Decomposição de Vetores em duas Dimensões - Aula 1 - Mecânica dos Sólidos

o olá pessoal hoje daremos início a nossa série de aulas do curso básico de mecânica dos sólidos essa série tem um total de 20 aulas distribuídas em três blocos hoje iniciaremos o bloco um que vai tratar da estática das partículas em duas e três dimensões objetivo de aprendizagem da nossa aula de hoje em discutir o processo de decomposição de vetores em duas dimensões eu me chamo francinaldo e sejam todos bem vindos a essa nossa primeira aula 1 e aí o olá turma a nossa aula um vai tratar da decomposição de vetores em duas missões antes

e nós iniciarmos a resolução de um problema e vai tratar este objetivo de aprendizagem vamos aqui falar sobre o que é uma grandeza física uma grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido e as grandezas físicas elas podem ser de dois tipos as grandezas físicas podem ser do tipo escalar ou vetorial professor qual a diferença entre uma grandeza física escalar e uma grandeza física vetorial as grandezas físicas escalares para que elas fiquem perfeitamente definidas basta um valor numérico mais uma unidade de medida e enquanto que as grandezas físicas vetoriais para que fiquem perfeitamente definidos

é necessário módulo ou seja intensidade-magnitude direção e sentido vale a pena falar um pouquinho sobre o que é a direção e o sentido olha só basicamente nós podemos pensar que nós podemos ter é uma direção horizontal ou nós podemos ter uma direção vertical para cada direção nós temos dois possíveis sentidos por exemplo se a gente olha a direção horizontal lembro do horizonte quais são os dois possíveis sentidos que nós podemos ter nós podemos ter o sentido da esquerda para direita ou nós podemos ter o sentido da direita para esquerda que fique bem claro e para

cada direção a 102 possíveis sentidos se a gente vai para direção vertical nós podemos ser também dois possíveis sentidos por exemplo nós podemos ter o sentido a de baixo para cima ou nós podemos ter o sentido de cima para baixo tá ok então as grandezas físicas vetoriais para que fiquem perfeitamente definidas são necessários o módulo é a mesma coisa que intensidade e magnitude são necessários a direção e o sentido aí você me pergunta ok professor agora cite exemplos de grandezas físicas escalares então exemplos de grandezas físicas escalares seriam a massa o tempo comprimento densidade pressão

volume então todos esses exemplos aqui são grandezas escalares ou hoje todos eles ficam perfeitamente definidos apenas por um valor numérico mais uma unidade de medida por exemplo joãozinho aqui a balança para medir a sua massa corporal e percebeu que a massa do joãozinho que nada mais era que sessenta quilogramas então penas informação ela fica totalmente definida apenas por este valor metro e sessenta acompanhado da unidade de medida para a massa atenção aqui ó nós temos a massa que a grandeza física tá certo toda a grandeza física ela necessita de uma unidade de medida para caracterizá-la

para quantificá-la também tá certo então a massa é uma grandeza física do tipo escalar pois fica perfeitamente definida apenas pelo valor numérico é senta no caso da massa do joãozinho acompanhado de uma unidade de medida já que nós estamos tratando da grandeza física massa a unidade de medida no sistema internacional para massa é o quilograma é muito bem eu poderia também considerar a altura do joãozinho vamos chamar altura irmãozinho de h h nada mais é que a altura do joãozinho vamos supor que altura do joãozinho seja 1,1 metro e sessenta centímetros então perceba o seguinte

quando se fala em altura nós estamos trabalhando com a grandeza física comprimento e perceba que o cumprimento também é uma grandeza escalar pois fica perfeitamente definida apenas por um valor numérico acompanhado de uma unidade de medida agora vamos falar um pouquinho sobre as grandezas físicas vetoriais nós vimos que as grandezas físicas vetoriais necessitam de intensidade direção e sentido a ficarem perfeitamente definidas e aqui onde a gente vai ouvir muito falar na seguinte palavra vetores tá certo lembrar aqui todos os setores eles apresentam essas três características módulo direção e sentido exemplos de grandezas vetoriais nos temos

