igual o qu que é igual a del S certo então Ó a velocidade média entre os pontos t0 e T1 é o quê é dels so del T que você deve se lembrar aí da física lá do ensino médio beleza e a velocidade instantânea vai ser o qu vai ser o limite quando esse del T tende a zero quando o quando

o intervalo de tempo tende a zero da velocidade média ou seja do Delta S sobre o Del T certo abrindo esse negócio né É a mesma coisa que o limite quando T1 tende a t0 do que do S de T1 - S de t0 sobre T1 - t0 que é simplesmente a sua derivada né a derivada da função da posição no ponto t0 tá então aqui a gente já vê inclusive que na física Toda vez que você tem uma função de posição em relação ao tempo a derivada dessa função expressa a velocidade instantânea do objeto

tá então a função horária de posição quando você Deriva você obtém a função de velocidade instantânea Então como a gente já adiantou para você a derivada é uma taxa de variação instantânea né se você quiser pegar aquela expressão original que a gente deu pra derivada era o que F linha de a é o limite quando X tende a a de f de x - f de a sobre x - a essa foi a expressão original que a gente colocou para derivada tá só que o posso reescrever isso fazendo o quê escrevendo como limite quando delx

tende a z0 ao invés de escrever X eu vou escrever A + delx tá é a mais uma variação Zinha tá então ó quando eu tô aqui no a eu posso chegar aqui no x esse x eu posso escrever como sendo o qu como sendo próprio a mais a distância do a Pro X Ou seja é a + delx tranquilo é isso que a gente vai fazer ali vamos apagar aqui ó isso aqui então é o limite né de F de a + delx men o f de a divididos por delx + a - a

né a gente pode simplificar cortar o a com a e vai sobrar o quê vai sobrar exatamente o limite quando do delx tende a 0 de F de a + delx - o f de a sobre o delx que se você quiser né você pode expressar como limite quando delx tende a zer a gente vai chamar numerador de Del y e o denominador mantém como deltax então você tem aí uma expressão que mostra né que a gente chegou aqui na taxa de variação instantânea partindo da definição da derivada Então essas coisas elas são realmente equivalentes

tá bom pela primeira vez nesse curso né a gente vai falar no nome do lebn né você já deve ter ouvido a história de que o cálculo foi inventado por Newton E libens mas você deve ter percebido que até aqui a gente não falou no nome nem do Newton nem do le então vou falar aqui agora no nome do le tá primeiro que essa história de CR des inventaram o cálculo e balela eles tiveram uma participação muito importante mas a gente nem chegou ainda no ponto aonde eles tiveram participação tá então a gente já falou

de limite continuidade derivada e ainda não tocamos no nome deles mas vamos tocar agora no nome do libes porque o grande mérito do libes né é um dos grandes méritos do libes pro estudo do cálculo e na verdade pro estudo da matemática de modo geral é que ele tinha uma anotação muito boa paraas coisas tá então a gente usa até hoje a notação do lebn para derivadas a notação do Newton para derivada é uma coisa que a gente não usa muito Você ainda vê um pouco na física e tal mas fora dali você não vê

ninguém usando porque não era uma anotação muito boa mas a do lies é muito boa inclusive filosoficamente ela tem um significado legal né o libis ele denotava a derivada da seguinte maneira ele fazia D so DX o Ou se você quiser né quando o y é uma função f Dex ele poderia escrever também DF DX né um Dezinho minúsculo tá e qual que é a motivação disso na época do libis não existia essa figura do limite Tá mas a gente pode traduzir o sentimento dele para pro conceito de limite é como se ele tivesse partindo

de uma notação que a gente usou ali de variação média e quando ele troca o delta pelo D ele tá fazendo o quê um processo de limite tá então a anotação do lienis deixa bem escancarada que a derivada é uma taxa de variação instantânea né porque a ideia de trocar o delta pelo D é justamente para simbolizar que você tá considerando um limite tá na época do lies ele dizia que ele estava considerando um infinitésimo que é uma coisa que não havia uma definição na época rigorosa do que que era um infinitésimo e assim permaneceu

durante muito tempo foi só recentemente no século XX que encontraram uma definição boa de infinitésimo n uma coisa que era matematicamente consistente Tá mas que normalmente não é ensinada nos cursos de cálculo at porque para você entender o infinitésimo você precisa de muito mais bagagem embora usar infinitésimos seja fácil entender infinitésimos é difícil é mais fácil entender limite embora muita gente acha limite difícil mas ele é mais elementar do que os infinitésimos então é por isso que até hoje o cálculo ainda é ensinado a análise ainda é ensinado através de limite Mas enfim essa anotação

do li Então ela ela é para simbolizar no nosso na nossa linguagem moderna para simbolizar que houve uma passagem ao limite da taxa média de variação tá então a gente tem uma taxa instantânea de variação e para simbolizar isso o lies usa esse D Y so DX que é algo que você vai ver muito aí na sua vida ao longo do estudo do cálculo né um cara aí do século 17/1 com uma anotação que é usada até os dias de hoje beleza bom até aqui a gente falou de derivada como coeficiente da reta tangente derivada

como taxa de variação instantânea Ou seja a gente falou de derivada como sendo um número mas aqui a gente vai tá interessado também na derivada como sendo uma função e como é que é isso né simplesmente se eu chegar aqui olhar o que acontece nesse ponto X1 a gente tem o quê A gente tem uma reta tangente a esse ponto X1 portanto a gente tem uma certa derivada vamos botar aqui em cima uma certa derivada que tá associada a essa reta tangente só que se eu mudar de ponto for pro ponto X2 eu tenho outra

reta tangente portanto eu tenho uma outra derivada associada a essa reta tangente associada a esse ponto ou seja ver a derivada como função é justamente gente acompanhar o que que acontece com esses coeficientes de inclinação das tangentes a medida em que o x varia ou seja aqui eu saí do X1 e fui pro X2 então a gente pode simplesmente olhar pra derivada como uma função que depende do X F linha de x e aí a definição é o qu é simplesmente né olhar paraa derivada no x ou se escrever que você quiser escrever como limite

olhar pro limite de f de x mais um certo h - f Dex sobre h quando esse H tende a zero tá Então essa é a expressão de antes né quando a gente escrevia e antes a gente escrevia como a gente botava um a aqui né E agora o que que eu tô dizendo para você tinha um a aqui também que que eu tô dizendo para você vamos fazer esse a variar e aí toda vez que a gente faz uma coisa variar normalmente a gente diz que essa coisa se se chama x tá então é

mais usual você ver realmente escrito como f linha de X Beleza então mas isso aí daí é para simbolizar que a gente de fato tá enxergando agora porque não a derivada também como uma função bom partir daí a gente tem uma introdução zinha aqui de terminologia né a gente vai dizer que a função f ela é derivável num certo intervalo I tá um intervalo normalmente aberto se essa função derivada né a f linha de X existir para todo X no intervalo Beleza então é isso que quer dizer uma função ser derivável ou se você preferir

uma função ser diferenciável tanto faz o nome eles vão significar aqui a mesma coisa bom que que a gente vai fazer agora né Vamos calcular aqui algumas derivadas A partir dessa definição Tá vamos começar com a derivada mais fácil de todas derivada da função constante pron eu tenho aqui uma função constante que é Y igual a c tá que é reta horizontal e aí antes de gente sair fazendo conta vamos pensar uma coisa né A derivada emada ponto ela tá associada a reta tangente naquele ponto só que aqui eu tenho o qu eu tenho uma

