VETOR GRADIENTE | Aula Completa

e na aula de hoje vamos falar de um vetor especial chamado de vetor gradiente simbolizado dessa maneira que esse ângulo investido aqui é o operador del anote aí operador del bem aqui tá bom então vem aqui você tem o vetor gradiente df em um ponto p se não aparecer assim no seu livro aparecer vetor gradiente vem aqui um x e y que no ponto p quem é o meu vetor gradiente meu vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais cruz aqui eu coloquei um exemplo derivada parcial de f em relação a sexta derivada parcial de f

em relação à y tá bom se tiver mais variados não sei coloca derivada parcial de f em relação a z na boa esse aqui é o eu estou gradiente formado pelas derivadas parciais aqui é uma função f com duas variáveis x e y estão derivada de f em relação a x derivada de f em relação à y prof mas como é que a gente utiliza isso eu coloquei aqui um exemplo inicial enquanto o vetor gradiente dessa função f aqui ó x a segunda mais y a segunda em um ponto ali 1 e 2 que esse

ponto pico símbolo dizer aí aqui tem um ponto ali olha lá com você começa chega aqui na calma vai pegar aqui ele vai calcular o primeiro a derivada de f em relação ax derivada parcial da sua função não esqueça que quando você fala em derivada parcial aqui é sem relação a x e o óleo para mim a função eu entendo que x e a minha variável então derivada de x a segunda em relação a x é 2x derivada de y na segunda por não ter um x aqui isso aqui é uma constante se isso é

uma constante dele vaga constante vale cérebro tudo bem até aí agora você vai achar aqui a derivada de f em relação a esse tom e um ponto x e y mesma ideia a minha variável y aqui então derivada de x a segunda é zero derivada da constante é isso é uma variável e derivada de y na segunda vai ser dois y então a primeira missão sempre quando você quiser calcular o chamado vetor gradiente é fazer uma revisão aqui no estudo das derivadas parciais então vetor gradiente é formado aqui ó pela derivada da sua função em

relação a x em relação à if em relação a z e após e se você tem o youtube adiem coloque aqui ó o nosso triângulo operador delta operador del o nome desse símbolo aqui guarda isso que ele é importante então aqui ó o meu gradiente df aí olha só e um ponto xy deu aqui primeiro dele vá você pode simbolizar também assim ó é importante você saber que poderá parecer assim ó um fx e um ponto x y e aqui ao lado 1sy e um ponto x e y de repente você está estudando aí e

no seu texto tá com essa simbologia mesma coisa então aqui você tem nosso vetor gradiente só que ele me deu aqui ó a os valores né eu achei os valores na verdade ai você pode simbolizar sim também viu o vetor dessa maneira ou dessa maneira várias observações importantes aquele 2x e bem aqui o y só que ele não quer apenas isso ele te deu o valor então aqui você tem o seu vetor gradiente mas em me deu o valor do x e do isso quer que eu faço nesse momento se vai substituir qual é o

valor do x a próprio x é um e o y é dois e aí você vai substituir 2 vezes 12 vezes 2 e aqui você achou o senhor vetor que deu quanto aqui duas vezes um dois e bem aqui o quatro então está aí ó sua resposta missão cumprida você já sabe obter aí o vetor que é dna próprio essa foi fácil sim é o primeiro exemplo e na verdade é fácil vetor gradiente você só tem que tomar cuidado em fazer uma revisão para não errar o que as derivadas parciais e se você é rápido

as derivadas parciais né basta saber e para obter o vetor gradiente o que é necessário saber calcular as derivadas parciais então se eu sei calcular vou me dar bem mas faça uma revisão né vai aparecer umas funções aqui que a gente vai poder revisar alguns tópicos aí agora eu gostaria que você entendesse um pouco mais né o que é que tá acontecendo vamos tentar entender um pouco mágico primeiro essa função aqui ela está no espaço tridimensional não é verdade aqui é o zenezi zx10 segunda e na segunda então essa função aí se você for desenhar

