Toda a matemática que você precisa saber para estudar física

nessa aula de hoje eu vou passar para você em detalhes toda a matemática que você precisa dominar para conseguir estudar física O Galileu mesmo disse que o universo foi escrito em linguagem matemática e a gente precisa compreender essa linguagem se a gente quiser estudar os fenômenos da natureza a física então não tem jeito Qualquer que seja o caminho que você vai seguir é impossível estudar e fluir bem em física sem saber o mínimo de matemática e é essa matemática gente vai passar em detalhes aqui são essencialmente quatro Campos da matemática eu vou passar por cada

um deles te dizendo o que que você precisa saber e te provocando a se questionar se você domina ou não esses assuntos ou seja vai funcionar também como uma espécie de Diagnóstico vou te fazer algumas perguntas para você ir avaliando se você domina ou não domina esses assuntos e às vezes você tá aí agarrando travando em física justamente por não saber essa matemática Às vezes você até entende o conteúdo de física mas agarra nessa matemática se você não me conhece muito prazer meu nome é Filipe gisol eu sou físico mestre em física teórica pela Universidade

Federal de Minas Gerais e já preparamos aqui no universo narrado centenas e centenas de estudantes que acertaram mais de 90% ou que gabaritaram física no ENEM Fuvest Unicamp Unesp provas militares e os mais diversos vestibulares que você pode imaginar Ou seja eu sei do que eu tô falando aqui então tá sem mais delongas Vamos iniciar essa nossa conversa a primeira parte que você vai precisar conhecer de matemática é isso aqui ó a aritmética que é essencialmente saber trabalhar com números só que eu quero desenvolver uma coisa um pouquinho diferente aqui porque saber trabalhar com números

é sim conhecer um pouquinho de cada um dos conjuntos numéricos Então você tem os números naturais os números de Contagem né 1 2 3 4 5 depois você começa a estudar um pouquinho mais de números você fala de alguns números um pouquinho mais abstratos que são por exemplo os números negativos Então os números inteiros é esse conjunto que contém os positivos e os negativos e o zero né Tem uma ambiguidade se o zero tá aqui ou se o zero tá aqui se ele é o não natural Mas isso é pouco relevante aqui pra nossa conversa

depois a gente tem os números inteiros que são os números que podem ser escritos como a fração P so q não é ISO então 3/4 7/8 1/6 e por aí vai os números que podem ser escritos como forma de fração os decimais alguns deles entram aqui porque por exemplo 3/4 é 0,75 então isso aqui são duas formas de escrever um mesmo número Beleza a gente tem aqui agora esses números aqui que são os irracionais eles são meio que um bloco A parte aqui né por exemplo quem são esses caras pi ou raiz qu 2 ou

o número de oiler é esses caras aqui são o quê são números cara que tem um padrão de repetição desconhecido na verdade eles não tem um padrão de repetição então o PI é o quê é 3,14 15 Sei lá o qu não tem nenhum padrão de repetição você não consegue escrever esse cara sobre forma de fração diferente desses caras que são os Racionais e o conjunto de todos esses cidadãos aí é o que a gente chama de números reais então assim de modo geral beleza aritmética é isso aqui é o estudo desses caras é o

estudo dos números e tal mas em termos de Física não é bem isso tem que saber o que que é um natural o que que é um inteiro você tem que saber na verdade você tem que ter uma fluência numérica com todo caras que que você tá falando Não sei não entendi não fluência numérica por exemplo olha que interessante Digamos que você precisa então por exemplo calcular porcentagem eventualmente uma coisa interessante porcentagem porcentagem é 1 so 100 é um é um cara que tá aqui ó beleza calcular porcentagem de alguma coisa é multiplicar essa coisa

por 1 so 100 um indivíduo que tá aqui nesse conjunto mas mais do que isso é você entendeu o que isso significa Então eu não sei se você sabia pô 13% de 100 é uma conta que você pode fazer não é das mais triviais mas 50% de 13 é uma conta Bem Mais Simples porque 50% você sabe é metade Ah tá 50% de alguma coisa é metade metade de 13 vai dar o quê 6,5 6,5 você sabia que isso aqui valia É isso que eu tô chamando de ter fluência com os números então por exemplo

por que primeiro Por que que isso Val talvez você vai fala cara que doideira 13% de 50 é a mesma coisa que 50% de 13 sim isso na verdade Vale de modo geral sempre que você tem X por de y isso sempre vai ser igual a y por de X perceba que é interessante e aí você vai entender onde eu tô querendo chegar aqui o grande lance aqui na aritmética é você ter familiaridade você ter intimidade e ter uma certa fluência em trabalhar com números e certas operações numéricas de modo a conseguir calcular coisas com

facilidade então isso aqui é um exemplo Zinho simples em que você faz uma troca e calcula coisas com facilidade a validade disso repousa num princípio muito interessante que é o princípio da comutatividade Você já ouviu falar aquele negócio que a ordem comutatividade que a ordem dos fatores não altera o produto Você já ouviu falar naquilo ah é verdade a ordem dos fatores não altera o produto tem esse negócio aí mesmo pois é é exatamente isso que explica o que a gente acabou de fazer então você entendeu o que eu quis dizer eu quero que você

tenha fluência com os números ou seja saiba utilizar as propriedades numéricas para tomar caminhos diferentes e fazer as coisas O que que é a comutatividade a comutatividade diz que a x b iG p x a Ou seja a ordem dos fatores não altera o produto 2 x 3 = 3 x 2 fal mas isso aí é óbvio beleza só que calcular porcentagem cara é exatamente isso o que que é porcentagem de alguma coisa é pegar aquela coisa e multiplicar por 1 so 100 então o que que vem a ser 13% cara 13% é 13 so

100 então 13% de 50 é essa conta aqui ah tá se você preferir você pode até escrever da seguinte maneira aqui ó 13% vou escrever assim ó 13 x 1 so 100 tá bom é 13 so 100 Ah tá isso é 13% 13% de 50 beleza só que olha só eu posso olhar dessa forma 13 x 1 sobre 100 isso aqui é 13% 13% de 50 ou eu posso ao invés de multiplicar primeiro esses dois números aqui eu posso por exemplo multiplicar esses dois Porque a os fatores não alteram o produto mas o que que

é isso 50 x 1 so 100 isso aqui é 50% Ah tá então tá provado que de fato 50% de 13 é a mesma coisa que 13% de 50 e e a validade disso repousa num negócio que você provavelmente já sabia já ouviu falar que a comutatividade o fato de que a ordem dos fatores não altera o produto mas talvez você por exemplo não sabia aplicar Nesse contexto Então você tá entendendo onde eu quero chegar quando eu falo de saber aritmética não é saber que 2 x 5 é = 5 vez dois sacou saber a

comutatividade é muito mais do que isso entender essas propriedades e como é que você faz o uso delas para manipular contas e chegar em resultados com mais facilidade Como eu disse ter fluência com os números então por exemplo um outro exemplo a gente pode vir aqui e operar uma continha simples que é manipulação de frações beleza que é um universo de números que tá aqui beleza no conjunto dos números racionais talvez você memorizou um negócio esquisito né de como é que você faz essa conta e tal mas eu vou te contar aqui um jeito que

que eu acho muito mais simples simples de fazer essa conta e que eu particularmente gosto de usar Qual que é a lógica por trás de uma operação como essa você precisa colocar os caras no mesmo denominador então você pode vir e fazer o seguinte cara se todo mundo tem que ficar no mesmo denominador aqui tem um cinco seria interessante que aqui aparecesse um cin também então eu venho e multiplico por cinco aqui só que aí eu alterar a coisa então eu vou e multiplico por cinco lá em cima também Eu Tô multiplicando por 5 sobre

5 e 5 so 5 é o quê é 1 multiplicar um número por um não altera a gente diz que um é o elemento neutro da multiplicação é um terro mais matemático aqui mas enfim o grande fato é todo número xz1 ele mesmo eu tô usando esse fato aqui multiplicar um número por 5 sobre 5 é multiplicado por 1 por que que isso é inteligente porque agora apareceu um cin lá embaixo onde só tinha o três se eu aplicar a mesma lógica nesse cara aqui eu vou multiplicar por 3 lá embaixo e vou multiplicar por