reta eu já estou com uma reta em mão que que você acha que vai ser a reta tangente a esse ponto aqui por exemplo a um ponto Qualquer aqui qual que você acha que vai ser a reta tangente a própria reta certo como é a própria reta a equação da reta tangente vai ser simplesmente Y iG uma constante y = c ou seja em particular é uma reta que não tem inclinação inclinação dela é zero e como a derivada Méia a inclinação o esperado é o quê é que a derivada de uma função constante seja

zero mas se você é daqueles que duvidam vamos fazer essa conta né então ó F linha de x é o quê o limite quando o h tende a zero de qu de FX + H só que a f Dex ela é constante né então F Dex + h vai ser o quê vai ser igual a c menos o FX que é igual o quê que é igual a c também isso tudo de dividido por H então aqui em cima fica zero o numerador é sempre zero então quando eu tô dividindo zero por qualquer coisa diferente

de zero continua dando zero então No Limite vai ser zero também tá então isso aqui ó vai ser igual a zero Beleza então toda vez que eu tiver uma função constante que que eu vou ter a derivada dela vai ser zero a reta tangente é a própria a reta que é horizontal certo bom seguindo no mesmo espírito vamos calcular aqui a derivada de uma reta genérica tá então essa reta ela vai ter uma equação do tipo FX = Ax + B e o mesmo raciocínio geométrico de antes né quando o que que você acha que

vai ser a tangente nesse ponto aqui a tangente de uma reta é a própria reta não tem como ser outra coisa diferente disso então que que eu vou esperar eu vou esperar que a reta tangente seja a mesma reta né portanto a derivada tem que ser esse coeficiente a aqui certo então isso daí é o que a gente espera tá então vamos ver na prática se de fato é isso daí ó vamos calcular F linha de X vai ser o qu vai ser o limite quando H tende a z0 de quem de f de x

+ h Ou seja a x x + h + B menos a f Dex que é Ax + B isso aqui dividido por H certo então ó repara que que que vai acontecer aqui ó esse B aqui vai morrer com esse B tá tem um sinal de menos aqui na frente e esse AX aqui vai morrer com esse AX aqui porque também tem um sinal de menos tá então ó já sei que esses caras morrem vai sobrar o quê que vai sobrar o limite quando H tende a zero de H sobre H só que eu

também posso cortar o h com H ou seja vai dar simplesmente o a certo como a gente esperava né então Ó o coeficiente da reta tangente vai ser o próprio coeficiente da reta já que a tangente a uma reta é a própria reta nenhuma surpresa aqui então Toda vez que você tiver uma reta que que vai acontecer a derivada vai ser uma função constante que é o próprio coeficiente dessa reta coeficiente angular dessa reta beleza bom vamos para um exemplo um pouco mais emocionante e um exemplo muito importante tá apesar de ser simples que é

o seguinte ó a função módulo função módulo é o qu a função valor absoluto né você pega um número ignora o sinal Esse é o valor da função então ó o que que acontece aqui a função módulo ela não é derivável no ponto x = 0 tá a função módulo ela não tem derivada aqui ó certo e por que que ela não tem derivada aqui se ela é a união de duas retas né Você tem uma reta aqui e você tem outra reta aqui por que que ela não é derivável no ponto de encontro dessas

retas n no ponto x = 0 Bom pelo seguinte pelo seguinte ó à esquerda do zero por valores menores do que zero né Vamos imaginar valores que estão se aproximando do zero pela esquerda essa reta aqui é a componente da função módulo tá e a gente acabou de ver que a derivada que a tangente é uma reta é a própria reta tá então ó em particular a gente vê que o coeficiente angular da tangente à esquerda do zero é igual a -1 e por né porque esse pedacinho de reta aqui qual que é a equação

dele a equação é y iG x Essa é a equação dessa reta à esquerda do zero só que quando a gente passa pra direita do zero que que acontece a reta é essa daqui essa reta Verde e essa reta Verde ela tem equação y = x o coeficiente angular dessa reta é um Positivo tá então ó repara aqui se eu me aproximar se eu fizer retas secantes se eu fizer retas secantes à direita do zero eu tô então ó neste universo aqui à direita do zero todas elas vão ter inclinação igual a um então o

limite das retas secantes quando eu eu venho pela direita do zero é igual a 1 Só que pela Esquerda do zero o limite é outro né Porque todas as retas secantes à esquerda do zero tem coeficiente de inclinação -1 então o limite também vai ser -1 ou seja o limite à direita é diferente do limite à esquerda portanto não existe limite quando o a a a o ponto tende a zero Tá então não existe portanto a derivada derivada é um limite só que quando o limite à direita é diferente do limite à esquerda é porque

o limite no ponto não existe Beleza então é por isso que uma função que tem um bico como essa daqui ela não é derivável bom Vamos considerar agora outro exemplo bastante simples que é o exemplo da derivada da parábola tá que é um exemplo assim muito importante então ó como é que a gente calcula a derivada da parábola né agora a gente não tem mais a geometria para ajudar a gente de maneira mais óbvia né então vamos ter que fazer realmente na mar a partir da definição de derivada né então ó F linha de x

é o qu é o limite quando H tende a 0 de x + h qu - x qu sobre H certo e aí você pode fazer por exemplo abrindo né esses abrindo esse x + 1 + H qu E aí vai ficar x qu + 2x h + h qu E sobrou ali o - x qu isso tudo dividido por H aqui ó x qu morre com esse x qu E você tem H aqui tem um h quadrado e tem um h aqui embaixo eu posso cortar Então todos esses HS e vai sobrar o quê

cortei esse cortei esse cortei o quadrado aqui vai sobrar então o limite quando H tende a zero de 2x + H E esse limite então é igual q igual a 2x simplesmente Então essa aqui é a expressão da derivada da parábola x = Quad a derivada vai ser y = 2x E aí para finalizar essa parte de cálculo de derivadas né pegando derivadas bem elementares e Bem simples vamos calcular a derivada da raiz quadrada tá a função raiz quadrada que tá definida ali para valores de x maiores que zero Bom vamos lá f de f

linha de X vai ser o quê vai ser o limite também a gente repete definição quando H tende a z0 da rax + H - rax sobre H E aí ó a gente tá numa situação em que a gente tem uma diferença de raízes né e eu não gosto e você também não deveria gostar de diferença de raízes a gente tem que se livrar disso como é que a gente faz para se livrar disso a gente usa produtos notáveis a gente faz aqui ó vamos repetir a expressão e vamos fazer essa diferença de raízes virar

uma diferença de não raízes né a diferença dos próprios números ou seja vamos produzir uma diferença de quadrados já que o quadrado de uma raiz é o próprio número tá e a gente faz isso lembrando dos produtos notáveis que é o outro conteúdo que você vê no pré-cálculo né e obviamente tá lá para você direitinho no dominando cálculo é o seguinte você vai multiplicar pela soma desses caras né você Vai Multiplicar pela soma porque isso vai produzir o quadrado da diferença então Ó que que a gente vai ter aqui a gente vai ter que isso

daí vai ser igual a limite quando H tende a zero vai ficar aqui a diferença dos quadrados né então vai ficar x + h - o x dividido por h x x + h ra + √ x né Tem um parêntese aqui ó bom esse x morre com esse x vai sobrar H tem H aqui também eu posso também cortar um h com outro vai sobrar simplesmente o limite quando H tende a z0 de 1 sobre a rax + h + AX E aí ó o que que acontece né eu tenho aqui um quociente só

que o denominador Qual que é o limite disso quando H tende a 0 éx + rax ou seja 2x como esse limite é diferente de zero porque eu tô supondo que o x é positivo né então eu posso realmente passar o limite para dentro e concluir que o valor final disso daí vai ser o qu Vai ser 1 sobre o limite disso que a gente já sabe que é 2x né então O resultado vai dar 1 sobre 2 rax beleza Lembrando aqui sempre né que o X Ele é diferente de zero tá então tá aí