eu sempre recomendo que você está ali aí no seu computador ou então no seu celular o gel geba por exemplo para você poder construir geba 3d para você construir esse gráfico aí então eu vou imaginar aqui que eu tenho espaço tridimensional a que eu tenho x bem aqui o isso pode ver ter problema nenhum e bem aqui o z a minha cota né eixo das abscissas eo eixo das ordenadas e a cota e quando você vai desenhar essa função no espaço tridimensional eu tenho aqui uma figura com essa aparência aqui ó ela vai ficar com

essa aparência bem aqui vou fazer uma ideia que vai ficar uma ideia de o dito isso de uma profundidade aí eu tenho chamado paraboloide né um paraboloide circular bem que circular como você corta aqui você tem aqui uma circunferência então eu tenho esse paraboloide aqui esse ponto ali ponto 1 e 2 é um ponto aqui da base é aqui no plano xy aqui ó x é um y é dois então vamos entender vem aqui tem um x igual a 1 x igual a 1 e o y = 2 aí você pega esse ponto e você

pode jogar aqui ó pega um e dois substitui um e dois aqui quando você faz isso você vai obter uma altura sabe o que quer dizer isso que você vai obter um ponto aqui esse ponto aqui é um ponto do paraboloide esse ponto aqui você tem por exemplo x-11 e x-12 e quando você joga um aqui dois resolve vai dar sim e é isso que muita gente não entendi esse ponto 1 e 2 aqui é um ponto aqui no x e y aqui você tem 1 e 2 e não ponto do espaço mas como é

uma função aqui então você tem o x with seu jogo aqui vou obter esse cinco o que esse cinco quer dizer que eu posso olhar agora aqui através da ideia de curvas de níveis eu posso cortar esse mil paraboloide a uma altura de cinco que quando você corta uma altura de cinco você vai ter essa curva de nível aqui que eu vou olhar ela aqui por cima e quando você olha por cima você vai olhar no plano xy é como se você pegasse esses pontos aqui projetar se fizesse a projeção aqui na base então é

isso que eu vou desenhar a projeção dessa curva de nível aqui na base legal projeção sempre na perpendicular não vai esquecer isso então olha lá peguei aqui meu paraboloide por ter uma altura assim como a curva aqui ó e aí a esse z = 5 que a gente fala se corta e olha por cima quando você olhar por cima você vai ver aqui uma circunferência é essa que eu vou desenhar aqui aqui você tem o eixo das abscissas e bem aqui você tem o eixo das ordenadas observe questão ela teoricamente é simples mas ela é

rica a gente pode explorar né o simples você pode falar e aprender bastante coisa tão bem aqui você tem um ponto aqui ó você tem 16 o y e você tem um ponto muito hoje lembra bem aqui ó tem um ponto ontem e um ponto aqui dois tá então deixa eu colocar mais um pouco em cima tá tá melhor vamos dizer que aqui é um e o número que você faça uma régua aí que vai ficar bonitinho então esse é o ponto bem aqui e acontece que você achou um vetor aqui esse meu vetor 2

e quarta esse eu quero contar para e esse meu ventou dois e quatro aqui ele aqui ó eu tenho uma curva de nível eu projetei nessa projeção aqui a minha curva de nível então cortei bem anti de olhei a projeção está aqui esse meu vetor aqui dois e quatro ele é um vetor entenda bem tá aqui ó ele seria ver o vetor por exemplo aqui dois e quatro de colocar dois e quatro e eu gostaria que você entendesse uma propriedade especial que esse meu vetor aqui o chamado vetor gradiente ele sempre será ortogonal bem aqui

a sua curva de nível é como se você tivesse vem aqui uma reta tangenciando né que a gente fala ortogonal a curva de nível pessoal assistindo é porque existe aqui uma reta tangenciando uma reta tangenciando e o nosso vetor aqui ó ele vai ser ortogonal a curva de nível nesse ponto bem aqui então é um é verdade assim é sense acho que você tem que saber de vetor gradiente que naquele ponto lá que você fez a projeção que você tem a curva de nível você tem um vetor aqui gradiente e esse vetor gradiente ele é

o tô gonal guarda isso no coração que a gente vai utilizar ainda hoje mas a nota aqui que eu já estou voltando e agora vamos resolver essa aqui calcule o vetor gradiente df no ponto 3 e -4 isso quer dizer que você tem um x aqui tem um y sendo efe aí a pessoa olha era professor contra impor pegou pesado já que uma raiz já calma que a mesma situação eu só gostaria que você recordar-se aí como é que eu faço a derivada quando tem uma raiz vamos colocar sua observação quando você tem uma raiz