a força velocidade aceleração campo-elétrico e etc a grandeza física força ela é uma grandeza física vetorial pois para que fique perfeitamente definida é necessário a intensidade da força a direção que está sendo aplicado aquela força e o sentido daquela força então perceba o seguinte nós podemos pensar que a nossa personagem maria ela está aplicando sobre aqui ó sobre essa caixa de massa m uma força cuja intensidade seja 50 litros o facebook é esse 50 mil tons que a intensidade da força aplicada por maria pode-se aplicado sobre essa caixa para mover ela tanto na direção horizontal

ou seja eu posso mudar essa caixa na direção horizontal dos dois possíveis sentidos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda como também ela poderia aplicar esses 50 newtons para levantar a caixa tá certo ou seja de baixo para cima de cima para baixo então a força é uma grandeza vetorial pois para ficar perfeitamente definida são necessários módulo direção e sentido e nós vamos perceber o seguinte que quando nós estivermos trabalhando como uma grandeza vetorial e é comum elas aparecerem com essa sétimo cima tá certo então essa setinha sobre sobre a grandeza

física é para indicar que aquela grandeza é uma grandeza vetorial consequentemente você está trabalhando com módulo direção e sentido vamos resolver esse exercício para ilustrar um pouco o objetivo da aula de hoje o exercício ele diz o seguinte quatro forças atuam parafuso tem a ou mostrado na figura abaixo utilizando o método de decomposição de vetores decomponha o vetor f1 f2 f3 f4 em termos dos vetores unitários turma nós temos aqui a figura onde nós temos um parafuso exatamente na origem deste sistema de referência representado aqui o plano cartesiano e sobre esse parafuso nós temos atuando

quatro forças o nosso objetivo é decompor cada uma dessas forças e para isso nós vamos tomar como referência cada um desses ângulos que as forças fazem ou com eixo x ou com eixo y vamos começar decompondo a força f1 não decompor é a força f1 se você olhar para força é filho e você vai perceber que ela encontra-se no primeiro quadrante então vale a pena lembrar quando a gente estuda ciclo trigonométrico nós temos aqui quatro quadrantes e tal forma que este aqui é o primeiro quadrante aí no sentido anti-horário vem aqui o segundo quadrante o

terceiro quadrante e o quarto quadrante aqui a origem deste nosso sistema de referência xy muito bem então vale a pena ressaltar que no primeiro quadrante nós temos e já que aqui a origem nós temos valores de x ou positivos e também valores de y positivo no segundo quadrado é caracterizado por valores de x negativo e valores de y positivo aí terceiro quadrante tantos valores de x quantos valores de y são negativos e no quarto quadrante os valores de x com a positivo e os valores de y negativos então seguindo aqui essa ideia a nossa força

f cuja intensidade é 150 livros e faz um ângulo de 30° com o eixo x encontra-se no primeiro quadrado então por aí nós já podemos perceber que ao decompor essa força f1 a componente x e ela necessariamente quem será positivo pois aponta no sentido positivo do eixo x enquanto que a componente y ela necessariamente será também positivas já que ela aponta no sentido positivo do eixo fixo então isso a gente vê pelo fato da força f1 encontrasse no primeiro quadrante então as corpo mentes escalares fx e fy alguns são positivos estão fazendo aqui continuando a

decomposição é o deco tô vetor nada mais é que representar ele em termos de suas componentes f1x nesse caso aqui e fy essa primeira equação aqui é o que nós chamamos e equação vetorial o segundo passo é escrever as componentes vetoriais em função dos vetores unitários lembrando que na viração x na direção x overturn é característico sempre será o vetor unitário e então observação observação para que que serve os vetores unitários apenas para indicar a direção e sentido então se eu tenho aqui ó o plano cartesiano ou você do nosso sistema de referência para que

o dinheiro tá aqui o eixo x tá que o eixo y então eu ver tu me etário que vai caracterizar que vai caracterizar a direção x sempre será o vetor unitário e enquanto que o vetor unitário que vai caracterizar a direção y sempre será o retorno para o jovem então o impositivo tá indicando que tá indicando que nós estamos na direção x e no sentido positivo ou negativo indica que nós estamos na direção x só que no sentido negativo na mesma forma segue o raciocínio para o j muito bem a forma e vamos simplesmente e