calculado para você qual que é a expressão da derivada da função raiz quadrada né você vê que a raiz desceu e apareceu aqui um dois Beleza então fizemos aí mais uma conta com derivadas então assim quando a gente vai fazendo essas coisas pela primeira vez né a descoberta disso daí é legal né porque se você tiver a iniciativa de pausar o vídeo Antes de eu começar a fazer e tentar por você mesmo e aí você vê caramba as coisas estão fluindo tá tô acertando e depois você dá o Play e vê que conferiu com o

que com o que eu fiz é muito legal Ass assim é é uma coisa bem gostosa apesar dessas coisas aqui serem realmente o iniciozinho do cálculo é legal a gente aprender e Aliás o que eu acabei de falar para você né de você ter uma postura mais ativa nos estudos é fundamental para você mandar bem em qualquer matéria especialmente matérias ligados à matemática tá então tenta sempre transformar a coisa num num numa numa experiência mais ativa você tem que ter sempre essa postura de sentar aqui para ver uma aula usando papel e caneta não tendo

medo de apertar o botão de pausar o botão de voltar porque se for novidade para você é muita informação é muita coisa dificilmente você vai digerir isso aqui de uma vez só e é importante que quanto mais você transformar a experiência em algo ativo em algo do qual você participe ativamente melhor vai ser o seu aprendizado maior vai ser o proveito que você vai tirar disso aqui não só dessas aulas mas de qualquer outra aula mesmo que você entre pro dominando cálculo e você tenha lá uma tonelada de aulas você vai ter uma experiência melhor

eh fazendo assistindo as aulas de formativa e obviamente fazendo os exercícios porque a única maneira de você aprender matemática é através dos exercícios né e é por isso que também que no dominando o cálculo eu tive a preocupação de colocar todos os exercícios com resposta completa passo a passo tá porque eu quero que você Tente mas eu quero que você tenha ali uma maneira de checar se você tá fazendo correto ou não Ou até mesmo de ver uma outra maneira de fazer porque às vezes você acertou mas usou uma forma muito complicada ou até mesmo

você pode se vangloriar de ter encontrado uma forma mais simples do que aquela que eu coloquei ali no Exercício como resposta beleza então essa é a maneira como você vai aprender melhor é transformando o seu estudo em algo mais ativo tá então ó vamos lá vamos em frente vamos para mais uma interpretação da derivada que é nesse caso aqui uma interpretação não apenas da derivada né mas é trazer pro jogo um elemento novo que é a ideia de aproximação linear você vai ver que não é tão novo assim porque a aproximação linear É o quê

É aproximar a função através de uma reta e a reta que a gente vai escolher para fazer essa aproximação é exatamente a reta tangente então ó a gente vai ver aqui agora eh a presença da geometria só que agora num contexto de aproximação né que é algo que vai ser útil por exemplo na computação ou até mesmo em aplicações a física a engenharia aproximar coisas porretas é algo muito comum e muito M útil também então vamos lá qual que é a ideia aqui ó eu fiz aqui para você né o gráfico de uma função f

e eu localizei um ponto x0 que a gente vai dar um zoom aqui desse lado né e de vermelho a gente tem a reta tangente ao gráfico da função nesse ponto tá e o que que acontece Qual que é a ideia aqui quando você dá o zoom num retângul bem pequenininho ali ao redor do ponto x0 olha só o que que acontece ó repara que a diferença entre a função que tá em azul e a reta tangente Ela é bem pequenininha se a gente tivesse pego um ponto mais perto ainda do ponto x0 vamos supor

se a gente olhar só para essa parte aqui que tá em amarelo a coisa é mais próxima ainda então a função conforme a gente vai dando Zoom ela vai se confundindo com a própria reta tangente a reta tangente ela vai aproximando a função e a gente fala como ela é uma reta né a gente chama essa aproximação de uma aproximação linear então aproximar a função de forma linear é apenas é aproximar é apenas aproximar a função através da sua reta tangente então ó vamos vamos ver aqui algebricamente né Qual que é a expressão da reta

tangente à função f no ponto x0 a gente pode expressar isso fazendo y - f de x0 igual F linha de x0 vezes x - x0 que dá pra gente então a equação y = f de x0 + f linha de x0 vees X - x0 Então essa aí é a expressão da reta tangente que a gente já tinha visto antes e aí nesse gráfico aqui ó eu tenho novamente aqui uma função e uma uma reta tangente num certo ponto Beleza então o que que vai acontecer primeira coisa como ela é a reta tangente ela

tem essa expressão né Y = fx0 + F linha de x0 x x - x0 tá imagina que eu tô aqui num outro ponto a uma certa distância h do ponto x0 tô no ponto x0 + H vamos baixar subir aqui a uma vertical nesse ponto seria mais ou menos aqui vamos botar ela pontilhada para ficar bonitinha que que a gente tem aqui ó repara aqui vamos supor que eu conheça o valor da função no ponto x0 e eu quero estimar o valor da função no ponto x0 + H que seria esse ponto aqui e

para fazer essa estimativa eu vou aproximar a função pela reta Ou seja eu vou considerar esse cara aqui na verdade como uma aproximação da função certo e quem que é esse ponto aqui ó esse ponto é um ponto da reta tangente então ó ele tem uma coordenada Y que é o qu que é o f do x0 mais F linha de x0 vezes a diferença x0 mais H - x0 ou seja vezes H certo então essa essa daqui é a expressão para esse ponto beleza legal esse cara aqui de azul esse cara aqui em azul

é o qu Vamos botar ele de Rosa também esse cara aqui em rosa é o quê é o próprio ponto y = f de x0 + H porque é o valor da função de fato no ponto tá aqui em cima eu tenho a aproximação aqui aqui embaixo eu tenho de fato o valor correto da função e repara que tem um GAP entre essas duas coisas né Tem um erro entre essas duas coisas né que é a medida desse segmento aqui ele simboliza o erro que eu tô cometendo a gente vai chamar esse erro de é

de H ele depende do H né a medida em que o meu X Ele vai se aproximando meu x0 + h vai se aproximando do x0 Ou seja a medida em que o h vai tendendo a zero o que que vai acontecendo com o erro ele vai ó ficando cada vez menor ele vai diminuindo certo bom então o que que a gente tem aqui ó a gente tem que essa expressão ela é o quê Ela é uma aproximação linear pro valor da minha função certo e qual que é o erro que a gente tá com

cometendo né Qual que é o valor desse Y de H aqui ó vamos calcular ele ó bom esse é de H ele ele é o qu né Ele é igual ao valor da função menos o valor que eu tô colocando ali então Ó o módulo dele né porque poderia ser um erro positivo ou negativo Mas Eu Tô interessado em ver o valor absoluto desse cara tá então o valor absoluto dele vai ser o qu nesse desenho aqui né a reta tangente ficou por cima né então vamos colocar esse camarada ali então Ó o módulo dele

