Cálculo I - Aula 30 (1/3) Cálculo de algumas primitivas

[Música] vamos fazer um alguns exemplos pegar alguns exercícios sair da lista e calcular as primitivas só pra gente ver vou tentar fazer um pouquinho junto com vocês para ver como é que vocês estão devidamente afiado sair nas técnicas de privação tá bom então eu selecionei alguns que os alguns truques desenhos um som ar muito óbvios de se fazer a gente ver como estão nossas idéias aí tá então vamos pegar nossa lista um primeiro que eu separei o 43 alguém tentou fazer 43 é é primitiva de x ao quadrado sobre raiz de um - x quadrado

a quem falou eu você conseguiu mais um tentou mas não conseguiu tá vamos pensar não conseguiu tá bom vamos lá é como é que a gente pode atacar um problema desse tipo tá tem essencialmente duas idéias que você podia tentar uma delas seria não sei se é muito óbvio devem tentar fazer uma integração por partes aí tá você parece como x quadrado um sobre raiz de um menu x quadrado e tentar aplicar parte lembrando que isso aqui é derivada do arco sendo tá então se poderia chamar se aqui de gelo linha esse aqui df e

lá do outro lado que queria parecer é fininha que é 2x vezes g 4 sendo então a peça permite você trocaria pela permitida de 2 x 1 para o cene x tá e essa dá pra tentar fazer é um dos que está e na lista a gente sabia fazer uma outra alternativa que é sempre interessante de tentar o seguinte quando vc tem raiz quadrada de um menu x quadrado se você for pensar nisso como um gráfico que é o gráfico de raiz de um menu x 2 só que descreve a 6 circunferência tá certo saúde

escreve uma circunferência automaticamente muito ligado com funções trigonométricas agora você confere raio então qualquer ideia é tentar usar a identidade é fundamental e no quadrado mas continuam quadrado de chittagong cv obviamente que um dos dois funcionando como esse xis um outro y está certo se você pegar no quadrante superior então aqui valeria a pena tentar uma mudança de variável do tipo x igual a 100 no rio quando x é igual sendo dill como é que fica quem é de x cosseno tio tom certo então o que é que fica isso vai te dar com essa

mudança variável aqui a gente vai ter senão quadrado de u quem quer de x cosseno gil deu tá certo é que eu vou ter o quê raiz quadrada de 1 - sendo ao quadrado o que é isso 1 - senão quadrado é que você não quadrado andaria raiz quadrada de cosseno quadrado o que é isso módulo do conselho x porque eu posso não escreveu módulo aqui a gente tem que pensar algumas coisas vão pensar qual é o domínio dessa função aqui é de -1 até um é x varia de menos ou até um tá certo

x varia de menos uma até 1 eu posso pensar em alguma função que seja sobre o retorno do intervalo - 11 em uma delas que eu posso pensar é sendo certo cena de x de qual intervalo até ao intervalo idade - 1 até 1 você pensar aqui no circuito o médico né se você pensar esse cara como sendo a variável o quando o varia de -100 sobre dois ataques sobre dois eu cubro todo o intervalo de menos de 1 até um acerto ok e nesse intervalo quando você não varia de -100 sobre dois ataques sobre

dois ao sinal do cosseno é sempre positivo tá certo que o sinal do conselho é sempre positivo nesse trecho que eu posso fazer era pra tá módulo de cosseno ali não era a raiz quadrada de coocenal quadrado módulo de cosseno mas nesse intervalo com cena positivo portanto eu posso descartar um modo claro isso em princípio eles precisarem se preocupar com esse módulo mais olhando para os domínios das variáveis isso resolve e portanto que me sobra álcool a primitiva de ser um quadrado de um deu bom é que a gente calcula primitiva de cena ao quadrado