TR lá em cima beleza por quê Porque eu quero multiplicar por um multiplicar um número por um não altera se eu multiplico ele por 3 so 3 dá um Então olha que louco não mudei nada porque eu multipliquei cada fração por um só que eu escrevi esse um de um jeito mais inteligente por quê Porque eu tenho fluência aqui com os números eu sei onde eu quero chegar o que eu queria era ter a mesma coisa lá embaixo 3 x 5 e 5 x 3 só que 3 x 5 é iG 5 x 3 já

que é ordem dos fatores não altera o produto mor da história Agora eu consigo fazer a minha conta olha só Quais são as minhas frações 5 so 3 x 5 15 menos aqui eu vou ter 3 x 1 3 sobre 5 x 3 15 Quanto que vai dar isso bom agora que todo mundo tá no mesmo denominador eu posso só fazer a conta dos numeradores 5 - 3 isso é 2 so 15 então pera aí olha que interessante pode ser que você já soubesse como fazer essa conta ah tem o tal do MMC que eu

aprendi E é disso que eu tô falando quando eu tô falando que você precisa saber brincar com os números para estudar física saber aritmética não é saber calcular mmc é saber fazer esse tipo de coisa sacou ter um gingado e ter habilidade e liberdade para ir utilizando certas intuições e certos raciocínios que você tem para brincar e manipular as equações e os números e as contas para elas te darem o resultado que você quer mais um exemplo só para você entender aqui então eu poderia dar dezenas e dezenas aqui eu quero te dar três para

ilustrar então por exemplo tá aqui uma continha que você vai precisar fazer cara comas física multiplicação de dois números aí tem a quem vem e faz assim ISO aqui é p 13 x 49 9 x 3 27 vai do sei lá o qu Ô eu não vou nem avançar nessa conta porque eu não sei fazer conta assim não tá tem anos que eu não faço conta assim caramba você não fez um mestrado em física Pois é cara física e matemática não tem nada a ver com saber armar contas desse jeito aqui de um jeito que

você só reproduz um algoritmo você nem se dar conta do que que tá acontecendo por trás Então olha só você já ouu falar propriedade distributiva né talvez você nunca pensou em utilizar Nesse contexto como eu gostaria de fazer essa conta cara eu faço essa conta da seguinte forma ó 13 x 49 que que é 49 cara 49 é 50 - 1 ah essa conta fica fácil de fazer agora eu faço a tal da distributiva Você já ouviu falar o chuveirinho né pelo amor de Deus bicho só tem adulto aqui né não vamos brincar não olha

só 13 x 50 Isso aqui é uma conta muito fácil por qu olha como que eu penso tô fazendo devagarzinho para você entender e aí você vai entendendo Qual que é a intimidade que você tem que ter com os números que vai ser importante pro seu estudos de física 13 x 50 eu penso da seguinte forma 50 é metade 100 por que que eu penso assim porque cara multiplicar por 100 é o trem mais fácil do mundo né 13 x 100 é adicionar dois zeros vai dar o quê 1.300 dividir por do pegar metade de

alguma coisa também é muito fácil metade de 1300 daria 650 Ah tá então essa primeira parte da conta seria 650 beleza tá aqui ó de vermelho menos 13 x 1 né 13 x -1 é - 133 beleza - 1 ou seja você faz essa conta aqui eu eu faria de cabeça eu tô abrindo como é que funciona o processo da minha cabeça aqui com você essa conta vai dar o quê 650 - 133 650 - 10 dá 640 - 3 637 essa aqui é uma conta bicho que só de bater o olho você me der

2 3 segundos eu te falo que a resposta é 637 E aí veja que interessante mais uma vez que que eu tô querendo te mostrar como eu disse eu poderia te dar dezenas de exemplos como esse aqui eu tô pegando um negócio que você conhece você já ouviu falar na propriedade distributivo para que que save essa porcaria cara O Grande Lance é você entender esses princípios matemáticos e usar eles com liberdade e com autonomia para brincar e massagear a conta para chegar no resultado do jeito mais fácil possível do jeito que você acha o mais

interessante possível então isso aqui por exemplo pode ser usado apela propriedade distributiva que a princípio talvez para você não servia para nada pode ser utilizado para você fazer contas com mais facilidade fazer cálculos de cabeça brinca um pouquinho com isso aqui como eu disse eu poderia te dar vários exemplos como esse então de modo geral quando eu falo de saber a mética é o quê é ter intimidade com os números é saber fazer contas de porcentagem contas de multiplicação cálculos envolvendo frações todos esses com muita agilidade com muita facilidade sem memorizar nenhum algoritmo engessado que

você não compreende muito pelo contrário utilizando princípios que são muito simples como por exemplo o fato de que todo número vezes um é ele mesmo para que você tenha liberdade de manipular as operações e chegar no resultado que você quer de 1 2 3 quatro caminhos diferentes É disso que eu tô falando quando você precisa dominar aritmética então sim os números vão ser super importantes pra física e você precisa ter fluência essa aqui é a a palavra que eu queria muito destacar uma fluência com os números para se dar bem nos estudos de física só

que esse aqui é só o primeiro passo beleza Esse é o primeiro passo porque no fundo no fundo boa parte das pravas de física não vão nem envolver números Vamos Envolver letras né E aí a gente entra nesse segundo Campo aqui que é a parte da álgebra quando a gente tá falando de álgebra a gente tá falando justamente agora de tirar os números e brincar com as letras né trabalhar apenas com letras então quando a gente tá falando de álgebra a gente vai falar por exemplo de produtos notáveis de fatorações eu vou explorar aqui alguns

com vocês e em Quai quais contextos né eles vão ser importantes relevantes no estudo da física então por exemplo um que talvez você conheça a + b qu e eu já vou até conectar um pouquinho com a geometria porque ela vai ser importante já já a gente vai chegar nela que que significa a + b qu você pode imaginar que você tem um quadrado de lado a + b Ah tá então aqui ó aqui vale a + b aqui V A + B A + B qu seria o quê seria a área desse quadrado Ah

verdade é isso que é a + b qu Beleza então tá o que que é isso talvez você já ouviu falar isso aqui é o quadrado primeiro mais 2 vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado segundo provavelmente já vou falar nesse negócio primeiro o que que isso aqui quer dizer em quais contextos Isso vai ser importante tem um vro geométrico de você e entender isso né que jeito é esse por exemplo olha só você pode vir aqui e fechar aqui ó um quadrado de lado A tá vendo Então eu caminhei a para cá

certo tá vendo aqui ó a a perfeito e eu tenho um quadrado de lado a concorda beleza um quadrado de lado A então vou até destacar aqui embaixo esse pedaço aqui ó é o mesmo lá de cima e ele vale a beleza então essa áre Zinha vale a Quad Ah que seria esse cara beleza eu posso fechar aqui também ó um quadrado de lado B Hum tá esse pedacinho que tá aqui ó é igual a aquele que vale B perfeito Então quem que eu tenho aqui b a quadrado é esse cara aqui é o quadrado

de lado b a área desse quadrado de lado B E quem seria por exemplo esse carinha aqui olha que interessante isso aqui vale a e isso aqui Vale B Ah isso aqui é um retângulo né a área desse retângulo vale a x b ah é verdade e esse retângulo também a e b ah tá área desse retângulo vale a x b tá aqui então destacado ó 2 x a x b aqui ó a x b é a área do nosso retângulo Zinho de amarelo Então veja bem o que que isso aqui tá te dizendo que

a área de um quadrado de lado a + b a + b qu é igual a área do quadrado de lado a a quadrado é esse cara aqui beleza mais a área do quadrado de lado B B qu é esse cara aqui beleza mais dois retângulos de dimensões a e b então daqu ó A e B e aqui também a e b ah tá dois retângulos somados é isso que esse negócio quer dizer exatamente tem uma interpretação geométrica e eu acho sempre legal quando você tá falando de álgebra e e a geometria analítica né que

é uma ideia do descart é justamente sobre isso né Como que você pega um negócio totalmente abstrato tipo A mais B quadrado só tem letra Nesse negócio Como que você visualiza isso então que eu tô te mostrando uma forma de ficar mais visual um pouco mais concreta esse tipo de coisa É lógico que nem sempre vai ser fácil fazer esse exercício mas de modo geral costuma ser muito útil pegar um monte de coisa que tem letra e transpor isso pra geometria enxergar o que aquelas letras querem dizer quando você pega a manha de fazer isso

você pega uma equação muito esquisita por exemplo como essa para muito isso aqui pode ser uma equação estranha isso aqui é igual a 1 qu que que é isso cara para quem é letrado na coisa sabe que isso aqui significa uma circunferência centrada no ponto 1 3 de raio 1 beleza que como é que é nunca vi isso não isso aqui é uma circunferência Isso é uma circunferência centrada no ponto 1 3 de raio 1 que que significa isso é o mesmo exercício eu peguei um monte de letra maluca x - 1 qu + Y

- 3 qu e eu tô dando que uma interpretação visual geométrica para aquilo Esse é um exercício que vai ser interessante já já a gente vai chegar na geometria e vai falar um pouco mais dessas coisas mas bom de modo geral quando a gente fala de álgebra a gente tá falando sobre esses caras saber produtos notáveis entender em quais contextos pode ser útil se eu utilizar esses caras e tal que eu já vou entrar já já um outro produt notav importante A2 - B2 já vou falar esse cara a diferença de quadrados ISS aqui tambémm

é um cara muito importante a diferença de quadrados vou tentar te mostrar também aqui de um modo mais geométrico seria o quê Então olha só a qu - B qu você pode imaginar que você tem um quadrado de lado a e aí você vai e calcula a área dele beleza a área dele seria tudo isso aqui que seria o quê a quadrado beleza aí você vai subtrair dessa área a área de um quadrado de lado B Ah tá eu vou subtrair essa áre Zinha né - B qu isso significa Ah tá então no fundo o

que você vai ter vai ser isso aqui ó Tá bom peguei o quadrado de lado a tirei fora o quadrado de lado B que é esse cara aqui pronto fiquei com esse elemento F Não beleza entendi tá que que cidadão é esse né quem que é esse cara bom veja bem quanto vale primeiro esse pedacinho aqui né isso aqui Vale b e isso aqui também vale B né porque aqui tinha um quadradinho de lado B perfeito esse pedaço que tá aqui De preto né ele vai valer quanto el Vai Valer A - B Você concorda