é a mesma coisa que pegar o valor da função de fato e diminuir do que a gente usou como aproximação que foi o quê que é o f de x0 mais F linha de x0 vezes H certo posso me livrar desse colchete aqui passar o menos para dentro certo então em módulo é isso daqui em módulo é isso daqui que que eu vou fazer agora eu vou botar o H em evidência tá quando eu boto o H em evidência como não temho H multiplicando aqui eu vou ter que dividir por h tá então eu vou

fazer ó fx0 + h - fx0 vou dividir pelo h e do outro lado fica menos F linha x0 e o h veio aqui para fora beleza Ah mas para mim pareceu mágica e tal tem muita gente que tem dificuldade nessa hora e é mais um reforço que eu faço para você estudar pré-cálculo para você revisar a sua matemática básica né veja como que é recorrente esses momentos em que você tem essa sensação de que as coisas parecem mágica mas na verdade porque você tem lacunas na sua formação e o quanto antes você corrigir essas

lacunas melhor por isso que lá no dominando do cálculo você já pode fazer isso né então você vai começar a estudar cálculo antes mesmo de entrar no cálculo corrigindo essas lacunas para você deixar de se atrapalhar com isso durante o resto dos seus estudos tá é uma coisa que vai servir não só pro cálculo mas para toda a matemática que você vai ver dali para frente pelo resto da vida tá bom vamos lá vamos concluir então que esse camarada daqui ó se eu dividir pelo módulo do erro né módulo do erro não pelo módulo do

da perturbação que eu fiz em torno do ponto x0 o que que vai acontecer o módulo do erro dividido pela perturbação que é uma coisa que a gente pode chamar de erro relativo né porque aqui em cima eu tenho o valor absoluto do erro mas aqui embaixo eu tô dividindo pelo próprio e pelo próprio pela distância em relação ao meu ponto de interesse Então esse quociente aqui a gente pode chamar de erro relativo tá o erro relativo que você tá cometendo vai ser o quê fx0 + H - fx0 sobre H menos valor da derivada

F linha de x0 E aí pela definição da derivada o que que é derivada a derivada não é o limite desse cara quando o h tende a zero só que a der aga tá aqui então quando o h tender a zero que que vai acontecer com esse com essa diferença quando o h tende a zero ela vai tender a zero também Então olha só que interessante né a aproximação linear que a gente fez usando a tangente ela tem uma propriedade de que o erro relativo tende a zero à medida em que a gente se aproxima

do ponto não é simplesmente dizer que o erro tende a zero é mais do que isso o erro relativo tende a zero isso é mais forte do que dizer que o erro tende a zero certo porque se eu aproximasse por qualquer outra reta se eu pusesse uma reta assim por exemplo o erro seria maior certo só que conforme eu me aproximo do ponto de interesse o erro também vai tendendo a zero por quê Porque o ponto de interesse porque o ponto de interesse que tá aqui ó ele é um ponto da reta Então a diferença

desse ponto da reta pro ponto da função é zero então conforme eu vou me aproximando cada vez mais do ponto de interesse o erro sempre vai para zero só que com a reta tangente o erro relativo também vai para zero quando eu divido esse erro que eu tô cometendo de forma absoluta pelo deslocamento pela distância que eu tenho em relação ao x0 eu vejo que no caso do específico da reta tangente essa diferença esse eu relativo vai para zero e a reta tangente é a única reta que satisfaz isso aliás é um exercício legal você

provar isso né você fazer essa conta a gente faz essa conta lá no dominando do cálculo eu não vou fazer aqui porque ocuparia mais tempo né essa aula vai ser uma aula longa provavelmente vai ser a aula mais longa de todas as cinco Mas é verdade que a melhor aproximação linear de uma função é exatamente pela reta tangente E por quê Porque a reta tangente é a única que faz com que esse erro relativo Vá para zero à medida em que o h vai para zero com as outras retas isso não vai acontecer Beleza então

a gente tem aí a ideia de aproximação linear né aproximação linear da função f no ponto x0 é o quê é fazer simplesmente dizer simplesmente né que fx0 + H é aproximadamente fx0 + F linha x0 x h tá e a razão disso é exatamente por causa dessa aproximação da reta tangente né E a gente tem no final das contas né O quê que o f do x0 + H Ele é igual o quê voltar aqui nesse desenho O que que é o fx0 + h é esse camarada né menos vamos retirar aqui o erro

dele Certo Então ó a gente pode dizer o quê que f de x0 + H é igual a quê é igual a f de x0 + f linha de x0 x h menos esse erro tá você sempre pode escolher essa função erro para que ao invés de subtrair aqui você some tá só você mudar o sinal aqui dentro é mais usual você ver nesse formato aqui como soma Beleza então ó é basicamente dizer que esse erro aí é o que falta aqui para você chegar até aqui tá e nos casos em que isso daqui superar

é o que você tem que tirar daqui para chegar até aqui beleza então essa daí é a razão pela qual a gente tá usando a gente tá definindo né a aproximação linear dessa forma por quê Porque a gente tem o quê que o erro relativo né o limite quando H tende a zero dessa expressão aqui ela é o quê Ela é igual a zero tá isso como falei caracteriza a reta tangente como sendo a melhor aproximação linear paraa função porque ela é a única que tem essa propriedade de que o erro relativo vai tendendo a

zero à medida em que os pontos eles vão convergindo um pro outro na nossa primeira aula né a aula sobre limites eu falei para você numa famosa aproximação que a gente usa muito na física e na engenharia que é aproximar o valor do seno de um ângulo pequeno pelo próprio valor do ângulo em radianos e na época lá eu dei para você uma justificativa falando que isso daí era uma consequência do fato de que o limite de seno de x sobre x ou de seno de teta sobre teta é igual a 1 quando teta tende

a zero só que se a gente trouxer isso pra linguagem que a gente introduziu agora né a linguagem de aproximação linear a gente tem uma outra maneira de enxergar esse fato que é o seguinte ó vamos fazer então a aproximação linear da função seno ao redor do ponto teta igual 0 para isso a gente precisa o quê primeira coisa a fazer é calcular o valor da derivada no zero tá E essa derivada vai ser o quê vai ser o limite quando H tende a zero de quem do seno de H menos o seno de zero

que é zero divididos por H E esse limite aqui que foi um dos limites fundamentais que a gente viu na primeira aula dessa série de cinco aulas é o qu é igual a um tá olha aí mais uma vez os conteúdos anteriores fazendo a diferença no momento posterior então Ó que que a gente tem a gente tem que o seno de teta usando aquela expressão daqui né essa expressão daqui ele tem que ser igual a quê ele tem que ser igual ao seno no zero que é zero Então não vou nem escrever mais o a

derivada do seno no ponto zero vezes o teta mais um erro que vai depender aí desse teta né o teta aqui tá fazendo o papel do H antes então a gente já viu que esse cara é igual a um né então isso daqui vai ficar o quê vai ficar igual a teta + Y de teta beleza e aqui ó olha só o que que tá acontecendo né o é de teta sobre teta é igual a quê é igual seno de teta menos o teta né sobre o próprio teta ou seja isso aqui dá seno de

teta sobre teta - 1 e quando o teta tende a zero de novo ali pelo limite fundamental esse cara aqui tende a um então isso tudo aqui quando teta tende a zero tende também a zero Então tá aí ó essa aproximação que você faz né dizendo que o seno de teta é aproximadamente igual a teta para teta pequeno ela se fundamenta na ideia de aproximação linear Porque de fato a gente tá usando aqui ó uma aproximação na qual o erro cometido ele satisfaz o quê que o erro relativo tende a zero então de fato a

gente já estava usando a melhor aproximação linear só que agora a gente colocou isso na linguagem aqui das derivadas Beleza então você vê aí como que uma coisa que você Talvez possa não ter entendido melhor quando a gente falou sobre limite apenas ou ou não tenha ficado satisfeito com aquela explicação agora você tem um outro olhar um olhar mais completo já com mais bagagem para você dizer assim não realmente aquela aproximação é boa porque ela é a melhor aproximação linear possível pra função seno ao redor do ponto zero Beleza então veja assim como é que