se quiser escreve como um produto sendo vencendo integra por partes ou lembra que sendo ao quadrado a gente consegue escrever em termos do arco dupla né como é que a gente fazia isso usar essa identidade é fundamental e usa aqui com você no quadrado - se no quadrado se você subtrair membro aumenta isso aqui vai ficar em cena um quadrado de x é meio - 2 - conselho de 2 x sobre dois então qual é primitiva de meio - conselho de 2 x sobre dois aqui tá na variável na então vai ficar 1 sobre 24

objetiva de conselho de 21 sendo de 21 sobre dois com 2 que tinha da forma sendo de 21 sobre quatro mas aprendi mais a constante de integração quem quer a 1 se x aceno de u nesse intervalo que estou trabalhando de menos sobre dois ataques sobre dois função objetor então o é algo semelhante está certo trecho que vai da arh do centro de x sobre 2 - quem é sereno de 21 sendo de 2 x 1 sobre quatro certo isso ta dah pra melhorar um pouquinho a expressão se você quiser o que é ser dono

de duas vezes arsenal que é sendo de duas vezes dava o senhor 2 e no w o seu estado é bom então quando eu trocar isso vai ficar o que enche sobre dois menos duas vezes com esse 4 corta sobra 2 vai ficar sendo do arcos e no the x x vezes conselho do ártico sendo que cosseno do arsênio dx que é co seno cosseno a raiz quadrada de um - e num quadrado então isso aqui é a raiz quadrada de um - e no quadrado de arcos nx eu posso trocar esse cara por aí

de uns bem mas a constante sua cara não tá muito boa a que qual foi a dúvida aí como passou aqui pra cá vamos lá então vamos escrever isso com um pode você pode essa identidade num triângulo você quiser mais tomar ó que é sereno vou escrever de uma vez tá que há um cena de um arco duplo duas vezes os e no vezes o conselho não é isso tá quanto que é cena do arco cena uma função calculado em cima dos inversa então vai dar 2 fica sendo o único senhor x o que é

conselho de alguma coisa a raiz quadrada de um - e não quadrado certo isso a raiz quadrada de 1 - sendo o quadrado do arsênio dx bom que é ser doados e no chez ao quadrado esquadrão de aço aqui alguém tinha feito essa desse jeito fez de alguma maneira diferente diga poderia deixar aqui tá é uma primitiva ok só melhorou um pouquinho expressão mas puramente por puro gosto pessoal essa função que está aqui nessa linha se você deriva' vai dar aquilo ali pode ser que não dê direto você vai ter que tomar cuidado na verdade

você deriva isso aqui vai dar esse aqui a gente sabe quanto que dá esse aqui que vai ser derivada disso vai ser cosseno de duas vezes ao ano sendo vezes a derivada do que está aqui dentro quando se expande isso muito pouco provavelmente você vai chegar nessa expressão direto para chegar nessa expressão aqui vai ter um conselho de dois anos e não vai ter fazer essa conta para ver com tudo e aí quando eu fiz essa conta que conseguiu isso aqui direto já vai cair nessas pessoas também jóias vamos pegar mais um vamos ver numeração

da lista para deixar indicado pra vocês vão fazer o 4545 que a primitiva de elevada raiz de x deixa como é que a gente pode olhar pra isso não tem nada multiplicando não tem ninguém com o derivado de ninguém você pode enxergar o número um aqui ok esse faria então com integração por parte né esse cara é seu é fininha esse aqui é assim o g bom se você fizesse isso vamos ver o que vai dar vai ser f que a china quando a filhinha um 3g - a primitiva de efe vg linha que a

linha elevada de x nada disso aqui ela mesma vezes a derivado da raiz da isso você quiser você simplifica tem um meio que fora sabemos calcular essa primitiva que agora para tentar fazer por partes de novo como é que se faz por parte de novo se você fizer raio de x igual ào quem o deu um sobre dois raízes de xx né então veja que não é exatamente o que você queria né ou de outra maneira se você quiser o dx quem quer dois raios de x só que mais utiliza o então quando você fizesse