A - B por quê Porque tudo isso aqui é a e eu tirei B beleza esse cara vale a men B perfeito Opa mas espera aí esse pedaço aqui também vale a- B Você concorda Por quê Porque de novo Olha tudo isso aqui era a você foi e tirou o b Ah tá então esse pedacinho que sobrou vale a men B pô é verdade então eu vou escrever aqui ó esse pedacinho também vale a - b Pô desse modo O que que você poderia fazer você poderia então pegar esse esse carin que tá apareo aqui

embaixo esse retangulo Zinho arrancar ele e conectar ele aqui do lado já que essa dimensão preta tem o mesmo tamanho faz sentido Então olha só o que que você vai fazer ó pam aqui ó você teria esse cara aqui ó vejamos então aqui ó pam vai desenhar bem parecido aqui para você enxergar ó esse aqui é o cara que a gente tinha beleza aqui é o a - b Beleza eu vou só fechar esse cara aqui embaixo mesmo normal aqui ó vamos lá tá bom Aqui ó esse aqui é o nosso cara aqui vale a

beleza esse pedacinho de preto tá aqui ó ele vale a - b Ok então só para você ver esse retangulo Zinho que eu destaquei aqui agora ó esse retangulo Zinho aqui é esse retangulo Zinho aqui tá vendo Ah beleza então tá então as dimensões são a e aqui vale a - b vou botar assim ó a men B beleza OK aí agora esse retangulo que tá aqui eu posso plugar ele né aqui em cima então aqui ó vou plugar ele do seguinte modo aqui Vale b e o E aí depois eu só fecho ele né

ele tava fechado de vermelho não é isso aqui ó p p Então pronto esse carinha aqui ó é aquele retangulo Zinho Você concorda ou não não não entendi não que ó só Arranquei ele aqui e virei ele 90º coloquei ele aqui ó tá vendo Ah tá ele tá ali eu arranquei ele e girei ele por que que eu girei ele para que esse a - b que tá aqui encaixe exatamente aqui por que que eles encaixam porque eles tem o mesmo tamanho que é a men b ah tá pluguei ele ali beleza Olha o que

que isso aqui virou Cara isso aqui virou um retângulo né Quais são as dimensões desse retângulo aqui vale a mais b não é aqui ó a+ b e esse pedaço vale a men b e qual que é a área de um retângulo a área de um retângulo é o produto dos seus lados seria então o qu a + b x a- b sacou a ideia Ah então diferença de quadrados é o produto da soma pela diferença mais uma vez Qual que é o exercício vou colocar nessas mesmas cores aqui né só para PR para manter

essa didática aqui que eu acho que ajuda a gente a visualizar algumas coisas então a diferença de quadrados é o produto da soma pela diferença o que que eu acho cara que você fazer essas visualizações te ajuda algumas coisas tá primeiro como eu disse a geometria analítica ela é essencialmente sobre isso tá sobre você pegar algumas equações meio abstratas tá bom e e e enxergar e atribuir uma visualização geométrica a elas Então acho que esse ser um exercício interessante de de moda Inicial segundo Uma vez eu tava lendo um livro cara sobre neuroaprendizagem e tinha

um estudo lá que mostrava que quando a gente compreende o significado das coisas ou seja à vez eu só olhar para esse negócio com um monte de número esquisito sem significado se eu atribuo e compreendo o significado daquilo isso aumenta eu não vou lembrar o número em três ou cinco vezes o do quanto que você retém ou Lembra daquela coisa então já fica esperto quando eu tô falando de álgebra aqui eu tô falando sim de você saber mexer com letras e tal mas mais do que isso é importante que você compreenda o significado das coisas

porque a coisa por si só pode parecer extremamente abstrata se você entende o que aquilo tá dizendo E por exemplo consegue visualizar aquilo Cara isso vai potencializar demais o quanto que você vai lembrar e reter aquela informação quando você compreende o significado isso vale para tudo tá Física Matemática qualquer outra palavra que você tiver estudando busque sempre compreender o significado e não só reproduzir alguma coisa que você memorizou beleza então tá quando a gente fala de álgebra é você saber produtos notáveis então quadrado a soma quadrado a diferença diferença de quadrados sacou saber também fatorações

ok esse tipo de coisa e e ter familiaridade em mexer com letras Quando eu digo familiaridade em mexer com letras é o seguinte é tipo assim você pega uma equação como essa fala meu Deus que equação esquisita como que eu mexo com um negócio como esse aqui Suponha que seu objetivo seja achar o x né o a é um cara que você conhece e você quer achar o X para muitos a pessoa olha para isso aqui e fala cara isso aqui é grego eu não sei mexer com esse negócio aqui e e qual que é

o o meio de se mexer com um negócio desse tem como tem como e é o que eu vou tentar te mostrar aqui agora então ó vamos lá se liga deixa eu dividir aqui assim ó veja bem Como que a gente trabalharia com uma equação como essa se o nosso objetivo é achar quem que é o x eu faria o seguinte primeiro eu sumiria com com que tem X para um lado da equação então vou deixar tudo que tem x desse lado aqui primeira coisa se fazer é o seguinte ó ISS aqui é uma equação

beleza existe um princípio que diz que se eu tenho uma igualdade eu posso fazer qualquer coisa de um lado dessa igualdade desde que eu faça a mesma coisa do outro lado então por exemplo se eu somar 4 a aqui eu posso fazer isso desde que eu some 4 a do lado de lá faz sentido é verdade as coisas aqui ó elas eram iguais eu tinha duas coisas vou arrancar Fora esse 4 a aqui por enquanto ó eu tinha duas coisas que eram iguais se eu faço uma coisa de um lado adiciono uma coisa do de

um lado continua sendo verdade continua sendo igual desde que eu adicione a mesma coisa do outro é como se fosse uma balança se eu adiciona uma coisa do lado fica desequilibrado mas se eu adiciona a mesma coisa do outro os pesos se equilibram Esse é um princípio básico de manipulação de equações que faz com que por exemplo a gente possa simplificar aqui você vai ter -4 com + 4 Ah tá esse cara já cortou então vai ficar assim sua conta ó X2 menos 6x é igual a Ah tá aí vai ser como se o 4

tivesse passado pro lado de lá trocando de sinal sim entender como é que funciona esse princípio de manipulação de equação também é importante para que você ganhe mais intimidade em saber manipular as equações Pô legal ficou como do lado de lá 5 + 5 a ah é verdade 5 + 5 a tá vendo 5 + 5 a Pô bicho verdade legal que que eu poderia fazer eu poderia por exemplo fatorar o 5 5 que multiplica a + 1 né que que eu tô fazendo é o inverso da distributiva se eu fizer distributiva vou ter o

quê 5 x A 5 A é esse cara 5 x 1 5 é esse cara isso chama fatoração o inverso da distributiva agrupar termos Ah legal então poderia por exemplo fazer isso tô aplicando algumas coisas aqui só para você entender mais ou menos em que que vai ser importante a álgebra é justamente você ter familiaridade e confiança para manipular expressões só com letras Pô legal aqui por exemplo eu poderia tentar usar usar uma diferença um quadrado da diferença Como assim que que você tá falando pensa comigo se eu tivesse a seguinte expressão x - 3

qu o que seria isso é o quadrado do sego - 2 ve o primo x segundo por menos porque um do é negativo né então 2ab então o 2ab é 2 x x x 3 Então seria 6x tá mais o quadrado segundo 3 qu 9 perceba que o que eu tenho aqui é quase isso né né O que que seria bom então seria bom eu fazer aparecer um nove como é que eu faço aparecer um nove agora você já sabe eu somo nove dos dois lados da equação isso uma igualdade qualquer coisa que eu faça

de um lado eu posso desse que eu faço do outro pô com isso eu consigo agrupar esse cara inteiro X2 - 6x + 9 quem que é esse cara é x - 3 qu caceta bicho isso é igual a 5 que multiplica a + 1 + 9 Caramba e agora por exemplo se você quiser descobrir quem que é esse x você pode agora simplesmente tirar uma raiz quadrada dos dois lados da equação Não é esse que é o princípio qualquer coisa que eu faça de um lado eu posso dese que eu faça do outro então

eu venho extraio uma raiz quadrada aqui porque a raiz quadrada de um número ao quadrado é o próprio número né a potenciação e a radiciação são operações inversas umas da outra se eu elevo ao quadrado e tiro uma raiz quadrada eu volto até o número que eu tinha antes Ah tá então pego tiro a raiz quadrada dos dois lados então vai ficar o seguinte ó x - 3 Beleza então tirei a raiz quadrada cortou isso daqui é igual do lado de lá a raiz quadrada daquele cara que é 5 que multiplica a mais 1 +