essas peças elas vão se encaixando né Isso é boa parte da beleza da Matemática vem daí né V da naquele momento que a gente vê os encaixes acontecendo é uma boa satisfação que a gente tira disso é muito bacana bom vamos trazer aqui agora aplicações da derivada na verdade aplicação da derivada né porque a gente quer mostrar aqui uma noção zinha de para que que as derivadas ser e agora então vamos fazer o cálculo de máximos e mínimos tá e como que a derivada ajuda a gente a resolver aquele problema do fermar problema das tangentes

né que ele traduziu como problema das tangentes mas o objetivo dele era encontrar valores de máximo de mínimo bom vamos introduzir aqui ó um pouco de terminologia tá que que acontece imagina que você tem aí essa função ela tá definida nesse intervalo fechado verde né que eu coloquei aqui e vamos pensar no seguinte Tá eu vou introduzir para você aqui dois conceitos o conceito de extremo absoluto e o de extremo relativo tá Como é que é isso bom o extremo absoluto ele é o quê no caso do ele é um máximo e ele é um

mínimo né então você tem o extremo para ser máximo e o extremo para ser mínimo então o máximo absoluto é aquele ponto no qual a função assume o seu maior valor dentro de todo o seu domínio tá no caso aqui como o domínio ele é limitado né vai ser o maior valor dentro desse espaço aí ó como é que a gente descobre esse cara né Ó vou pegar aqui uma tangente uma reta horizontal conforme a gente vai subir nessa reta vai chegar uma hora que parei de tocar no gráfico da função tá então esse ponto

aqui ó Sem dúvida nenhuma é o ponto de máximo absoluto da função certo porque em todo seu domínio não existe nenhum outro ponto que supere esse beleza da mesma forma posso até aproveitar a mesma tangente da mesma forma eu tenho aqui ó esse pontinho aqui é um ponto de mínimo absoluto certo esse camarada aqui ele é um ponto de mínimo absoluto não tem nenhum outro ponto no domínio inteiro que seja menor do que ele a função ela fica espremida entre o máximo e o mínimo absolutos só que só que olha só que curioso Olha só

para esse ponto aqui olha só para esse ponto aqui esse ponto aqui vamos pintar ele de verde ó se a função ao invés de est definida em todo seu domínio ela tivesse definida por exemplo só aqui ó só nessa faixa aqui por exemplo vamos pintar aqui de laranja imagina que a função tivesse restrita só esse pedacinho aqui ó esquece todo o resto e considera só o que tá rendo dentro da faixa laranja Então olha só Tô considerando um intervalinho aqui vamos chamar esse intervalinho aqui de I Você concorda que esse cara ele é um ponto

de máximo dentro desse intervalo certo Como isso acontece né a gente diz que esse cara daqui ele é um ponto de máximo local ou máximo relativo tá Por quê Porque ele é um máximo desde que você restrinja o domínio da função a um intervalo aberto é crucial que o intervalo seja aberto tá então encontrei um intervalo aberto ao redor do qual esse ponto aqui vira um ponto de máximo Então ele é o máximo local e analogamente a gente tem a figura também do mínimo local esse cara aqui por exemplo esse ponto aqui por exemplo você

pode ver que ele é um ponto de mínimo local certo por quê Porque eu consigo também encontrar um intervalinho ó vamos supor daqui até aqui assim o intervalinho e [Música] linha o intervalinho e linha tal que nesse intervalinho que que acontece Esse cara é de fato o menor ponto da função no intervalinho ó nesse intervalinho aqui Com certeza esse camarada é um ponto de mínimo por isso ele é um mínimo local tá peguei um intervalo aberto restringir a função e vi que aquele ponto era de fato o menor ponto dentro desse intervalo aberto lembrando Lembrando

que é crucial o intervalo C aberto bom então Ó a nossa terminologia é essa daqui tá o máximo absoluto ou máximo global que é esse cara daqui nesse Exemplo né que é esse cara daqui nesse exemplo é o quê é o ponto maior da função em todo o seu domínio tá é um ponto M pertencente ao domínio aqui D tá fazendo papel de domínio tal que o f do M ele é maior ou igual ao F do X para qualquer outro X no domínio inteiro por isso que ele é o máximo global ou absoluto tá

analogamente o mínimo absoluto é um mzinchaleft em todo o domínio da função bom e aí o máximo relativo que no caso o máximo relativo é esse aqui que a gente chama também de máximo local é aquele ponto onde é um ponto cezinho né pertencente a um certo intervalo aberto tal que neste intervalo neste intervalo a f Dex é menor ou igual ao F do C para todo X no intervalo Então você restringiu a função o domínio da função a esse intervalo aberto nesse intervalo aberto o teu c é um ponto de máximo Tá então ele

é o máximo local ou máximo relativo e analogamente o mínimo relativo é quando você restringe também ao intervalo aberto só que agora ele é menor que todo mundo dentro desse intervalo aberto Beleza então você tem aí máximo absoluto ou global ou mínimo absoluto ou global e o máximo ou mínimo relativos ou locais um exemplo dessa situação né É aqui com a função y = sen de X tá essa função ela é uma função periódica ela vai se repetindo tá E esses pontos aqui ó eles vão sendo pontos de máximo né que são aqueles pontos para

quem estudou aí trigonometria né que é outra coisa do pré-cálculo crucial para dentro do cálculo né inclusive esse minicurso aqui que eu tô fazendo com vocês eu evitei falar de trigonometria tá a gente tá e falando quase nada de trigonometria mas num curso mesmo de cálculo né como a gente vê lá no dominando do cálculo trigonometria é essencial uma das partes mais importantes do pré-cálculo e que mais vão fazer diferença Conforme você avança os estudos na parte de cálculo tá então é importante saber isso muito bem bom então para quem sabe trigonometria os valores máximos

da função seno eles vão acontecendo de forma periódica nos pontos da forma pi so 2 + 2 k pi né onde o k ele é um qualquer número inteiro e os mínimos vão acontecendo aqui embaixo também de maneira periódica nos pontos da forma X = Men pi so 2 + 2 k pi onde aí o k também pertence aos inteiros né o k também é um número inteiro então a cada volta de 2 pi no círculo trigonométrico você bate sempre no mesmo ponto Então os máximos e mínimos eles são separados sempre por 2 pi outro

exemplo aqui é esse exemplo aqui da parábola de cabeça para baixo tá a parábola com equação Y = 1 - x qu Tá o que que a gente tem aqui ó a gente tem por exemplo que o zero é um ponto de máximo Global não tem nenhum valor dessa função que vá fazer ela ultrapassar o valor em x = 0 né que tem aí o valor Y = 1 Beleza então a função ela tá totalmente abaixo ali então x = 0 é o quê é um máximo global ou máximo absoluto dessa função só que só

que obviamente né por ser um máximo Global ele também é o máximo local Só que essa função não tem mínimos nem absolutos nem locais não existe um ponto não existe uma maneira de você fazer um intervalo aqui ó nesse caso aqui eu ilustrei para você esse intervalo AB não existe uma maneira de você fazer um intervalo aberto ao redor de quem quer que seja e que nesse intervalo você tem um ponto de mínimo não tem ó porque a medida que a gente se aproxima no caso daqui tá vendo eu vou pegando valores cada vez menores

e como o b não faz parte do intervalo eu nunca atinjo um mínimo né eu sempre posso pegar um ponto mais pertinho de B que vai ser menor do que o ponto que eu peguei antes então pelo intervalo ser aberto a gente vê que essa função ela não tem como ter mínimos locais beleza e outro exemplo que é um exemplo também bem importante é o da função cúbica né x igual e y = x c essa função ela não tem máximos locais nem globais nem mínimos locais nem globais tá ela não tem máximos e mínimos

