Teorema de Stokes (VETORIAL 26 DE 30)

o olá meu aluno minha lona nessa sala nós iremos o teorema de stokes a primeira coisa que você tem que saber sobre o teorema de estou é que ele não é do estoque a história é a seguinte o resultado é do thomson o famoso lord kelvin o cara das temperaturas kelvin o kelvin reduziu o resultado em 1850 mandou uma carta para o estou falando do seu teorema e em 1854 o estoque colocou o resultado de uma prova para seus alunos acabou que aquilo se tornou famoso aquele teorema que apareceu numa prova de estoques com o

tempo isso durou apenas o teorema de stokes estão de fato ele apenas ganhou de bandeja um teorema com o seu nome isso não tira a importância do sol se ele foi muito importante para o estudo de fluxo mas o teorema de stokes em sim não é dele é apenas um resultado que ele colocou numa prova e as pessoas começaram a associar diretamente ao nome dele e essas coisas nunca acontecem comigo nunca ganha um teorema assim de bandeja o que é o teorema de stokes nós vamos falar de trabalho e o problema a ser resolvido é

o seguinte e aqui eu tenho uma superfície ou orientada e aqui eu tenho um campo de forças atuando e eu vou dar uma volta completa aqui no bordo da superfície é só que eu vou caminhar seguindo a regra da mão direita então aqui eu tenho uma normal que aponta para cima eu vou caminhar assim como em geral nós colocamos ao normal para cima é isso aqui é eu estou caminhando ao longo do bordo ea região interna está sempre à esquerda ó eu estou caminhando região interna a esquerda isso condiz com a regra da mão direita

sabendo que a normal está para cima então sentido de percurso é este é o que eu quero saber é o seguinte qual é o trabalho que esta força terá para movimentar uma partícula ao longo do bordo de toda essa superfície nessa orientação essa e me pergunta trabalho para dar uma volta completa aqui então que eu tenho o seguinte aqui está o meu campo o campo com podem f g e h e nós sabemos que eu coloco uefi aqui o g aqui o hagaque esta integral de linha aqui ela calcula o trabalho e aí você quer

um resultado já conhecido isso daqui a trabalho ao longo de um caminho fechado com a orientação positiva que essa que eu falei que segue a regra da mão direita se eu puser anormal para cima vou ter que andar assim e o teorema que não é de estoques mas eu vou chamar estou aqui como todo mundo chama é esse daqui ó essa integral de linha equivale a essa integral de superfície aqui o meu integrando é o rotacional do campo por do escalar vetor n s n aqui esta normal unitária a superfície então eu tenho que pegar

o campo calcular esse objeto chamado rotacional fazer o político falar com o vetor que é normal a superfície em cada ponto e essa integral nós já vimos se eu apagar a palavra rotacional olhar só assim isso daqui ó é fluxo de grau superfície df escalar n isso aqui é fluxo bolsa que eu tenho um outro campo o rotacional de um campo é um campo é isso aqui é um novo campo então eu tenho que enxergar isso daqui como sendo o fluxo do rotacional o trabalho é o fluxo do rotacional por quê que trabalha o fluxo

do rotacional de novo ó esquece a palavra rotacional olha só parecida aqui isso aqui é fluxo e o rotacional de um campo também é um campo então eu tenho o fluxo deste campo aqui o fluxo do rotacional do campo o trabalho é fluxo do rotacional do campo é bom apareceu ali um objeto chamado rotacional hoje nessa aula eu vou apenas fazer uma conta mas nós temos uma aula em específico para entender o significado físico do rotacional mas para o teorema de stokes eu só preciso saber calcular é dado um campo e o rotacionar o dele

também escrevemos assim e ele pode ser calculado como um determinante e a maneira mais fácil de lembrar é assim pensa que é só uma maneira para lembrar como se calcular o rotacional de um campo só precisa disso que você saiba pegar um campo substituído né se determinante e vai obter como resposta um novo campo a ver se você vai me perguntar tá mas o que é isso é como eu disse que significa o rotacional eu mostro em outra aula em qual o rotacional deste campo então como é que se faz a conta você vai montar

o determinante e jk aqui ficou esse símbolo de derivadas parciais que eu já vou mostrar como é que funciona não e as componentes do campo f g h vão aqui embaixo então a primeira componente aqui a segunda componente aqui terceira concorrente aqui ele tem que calcular o determinante da maneira que você quiser vou fazer pela regra de sarrus pega essa coluna e repete pega essa coluna é repete e funciona assim ó componente e tem que derivar em relação à y esta função a que a derivada de y ao quadrado são dois y e vezes x

2 x y la componente j tem que ter levar em relação a z a função x ao quadrado se que vai dar zero porque não tem não tem ver aqui é uma elevada em relação a 0 0 j na componente cá tem que derivar em relação a x essa função aqui a derivada desses aqui é um sobrou quatro e tal cubo 4 y cuba na componente carro e no outro sentido j tem que levar em relação a x o x e y ao quadrado eu coloquei aquilo - porque agora nesse sentido somos todos subtraindo elevada

em relação a x disso daqui a derivada de se x1 obra y ao quadrado e na componente derivar em relação às vezes por aqui não tem letra z aqui zero na componente cada e levar em relação a y a x ao quadrado não tem y aqui 0 a derivada tá passando a limpo aqui está este novo campo que é o rotacional deste campo aqui ó bom então já sabemos como calcular este rotacional aqui e a próxima pergunta é o seguinte e em geral encontrar esse vetor normal unitário é uma tarefa complicada não tem uma maneira

de se livrar desse normal ds que nós já vimos na aula de fluxo em superfície que é gráfico de função tão que eu vou ver agora é o seguinte e quando eu tiver uma superfície que é gráfico de função eu vou poder trocar este termo aqui ó por uma expressão mais fácil porque em geral é difícil encontrar anormal unitária a uma superfície e e agora o que eu quero é sair da integral de superfície e vai aqui aparecer uma integral iterada eu vou trocar o meu nds por um gradiente de gba eu vou discutir quem