9 na verdade o x - 3 seria mais ou menos isso né seria mais ou menos essa raiz de modo que o X então você teria dois valores soma três dos dois lados da equação então o três passa pro lado de lá somando o seu x sua resposta é 3 mais ou menos essa raiz aí ra qu 5 a + 1 5 x a + 1 né + 9 e pronto tá resolvida a nossa equação eu sei que para muita gente isso aqui é um negócio totalmente esquisito e totalmente abstrato isso aqui é difícil para

caramba e quando eu falo de dominar a álgebra é exatamente isso isso aqui é um exercicio Zinho de como que você usa por exemplo fatoração produtos notáveis princípios de manipulação de equação para você massagear uma equação e te dar o resultado e e ela te entregar né o resultado que você quer você percebe como que a matemática aqu ela é simplesmente um jogo de manipulação de brincar com as regras do jogo e ir massageando a a equação pela te dar o resultado quando eu digo que você tem que dominar a álgebra para estudar a física

eu tô falando disso de conhecer sim produtos notáveis fatorações mas principalmente ter segurança ter domínio em mexer com letras em resolver coisas esquisitas como essa em pular equações e só com letras ou majoritariamente com letras para que elas te entreguem um resultado beleza e aí um outro elemento que vai ser muito importante dentro da álgebra também é trabalhar com proporção é claro que proporcionalidade né razão e proporção é um conteúdo por si só eu já coloquei ele aqui dentro da álgebra porque no que tan a física é muito importante que você saiba trabalhar e analisar

proporções sem trabalhar diretamente com números e sim apenas com letras então no contexto mais algébrico algébrico de novo com letras sem números exemplo vamos lá imagina que eu tenho a seguinte expressão F = ma essa aqui é a segunda lei de Newton é muito interessante que você tenha a fluência em ler uma equação como essa e entender por exemplo Ah o que que o que que é preciso fazer para que sei lá eu precise do dobro de força num cara então por exemplo se eu olho para uma equação como essa eu percebo que tipo assim

se eu dobro a massa ou seja se eu dobrei o lado direito da equação mantendo a a aceleração constante eu teria que dobrar a força quando isso acontece a gente diz que eu tenho grandezas que são diretamente proporcionais se eu dobro uma eu dobro a outra o o a definição mais matemática né mais correta seria dizer que grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é uma constante mas no nosso contexto da física o l da Razão não vai ser o mais comum o jeito mais comum da gente usar a parada né é mais

comum a gente usar no formato como tá aqui então eu posso dizer por exemplo que mantendo a aceleração constante se por algum Eu tenho um sistema físico que sua aceleração fica constante por algum motivo ao dobrar a massa eu tô dobrando a força sacou a ideia Ah tá ou o mais comum na verdade é oo contrário eu tenho uma particul Zinha Essa particul fazinha ela tem uma massa fixa sacou Ah tá então por exemplo o que acontece se a massa dela é constante O que acontece se eu dobro a força que é feita nela se

eu dobro a força eu vou dobrar a aceleração a gente diz que essas grandezas são diretamente proporcionais força e aceleração se um lado da equação Dobra o outro lado eu ten que fazer a mesma coisa beleza Ah tá um outro exemplo vamos pegar aqui ó a energia cinética que é a energia associada ao movimento então eu tenho uma partícula de massa M se movendo com uma certa velocidade o que acontece por exemplo se eu dobrar a massa dessa partícula se a sua velocidade tiver constante tá a sua energia cinética também vai dobrar se a mesma

coisa que acontece acontece com a energia acontece com a massa a gente diz que as grandezas são diretamente proporcionais Ah legal velocidade também né velocidade que acontece se eu Dobra a velocidade opa pera aí vai ser diferente se eu dobro a velocidade perceba que ela tá ao quadrado 2 A qu dá 4 Então na verdade quando eu dobro a minha velocidade aqui ó se a minha velocidade fica multiplicada por 2 na verdade aqui vai aparecer um 2 qu um fator 4 Ah tá então a energia cinética ficaria multiplicada por 4 perceba então que a energia

cinética não é diretamente proporcional a velocidade porque se eu Dobra a velocidade a emergia cinética não dobra ela quadruplica ah tá eu poderia dizer que a emergência cinética é proporcional ao quadrado da velocidade e não a velocidade em si Ah entendi faz sentido então para ser diretamente proporcional o que acontece com um cara tem que acontecer com o outro cara se a sua velocidade triplicasse vamos ver o que acontecer com a sua energia cinética se a sua velocidade fica três vezes maior aqui vai aparecer um 3 qu que dá no então a sua energia cinética

I ficar nove vezes maior e é muito importante quando a gente fala de física você fazer saber fazer esse tipo de análise com equações físicas enxergar a proporcionalidade entre as grandezas e como que a alteração de uma variável do sistema influencia numa outra sacou que é exatamente o que a gente tá fazendo aqui num contexto totalmente o quê algébrico então aqui eu não tô discutindo Hora nenhuma cara qual que é o valor da velocidade Qual que é o valor da massa qual que valor da energia essas coisas não estão em discussão aqui Você concorda olha

nenhuma gente falou nisso tô só falando Car cara esse cara tá com alguma velocidade que eu sei lá quanto é e de repente essa velocidade ficou quatro vezes maior 4 qu 16 isso vai implicar num aumento de 16 vezes da minha energia Independente de quanto seja a massa a velocidade e a energia então eu tô falando só de comparação relativas entre grandezas o contexto é puramente algébrico só tem letra na jogada sacou A ideia é muito muito muito importante saber fazer esse tipo de coisa quando está falando de estar física Beleza então nesse caso eu

poderia dizer que massa e energia então sei lá a massa ficou três vezes maior isso eu posso afirmar Com certeza que a minha energia cinética fica três vezes maior grandezas diretamente proporcionais que acontece com uma acontece com a outra sacou a ideia Beleza e que que seriam grandezas inversamente proporcionais então por exemplo vou começar com essa aqui potência é igual a tensão ao quadrado sobre resistência a potência dissipada num resistor por efeito ja né então quando eu tenho aqui uma corrente elétrica né percorrendo esse resistor aqui que acontece o eito ja é o é a

transformação de parte da energia potencial elétrica desses portadores de carga em energia térmica o resistor esquenta quando a corrente passa por ele o resistor esquenta parte da energia elétrica é convertida em energia térmica eu posso calcular essa potência dissipada através de algumas equações né Essa é uma delas tensão ao quadrado sobre resistência Então vamos supor que eu esteja falando o seguinte que a tensão é constante igual a sua casa sua casa tem tensão constante 110 V ou 220 a a tensão sendo constante eu posso estudar Então como que é a a como a potência é

afetada pela variação da Resistência perceba que a resistência tá no denominador Então na verdade se eu aumento a minha resistência eu vou est diminuindo a minha potência então por exemplo se eu pegasse aqui ó e dobrasse o valor da minha resistência então eu aumentei minha resistência ela ficou duas vezes maior o que que vai acontecer com a sua potência cara a sua potência ela vai cair pela metade Ah tá por que pela metade porque vai ter um fator dois lá embaixo Ah tá ela vai ser multiplicada por meio então minha resistência dobra minha potência cai

pela metade a gente diz que nesse caso nós temos grandezas inversamente proporcionais duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto delas é constante como assim produto constante a potência cou pela metade a resistência dobrou Ah tá o aumento de um é cancelado pela diminuição do outro sacou Ah entendi por exemplo se fosse sei lá se eu multiplicasse aqui por três a de dois poderia ser isso né então eu peguei uma resistência que é três vezes maior então a resistência triplicou o que que vai acontecer com a sua potência vai ter um fator TRS lá embaixo

então ela vai cair por 1/3 de novo 1/3 que é a minha potência multiplicado por TR que é a minha resistência o aumento de um Cancela a diminuição do outro e o produto fica igual essa definição matemática de grandezas inversamente proporcionais de novo é muito importante que você saiba identificar essas grandezas e entender como que a alteração de uma variável influencia numa outra dentro de uma ação física beleza um outro exemplo que eu coloquei aqui só para ilustrar é por exemplo o campo magnético criado ah por uma espira circular né Cargas em movimento geram um

campo magnético e tal e o campo magnético seria dado por isso aqui m0i sobre 2R né o i é a corrente e o r seria a nossa resistência então Eh desculpa seria o nosso raio né confundir com resistência que tá aqui então seria o raiozinho aqui ó R é o raio dessa espira nesse caso você tá vendo a mesma coisa que o raio é inversamente proporcional ao campo magnético gerado se você aumenta o raio você diminui o campo se o seu raio multiplica por dois o seu campo cai pela metade Ok já por exemplo a

corrente elétrica seria diretamente proporcional ao campo ou o campo seria diretamente proporcional à corrente elétrica então por exemplo se o meu campo ficasse cinco vezes maior isso ia gerar desculpa is minha corrente né ficasse cinco vezes maior isso ia fazer com que o meu campo magnético aumentasse em cinco vezes e por aí vai então o tempo inteiro você perceba que você vai ter esse tipo de coisa em equações físicas eu poderia dizer por exemplo aqui ó que a minha potência elétrica dissipada pelo efeito Jau é diretamente proporcional a tensão não ao quadrado da tensão Ah

tá ao quadrado porque se foros só a tensão dá errado porque se a minha tensão fica três vezes maior minha potência não fica três vezes maior fica 3 Quad nove vezes maior não são grandezas diretamente proporcionais então enfim saber identificar grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais num contexto puramente AL algébrico de somente olhar equações matemáticas que descrevem fenômenos físicos e entender o que que acontece com uma que influencia na outra é um negócio extremamente importante dentro desse contexto algeb então resumindo em álgebra é saber produtos notáveis fatorações ter autonomia e liberdade para mexer com letras

para massagear equações e manipular elas cheio de letra mesmo sem sentir medo beleza e identificar proporções diretas e inversas em equações físicas literais somente com letras perfeito se você domina essas duas cois coisas aritmética e álgebra você já tem meio caminho andado na matemática que você precisa dominar para saber física Beleza então tá Que mais que eu precisaria você precisaria disso aqui da geometria beleza que é o que a gente vai entrar aqui agora quando você fala de geometria tô falando essencialmente de qu cara 80 ou 90% do Lance é geometria plana sacou geometria plana

elidiana A começar por esse camarada aqui que não tem de onde fugir né triângulos retângulos uma das classes mais importantes de figuras geométricas beleza Então deixa eu colocar aqui ó Pitágoras já aparece aqui na hora hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos então assim o que que é importante você saber já já vou entrar também né Tem uma parte que é da trigonometria que fica meio dentro de geometria aqui também então é conhecer muito bem as propriedades de triângulos retângulos né saber manipulá-lo e tal essencialmente quase tudo se resume a a

alguma consequência do teorema de Pitágoras beleza algumas outras coisas importantes em triângulos o triângulo é o objeto mais mais importante geometria plana tá Já já vou te explicar o motivo então el que você tem que entender PR Caramba mesmo Ah uma outra coisa importante é você entender as simetrias contidas em triângulos então por exemplo eu tenho um triângulo como esse não sei se você sabia tá mas é super importante que você saiba se você tem um triângulo como esse aqui olha só que negócio importante você saber aliás vou deixar assim mesmo ó um triângulo que