e quiser saber a sua derivada aqui a derivada da raiz quadrada de u quem é a derivada da raiz quadrada de um muito bom 1 / 2 raiz quadrada de uva vezes o linea esse olhinho aí é devido a regra da função composta é devido a regra da cadeia então não esqueça isso aqui professor eu queria ah tá porque você colocou essa fórmula aqui olha eu sempre considero essa derivada aqui como sendo uma básica seja aquela derivada que você tem que saber calcular quando tem a raiz quadrada mas você faria assim vim aqui é um

bem aqui é dois você tem forma em potência de expoente fracionário 1 sobre 2 e aí esse expoente vai para frente diminui o uma unidade e aí você dá uma organizada chega bem aqui mas ela é básica assim como você sabe derivada de seno de elevado a x você tem que saber a derivada da raiz quadrada de ouro e não esqueça donini aqui só que o nosso caso é uma derivada parcial aqui vamos lá então você começa assim chega agora aqui vai calcular olha mural eu quero ver todo gradiente dessa função ah já sei quem

é o vetor gradiente o meu vetorial e você monta assim primeiro derivada de f em relação aqui a x coloque em relação a x em um ponto x e y agora quem é saberem vaso aqui aí você faz 1 / 2 raiz quadrada difícil meu um dividiram olha para cá olha para cá on / 2 raiz quadrada de ur acabou o professor não acabou que você não pode esquecer aqui do lado de multiplicar por linha que essa derivada derivada desse conteúdo aqui em relação a x tão derivada em relação a x dx a segunda mais

extra na segunda e essa derivada em relação a x aqui você vai colocar 2x porque a derivada de y na segunda é zero derivada da constante e observe um detalhe aqui ó patchanka patchanka esse dois e aí você chegou aqui x dividido por raiz quadrada de x a segunda mais y na segunda então essa é a primeira parte a segunda parte é a cópia dessa você vai fazer agora a derivada de f em relação a y e um ponto x e y aqui mesmo esquema vai ficar um aqui 1 / 2 raiz quadrada de um

esse é o meu aqui x a segunda isso na segunda e não esqueça de colocar aqui vezes a derivada desse cara em relação a isso muita gente seja bem aqui e quer colocar uma linha bem aqui né esse aqui não é cálculo onde isso aqui é cálculo né dois por exemplo falo dois porque tem gente que estivesse aqui em cálculo triste então aqui você tem que colocar que a madeira e vaga parcial tá bom então a derivada parcial em relação aqui a y e agora essa derivada a zero e aqui vai dar dois y esse

dois patchanka com esse dois aqui uma vez existe né y então está aqui ó o seu resultado aqui ó e y por x a segunda mais y elevado a segunda que que eu faço agora para finalizar eu monto aqui o nosso virtude e a gente qual é o nosso vetor gradiente aí você já tem a derivada de f em relação a x deu essa expressão aí você coloca xi pela raiz quadrada de x a segunda mais y nossa segunda próximo e aí foi dividido pela raiz quadrada de x a segunda mais y na segunda mais

próximo ele pediu o valor aqui ele me deu o ponto ele me deu o valor do x isso não quer que eu faço vai substituir vai ficar assim ó o seu vetor gradiente nesse ponto 3 e -4 aonde apareceu o x você vai colocar o número triste vai ficar triste pela raiz quadrada de três elevado a segunda mas 1 - 4 elevado a segunda potência aí uma vírgula o próximo aqui é isso que é menos 4 dividido pela raiz quadrada de três a segunda mais um -4 a segunda e aí você fecha aí dessa maneira

nós temos a resposta aqui me ajuda a finalizar que não esqueça que você é colocar dessa maneira que está aqui ó mas pode colocar também assim viu legal é esse primeiro deu quanto esse primeiro vai dar três embaixo deu 5 você percebeu pelo poder da fé que embaixo deu cinco aqui vai dar 9:00 base negativo vai levar os point pa vai dar positivo 16 mais 9:25 cuja raiz quadrada de cinco aqui vai dar menos 4 dividido aqui por cinco legal agora não esqueça também que você pode colocar a resposta assim mas como isso aqui é