vai bom simplesmente a representar estas componentes vetoriais em função desses vetores voluntários para isso basta você pegar o módulo da componente professor o que é que significa pegar o módulo da componente repete a componente sem levar 76 dessa forma você pega apenas a intensidade e multiplica pelo retorno para o característico aquela direção que ao vetor nitario e verifica se ele é positivo ou negativo para isso basta você olhar o sentido na componente como a componente f1x aponta no sentido positivo fora está o vetor f1 está no primeiro quadrante do a componente fx necessariamente tem que

apontar no sentido positivo do eixo x então aqui você coloca um me positivo então um sinal de positivo você coloca na frente um é o finalzinho demais nesse caso aqui você pode emitir então vamos agora representar componente vetorial f1y internos do vetor unitário para isso o módulo é tú y e multiplicar pelo v-tone para o característico naquela direção que é o j o fato da força f no insta no primeiro quadrante e isso vai fazer com que as componentes fx e fy possuam sim + positivo então aqui ó rj positivo próximo passo é escrever estas

componentes que agora não sou mais vetoriais são escalares em função do ângulo que aparece aqui na figura já que nós estamos decompondo a força f uma hora para decompor a força você precisa de um ângulo e o ângulo que ele daqui ó é um ângulo de 30° e o ângulo entre a força f1 e o eixo x professor que poderia dar o ângulo aqui de cima sem nenhum problema o importante é para deco uma força a gente precisa tá certo de saber o valor de um dos anos ou seja ou o ângulo entre a força

eo eixo x ou ângulo entre a força eo eixo y e aqui o que é que nós temos nós temos o seguinte foi dado esse ângulo de 30° presta atenção na figura formada aqui ó se você olhar com bastante atenção que figura é essa essa figura que nada mais é que um triângulo retângu e nem esse triângulo retângu a gente tem que esse comprimento aqui que a nossa hipotenusa é o lado que está oposto ao ângulo de 90 graus nada mais é que o valor de 150 ela passa o valor de 150 enquanto que esta

componente aqui ó esse lado aqui do triângulo retângu nada mais é que o módulo da força f x encontro que se outro lado aqui nada mais é que o módulo da força f y então se nós aplicamos aqui as relações trigonométricas para este triângulo retângu mas vamos obter o seguinte então isso negócio fazer uma vez e em seguida para as próximas de composições eu vou dar uma e vocês e aí a partir daí evita mais fazemos eu te passo a passo mas para demonstrarmos vamos escrever fx e fy em função do seno ou cosseno desse

ângulo de 30° podemos aqui o aplicar a definição de seno e cosseno então o que significa o seno de 30 graus estão utilizando aí ó definição de seno nada mais é que o cateto oposto dividido pela hipotenusa hora mas quem é o cateto oposto ao ângulo de 30° o cateto que está um coxo a 30 é exatamente o cumprimento o comprimento de fmi y no cateto oposto é f y enquanto que é hipotenusa é aquele lado que tá oposto ao ângulo de 90 graus que exatamente a intensidade de f-1 ou seja esopo o módulo de

f1 se multiplicarmos aqui ó meio pelos extremos nós temos o seguinte que o seno de 30° = f y / f1 multiplicando meio pelos estranhos f1y nada mais é f1 vezes o seno de 30 graus então aonde tem a componente escalar fy você substitui por f1 seno de 30 graus agora vamos fazer a mesma o mesmo raciocínio só que calculando o cosseno de 30 graus aplicando agora a definição de cosseno para o ângulo de 30 graus por definição representa o cateto adjacente professor que é o pecado já sente é aquele cateto é aquele lado que

está encostando no ângulo primeiro atenção que os catetos e são aqueles dois lados que formam o ângulo de 90 graus então nesse caso aqui ó cateto adjacente a 30 graus é esse lado aqui que corresponde a um módulo de fmx enquanto que a hipotenusa é o maior dos lados do triângulo retângulo é aquele lado que está oposto ao ângulo de 90° e representa a intensidade de f1 logo cosseno de 30 graus nada mais é que é fino x dividido pela intensidade f1 multiplicar o primeiro pelos externos logo a intensidade f x = f 1 x