é isósceles né ele tem dois lados iguais perfeito se você por exemplo traça uma altura aqui nesse triângulo ó que que é uma altura é uma reta aqui ó que faz 90º ali embaixo esse triângulo ele é simétrico se eu traço essa altura o fato dele ter dois lados iguais isso implica que ao traçar essa altura essa altura também esteja dividindo o ângulo ali em cima ao meio então esse ângulo Zinho ele é dividido ao meio sabe como outra consequência desse triângulo se isóceles que essa altura ela também divide essa base em dois pedaços iguais

esse pedaço é igual a esse pedaço de tal sorte na verdade que esse triangulinho aqui ó que aparece aqui na esquerda ó esse triangulinho aqui da esquerda ele acaba sendo idêntico ao triangulinho da direita Então esse é o tipo de coisa importante saber em geometria também entender implicações de certas retas que você traça de certas simetrias contidas então se eu traço uma altura Num triângulo isósceles essa altura também é mediana também divide o lado ao meio beleza essa altura também é bissetriz também divide o ângulo lá ao meio o outra informação que talvez serja importante

que eu deixei de colocar aqui né o fato do Triângulo ter dois lados iguais isso implica que seus ângulos opostos são iguais Então esse triangulinho é igual a esse anguzinho e a perceba aqui de novo o que que apareceu aqui ó apareceu um triangulinho retângulo e o estudo esse cara ia cair no estudo de quem do triângulo retângulo que é essencialmente o teorema de Pitágoras então entender essas simetrias entender certas construções geométricas também é um negócio super importante em geometria principalmente dentro de triângulos beleza aí agora vou fazer um negócio mais geral que é o

seguinte tem um triângulo geral aqui ó Quais são as coisas mais importantes que você precisa saber então tem um triângulo de lados a b e c ângulos alfa beta e Gama cara os fatos mais relevantes é Qualquer que seja o triângulo Porque até então eu tava falando aqui em cima de um triângulo retângulo aqui eu citei uma propriedade de simetria de um triângulo isóceles e tal mas de modo geral e o que é importante é que você entenda coisas que valem para absolutamente qualquer triângulo que é esse cara um triângulo super geral beleza que que

é importante ol primeira coisa Qualquer triângulo a soma dos seus ângulos internos vai valer 180º ou pi radianos beleza mais uma informação saber calcular a área de absolutamente qualquer triângulo como é que você calcula a área de um triângulo da seguinte forma eu posso eu tenho que escolher Algum cara para ser minha base então Digamos que esse cara aqui é a base C beleza base beleza vezes a altura qual que seria a altura relativa a essa base C seria essa daqui ó eu vou traçar uma reta que sai do vértice oposto e é perpendicular Ah

tá isso aqui seria a nossa altura então isso aqui cara serve para qualquer triângulo base vezes altura dividido por 2 calcula a área de absolutamente qualquer triângulo eu posso escolher qualquer cara como base se a minha base for B quem que seria a minha altura seria esse cara aqui eu vou até escolher a base como sendo B pra equação ficar mais bonitinha né B de base né então aqui ó se eu escolho a base como sendo B quem que é a altura relativa aquela base se essa aqui é a base a altura é o cara

que sai do vértice oposto e é perpendicular beleza a base Então essa aqui seria a sua altura Beleza então deixa eu jogar aqui ó esse uloz Gama vou botar ele aqui fora beleza só para não ficar muito esquisito Beleza tem outras equações que sempre valem tá para você calcular a área de um triângulo por exemplo tem uma que é muito útil que é o seguinte pega quaisquer dois lados por exemplo B e C você pode calcular área de um triângulo fazendo pro produto desses dois lados vezes o seno do ângulo entre eles dividido por 2

então eu pego b x c multiplico dois lados multiplico pelo Seno do ângulo entre eles e divido por dois o que que é um seno nós vamos chegar lá já já também é uma equação que vale para absolutamente qualquer tipo de triângulo Então tô falando de leis gerais sobre triângulo calcular então saber sobre ângulos internos Calcular área de absolutamente qualquer triângulo e eventualmente pode ser importante você saber calcular lados de triângulos né que é o que a gente chama de lei dos cossenos né é uma equação que também vale para qualquer tipo de triângulo a

lei dos cossenos ela serve para quê a lei dos cossenos ela serve pro seguinte Suponha que você conhece dois lados de um triângulo A e B esses dois caras são conhecidos e você conhece o ângulo Entre esses lados que seria o ângulo Gama aqui então então esse cara ele é um cara conhecido por você a lei dos cossenos te possibilita descobrir quem é o terceiro lado dá os dois lados de o ângulo como que funciona a lei de centes é o seguinte ó o lado desconhecido ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos outros

dois lados menos duas vezes o produto desses lados vezes o cosseno do ângulo entre eles de novo seno e cosseno é um negócio que a gente vai chegar neles daqui a pouquinho Beleza então de modo geral se você sabe essas três coisas você sabe tudo sobre qualquer triângulo Beleza você sabe Calcular área de qualquer triângulo você sabe trabalhar os ângulos de qualquer triângulo e você sabe calcular qualquer comprimento um lado de um triângulo e tal de um triângulo genérico inclusive o teorema de Pitágoras pode ser visto como uma um caso particular disso porque se esse

ângulo for de 90º não sei se você sabia a gente vai discutir já já o cosseno de 90º é zero tá se o cosseno é zero O que que significa que essa expressão inteira aqui vai pro brejo que que sobra hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados Cates Então esse cara aqui é o cara mais geral sacou ele é tipo o teorema de Pitágoras estendido para triângulos que não necessariamente são retângulos de modo geral se você sabe essas três coisas Você sabe meio que tudo sobre qualquer tipo de triângulo beleza aí você me

fala cara tá mas que mais tem que saber bicho se você sabe muito bem sobre triângulos você sabe o coração da geometria sabe por quê Porque de modo geral a geometria inteira se resume a triângulos porque absolutamente qualquer figura geométrica que você pensar Pensa num polígono pode ser um hexágono um pentágono o que você quiser você estudar ele você pode simplesmente dividir ele em triângulos tá aqui ó quero calcular a área desse polígono Beleza você calcula a área desse triângulo calcula a área desse triângulo calcula área desse triângulo acabou ah eu quero calcular um sei

lá um lado de um de um de um de um de um polígono desse Beleza você pode usar leitos cossenos nesse triângulo alguma coisa assim sacou então Tudo se resume triângulos o mais comum na verdade quando a gente pega um polígono como esse é dividir em triângulos da seguinte forma né Se for um polígono regular né a partir do seu centro mas enfim você entendeu aqui eu poderia dividir em triângulos então isso aqui é uma outra divisão em triângulos então tenho cinco triângulos iguais nesse caso 1 2 3 4 5 quero calcular a área desse

polígono cara consiste em calcular a área desses triângulos sa bom então meio que tudo se resume a triângulos quando você fala de geometria plana por isso que esses caras são tão importantes qualquer figura geométrica você consegue quebrar ela em vários triângulos e entender a estrutura dessa figura geométrica a partir dos estudos de triângulos então importân desses caras inclusive vou te contar um negócio não sei se você sabia o Arquimedes cara Arquimedes de siracusa não sei se você sabia ó Arquimedes cara esse cara aqui é um dos maiores gênios que já pisou na face da terra

o nome do cara inclusive significa isso né isso aqui vem de arqué arqué que é princípio né e medes medes vem de medos que significa mente esse cara aqui é a mente do princípio ou a mente principal o por nome do cara já carregava o peso de quem era o cidadão o Arquimedes cara ele conseguiu calcular a área de um segmento de parábola sabe que é uma parábola A gente vai chegar nela já já também vai ser importante tá uma função de segundo grau tá ligado ah tá uma parábola tá aqui pega e traça uma

reta aqui isso aqui é que a gente chama de um segmento de parábola você fala Putz o negócio faz curva como é calculada essa porcaria sabe como é que o arquimédico calculou dividindo esse negócio em triângulos então Mentira aqui ó ele pegava e sapecava um triangulinho aqui aí ele vinha Calculava essa áre Zinha Ah mas tá faltando e o resto lá embaixo aí o resto lá embaixo Será que ele fazia Opa perdi tudo aqui então pá pá tá aqui um triangulinho Calculava a área desse triangulinho e tal beleza e a parte de baixo aí a