de forma alguma ela é sempre sem extremos globais e sem extremos locais bom eh uma coisa que deve ser bastante óbvia para você né é que toda vez que a gente tem um ponto Global extremo máximo Global máximo ou mínimo Global você vai ter um ponto Global um ponto local extremo tá então Ó o máximo absoluto vai ser também o máximo local em particular né porque se ele é maior que todo mundo quando eu restrinjo o domínio ao intervalo ele vai continuar sendo maior que todo mundo dentro desse intervalo restrito mesma coisa vai valer pros

pontos de mínimo tá e eu quero fechar aqui essa essa sessão né vamos dizer assim essa parte aqui da aula falando de um resultado que é um dos resultados mais importantes quando a gente fala a respeito de continuidade quando eu fiz a aula de continuidade eu não falei nesse resultado tá porque como eu falei aqui essa sequência de cinco aulas é para te dar apesar de você eu acho que a gente vai ficar aí com mais 10 horas de conteúdo tá somando todas as cinco aulas algo em torno disso mas ainda assim não é nem

perto do que a gente vê nem no dominando cálculo né porque no dominando cálculo a gente tem aí Eh mais de 70 horas só de aulas tá então realmente eh não tem como aqui nessa semana de aulas eu falar tudo a respeito de cálculo para você tá Seria impossível Eu precisaria de muito mais tempo e para isso a gente já tem o dominando cálculo Então esse resultado aqui que eu vou mencionar agora foi um dos resultados importantes que ficaram de fora tá mas eh ficaram de fora da aula de continuidade porque eles são rel ele

é relacionado à continuidade mas eu vou mencionar aqui para você porque ele é muito importante para para aquilo que a gente tá falando né A partir de agora que são os máximos e mínimos tá porque a gente não tem uma garantia de que eles existem né E esse teorema chamado de Teorema dos extremos né E também conhecido como teorema de vi strass foi um matemático importantíssimo do século XIX e que ajudou a formalizar o cálculo juntamente com kochina n ele teve um papel muito importante na matemática do século XIX esse cara provou que toda vez

que Você tem uma função contínua que tá ali definida no intervalo fechado né ou você tem uma função contínua e restringe essa função o domínio a um intervalo fechado o que que acontece o teorema dos extremos diz que existe um ponto de máximo da função nesse intervalo e existe um ponto de mínimo da função dentro desse intervalo Ou seja a função sempre atinge o máximo e sempre atinge um mínimo dentro desse intervalo Então faz sentido você procurar máximos e mínimos porque o teorema de vas trç ele diz que toda vez que você faz um intervalo

fechado vai existir um máximo e vai existir um mínimo Beleza então é isso que quer dizer esse esse teorema a gente não tem condições aqui de provar esse resultado não é um resultado fácil de provar e a gente não tem também tempo para fazer isso mas ele é verdadeiro e ele ajuda a gente a investigar a resolução completa do problema de encontrar máximos e mínimos né que é a retomada daquele início dessa aula né que a gente colocou como motivação exatamente o problema das tangentes do fermar que era essa coisa do fermar de transformar a

busca por máximos e mínimos numa busca por tangente Então vamos lá a ideia do fermar qual que foi a ideia dele né como a gente já mencionou antes a ideia do fermar era de que nos extremos vamos usar agora a nossa linguagem né nos extremos locais a gente deveria ser horizontal ou seja a derivada deveria ser zero Essa é toda a ideia do ferm tá então ó existe esse teorema teorema de fermar que não tem nada a ver com o último teorema de fermada de teoria dos números que diz o seguinte ó se eu tenho

uma função que é derivável num ponto x = c e esse ponto for um extremo local ou seja ele é o máximo é local ele é um mínimo local e ele for um ponto interior de domínio O que que significa ser um ponto interior significa por exemplo aqui ó significa que eu consigo encontrar um intervalinho aberto que inclui esse ponto e que tá dentro do domínio é isso que significa ser um ponto interior tá então ó toda vez que eu tenho um extremo local ou seja um máximo local um mínimo local e ele é interior

ao domínio e a função é derivável Então meus amigos a derivada é zero nesse ponto de extremo Então aquela ideia né intuitiva de que a tangente vai ficando horizontal no ponto do do Extremo é correta isso dá pra gente um método para encontrar pontos de extremos né porque uma vez que eu tenha esse resultado do fermar eu consigo Então eu consigo Então começar a pesquisar por pontos candidatos a extremos né que a gente chama de pontos críticos que são aqueles pontos onde a derivada se anula bom mas por que que esse resultado do fermar ele

é verdadeiro né Por que que isso daí Vale bom vamos fazer aqui uma uma demonstração inha desse resultado tá vamos vamos supor aqui para clarear as ideias né que o c é um ponto de máximo da função Tá então vamos lá ó vamos supor suponha aqui c é um ponto de máximo local certo então o que que significa né significa que existe um certo intervalo I contido no domínio da função tal que o c é um ponto desse intervalo e o que que acontece FX é menor ou igual a FC para qualquer x pertencente ao

intervalo Beleza então aqui ó imagina que o intervalo em questão é esse cara daqui né esse é o meu I Aqui tá o meu C né que é máximo local e aí o que que acontece para todo h [Música] positivo para todo h positivo né suficientemente pequeno né Para que por exemplo aqui ó esse esse ponto aqui vai ser o ponto c + h né então vou pegar um um h positivo só que ele tem que ser pequeno bastante para que c + h esteja contido seja um elemento né do do intervalinho I tá então

ó o que que vai acontecer nesse caso como o c + h tá ali dentro do intervalo que que a gente tem a gente tem que o f dec + H tem que ser menor ou igual ao F dec né Por quê Por causa disso aqui né todo mundo no intervalo já que o c é um máximo local todo mundo no intervalo tem que ter a f menor ou igual a f do C então ó vai acontecer isso daqui Isso aqui vai ser sempre menor ou igual a zero certo então como consequência o limite quando

o h tende a zero pela direita de F dec mais H - FC sobre H também vai ser menor ou igual a zero não tem como eu pegar valores menores ou iguais a zero fazer o limite desses caras ser algo positivo vai ter que ser sempre menor ou igual a zer da mesma maneira né Se eu pegar aqui ó ser - h tá dentro do intervalo o que que vai acontecer pela mesma razão eu vou ter o qu vou ter que esse c Men H menos o FC tem que ser o qu tem que ser

também menor iG zer só que quando Eu dividi isso pela diferença né e a diferença aqui é o qu é o h não a diferença é Men h tá eu tô fazendo aqui ó c + - h tá então se eu dividir pela minha diferença que é - H como o numerador é menor ou igual a zero mas o denominador também é menor ou igual a zero menos com menos vai dar mais tá então esse cara aqui ele é maior ou igual a zero certo então ó até esse negócio de menos com menos dá mais

a gente vê lá no dominando cálculo tá na parte de pré-cálculo então é realmente assim para tirar todas as lacunas que você tem na sua formação Mas vamos lá então Ó o limite desse cara quando o h tende a zero pela esquerda né e aqui eu vou eu vou botar mais H aqui porque como o h aqui tá tendendo a zero pela esquerda né É como se ele fosse o meu - H desse lado aqui quando eu tinha um h positivo tá então ó o que que eu tenho aqui eu tenho que esse cara menos

esse cara ó se você quiser para não confundir em vez de H Vamos botar t para não confundir tá então o t é um número que tá tendendo a zero pela esquerda ele tá fazendo o papel do MEN H nessa parte anterior aqui tá então isso aqui ó dividido pelo T vai ter que ser o qu vai ter que ser maior ou igual a zer certo só que por hipótese por hipótese a função é derivável no ponto c certo então como a derivada existe e a derivada é o limite o que que eu tenho o

limite à direita vai ter que ser igual a limite à esquerda só que o limite à esquerda é maior ou igual a zero e o limite à direita é menor ou igual a zer certo então Ó que que eu vou ter eu tenho que a derivada né ela vai ter que ser igual aos dois né ela vai ter que ser igual tanto esse cara aqui vamos botar aqui ó vou duplicar ele ela vai ter que ser igual tanto a esse cara aqui quanto igual a esse cara aqui Ou seja a derivada é um número que