1 cosseno de 30 graus conclusão turma conclusão turma nós temos o seguinte hora de compondo a força fmi nós temos obtido o seguinte nós temos obtidos o seguinte valor f x e na direção lee mais f1y na direção j mas mostramos utilizando aqui o triângulo retângulo relações trigonométricas para o triângulo retângulo que f1x nada mais é que f1 que multiplica ou cosseno de 30 graus isso foi mostrado exatamente aqui ó enquanto que nós mostramos também utilizando as relações trigonométricas para o triângulo retângulo que o fy lavar mais aqui f1 seno de 30 graus basta você

botar um pouquinho os nossos slides substituindo na nossa equação da composição bom então acho que podemos representar dessa forma e na moça até composição do vetor fm nós podemos representar o seguinte que eu deixo f1 e pode ser escrito em função dos ângulos como sempre fx ou seja f1 cosseno de 30 graus na direção lee mas fy em termos do ângulo vai ficar f1 seno de 30 graus na direção j hora professor mais quanto vale a intensidade de a intensidade fm vale 150 livros substituindo a intensidade de f1 nisso vai ser igual a 150 x

o cosseno de 30 graus na direção e mais 150 x seno de 30 graus na direção j pessoal muito cuidado quando forem resolver esta conta na sua calculadora científica por favor não esqueçam de configurar a calculadora de vocês para graus ou seja de grimm bom então vamos fazer essa continha aqui é para que vocês vão em durante o momento que estiveram utilizando a calculadora científica pela primeira coisa vamos configurar nossa calculadora para graus não quem quiser esse modelo aqui da cássio para configurar para graus baixos a tecla aqui ó clicar shift setup aí aparece várias

funções a função correspondente a graus essa função 3d green bag degraus então clica no três logo sua calculadora está configurada tão baixa você multiplicar agora 150 às vezes o cosseno de 30 graus isso vai dar = 75 raiz de 3 hora professor mas eu quero aqui na forma decimal clique em sd aí você obtém a forma decimal daquele número atenção vamos resolver esse nosso problema considerando aqui uma aproximação por truncamento até a quarta casa decimal então o valor que nós vamos ficar é o seguinte a f1 é igual a f1 = sento sento e 29,90

38 e na direção e se você quiser mesmo passo a passo 150 vezes o seno de 30 graus e isso vai dar = 75 e na direção j não conheço mas finalizamos o processo de decomposição do vetor f1 vamos utilizar o mesmo raciocínio para fazermos até composição do vetor f2 vamos decompor e o vetor f21 e usando o mesmo passo a passo nós temos que f2 e para decompor f2 baixa você escrever e ele em termos as componentes vetoriais ef 2x mais f2y próximo passo é escreveste as componentes vetoriais em termos dos vetores unitários como

é que é feito isso de maneira simples basta você pegar um módulo daquela componente e multiplicar pelo vetor unitário característico atenção aqui para o vetor f2 se você olha aqui na nossa figura olhando para nossa figura nós temos aqui ó e o eixo x negativo para o pátio o eixo x negativo aqui está o lixo e por negativo não percebes o seguinte que o vetor f2 a força f2 encontra-se no segundo quadrante então você já consegue perceber que a culpa nem tx desse vetor ele vai apontar necessariamente aqui ó vai apontar no sentido negativo do

eixo x enquanto que a componente y desse vetor vai apontar no sentido positivo do eixo do eixo x pão atenção para esses dois fatos ora estamos é cupom daqui dois em relação a esse ângulo de 20 graus voltam aqui para os nossos cálculos nós temos o seguinte que a componente x quando a gente representa internos no vetor unitário o vetor unitário week de cadeira a xtz será negativo então o sinalzinho de menos a gente joga aqui na frente a expressão para dizer que esta componente vetorial f2x está cortando no sentido negativo do eixo x como

eu falei para vocês os vetores unitários eles servem justamente para indicar a direção e o sentido do nosso vetor então vamos fazer agora a representação da componente vetorial f2y em função do vetor unitário para isso basta pegar o módulo e multiplicar pelo vetor unitário correspondente lembrando que o beetle f2y aponta no sentido positivo do eixo y logo esse retorno para o j ele é positivo professor e agora agora a gente vai aplicar o que nós fizemos aqui ó para o vetor é fino e aquelas relações trigonométricas para o triângulo retângu ela que a gente poder