parte de baixo aqui ó ele vinha e quebrava num outro triangulinho aqui tá vendo calcula a área desse triangulinho Ah beleza E esse tiquinho que sobrou aqui mesma coisa ele vem quebra num outro triangulinho e por aí vai ele foi quebrando em vários triangulo zinhos esse negócio e desenvolveu um método para calcular a área de uma parábola cara de um segmento de parábola usando o quê triângulos cara triângulos daí você vê então mais uma vez só para citar a importância dos triângulo se você entende esses caras qualquer outra construção geométrica você pode Picota e estudá-la

estudá-la né a partir de triângulos então essencialmente isso aqui é é o coração da geometria saber triângulos a única figura geométrica que que talvez fuja um pouquinho e e desse desse possível caminho de quebrá-lo em triângulos e isoar a parte de triângulos é o círculo até dá para você fazer isso mas aí você tem que mexer com infinito e tal e fica meio esquisito eh mas sim você ainda consegue estudar ela a partir de triângulo se você quiser tá mas não é o mais comum aqui principalmente a nível de Ensino Médio Então são duas coisas

importantes a tem saber sobre o círculo ou a circunferência né quando a gente diz circunferência a gente tá falando só do Contorno então é desse cara aqui cujo o perímetro né ou o comprimento o comprimento de uma circunferência isso aqui é importante que você saiba é 2 PR R Opa 2 PR R em que o raio é isso aqui ó a distância do centro da circunferência até um ponto Qualquer de sua extremidade beleza e aqui seria o o círculo em si seria a parte interna né o disco at tá circunferência é o contorno círculo é

a parte interna e a parte interna então tem uma área e a área de uma circunferência também é um cara importante que você conheça pi R qu de modo geral tá as propriedades de circunferência e tal isso dá tor circular algumas coisas assim um pedaço de uma circunferência ângulo na circunferência também são coisas importantes coloquei essas duas aqui que são as mais relevantes só para ressaltar e para além de triângulos talvez a única coisa que destoria um pouco de triângulos é o estudo da circunferência e do Círculo então sabendo bem esses caras você já tem

uma boa base de geometria paraar física Você vai precisar saber só de um outro cara que é também uma continuação do estudo de triângulos de algum jeito que é o estudo da trigonometria né é de algum jeito uma parte da geometria né o trig vem de triângulos né então é um estudo mais específico de geometria de triângulos né Por exemplo a gente tá falando o quê então a gente já vai começar aqui enunciando aqueles caras não tem muito como fugir deles não então vou pegar aqui ó um triângulo retângulo Vou colocar aqui um ângulo teta

Digamos que esse lado aqui vale a que esse lado aqui Vale B E que esse lado aqui Vale C então é entender e saber manipular as razões trigonométricas Num triângulo retângulo que seriam quem seriam esses caras aqui que você conhece ó o seno de teta ele é definido como sendo a razão entre o cateto oposto a teta beleza que seria b e a sua hipotenusa O que é importante que você saiba é o que que esses caras significam sacou da onde que eles vêm por que eles são definidos e construídos senão fica um negócio muito

abstrato eu poderia reescrever essa expressão se você preferir para aqueles né cuja religião não permite o uso de denominadores eu posso colocar isso aqui da seguinte forma B ig a x seno de teta Pode ser então eu só multiplico por a os dois lados da minha equação eu deixo ela nesse formato aqui eu acho isso aqui um formato mais interessante já já eu vou te explicar o motivo em física pelo menos vai ser muito interessante esse formato o cosseno de teta ele é definido como sendo Opa a razão entre o cateto adjacente a teta então

perceba eu tenho três caras quando eu falo de um triângulo retângulo a hipotenusa é o cara oposto ao ângulo de 90 e aí quando eu especifico um ângulo eu tenho o cateto oposto a ele Ah tá eu tenho o cateto que tá colado com ele adjacente aquele ângulo Beleza o cosseno de teta é definido como sendo a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa e mais uma vez eu posso só reescrever isso aqui do seguinte modo né Para aqueles cuja religião não permite o uso de denominadores o cateto adjacente ele vai ser a que

é a hipotenusa vezes o cosseno de teta vezes o cosseno de teta beleza e eu poderia também aqui definir a tangente vou até colocar né mas do ponto de vista físico a tangente vai ser um pouquinho menos importante do que o seno e cosseno e na verdade a tangente ela é simplesmente o seno dividido pelo cosseno né então a trigonometria mesmo se resume é isso aqui cara seno e cosseno a tangente é a razão entre esses dois caras ou seja o coração da trigonometria é o seno e cosseno mas vou colocar aqui a tangente só

pra gente recapitular a tangente é cateto oposto pelo adjacente é b so C Ah tá é b so C cateto oposto pelo adjacente que se você dividir essa expressão por essa expressão você vai constatar que a tangente ela é o seno sobre o cosseno beleza mas como eu disse os caras essenciais pra gente vão ser esses caras tá em que contexto que isso vai ser relevante por exemplo na física cara o tempo inteiro a gente vai usar isso aqui por exemplo imagina que eu peguei aqui eu tenho uma bolinha eu acabei de pegar e lançar

essa bolinha aqui com uma certa velocidade v0 tá bom ah tá eu peguei e lancei essa bolinha com uma certa velocidade Ah tá eu poderia Alguém poderia perguntar cara quanto tempo demora para essa bolinha chegar no ponto mais alto da sua altura né E aqui ó ela vai descrever um movimento que é um arco de parábola e tal movimento que a gente chama de lançamento oblo Mas enfim o grande Lancia é se você quiser saber quanto tempo demora para ela chegar no ponto mais alto o que você vai est interessado é em estudar essa parcela

aqui vou chamar de vy né a componente vertical da sua velocidade e se você quisesse estudar Qual que é a distância horizontal total que ela percorre você vai est interessado em usar isso aqui qual que é a componente horizontal da sua velocidade que vou chamar aqui de vx Ah tá então isso aqui o que a gente chama de princípio da independência dos movimentos de Galileu né todo movimento pode ser decomposto em duas direções perpendiculares que são independentes Ah tá então de modo geral eu vou o tempo inteiro querer fazer isso dado uma velocidade e um

ângulo de lançamento eu vou querer descobrir o quê o b e o c os catetos as componentes desse vetor velocidade como que eu descobriria bom tá aqui o vy é o seu B Ah tá então o v Se a gente fosse escrever ele ia ser o quê ele ia ser o v0 a sua hipotenusa eleia seu v0 a sua hipotenusa vezes o seno de teta então em alguma medida eu gosto de enxergar seno e cosseno como sendo projetores Então olha só eu tenho uma velocidade v0 se eu pego ela e multiplico pelo seno de teta

ele vai me dar essa projeção aqui essa componente de teta Ah tá agora pega esse v0 imagina que eu tenho aqui ó uma uma luz beleza iluminando aqui ó de cima para baixo esses caras beleza Qual que é a sombra desse esse v0 Qual que é a projeção desse v0 no chão vê se concorda cara a sombra desse v0 vai ser dada por esse segmento aqui Ah tá então o cosseno de teta ele me projeta o v0 na horizontal Ah tá então olha só que interessante se eu pego o v0 olha que legal se eu

pego o v0 e multiplico ele pelo cosseno de teta o que ele vai me dar é um pedaço é uma parcela é a projeção de v z0 na horizontal Então vou até escrever isso aqui ó se você quiser o vx a componente horizontal de Vel idade Isso aqui vai ser igual a v0 que é a sua hipotenusa vezes o cosseno de teta Então nesse sentido eu gosto de pensar em seno e cossenos como projetores Então eu tenho uma velocidade eu quero decompor ela quem que decompo para mim é seno e cosseno o seno vai me

dar a projeção aqui ó vertical e o cosseno vai me dar a projeção horizontal desse vetor e eventualmente a gente vai querer decompor ou projetar vetores força vetores de velocidade e um monte de coisa então daqui você já vê de onde é interessante você entender de tr ometria porque do ponto de vista físico Isso vai acontecer muito eu tô puxando uma caixa nessa direção eu quero saber qual que é o Puxão na direção horizontal quem que faz isso quem que pega um cara e projeta ele numa direção é C cosseno sacou C cosseno são os

projetores por isso que esses caras vão ser muito importantes então de modo geral é muito importante você saiba seno cosseno tangente de 30 45 60 aqueles caras clássicos mas mais do que só decorar aqueles valores é importante que você entenda o que que seno e cosseno fazem e saiba manipulá-los porque isso aqui vai ser importante para caramba em vários contextos da física daí também vem uma importância para particular que é de você conhecer pelo menos um pouquinho do ciclo trigonométrico Lembra que eu te falei que seno e cosseno são projetores veja que interessante Então eu

posso pegar esse aqui é um ciclo de raio um o chamado ciclo trigonométrico Ok deixa eu destacar aqui então Ó é uma circunferência cujo raio vale um aí eu defino um par de eixos cartesianos x y mesmo com centro na origem com origem desculpa no centro da minha circunferência e a gente começa a contar ângulos a partir daqui então por exemplo posso pegar e marcar esse ângulo aqui então vou ter um pontozero trigonométrico ele é uma ferramenta de estudar senos e cossenos Por que que ele é uma ferramenta de estudar senos e cossenos Olha que