um vetor né vetor gradiente você colocaria também assim ó triste 500 e menos 4.500 j então qualquer situação aí está correto então essa aqui já foi mais interessante porque foi mais interessante é pela novidade que o vetor gradiente não pela derivada parcial pareceu diego né para saber cal é sobre a gente basta você calcular direitinho né as suas derivadas parciais tão cuidado viu cuidado com esse tipo de questão agora vou deixar você com o piá que a gente vem resolver uma questão mais top que essa e vamos observar agora um exemplo que eu tenho uma

função aqui com 3 variáveis x e y z e eu quero achar aqui o vetor gradiente dessa função naquele ponto ali 2 - 3 e 5 cuidado com esse exercício aqui olha lá a ideia é o seguinte você chega bem aqui tá o seu professor só sei vetor gradiente com x e y é a mesma ideia que você faz aqui se aparecer uma variável z mesmo esquema assim ó você vai começar assim derivar da sua função f em relação a x vamos derivar primeiramente em relação a x olha lá quando deriva em relação a x

aqui é importante você recordar que vai aparecer uma derivada aqui especial né a derivada muito conhecida aí que a derivada de e é levado ao tem a derivada de e elevada o é elevada o vezes o linha é muito bom então vamos lá derivará desse cara dessa função em relação a x a minha a variável x esse z tá multiplicando z não é variável aqui nesse contexto então esses aí você coloca o z aqui eu estou te dizendo que eu não faço nada com ele não tem x ele sai ela mas não vai ser zero

derivada da constante só se estivesse só nesse caso não ele é um número ele sai e você deriva essa função aqui em relação a x e a derivada de elevado alguém é é elevado alguém vezes a derivada de se alguém aqui que é mesmo né vez a derivada parcial não pode esquecer que a parcial aqui desse meu o 3 x + 2y não é nesse esquema que você vai fazer legal aqui você tem o que aqui derivada em relação a x ó é derivado em e aqui zerote aqui deu o número triste oi e aí

você tem três vezes ver e aqui estao primeiro o resultado fez z e elevado a 3 x + 2y tá bom então mantenha a calma se vai fazer assim na manha vamos fazer agora a derivada da sua função derivada de f em relação à y que isso quer dizer que o y é a minha variável mesmo esquema esses ai que ele é o número derivada de elevado alguém é elevado alguém vez a derivada de se alguém mais ahm a derivada parcial é a derivada desse expoente aqui ó em relação a y oi e aí essa

derivada de 3x e zero derivada da constante e essa derivada é dois também aqui você tem o número 2 e aí você agora vai apenas fazer 2 vezes z vai colocar aqui ó 2 z2z que multiplica e elevado a 3 x + 2y então essa é a parte mais mais interessante a outra parte vai ser a margem rapidola podemos ver assim se tem que ter muito cuidado né em quando você estuda derivada tem que saber as regras de derivação né e aqui eu te dizer a chamada a regra da cadeia a regra da função composta

então cuidado quando eu for derivar que pode aparecer regra da função composta e aí é bom sem fazer uma revisão porque eu estou dizendo que a outra parte é na manha é outra parte é só você fazer assim ó vou derivar agora a minha função f e em relação a z aí você faz o mesmo esquema o pai eu cometi aqui na palha aqui não é apenas xy aqui seria x e y e z né tem que queimar outra variável bem aqui então você coloca bem aqui um z só pagar aqui ó a gente erra

de propósito que são situações quem só tá viciado em x y e aí apareceu usei você coloque bem aqui x e y e z então poder ir a minha função agora em relação a z vamos lá olha só vou derivar em relação a z esse aqui não tem z então ele sai então vai sair aqui e é levada 3 x + 2y e a derivada dizer em relação às é um para ficar um vezes se cara é ele mesmo então eu tenho o nosso vetor gradiente aqui ó o nosso ver todo e a gente você

coloca areia assim ó o vetor gradiente da sua função em um ponto x y z é formado por esse carinha bem aqui ó este esse aqui e esse outro bem aqui eu ver se dar o espaço para gente colocar ele bem aqui vai ficar fez e que multiplica e elevado a 3 a imagem dois y vírgula o próximo 2c e elevado a 3 x + 2y e o próximo e elevado a 3 x + 2y tão aqui está o nosso victor hugo e a gente só que ele pediu para substituir aquele ponto ele quer o