vou pegar aqui esse triângulo retângulo ou e aplicar as relações trigonométricas para esse triângulo retângulo cuja hipotenusa aqui agora seria a intensidade de f2 e os catetos que são os lados que formam o ângulo de 90 graus seria o f2y intensidade f2y ea intensidade de ef 2x para gente não fazer aquele mesmo passo a passo eu vou dar uma dica para vocês a dica é a seguinte quem costa coça que encosta é cosseno então sempre que a culpa nem estiver encostando no ângulo adjacente ao ângulo aquela componente que estará associado ao cosseno enquanto a outra

componente que está oposto ao ângulo estar associado ao centro então nós teremos os seguintes resultados ef 2x ii ah tá oposto se está oposto vai ser a intensidade de s2xo sendo do ano desse carro ali 20 graus enquanto que o f2y está encostando no ângulo quem corta coça que encosta ecoceno então isso vai ser a intensidade de f2 vezes o cosseno de 20 graus portanto portanto nós temos que o vetor f2 e o beetle f2 vai ser escrito como menos - ef 2x ii componentes caleffi 2x nada mais é que f2 sendo de 20 graus

o f2 seno de 20 graus na direção e mais f2y quem é o f2 yf2 cosseno de 20 graus na direção j eu só quero chamar atenção para o seguinte fato a intensidade de f2 é 80 minutos toma já podemos substituir aqui ó na nossa expressão no lugar de f2 o valor da intensidade e é 80 newtons então teremos a seguinte expressão menos 80 sendo de 20 graus na direção e mais 80 cosseno de degraus na direção jovem olha só tu é uma prática nós já podemos lá direto durante a nossa de composição para essa

expressão é uma prática você já bati o olho no seu vetor e já consegue fazer a decomposição direto tá certo então a partir das próximas aulas ao invés de nós fazemos o passo a passo já que essa é a nossa primeira aula partir das próximas aulas a gente já vai fazer o processo de decomposição direto então nessa primeira aula a gente está fazendo esse passo a passo para que nós possamos entender perfeitamente todo o processo ok então agora jogando isso aqui na calculadora científica nós teremos o seguinte resultado - 27 oi vírgula 3616 na direção

lee mas 80 vezes o consumo de 20 graus da 75 oi vírgula 1754 na direção j perfeito finalizamos o processo de decomposição a esta é a nossa força f2 mesmo raciocínio agora nós vamos aplicar para decompor a nossa força f-3 então vamos agora decompor a força f 3 e de todas as forças se a força f três é a única que está aprontando na direção de um ex então como é que é feito a decomposição para uma força que aponta uma direção de um mês porque se você olhar bem a força f estava inclinada existe

um ângulo ali entre a força f 11 e o eixo x a força f2 em relação aos eixos x e y também estava inclinado onde um ângulo entre f2 o eixo y era 20 graus para força f-3 ele não dá bem um ângulo e nós percebemos que a força aponta na direção do eixo y então o processo de recomposição é bem simples eu vou fazer o passo a passo só que com o tempo você já pode fazer de forma direta ok então até composição de f-3 a princípio nós teremos uma componente x bom e uma

componente y flora mais a força f-3 ela é a própria componente y uma vez que ela está contando na direção do eixo y componente x 0 logo f-3 vetor é igual ao próprio f-3 y internos dos vetores unitários pega o módulo de f-3 y e multiplica pelo vetor unitário na direção y é o nosso j atenção aqui para o final desse vetor de faro uma vez que a componente vetorial f-3 y é o próprio vento f-3 aponta no sentido negativo do eixo y então o sinal de se ver tô no ítalo j ele é negativo

para você colocar aqui na frente da expressão a continuidade vetor f-3 vai ser igual em termos do ângulo e a força f-3 faz ou com eixo x ou com isso isso nós teremos o seguinte quem será o f3 e a gente pode partir do seguinte princípio f-3 y está encostando encostando no eixo y e logo não existe nenhum ângulo entre f-3 y e o eixo y mas podemos escrever o f3 y simplesmente como f-3 cosseno de 0 que tem costa coça que encosta é cosseno você poderia ao invés de utilizar essa ideia aqui ó que