interessante veja bem eu defini aqui ó um ângulo de abertura né O que que seria por exemplo o cosseno de teta pela definição que a gente colocou ali o cosseno de teta seria o cateto adjacente que é esse pedacinho azul que eu vou chamar de X beleza x dividido pela minha hipotenusa só que a minha hipotenusa Vale 1 x dividido por 1 é simplesmente x ou seja aqui eu acabei de concluir que o X Ele é o próprio cosseno de teta ou seja essa projeção ela me dá o próprio cosseno então quando eu tenho o

ciclo trigonométrico é comum a gente dizer que esse eixo aqui que o o eixo X Ele é na verdade o eixo dos cossenos e o eixo Y ali se você fizer uma análise semelhante ele é o eixo dos senos então num num cara como esse na circunferência trigonométrica se eu pego um ângulo qualquer e projeto esse cara na direção vertical eu vou ter o seno daquele ângulo se eu projeto esse ângulo qualquer na direção horizontal eu vou ter colocar aqui ó o cosseno desse ângulo tá aqui ó esse cara seria o cosseno de teta cosseno

de teta Ah então a gente diz que é o eixo dos cossenos e dos senos e aqui você pode construir seno e cosseno de qualquer ângulo que você quiser inclusive de ângulos maiores do que 90 e tal que nem estão dentro de um triângulo retângulo mas a o negócio fica um pouquinho mais abstrato de modo geral é importante que você conheça minimamente o ciclo trigonométrico e saiba mexer com ele para você calcular quanto que é o seno de 120º né e tal baseado no seno de 60 algumas coisas assim então esse cara é super importante

para decomposição de vetores para fazer projeções e tal senos e cossenos são ferramentas super importantes na física e não é a coisa mais importante de todas mas é razoavelmente interessante que você Também saiba e como que é a função seno e a função cosseno do ponto de vista mais matemático aqui eu tava estudando do ponto de vista mais geométrico né senos e cossenos enquanto operadores matemáticos que projetam coisas e tal que decompõem coisas né Mas também você pode dar o seno e cosseno como uma função matemática né então você pode pegar e eh um seno

é um cara que faz um negócio assim ó fica oscilando né aqui ó Opa aqui ó a função seno e a função cosseno também tá as duas são funções matemáticas que ficam limitadas entre 0 e 1 já vou explicar essa limitação aqui vamos lá p beleza elas ficam oscilando por exemplo ess aqui seria uma função e já vamos entrar em funções também que é a última parte Nossa FX igual a Sen x as duas funções seno e cosseno vou desenhar as duas aqui elas são funções periódicas ou seja se repetem Ok e são limitadas entre

zero e 1 O que é fácil de ver até aqui porque se a minha circunferência tem raio um Qual que é o maior valor pro cosseno é um aqui e o menor é -1 do lado de lá ah tá como seno e cosseno são caras que estão confinados aqui dentro se tá confinado é no máximo um e no mínimo men-1 no máximo um e no mínimo os1 Ah tá seno e cosseno são projeções dentro de um círculo de raio um né então não tem muito para onde correr não beleza é uma função que é limitada

perfeito como é que seria o gráfico do Cosseno Ah tá aí você pode até pontuar aqui algumas coisas ó quem que seria aqui ó esse cara quando o seno assume valor máximo seria no ângulo de 90º Pi so 2 aqui quando seno z0 seria pi aqui seria 3 pi so 2 e aqui seria 2 Pi 2 pi esse cara aqui é importante por qu ele é o período da minha função a partir daqui a coisa só se repete ó subi desci cheguei Lem cim Beleza você pode ver que daqui pra frente é cont control c

control V pá pá e por aí vai a coisa só se repete então 2 pi é o período da minha função seno e se quiser saber que que é uma função cosseno é igualzinho uma função seno só que deslocada de pi sobre 2 imagina que eu pego esse cara e arrasto ele de Pi so 2 para cá ou seja esse máximo que tava aqui em pi so 2 agora ele vai aparecer aqui no zero Ah tá então a sua função cosseno vai ser simplesmente isso daqui P deixa eu dar um um cortezinho aqui p Opa

isso aqui viria a ser a sua função cosseno perceba que ela fica defasada por exemplo quando a função seno assume o maior valor a minha função cosseno zera Ah tá quando a minha função cosseno assume o maior valor a minha função seno zer n elas são funções defasadas de Pi so 2 é o mesmo gráfico mas arrastar de Pi so 2 isso sempre acontece de fato para você for ver aqui ó quando o seno assume valor máximo que é um Qual que é o valor do Cosseno que é a projeção é o zero tô aqui

no zero Ah tá então o próprio ciclo trigonométrico te possibilita visualizar um pouco desses gráficos é mais ou menos interessante você entender essas oscilações até porque tem alguns movimentos na física que vão seguir esses caras então por exemplo o MHS movimento harmônico simples é um movimento oscilatório né a velocidade a posição dessa partícula tipo um pêndulo Zinho oscilando né eles descrevem e e senos e cossenos né a variação da velocidade a variação da posição se eu for gerar uma onda ondas que a gente costuma gerar né são a partir de movimentos harmônicos simples senos e

cossenos né oscilando aqui e tal gerando ondas então pro estudo de ondulatória de movimento harmônico simples é um pouco importante conhecer esses gráficos de senos e cossenos entender como é que funciona a oscilação desses caras entendendo isso a gente tem aqui as ferramentas de geometria necessárias para conseguir estudar a física então em geometria a gente tá falando de triângulos de modo geral entender tudo sobre triângulos Porque qualquer outra figura geométrica você consegue quebrar em triângulos o Archimedes conseguiu fazer isso até com uma parábola irmão Então imagina que miséria que não dá para você fazer com

triângulos e de modo geral também saber sobre circunferência e aqui meu querido vamos de fato pra última parte o último bloco que você tem que dominar que é o bloco das funções no fundo no fundo tudo em física meu amigo é função que que vem a ser uma função é um tipo específico de relação entre números entre conjuntos então por exemplo eu posso ter um bloco de números aqui um conjunto de números a vou colocar alguns números aqui ó 1 2 3 e eu tenho um outro bloco de números B que eu vou ter outros

números Associados a ele sei lá pode ser aqui ó 1 4 Ah e seis sei lá e eu posso montar uma relação entre os números do conjunto A e os números do conjunto B Então tá aqui ó então o número um ele é conectado relacionado com o número um do lado de lá o número dois aqui é conectado com o número quro do lado de lá o número três é conectado com o número se do lado de lá e por aí vai se esse cara satisfizer então esse cara F é uma função do conjunto A

no conjunto B se ele satisfaz certas propriedades específicas que não vem muito ao caso aqui é um pouco técnico demais né E aí tem que para todo x que existe em a exista um único X contido em B tal que Mas beleza isso não é muito relevante não O Grande Lance é é importante que você tem a intuição do que que significa uma função uma relação entre entre conjuntos de números né e eu acho que talvez a a a a ideia mais intuitiva que eu gosto de ter de funções aqui é o seguinte é uma

função enquanto uma máquina O que que é uma função cara é uma máquina que recebe um número de entrada faz umas operações matemáticas com ele e te Costa um número de saída então por exemplo essa minha máquina aqui ela recebe o número dois número de entrada é o número do conjunto Inicial conjunto de entrada o domínio da minha função né então é por exemplo o número dois aí ela pega esse número dois aqui essa função tem uma regra matemática que faz certas contas com o número dois e te Costa um resultado nesse caso se o

número de entrada for dois o número de saída O resultado é o quatro Alguém poderia até dizer ah essa função na verdade a conta que ela faz é multiplicar por dois né É o seguinte ó o número b a gente costuma chamar aqui de y os caras de saída e de X os caras de entrada né Eh o x são os números do nosso domínio e o y os caras da nossa nossa imagem ou contradomínio que não são nem a mesma coisa mas são coisas parecidas a diferença entre elas não ver o caso não alguém

pode dizer que essa função é o seguinte é y ig a 2x né pode ser tá com cara de que é isso né de fato aqui ó eu recebo o número 1 ah não não é 2x não ó aqui no multiplicou por dois ah é verdade então a função é um pouquinho diferente disso vale para esses dois caras aqui ó se eu recebo dois eu dobro ele te devolvo quatro se eu recebo três eu dobro ele devolve seis mas se eu recebi o um eu não dobrei Ah então o negócio Talvez um pouquinho diferente né

pô perfeito então ou seja tá beleza Não quero descobrir qual que é equação matemática essa função mas você entendeu essa função ela tem uma lei matemática por trás dela mas ela é basicamente uma máquina que recebe números de entrada faz tem uma regra matemática que ela faz operações e te devolve um número de saída Isso é uma função é importante você entender a intuição por trás da função eh de fato o que que é uma função é muito importante que você enxergue relações matemáticas como funções né agora a pouco a gente tava aqui ó nesse

mesmo contexto Ó você pode chegar is como uma função cara a função força é o quê ela recebe a massa recebe por exemplo a aceleração multiplica os dois caras e pum te Costa uma força Ah tá então você pode enxergar isso aqui como uma função se você quiser então é interessante que você entenda que é função e começa a enxergar diversas relações físicas como funções porque tudo absolutamente tudo é função ponto beleza e é interessante também que você consiga visualizar o gráfico de uma função né então você tem x que são os números de entrada

Y que são os números de saída você pode traçar um plano cartesiano x y e tal né um plano aqui perpendicular eixos ortogonais perpendiculares e você pode visualizar graficamente essa função ou seja que significa visualizar graficamente Essa função para cada x que você tem aqui de entrada você vai ter o quê um valor Y de saída um valor Y de saída tá aqui Ah tá E aí para cada parte XY para cada ponto XY você traça um ponto e você sai você você localiza um ponto né que é a relação desse x com aquele Y