mudanças variável você vai ter elevado a 1e 1d x virou 2o deu então vai ficar duas vezes o quadrado e levado ao bom dá dá pra fazer da faz a integração por partes dando conta de baixar o grau daquele o ao quadrado você precisou de uma integração por partes uma mudança de variável para cair numa coisa que faz duas integrações por partes tá um pouco de trabalho ainda mais levando em conta que vai ter um monte de sinal de menos na forma de integração por parte da chance de você esquecer um deles é muito grande

né então em vez de tentar fazer esse trabalho todo a gente pode tentar uma coisa um pouco mais ambiciosa e ver o que acontece vem aqui direto e faz o que sugeriu o igual a este sequer deu tá e aí com isso a gente vai ter o quê de x 2 o delta claro raios x é o também então com essa mudança de variável essa primitiva vai ficar quanto 21 e levado ao g1 bom já saiu direto a segunda a integração por partes que teria que fazer ele então cortou uma integração por parte de uma

mudança variável na solução que vocês pensaram a porque na prática vai te levar a encurtar soluções ou a prática leva à perfeição resultado então como é que você calcular isso aqui reintegração por partes chama esse cara aqui df esse aqui dg linha isso vai dar duas vezes efe g1 um gps e levado ao menos é fininha exige ou seja duas vezes o levado a um a menos mas é constante dentro ou fora do ar entre 2 x 1 faz a menor diferença também voltando para a variável que a gente tenha que isso me dá duas

vezes para pôr em evidência na e raízes de x xx - um mais constante também perguntas foi 61 a gente faz depois eu te digo 'vamos voltou ele é um dos da lista aqui eu vou te dar um jeito muito ruim de fazer ele e vai reforçar pensando melhor tá vamos lá é o 49 gente já chega já no 6149 a primitiva do ce no rn x deixa a gente pode fazer esse cargo esse é pior ainda que o outro não é que se chegou um dia clicando aqui não tem muito o que fazer porque

qualquer coisa que você colocar se você ver um número multiplicado aqui vai ter um chip que não tem nada a ver com nada então vai ficar péssimo tá então aqui a gente vai na vida ou morte chama o dl e nietzsche não ver o que acontece tá quem a deu um sobre xx e portanto quem é o dx se a gente for trocar ali x vezes deu quem é x elevado ou tá certo então isso fica elevado ao deu com essa mudança de variável só permitiu a ficar o que a cena de u v x

é elevado o que sabemos fazer essa fizemos uma bem parecida numa aula anterior aí né fizemos acho que é elevado ao vezes cosseno dilma como é que faz integração por partes na primeira vez esse senão vai virar um conselho na próxima vez que você no verão - e no e você passa pode lá e resolve também é dúvida vamos ver o 59 que já é um consciente de funções trigonométricas né 59 é co sendo a quinta sobre a cena ao cubo de xx também que a gente pode pensar nesse qualquer agente tinha desenvolvido um método

para calcular produtos dezenas de concelhos eu tenho quase que um produto não é qualquer a regrinha ó se um deles for sim para você pegava esse cara que expõe tinto e soltava um né vamos tentar fazer a mesma coisa só que adianta soltar o cara do denominador aqui não é só a gente escrever isso como você na quarta de x vezes no xx sobre ensino ao cubo isso ficou muito bom né está claro para todo mundo porque isso é muito bom se eu fizer o igual aceno de x meu deus já está aqui e esse

cara eu consigo o conselho a quarta troca por uma função foi nomeado em cena de x que a nova variável então se você fizer o igual a sendo x você vai ter de 10 x de x e aí isso aqui vira na quarta 1 - e não ao quadrado tudo ao quadrado então é um - o ao quadrado tudo ao quadrado / ou cubo e é bem fácil agora né gente abre com o numerador dividir cada um deles parou cubana como vai ficar isso aqui mas a 1 sobre o até terceira aqui vou ter menos