o f3 y encosta no ângulo zero você poderia pensar o seguinte que o f3 você poderia tomar o outro ângulo o outro homem não seria quem seria todo esse ângulo aqui ó entre o f3 y eo eixo x se você tomar o outro ângulo você poderia calcular aqui ó da seguinte maneira f3sta oposto ao ângulo de 90 graus consequentemente ele está associado ao seno de 90 então você pode tanto utilizar o corsa não fizeram eu vou sendo de 90 ambos são iguais a um muito bem então como vai ficar a decomposição desse nosso vetor f-3

simplesmente menos a intensidade de f-3 como cosseno de 0 = 1 é um vezes j que é o próprio j essa então olha só quando você tiver no beto que aponta na direção de um eixo que é o caso de f3 e onde fazer a decomposição de forma direta que é muito mais simples basta pegar a intensidade desse inventou que a intensidade do f-3 pegamos aqui sem levar certinha já que eu moro e multiplicar pelo vetor unitário na direção que ele está contando nesse caso aquele aponta na direção y logo vetor unitário correspondente rj negativo

porque professor porque o f3 está comprando no sentido negativo do eixo y tão pode fazer de maneira direta logo finalizando aqui ó o vetor f3 = - a intensidade deve três que dado aqui na questão 110 mil tons o que multiplica o vetor unitário j é perfeito vamos agora para a decomposição do último vetor que é o f4 utilizando o mesmo raciocínio você percebe que o raciocínio é análogo não muda nada tá certo tempo a gente vai resolver isso bem rapidinho então decompor um vetor nada mais é quem escreveu e o termo de suas componentes

numa componente vetorial na geração x e a outra componente vetorial na direção y e tal forma que a soma vetorial dessas componentes vai dar igual ao vetor f4 agora nós podemos escrever estas componentes vetoriais em função dos vetores unitários atenção para a força f 4l encontra-se no quarto quadrante então a componente x vai apontar no sentido positivo do eixo x e a componente y vai apontar no sentido negativo do eixo y tão ao representar em termos dos vetores unitários basta pegar o módulo de f4x multiplicar pelo vetor unitário característico que eue e acrescentar aqui ó

finalzinho já que a componente x aponta no sentido positivo do eixo achei isso um sinal é positivo então tanto faz você colocar ou não agora vamos para o f4y vetor representando internos o vetor unitário pega o módulo f4000 cujo vetor e multiplica pelo vetor unitário correspondente a direção y que é o j atenção que o vetou f4y ele a culpa no sentido negativo do eixo y devido o fato da força f 4 está no quarto quadrante tem um sinalzinho aqui ó ele é negativo utilizamos a nossa dica que encosta coça que encosta ecoselo teremos o

seguinte resultado a componente x ela é quem vai parar encostando no ano a componente x ela um costa no ângulo tá aqui ó essa é a componente f4x enquanto que a componente y ela está oposto ao ângulo contact with 4 vips dela está associado ao seno do ângulo que nesse caso é o 15° dessa forma nós teremos que f4x em função do ângulo simplesmente f4 e quem costa costa que encosta com cinto cosseno de 15° na direção ir enquanto que o f4you f4y é o f4 é o f4 - f4rr multiplica o seno de 15°

madeira são jovem devido f4y está oposto substituindo o valor da intensidade de f4 nós temos ou seguinte substituindo os valores temos que o vetor f4 ele é igual a densidade f4 100 newtons em que multiplico cosseno de 15° na direção lee menos 100 que multiplica o seno de 15° na viração j resolvendo isso na sua calculadora científica e vai dar igual a 96 96,50 e nove 2559 cinco na direção lee - 25 25,80 e oito 1988 19 na direção j finalizado até composição do vetor f4 e consequentemente finalizado a nossa questão e não fala de

hoje teve como principal objetivo de aprendizagem discutir o processo de decomposição de vetores em duas dimensões quanto aí com a força de vocês se inscrevendo no canal ativando o sininho de notificações para acompanharem os próximos vídeos quero agradecer imensamente a atenção de todos um forte abraço e até a nossa próxima ao e aí