é menor ou igual a zero e maior ou igual a zero ao mesmo tempo portanto a derivada tem que ser zero Beleza então tá aí a o teorema do fermar devidamente provado tá então ó para achar extremos locais em funções deriváveis você simplesmente faz o quê você iguala a derivada da função a zero aí vão surgir os candidatos a ponto de extremo locais não significa que todo ponto que tem a derivada zero é um ponto de extremo local tá isso é bem importante de enfatizar mas todo extremo local quando a função é derivável vai ser

um ponto onde a derivada é zero bom daí surge essa terminologia né que é a terminologia dos pontos críticos da função que são simplesmente aqueles pontos no domínio onde a derivada se anula tá então os pontos críticos são os pontos de derivada zero são os candidatos a extremos locais Bom exemplo exemplo e aqui a gente vai usar dois exemplos que são exemplos de quando a coisa dá errado porque é importante entender quando a coisa dá errado que é para você não repetir o erro tá primeira coisa aqui ó porque assim é é realmente muito comum

né o aluno vê assim pô professor falou que quando eu tenho um extremo local é só eu fazer a derivada dele ser zero tá então aí o aluno passa a achar que todo o ponto em que a derivada é zero é um ponto extremo local e isso não é verdade essa função aqui ó fx = X C A gente se eu não me engano a gente não fez essa derivada mas acredita em mim e pode ficar até como exercício para você um exercício legal você provar isso a derivada desse cara é o qu é 3x

qu e ela se anula se o x for z0 certo no zero a tangente ó ela tá passando aqui mesmo tá é uma tangente de fato horizontal só que esse ponto aqui ele não é um extremo local certo x = 0 não é extremo local você pode pegar aqui o intervalo que for ao redor do zero você vai ter valores maiores que zero e valores menores que zero então zero não é nem ponto de máximo nem ponto de mínimo dessa função em nenhum momento tá então ó a gente tem aqui Um exemplo de um ponto

crítico porque a derivada dele é zero que não é um ponto de extremo local Então tem que tomar cuidado com isso não é porque a derivada É zero que você encontrou um extremo local você encontrou apenas um candidato a extremo local e o outro exemplo que é importante também é um exemplo que você já viu outras vezes em outros contextos né que é o seguinte ó é da função módulo repara que x = 0 é um ponto de Extremo e Global inclusive né a função módulo ela é sempre maior ou igual a zero então o

x = 0 é um ponto de extremo Global em particular é um extremo local só que apesar disso ó a gente tem que x = 0 é extremo local e Global também claro mas F linha de zero não é zero F linha de zero na verdade nem existe tá f linha de zero não existe né então o que que eu tô dizendo aqui que o cara pode ser um ponto de extremo local mas Mas se a função não for derivável pode ser que a derivada realmente não existe naquele ponto Então apesar da gente ter um

extremo local a gente não pode encontrar esse cara fazendo derivadas iguais a zero tá então ficam aí esses dois exemplos para servir de alerta para você ter cuidado na hora de usar o teorema do fermar e pesquisar por extremos locais tá tudo que a gente viu Nessa aula aqui leva a gente para o que eu chamo de método do intervalo fechado tá o que que é esse método é o método que você usa para encontrar extremos de uma função dentro de um intervalo fechado então a primeira coisa né vamos supor que a função esteja definida

nesse intervalo fechado que vai de A até B primeira coisa que você vai fazer é determinar os pontos críticos dessa função ou seja encontrar os pontos que TM derivada igual a zer beleza a segunda coisa que você vai fazer com este método aqui tá no dominando cálculo a gente vê métodos melhores né mais sofisticados que vão depender de mais conteúdo matemático para funcionar Mas neste método aqui com tudo que a gente viu desde a primeira aula falando de limites mais a aula de continuidades e mais a aula de hoje sobre derivadas você teria que fazer

o seguinte para encontrar os extremos você deve calcular o valor da F nesses pontos críticos e também nos pontos de fora do intervalo né os pontos limites né do intervalo ponto a e o ponto b então você vai precisar comparar f de a f Deb e f dec para todo C que é ponto crítico ou seja todo c que tem derivada igual a zero tá e terceiro cuidado que você tem que ter né é porque às vezes você pode estar diante de uma função que é uma função que não tem derivada em alguns pontos né

que é por exemplo ó o que acontece aqui esse bico aqui não tem derivada tá então quando você tá diante de uma função que não é derivável em um número finito de pontos desse intervalo O que que você vai fazer você também vai calcul o valor da F nesses pontos onde não existe derivada tá então você vai fazer o quê Ó você vai calcular os pontos críticos calcular o valor da F nos pontos críticos calcular o valor da F nos extremos né no a e no B E caso a função não seja derivável no número

infinito de pontos calcular o valor da derivada o valor da função nesses pontos onde ela não é derivável fazendo essas três coisas você compara todos esses valores e os pontos extremos dentro desse intervalo fechado necessariamente vão ser um desses caras né ou vai ser um ponto crítico ou vai ser o a ou vai ser o b ou vai ser um ponto onde a função não tem derivada Beleza então Toda vez que você tiver diante de uma função contínua no intervalo fechado os extremos T que surgir daí e para fechar para finalizar essa aula que já

vai chegando aí em quase 2 horas de duração uma aula longa como foram as outras aulas né muito conteúdo que a gente tá passando aqui e ainda assim é só uma palhinha ali de como que funciona de fato dominando cálculo né isso que eu tô vendo aqui para vocês em duas horas lá no dominando cálculo é dividido em mais tempo em mais aulas né e as aulas dominando também não tem Du horas de duração elas são aulas bem mais curtas né até para facilitar para você fazer uma pesquisa por um tema específico por um exemplo

específico que eu usei numa aula Enfim então para facilitar tua vida a divisão das aulas ela é muito eh mais frequente a gente não tem uma aula de Du horas em momento algum de todo o curso tá então Ó lá no dominando você vai ter isso daqui muito mais eh mastigadinho dividido em aulas diferentes além de poder contar obviamente com o suporte você vai poder perguntar ali nas aulas você vai poder perguntar no grupo exclusivo do telegram e vai poder também consultar o material didático para você revisar de forma bem mais rápida e também vai

poder revisar eh fazendo os exercícios né que são muito importante para você aprender matemática né como eu falo ninguém aprende matemática sem sujar as mãos você precisa colocar a mão na massa para aprender e dificuldade que você possa ter com exercícios você pode resolver primeiro cons and a resolução completa passo a passo de todos eles que a gente tem também E caso ainda tenha algo caso ainda tenha alguma dúvida você sempre pode tirar usando os nossos meios de suporte né que é perguntando nas aulas ou perguntando também diretamente no grupo do telegram aliás perguntar no