dois o quadrado sobre o cubo da isso é que eu vou ter uma quarta sobre o álcool o bom sabemos qual a primitiva de cada parcela quanto da - meio ou menos 2 a primeira certo - 2 l m do módulo de um mais ou quadrado sobre dois volta pro variável que a gente queria mas vai dar - se quiser é um sobre ser um quadrado que chama conseqüente ao quadrado em que se pode escrever - meio da conseqüente ao quadrado menos duas vezes eliene do módulo do sena senão quadrado de x 1 x 1

sobre o bom duvidar nem sei também vê pronto é bem tudo mais fácil vamos ver o 67 diga oi um a menos três tá então isso é o menos três como é que se calcula primitiva disso a então aqui a gente tem um problema né mas foi muito boa pergunta se eu pensar esse cara como menos 2 sobre o desse jeito como é que seria a o algoritmo aqui a gente viu para integrar o nome se eu tivesse um cargo elevado a eni eu somo um indivíduo por esse novo número né então quando há menos

1 quando eu sou mal vai ficar o elevado a 0 / quanto vou nem falar porque não pode então tem que tomar muito cuidado então essa coisa de somar um expoint dividir pelo novo número funciona para qualquer número real é diferente de -1 justamente ao menos um é o cara que produz logaritmo que aquele exercício da primeira lista serviu pra gente pra provar que o logaritmo não pode ser inscrito em termos de um polígono o meio e em versos demônios em roma ao próximo que eu tinha pensado em 67 é parecido com isso que você

pediu tá apetite viva de um sobre seu quadrado de x com uma quarta de x bom esse sujeito a gente consegue escrever como uma potência de secantes e consequentes certo então um sobre conselho na quarta a gente chama de secante a quarta de x em um só país e no quadrado o que a gente chama de consequente ao quadrado de x tá aí a gente pode usar identidades econométricas com um pingente com secante desculpa com um secante conseqüente né quais eram elas a gente sabe que se cante ao quadrado é uma experiente ao quadrado certo

ea irmã dela se você quiser pensar você cante ao quadrado x é o mais cotado gente ao congresso do chile bem como é que a gente sabe isso pega identidade trigonométrica fundamental senão quadrado mas que seu quadrado bom se você dividir tudo porque senão quadrado da primeira se você dividir tudo por ser um quadrado da segunda nós então aí como é que a gente pode pensar nisso agora que é ser campeão quadrado um mais tangente ao quadrado na então isso aqui vira primitiva de um mais tangente ao quadrado de x-tudo quadrado ea conseqüente eu vou

escrever como sendo um mais que a gente pode fazer abri isso aqui e distribui porque é bom distribuir qualquer conta gente vezes conseqüente desculpa é quanta gente vê se tem gente no caso que a gente tem tanta gente vê se tem gente é uma então vai ter vários produtos que vão ser simplificada bastante então na hora que a gente abrir eu vou escrever isso é um mais dois têm gente ao quadrado x + tangente a quarta o mais urgente ao quadrado de xx o que dá isso aqui na hora que distribui vez um costuma ser

um aqui votei com tanta gente ao quadrado depois duas vezes tangente ao quadrado aí e se vc se dá quanto 2 passar e depois muita gente a quarta a quarta vez que a gente é o quadrado um quadrado dos vamos arrumar um pouquinho que fica tudo isso a constante a gente tem três isso aqui depois tangente ao quadrado tem mais três têm uma tangente a quarta e depois tem uma conta gente ao quadrado separando tudo esse bloquinho aqui a gente sabe calcular fácil sim quanto é três mais três vezes tem gente ao quadrado essa identidade

vai dar três vezes a ser campeão quadrado a gente sabe calcular é imediata primitiva dessecante ao quadrado sim é tangente derivada tangente a ser campeão quadrado então vou ter três vezes as e cante ao quadrado primitiva 3x só que mais a gente sabe calcular aqui então essa parcela já foi escrever essas aqui separado como é que eu posso pensar na tangente a quarta de x eu posso pensar na conta gente ao quadrado com tanta gente ao quadrado a gente sabe calcular não não pelo menos tão rapidamente mas como é que a gente calcula integral da