ver todo e adient df no ponto 2 - 3 e 5 quer que eu vou fazer eu vou substituir esses números aqui só que eu gostaria que você percebesse logo um detalhe bem aqui ó quando você joga o dois e o menos três aqui nesse expoente olha vou fazer até separado bem aqui ó quando você joga aqui três vezes o valor do x que é dois mas duas vezes o valor do if no que é menos três esse valor vai dar 6 - 6 vai dar zero esses poe e esse é o expoente vai dar

zero vai ficar e elevado a zero e elevado a zero é um então esse cara vai dar um aqui é um aqui é um tão resultados faz rápido assim ó aqui vai ficar três vezes vertia 5 esse cara é um quando você substitui vai dar um aqui e é levado a zero mesma coisa aqui 2 vezes e que é cinco e elevado a zero que é um e esse aqui vai ficar e elevado a 0 o que é um e aqui você tem o nosso vetor gradiente aí no ponto né x y z no caso

2 - 3 e 5 e aí você chegou ao valor aí 15 vem aqui deu quanto 10 e bem aqui deu um e dessa maneira aí você tem o nosso vetor ué gente então questão interessante porque você tem aqui a regra da cadeia e além da da observação oi prof meu exercício que eu tenho aqui tem seis e y e z quer que eu faço vai derivar a função essa em relação a x em relação a isso em relação a z e não esqueça de colocar notação correta viu-se uma função com 3 variáveis coloque x

y e z bem aqui a nota que a gente vai fazer mais uma questão e aí e vamos agora determinar um vetor perpendicular à essa circunferência aqui ó x a segunda mais y 2ª = 4 no ponto raiz quadrada de triste e um como é que você pode pensar o que que isso tem a ver com nosso vetor gradiente eu te falei no início da aula vamos reforçar a ideia é o seguinte vêm aqui você teria por exemplo na função aqui você teria uma função f de x e y aqui eu vou consertar essa função

igual a x a segunda mais e y a segunda essa aqui seria a minha função e aí quando x vague raiz quadrada de cris e o y um olha lá quando x vale raiz fora de cristo e o y um esse carinha daria o valor quem o valor quatro então qual é a ideia nossa a ideia nossa que está aqui seria uma é uma curva de nível né você cortou a uma altura de quatro então que você pensa aqui eu te falei que isso aqui no espaço tridimensional deixa o pior que colocar bem aqui para

você só esse aqui no espaço triste de quer que você poderia entender a professor já sei isso aí é um paraboloide paraboloide circular então aqui ó você tem um espaço tridimensional seu colocando aqui ó xixi bem aqui o nosso z bem aqui você tem o y então aqui você tem o nosso paraboloide tão bem aqui ó está ele e aí você pega faz um corte a uma altura de quatro ao z = 4 quando você cortar aqui a1 = 4 seria esse cara bem aqui ó seria quando o meu f de x e y que

é o meu z diga de passagem assume o valor 4 e quando ele assume o valor quatro você tem x a segunda e segunda igual a quatro que é uma curva de nível e aí você vai projetar esse aqui na sua base e quando você olha por cima né acho que é objeções dessas curvas de nível você tem um mapa de contorno que nós chamamos aí por exemplo se desenhar para você esse carinha bem aqui lá no plano xy vai ficar dessa maneira aqui deixa eu pegar minha régua você coloca aqui ó oxe o eixo

das abscissas vem aqui o eixo das ordenadas legal tão bem aqui x bem aqui we você tem um ponto que esse ponto que ele forneceu aí ó onde o x vale raiz quadrada de cristo e o iphan não vale um então eu tenho um pontinho aqui raiz quadrada de cristo e o número um só diga de passagem para você entender direitinho aqui a esse ponto é aqui na base eu não tenho no x ou y que a gente chama eu tenho aqui um valor do x que é um um valor do y que é raiz