Ah tá e se eu junto todos esses pontos eu vou ter uma curva essa curva descreve o gráfico da minha função que a gente diz né Pô então saber interpretar graficamente funções relações matemáticas também é super importante então de cara quando a gente fala de função entender o que é função sacar intuitivamente o que isso significa enxergar as coisas sobre a ótica das funções e tal e enxergar graficamente Essas funções também E além disso tem algumas funções muito importantes tem algumas outras além dessas né função modular função logarítmica e exponencial que são importantes mas de

longe de longe de longe as mais importantes são a função do primeiro grau e do segundo grau a função do primeiro grau é essa aqui é F Dex = a Ax + B qual que é o lance aqui então ela recebe entenda que A e B são números que você conhece tá de novo é a álgebra aqui é tudo literal só tem letra mas A e B são os caras que a gente conhece X é a nossa variável essa função recebe um valor de X multiplica ele por a soma com b e te cospe um

resultado beleza que que é uma coisa importante de você entender aqui então numa função como essa aqui primeira coisa importante eh esse a chamado coeficiente angular é o é o cara mais importante dessa função aqui esse numerozinho aqui ó coeficiente angular ele por exemplo se a sua função for crescente Beleza é porque o seu a é positivo seu coeficiente angular é positivo se a sua função for decrescente é porque o seu a o seu coeficiente angular ele é negativo Beleza se eu tenho por exemplo primeira coisa então já né o gráfico de uma função no

primeiro grau é uma reta crescente se o é positivo decrescente se é negativo mas só decorar é importante você entenda Você sabe dizer o porquê por que que um A positivo quer dizer que a reta é crescente Por que um a negativo quer dizer que ela é decrescente entender essas coisas vai ser super importante PR você ter mais segurança na manipulação delas isso aqui também é importante ó que que significa esse ponto de interseção entre as retas é a solução do sistema linear formado pelas duas equações de primeiro grau por exemplo imag que eu tenho

aqui ó 2Y + 3x = 4 Beleza vou até deixar esse aqui que vai ser legal vou botar aqui como se fosse a função roxa então aqui ó é 2Y - 5x = 8 e eu vou ter uma outra equação que é da do cara de Cinza então por exemplo y + x = 3 O que que significa você resolver esse sistema de duas equações e duas incógnitas né resolver esse sistema linear do ponto de vista geométrico cada equação dessa aqui eu poderia escrevo nesse formato né Y = Ax + B cada equação disso aqui

é uma função do primeiro grau é uma reta Ah tá esse aqui é uma reta esse aqui é outra reta E aí existem existe um ponto pode ser mais de um Claro né mas nesse caso que eu desen aqui né tem um ponto de interseção entre essas retas resolver esse sistema linear é encontrar que ponto é esse é saber qual é o ponto de interseção entre essas retas Pode ser que esse sistema não tenha solução Pode ser que as duas retas sejam paralelas então o sistema é impossível Pode ser que as duas retas sejam a

mesma reta Então o sistema tem infinitas soluções e por Aí vai então é interessante que você saiba um pouco dessas coisas né saiba sobre funções mas saba de novo interpretar pegar uma equação algébrica é o que a gente tava fazendo agora a pouco quando a gente for de álgebra pegar uma equação algébrica e entender o que queo significa geometricamente num plano at essa intuição é super importante beleza então isso aí vai ser um Lano importante para caramba eh beleza E se eu pego por exemplo duas funções desse jeito aqui ó pá e pá as duas

tem o mesmo a porque as duas t a mesma inclinação tá isso é importante também o a ser positivo negativo influencia não só em ser crescente ou decrescente mas o valor de a te fala sobre a inclinação da reta Então por exemplo se eu traçasse duas repas aqui ó uma função um e uma função dois tá aqui ó função dois e função um eu poderia te dizer que o coeficiente angular da função 1 ele é maior que o coeficiente angular da função 2 Beleza o a é o coeficiente angular como é que eu sei o

coeficiente angular é maior porque o coeficiente angular tá relacionado com a inclinação por quê cara entender isso aqui é o coração das funções é o coração de de qualquer função entender sobre taxa de variação Esse a é o cara que relaciona a taxa de variação de Y com x eu não vou entrar em detalhe aqui porque o vídeo já tá extenso para mas por exemplo compreender isso é o coração do estudo de qualquer função confia no que eu tô te falando então tá sobre função do primeiro grau a gente tem mais ou menos essas coisas

aí e a outra função importante é a função do segundo grau fx = ax2 + BX + C de novo entenda que a b e e c são números conhecidos tá são números que a gente sabe quais são Beleza o x aqui é a nossa variável Então essa função recebe um valor de X eleva ele ao quadrado multiplica por a depois pega o x multiplica por C soma essas duas coisas ainda soma com outro número C ali e te dá o resultado final é isso que é uma função do segundo grau beleza quem que é

esse cara a função de segundo grau o gráfico desse negócio tá é dado por uma parábola tá bom é um negócio mais ou menos assim ó e essa parábola você tem duas opções ela pode ter concavidade para baixo para cima desculpa que é o primeiro cara ou para baixo quem vai influenciar isso é esse cara aqui ó esse aqui é o cara importante se o a for positivo a concavidade da parábola a boca da parábola né É para cima se o a for negativo a concavidade da parábola a boca da parábola é para baixo então

ess já é um cara super importante né o gráfico desse cara de uma função de segundo grau é uma parábola aquela mesma ali que o Arquimedes cadê cadê cadê calculou a áre Zinha do segmento dela caramba o Arquimedes chama negócio complicado é ser aí né sim complicado então aqui no caso é importante sa fazer o quê é importante que você entenda uma função de segundo grau entenda algumas propriedades dela entenda sobre a concavidade alguma coisa do tipo algumas grandezas físicas por exemplo a distância no movimento acelerado é descrita por uma função do segundo grau agora

uma parada super importante também de você conhecer essa Car o seguinte então aqui eu tenho uma função de segundo grau qualquer beleza primeiro é importante saber achar isso aqui ó as raízes você sabe localizar esses caras Quais são as raízes de uma função do segundo grau Deixa eu botar aqui ó p e p as raízes de uma função do segundo grau você calcula Como é o báscara né as raizes de uma função do segundo grau são as soluções da equação do segundo grau é quando ax2 + BX + C dá zero raiz é quando o

y zera né quando a função zera raízes ou zeros de uma função se é igual a zero eu vou ter uma equação do segundo grau e se eu usar lá a fórmula de básica o X é - b mais ou menos raiz Delta que é B2 - 4ac so 2aer as raízes aqui é o X1 né que é solução negativa is igual X2 Ah tá é isso aí E olha que louco se você fizer a média aritmética entreessas raízes Olha que legal uma parábola ela sempre é simétrica tá bom em relação ao seu eixo de

simetria o que que é o eixo de simetria né é um eixo vertical nesse caso aqui que passa pelo ponto de mínimo de uma parábola ou ponto de máximo uma parábola sempre tem um ponto ponto mais baixo ou um ponto mais alto Depende se a concavidade é para cima ou se é para baixo Mas beleza de modo geral eh a parábola Então ela é de modo geral sempre né a parábola ela vai ser simétrica em relação a a esse seu eixo de simetria se ela é simétrica significa dizer por exemplo que essa distânci zinha aqui

é igual a essa distânci zinha aqui ou seja se você fizer a média aritmética das raízes X1 e X2 você vai ter o quê bem esse ponto aqui que tá no meio do caminho e esse ponto é super importante porque ele te dá aqui quem que é quais são as coordenadas do vértice da sua parábola o vértice é o ponto mais baixo ou ponto mais alto então aqui você vai ter quem que seria o x do vértice e esse aqui é um cara importante ah é verdade o x do vértice de uma parábola pode fazer

esse exercício aí faz a média aritmética das raízes você vai achar esse cara - B So 2ao isso aqui também é uma coisa que eventualmente é importante quando você tá falando de uma parábola localizar Qual que é o ponto mais baixo ou qual é o ponto mais alto de uma parábola de uma função do segundo grau é descrito por essa expressão vários problemas de física também vão exigir que você saiba calcular isso e quem que é o y do vértice poderia calcular também mas esse cara é fácil né porque isso já tenho quem queer o

x do vértice basta eu jogar aqui o valor dele que eu acho o y então eu acho meio desnecessário você saber quem é o y e aí com esse blog então sobre funções a gente tem o Quarto e último bloco nosso importante e de toda matemática que você precisa dominar para conseguir desenrolar bem na física né nesse caso aqui então entender bem funções suas relações matemáticas suas intuições e seus gráficos e em partir cular as funções do primeiro e do segundo grau e com isso meus amigos a gente tem esse mapa completo de absolutamente toda

a matemática necessária de você compreender para estudar bem física e quando eu digo estudar bem física tô falando aqui no nível de Ensino Médio regular Enem qualquer outro vestibular se você dominar tudo isso aqui você está bem satisfeito se você quiser dominar a matemática necessária PR ajar física por exemplo no nível do Ita do im aí vai ter bem mais coisa muito mais trigonometria uma temática muito mais pesada e que se você quiser conhecê-la dá uma olhada no nosso canal focado em Provas militares se curtiu Esse vídeoo me conta aí e até a próxima