tangente ao quadrado que é tangente ao quadrado secante ao quadrado - um quadrado a gente sabe também vão tentar usar a mesma coisa com outra gente ao quadrado é conseqüente ao quadrado menos um então isso aqui eu posso trocar por consequente ao quadrado menos um e aí porque que isso era bom no caso do tam gente porque esse cara a gente sabia de imediato se aqui fosse tem gente que eu tava com secante e integral do ser campeão quadrado era tangente integral das e cante à tangente secante ao quadrado tangente integral da conseqüente ao quadrado

você vai chutar que vai ter alguma coisa a ver com o tangente né não deriva com tanta gente pra ver quanto da pergunta tenho de xis aqui obrigado tá então voltando aqui né é como se cante ao quadrado era tangente à primitiva conseqüente eu vou tentar chutar que é com tanta gente vamos ver quanto é derivado da otan jeito você decorou ou faz o que quer com tanta gente por definição sobre como é que se calcula a derivada de um paciente o primeiro cumpre o segundo vai dar - será um quadrado - o primeiro dele

no segundo vídeo pela de baixa ao quadrado que dá isso aqui em cima - 1 - 1 sobre ser um quadrado em câncer - você cante de x vasco - você cante de x então esse cara você quer de quadrado então esse cara é a derivada da rotan gente um sinal de menos tão primitiva desse cara é menos com tanta gente tá então eu tenho três tangente de x - tem gente de x e esse - 1 - x sabe como é que eu vou calcular integral de outra gente é o quadrado na quarta eu

falei né isso aqui a gente escreve que é tangente a quarta posso escrever como tangente ao quadrado vezes tangente ao quadrado que é semelhante ao quadrado de x - um tudo bem o cara virou aqui então vamos lá que dá integral de - tangente ao quadrado sabe fazer isso enquanto que a primitiva detergente um quadrado que é tanta gente ao quadrado vamos lá gente ao quadrado é semelhante ao quadrado de x - 1 portanto a primitiva desse cara legal a primitiva deles quem é primitiva de ser campeão quadrado tangente primitiva de 1 x 1 então

esse blog ok eu sei lidar ele só tem uma coisa a opção de menos né então - tangente ao quadrado a primitiva vai ser menos tangente dx mais x constante eu vou deixar pra por uma só no final tá bom então matamos esse pedaço mas esse cálculo integral de tangente ao quadrado vezes e cante ao quadrado tem alguma coisa que é derivada dentro do outro é derivada tangente a ser campeão quadrado né então vamos escrever que na hora que você precisa calcular tem gente ao quadrado de xv secante o quadrado uma coisa boa é fazer

o golo do gent x que deu cerca de quadrado de x e portanto essa primitiva já vira um ao quadrado eo que a gente sabe decor o ao cubo sobre 3 voltando para a variável tangente ao público então calculamos todo mundo né que arrumar um pouquinho isso até dá né tangente ao quadrado tangente ao cubo de x sobre três esse cara vai embora com esse efeito depois temos dois tangente x - o tangente x mas se você olhar eu acho que está um pouquinho diferente da resposta do gabarito mas é um bom exercício para você

verificar porque essas duas coisas um papão ta dah pra ver que elas impactos eu acho que tem um contingente de 2 x 1 e se brincar um pouquinho para ver o que quer com tanta gente de 2 x 1 em termos das funções trigonométricas calculadas em x trabalha trabalha trabalha vai dar exatamente essa coisa aqui mais uma outra constante então tá certo é um outro provavelmente quando se monta o gabarito a coisa foi calculada de outra maneira de se obter uma resposta foi um pouquinho diferente aparentemente diferente