grupo do telegram é bem legal porque você pode mandar imagem né você pode fazer ali um um desenvolvimento qualquer e mandar a sua ideia como uma imagem é bem mais agradável do que ficar digitando símbolos no teclado bom então vamos lá né Vamos fechar essa nossa aula aqui com uma coisa que você certamente já sabe eh lá do Ensino Médio Mas a gente vai ver aqui como que se chega nessa conclusão usando cálculo Com certeza não é necessário cálculo para você encontrar essa informação mas vamos aproveitar aqui que a gente já fez isso tudo e

vamos fazer uma pequena aplicação Zinha e encontrar um ponto de máximo ou mínimo né um ponto de extremo usando as ideias do cálculo e com isso a gente vai encontrar o vértice de uma parábola tá Vamos considerar então ó uma parábola que tem essa expressão aqui que é bem geral né Y = Ax qu + BX + C né Toda equação do segundo grau subentende representa uma parábola tá então essa aqui é uma equação bem geral a gente tá supondo né para ela ser de segundo grau que o a é diferente de zero tá e

eu quero que você mostre nesse exemplo que o ponto de vértice dessa parábola ele acontece justamente no ponto médio entre as suas raízes tá então uma maneira de você encontrar eh o vértice de uma parábola é você encontrar as raízes e pegar o ponto que tá no meio aqui eu recomendo assim fortemente que você antes de assistir o que eu vou fazer você Tente fazer por si só encara isso aqui como exercício tá vamos pensar eh o que que da aula eu posso usar para tentar mostrar que essa informação que eu tô te dando aqui

é de fato verdade que de fato o vértice de uma parábola fica ali no meio das raízes né é a média das raízes como que eu poderia provar isso usando as ideias do cálculo bom faça esse exercício né então pausa agora tenta um pouquinho e Vamos retomar então Eh você checa depois né para ver se de fato O que você pensou correspondeu à aquilo que eu fiz em linhas Gerais que é para ver aí que é para fazer com que você tenha realmente uma postura mais ativa no aprendizado e tem um aprendizado melhor sempre vou

enfatizar isso para você tá bom que que a gente vai fazer então ó Primeiro vamos botar aqui no papel aquilo que a gente quer provar tá então Ó o exercício tá dizendo que a gente quer provar que o vértice da parábola acontece no ponto médio entre as raízes tá primeira coisa né Quais são as raízes de uma equação de segundo grau você tem aí algumas maneiras diferentes de descobrir mas eu vou botar direto aqui para você as raízes elas são dadas por e - b mais ou menos a ra B qu - 4ac dividido por

duas vezes o A tá então conforme eu vou mudando o sinal aqui né menos ou mais eu vou obter as duas raízes então que que vai acontecer né a média entre eles quando eu somar os dois essa raiz aqui Opa essa raiz aqui quando eu somar ela vai est somando em um e subtraindo no outro então ela vai se compensar e vai ficar o qu né a média vai ser igual a B 2aer M ter somar e dividir por 2 então vai ficar no final das contas - B sobre 2aa é a média das raízes

tá então Teoricamente essa tem que ser a coordenada x do vértice da parábola Beleza então ó o que que é o vértice o vértice da parábola é um ponto de extremo da parábola né um extremo local e na verdade Global da parábola então ó como é que eu vou encontrar esse cara eu vou usar o teorema do eu vou pegar a expressão da parábola e vou derivar igualar a zero para encontrar o ponto crítico Tá então vamos lá ó esse ponto crítico ele vai satisfazer o quê Y linha como é que eu derivo aquilo ali

a derivada de AX qu tá vai ser o quê 2 a x a gente já viu né que a derivada do X qu é igual a 2x e esse a não muda nada então fica 2ax e a derivada desse cara aqui é o quê derivada de uma reta né Você pode até pensar nisso aqui tudo a derivada da reta é o coeficiente angular da reta ou seja vai dar apenas o b beleza eu usei aqui uma coisa que a gente não mencionou nessa aula né mas que a derivada da soma é igual a soma das

derivadas né Isso é consequência da maneira como a derivada é definida através de um limite e a soma dos limites é o limite da soma tá então você tem aí esse fato justificado tá claro que e no curso mesmo lá no dominando cálculo a gente vai ver as propriedades da derivada com muito mais calma né você vai ver uma por uma vai entender porque que elas são verdadeiras mas aqui a gente tem um pouco de pressa né já são aí quase quase 2 horas de aula então vamos em frente Bom que que acontece né para

essa derivada ser zero o X tem que ser igual o qu o X tem que ser igual a- B sobre 2 A então tá aí ó o ponto crítico é exatamente a média das raízes tá e se você fizer a conta com ele você vai descobrir que de fato esse cara aí é um ponto de extremo local e Global Beleza então Ó o vértice É de fato a média das raízes né isso daí justifica pra gente essa afirmação né a gente conseguiu então determinar um fato que na escola você até consegue mostrar se você escrever

essa equação da parábola na forma reduzida né usando ali completamento de quadrados aí fica bem claro quem que é o vértice da parábola tá mas aqui ó com talvez até mais facilidade Porque a Gente Nem precisou usar completamento de quadrados você também consegue descobrir o vértice da parábola usando a ideias do fermar eh de pegar os ponto crítico né que é descoberto através eh de igualar a derivada da parábola a zero tá então igualamos a derivada a zero e descobrimos o ponto crítico esse ponto é de fato um ponto de Extremo e a gente tem

aí então que de fato o vértice da parábola fica no ponto médio das suas raízes Beleza então isso daqui é tudo que eu queria trazer para vocês a respeito de de derivadas né na verdade não é tudo que eu queria trazer para para vocês É lógico que eu queria trazer muito mais para vocês mas Nessa proposta aí desse minicurso de uma semana de cálculo que a gente tá fazendo eu acho que fica de bom tamanho o que a gente falou até aqui sobre derivadas tá na aula que vem aula de amanhã a gente vai ter

uma aula sobre integrais e nessa aula a gente vai retomar muito daquilo que a gente viu aqui e vai até ver uma coisinha ou outra mais de derivada porque isso é essencial para você ver também as integrais Tá então vamos amanhã continuando o curso com a parte de integração e fica o convite para você né se você quiser ir além daquilo que eu tô fazendo aqui que tem um curso realmente completo nas suas mãos que começa ali do básico começa revisando a tua matemática básica e aprofundando essa matemática básica para que você tenha condições de

brilhar no cálculo né para você ir de fato ali do básico avançado no cálculo você precisa entrar pro dominando no cálculo e entrar pro dominando no cálculo agora é um uma excelente ideia porque a gente vai abrir já já a black friday Pode ser que quando você esteja assistindo esse vídeo a black friday já esteja aberta então ela vai começar no dia 11 de novembro não perde essa data Por nada porque vai ser o maior preço da história o melhor preço da história vai ser a melhor oferta de todos os tempos do dominando tá esse

preço nunca mais vai se repetir porque a gente sabe que infelizmente as coisas só aumentam então mesmo que a gente faça uma oferta de Black Friday no ano que vem ela não vai vai valer tanto a pena quanto hoje porque os preços só sobem Então essa é a sua oportunidade para você entrar pro dominando pagando o melhor preço possível tá E para saber mais sobre essa oferta você clica aqui no link da descrição ou do comentário fixado que lá eu vou te contar direitinho como é que você faz para aproveitar Beleza então Até a próxima

Até amanhã Agradeço também aos membros do canal aliás esses vídeos aqui essa série de vídeos a gente deve retirar do ar em algum momento mas eu vou deixar disponível sempre ali pros membros tá para que eles tenham esse bônus aí por serem apoiadores desse trabalho tá muito obrigado novamente aos membros E não se esqueça você de deixar o like se esse conteúdo agregou para você se você gostou e a gente se vê novamente no próximo vídeo