quadrada de três aí você joga esse aqui na função e você vai ter uma altura vai ter um ponto aqui no espaço um ponto p esse ponto p aqui ele é o meu valor do x raiz quadrada de três ou para investir aqui né tem um investir aqui é raiz quadrada de três coloque aqui ó o valor do y é um bem aqui o nosso y é o número um e quando você joga vai ter o valor do z que é um número quatro então é assim que você pensaria e agora eu gostaria que você

não esquecer se ele quer determinar um vetor perpendicular quem é um vetor perpendicular nesse pontinho aqui a sua curva de nível quem é esse vetor perpendicular aqui é o a gradiente então tá pedindo assim obtenha um vetor gradiente essa seria o resumo da história eu quero achar esse meu retorno e a gente você sabe fazer isso fechei aqui ó o vetor gradiente dessa minha a função f bem aqui ó você já faz derivada em relação a x quem a derivada parcial em relação a x 2 x derivada parcial em relação à y2y e agora aqui

você faz o que vai substituir no lugar do x coloque o valor raiz quadrada de três e no lugar do y valor que é o número um e ela vai ficar dois raiz quadrada de cristo que é o valor do x e aqui 2 vezes 10 a 2 então isso eu gostaria de chamar atenção quando o autor da questão perguntar e tenha um vetor gradiente a essa circunferência você entende a circunferência um sendo uma curva de nível então aqui você tinha essa função aqui então dessa nossa função x a segunda mais y a segunda a

uma altura quatro você cortou você projetou e aqui você tem um vetor gradiente e esse vetor e a gente não esqueça derivada da sua função em relação a x e derivada da sua função em relação à y então dá má notada e como você já sabe obter um vetor b a gente a gente vai fazer uma questão mais interessante utilizando esse conhecimento a nota que rápido hein se você não pode sair dessa aula sem saber resolver essa questão encontre a equação da reta tangente a essa curva x a segunda e fran segundo igual a 9

no ponto 2 e raiz faz de cinco usando o gradiente aqui professor isso aqui tá parecido com a questão anterior verdade o que é que você sabe que você pode considerar que você tem uma função aqui ó imagina só vamos pensar assim eu tenho uma função f de x y = x a segunda e na segunda que está representada lá no espaço 3d quando x é dois quando isso não é raiva de cinco você substitui na função se faz a conta da 9 o que isso quer dizer que você cortou essa sua função aqui é

uma altura uma altura bem aqui nove e aí quando você olha por cima e vai ter uma curva de nível que é essa que eu representei tão bem aqui você tem o nosso valor do x coloque aí ó você tem o valor do x e o valor do isso também aqui vai ter um ponto viu esse ponto aqui é esse karine ali ó 2 colocar bem aqui ó 2 e raiz quadrada de cinco o que é que você aprendeu a fazer achar um vetor poxa vamos aqui você sabe muito bem que aqui você tem um

vetor especial que é um vetor que vai ser sempre perpendicular sua curva de nível que é o vetor gradiente você sabe achar esse nosso victor e a gente vamos calcular esse vetor e a gente a professor não manha o meu vetor gradiente eu faço derivando em relação a x 2 x e deriva em relação à y2 e ai você pode substituir então nesse caso o seu vetor gradiente o ponto vem aqui dois e raiz quadrada de cinco você vai substituir vai ficar 2 vezes o x que é 2 vezes aqui o y que é raiz

quadrada de cinco então eu tenho meu vetor gradiente vetor gradiente nesse ponto aqui ó será o número quatro e dois raiz quadrada de cinco essa é a primeira parte do exercício que é saber obter um vetor perpendicular à essa curva de nível e esse carinha você já sabe que guarda isso é importante é o meu vetor gradiente que tem esse papel aí tudo bem mas professor não é isso que ele quer ele inventou ali da equação da reta tangente a curva no ponto calma é assim como você sabe o que ter o vetor gradiente bem

que ele é ortogonal a rafaela é porque que o que eu quero obter a equação de uma reta bem aqui ó vou chamar de reta s essa minha reta s aqui é uma reta tangenciando a minha curva nesse ponto bem aqui que que eu faço agora poxa eu tenho que recordar alguns conceitos importantes agora lá da geometria analítica primeiro uma reta é formada por infinitos pontos eu aqui ó tem um ponto aqui tem infinitos eu não sei quais são tem o chão um desse de genérico x y tão bem aqui existe um ponto que eu