é essa que está aparecendo aqui e é aquela mesma g que já vimos na aula de integral de fluxo de superfície que é gráfico de função e o problema atual é o seguinte tenho um gráfico além desta função f o que é essa superfície então eu tenho uma superfície que é gráfico de função se ela for orientada para cima você vai definir uma função g da seguinte maneira pega a f e passa para o lado de cá de maneira que usei é positivo normal para cima você vai pegar a f ou seja todos os termos

que tem xy e vai passar para cá de maneira que usei ficar positivo e isto é a sua função g e se a superfície estiver orientação para baixo você vai pegar o z e passar para o lado de lá ele vai ficar negativo aqui é normal passando para baixo tem que aparecer um menos e aqui e isso daqui é a função g ah tá a situação é a seguinte e o trabalho ao longo do caminho fechado com orientação positiva pelo teorema de stokes é este resultado aqui o fluxo do rotacional e eu vou poder trocar

e essa integral de superfície por uma integral iterada o link ao invés de trabalhar aqui com a normal a superfície eu trabalho com o gradiente desta função de aqui ó nós vamos fazer um exercício para mostrar como tudo funciona em qual o trabalho realizado por este campo numa partícula que e percorre uma vez o retângulo com a ligação positiva no plano z = y acima da região em que está aqui e opções aqui no plano xy o que é que tem aqui e foi iniciado fala o seguinte que eu tenho uma superfície anormal faltando para

cima o sentido de percurso é o que segue a regra da mão direita como anormal aponta para cima é aquele que é o caminho e vejo a região sempre assim esquerda e eu quero o trabalho eu até montei integral do trabalho só para mostrar como é que ela como é que se faz eu pego a primeira componente e coloca aqui a segunda componente do campo aqui por um de y essa aqui com de x a terceira componente do campo com o desenho a minha pergunta é quanto vale essa integral ao longo da fronteira eu vou

caminhar ao longo de toda a fronteira dessa superfície e teorema de stokes isso aqui é o fluxo do rotacional quem é o rotacional este campo aqui exatamente aquele que eu fiz um exemplo a primeira etapa pegar o campo calcular rotacional que dá isso daqui começa com 12 xy ah tá que tá aqui ó o 2xy menos isso quadrado quatro tipos ao cubo tá bom eu vou fazer e eu posso tentar fazer assim mas como a minha superfície é gráfico de função eu já vou para o meu trabalho venho para cá é anormal aponta para cima

o que é normal ponta para cima e eu vou construir a função g de maneira que você seja positivo o que eu estou fazendo é o seguinte a z = y e em cada exercício você vai passar o que tem do lado de lá para cá ou que têm daqui para lá tem que ver como é que vai fazer isso como anormal aponta para cima usei tem que ficar positivo então você vai trazer um y para cá vai ficar menos y + z ou menos y + z é a minha função dizer agora preciso gradiente

da função g a ver eu vou tudo isso em relação a x não tem um x vermelho tudo isso em relação à y menos um beijo tudo isso em relação a z esse um aqui e as o gradiente da função g1 e pega o gradiente e coloca aqui e até aqui eu fiz o teor e mais todos daqui para baixo são contas bom então teorema de stokes enfim foi aquilo aqui eu sair da integral de linha e vim para uma integral que no caso ela era de superfície só que eu já sei escrever como uma

integral iterada então apliquei teoria muitos poucos aqui e agora são contas produto escalar esse com esse vai dar zero com s com s vai ficar mais y ao quadrado e se conhece vai ficar o quatro e pessoal cubo só vou passar a limpo então ficou aqui ó mais y ao quadrado e esse + 4y google é a região xd01 yd031 o x é um y 03 e eu começo pela integral de dentro integral direção ao quadrado y ao cubo só merece integral dito ao cubo e pão a quarta sobre quatro ainda tem 14 e multiplicando

aqui de 0 a 30 31 o teorema fundamental do cálculo eu coloco teresa aqui o três aqui ó há 27 terços da 94 se simplificam três na quarta 8190 ou integral de 90 em relação a x 90 x de 0 a 1 coloca um coloca o zero subtraindo depois que dá 90 o trabalho e o trabalho o que o campo tem para pegar uma partícula e dar uma volta completa aqui digamos que eu esteja em unidades do sii deu 90 joules 90 já olhos para o campo pegaram a partícula e dar toda aquela volta ali

naquele sentido de percurso e se deu mais 90 nesse sentido se eu fizer no outro sentido vai dar menos 90 é por isso que a orientação importante essa resposta de mais 90 jaures é quando eu estou considerando o trabalho para dar a volta assim se me perguntarem qual o trabalho para dar a volta ao contrário a resposta seria menos 90 eu espero que tenham gostado se inscreva no canal e é isso daí