vou chamar de x e y mas por que isso prof é porque se eu tenho esse ponto aqui dois e raiz quadrada de cinco e eu tenho esse outro ponto eu posso obter esse vetor hein filhão vem aqui você tem um vetor deixa professor marcar para você aqui ó aqui você tem um vetor e esse vetor você pode obter eu vou chamar aqui de vetor você quiser dar nome aqui ó esse aqui ele não deu o nome não é chamado de p bem aqui o ponto p e vem aqui um ponto que eu posso obter

o vetor pt quem vai ser o vetor dp aqui a extremidade - a origem então vem aqui é que menos p qual é o valor do que é o ponto genérico x e y - upe quem é o p2 e raiz quadrada de cinco e dessa maneira você achou aqui o vetor pq quem é o vetor pt x menos 2 1º - o 1º 2º - o segundo olha aí ó está ficando bonito aí a sua questão fazer com calma e esse entender passo a passo não apenas anotar aí né mas compreendi e mais mura

porque você fez e é porque você tem que perceber que aqui é o gradiente não é isso e você sabe que o gradiente fosse ortogonal a sua curva de nível nesse ponto ele vai ser ortogonal ao vetor pq então esse vetor e esse vetor aqui são ortogonais então ela logo aí você percebe que o vetor de ead em ti nesse ponto aqui nesse ponto p e esse meu vetor pq esse meu vetor pq são perto indico lares victor pertence ver bem bonitinho que na matemática a gente sempre escreve bonito e isso tá dizendo que esse

vetou e esse aqui são ortogonais são perpendiculares e daí prof e daí que você não pode esquecer se eles estão ortogonais é porque o produto interno desse vetor com esse outro vetou aqui vai ter que dar resultado igual a zero oi e essa é a saída da nossa questão era isso o raciocínio era isso é questão querias piorar né questão não tá aqui por estar lá está para dizer olha cuidado pode vir uma questão de reta tem gente e você pode sair através da ideia do vetor gradiente usando essa propriedade né que ele é ortogonal

a sua curva de nível vamos lá agora você vem aqui vai substituir cadê o vetor gradiente está bem aqui ó quatro quatro e dois raiz quadrada de cinco que multiplica o pq cadê o pequi x - 2y - raiz quadrada de cinco não vai esquecer como é que você resolve essa conta primeiro com o primeiro primeiro aqui entre parentes viu mas segundo com segundo bem aqui então cuidado com essas as contas aqui você vai fazer quatro vezes x 4 x 4 x - 2 vai dar menos oito agora vai fazer também aqui ó esse com

esse vai ficar dois raiz quadrada de cinco e y mais com menos é menos cuidado aqui ó esse com esse você vai ter dois aqui raiz quadrada de cinco vezes raiz cara de cinco é raiz quadrada de 25 que é cinco só que cinco que deu vezes 2 vai dar 10 qualquer coisa faça separada e agora você vai reduzir os termos semelhantes você vai ter 4 x + 2 raiz quadrada de cinco y e aqui eu tenho - 8 - 10 sinais iguais conserva o sinal e soma se você quiser ainda é possível dividir todo

e por dois para ficar mais simples e aí você vai ter 2x + raiz quadrada de cinco y - 9 = 0 e se você esqueceu o seu nome lá em geometria analítica né isso aqui é chamado de equação equação geral geral da reta então você acabou de obter a equação geral da reta que o autor e pedir a equação da reta pode parar e mesmo mas se o autor da questão perguntar se aqui para vós me cê a equação reduzida não esqueça que reduzida é quando você perde a equação geral da sua reta isola

o valor do y se você isolar o y você tem a equação na forma reduzida vamos ser percebe que não só de cálculo se vive cálculo né mas da geometria o descaso meter analítica é parceira nossa aqui quando você estuda cálculo então sempre tem que estar revisando quer saber mais sobre cálculo te espero até a próxima aula up dólar ei ainda tá aí que é macho conteúdo que assiste mais vídeo aula então acesse a nossa próxima aula aqui no canal rapidola e não esqueça compartilha nossas aulas deixa seus comentários aí e aquele seu joinha parceiro

desde já te espero na próxima vídeo