Geometria Analítica - Aula 06 - Dependência linear

olá pessoal tudo bem vamos ver mais uma aula de geometria analítica nós vamos trabalhar hoje com dependência linear dependência linear é um conceito complicado na verdade é um conceito que a gente vê a fundo numa disciplina de álgebra linear mas como já está trabalhando com vetores o plano nós vamos ver é o equivalente a essa definição que eu vou passar para vocês agora no plano usando que a geometria e pra nós o que interessa mesmo na verdade é saber a geometria e não sabia a definição que existe algébrica nesse caso mas vou passar de prisão

já aplica porque a gente já tem o primeiro contato com a ok então nós vamos dizer que um conjunto de vetores 12 o n linearmente independente que a gente aprova previa por ele se quando eu pego essa equação alfa um macho alfa 22 mais até o fim do ano resultando no vetor nulo onde os alfas 121 a 2 ainda aparece aqui são todos os números reais obrigatoriamente a única maneira de você fazer essa conta do acerto é pegando todos os números reais a 1a 2a n iguais a zero ok então para ser plenamente independente essa

equação só pode ter uma solução a um igual a 2 e guarani 1 a 0 se você conseguir fazer com que isso é o que a gente chama de uma combinação linear dos vetores 12 lento se você conseguir achar uma combinação linear desses vetores resultando no vetor nulo em que um desses coeficientes não é zero é diferente de zero então a gente diz que o conjunto é linearmente independente mas se todos são obrigatoriamente 0 ele veja que é lógico que se eu fizer todos iguais a zero conta da seta mas eu quero mostrar que a

única possibilidade para essa conta da seta é fazer todos eles iguais a zero não tem uma possibilidade igual àquela de uma propriedade da última aula você pega um - 11 - hussein são muito menos um a conta a 0 então não pode ser ligeiramente independente como o próprio também mas em r 2 até uma maneira mais simples a gente sabe quando o conjunto l na mente independente ou linearmente independente basta usar a geometria se o meu conjunto tiver só um vetor ele vai ser-lhe de ser somente esse vetor forno então o conjunto unitário que tem

apenas um vetor do r2 ele esse setor foi diferente do retorno ele acabou se for o retorno ele de tão simplesmente olhando o vetor eu já sei se é líder não tem que fazer nenhuma conta se num conjunto tiver dois vetores 1 e v ele vai ser-lhe de seis somente ser esses vetores tiverem a mesma direção são vetores que são paralelos a uma mesma reta então se eles não tiverem a mesma direção eles vão ser ele e no r 2 qualquer conjunto com três ou mais vetores sempre é ele deus eu não preciso nem me

preocupar só trabalhando no plano r2 superar um conjunto com três vetores 45 sempre vai dar a ele de não precisa na verdade usar aquela definição genérica que o coloquei no começo eu posso usar geometria que tem de r 2 isso vale para o r2 cuidado tá bom então proposição dois vetores oe vão ter a mesma direção 6 somente z existe um número real cá tal que um deles é carlos o outro então o e coca ver ouvir e coloca o tanto faz tá bom que ser dois vetores vão ter a mesma direção se um é

múltiplo do outro então estou tentando trazer para uma conta algébrica a ideia ou a definição o conceito de eles serem paralelos a mesma reta dois vetores você paralelos ao mesmo a reta se um é múltiplo do outro também como é que a gente prova isso é uma pequena ideia da demonstração onde eu vou usar aquela expressão inicial se eu inventei mesma direção então conjunto vld então você tem reais a unha 2 não ambos luz tais que essa conta do retorno porque se obrigatoriamente a 1 mil a 2 os dois fossem 0 o conjunto seria ali

essa é aquela definição inicial não posso como um dos dois pelo menos é diferente a 0 e vamos supor que o há uma diferença dizendo então há um sentido diferente 0 vou passar o a 2 pelo lado de lá a 11 vai ser igual - a 2 v posso dividir tudo por a 1 para que ele não é zero o vetor ué - a 2 sobre um v eu vou tomar kaká como se fosse a 2 sobre o japão está mostrando que dois vetores são paralelos e somente se eles um é múltiplo do outro dois

vetores são ld dos vetores na mesma direção ser somente c1 é múltiplo do outro é lógico que se isso acontece um deles vai ser paralelo a outra tem a mesma direção que foi assim que definiu quem era o cavs ver se o carro for positivo tem mesmo sentido o seu carro foi negativo tem sentido oposto por exemplo verifique seus vetores 1 e vê o setor 2 345 formam um conjunto l l de um praça é líder tem que existir um número real cá tal que o que se escreve como cabides ver então 23 posso escrever

como cabides 45 se for verdade o dois tem que ser igual a 4 cá e o 3 tem que ser igual a 5 k o carro é o mesmo então o cac vai ser igual a quantos e para o k2 / 4 caiu a meio resolve aqui em solo kathrein os quintos meio igual a três quintos não não são iguais então não existe um número real kaká que faz a igualdade dá certo porque para acertar a primeira vale meio para acertar a segunda base três quintos mas o caso só tem um valor caia o número

real então ele tem que ser o mesmo carro tanto na primeira como na segunda coordenada portanto esses vetores não existe o real kaká e satisfaz isso portanto os vetores são l ou seja eles não têm a mesma direção não são paralelos a uma mesma reta por exemplo vamos pegar aqui o determina o valor de x para que esses vetores o x8 e 24 fome um conjunto l de agora quero que seja um ld então eu quero que exista um valor de cá tal que um se escreva como kv então o e x 8 k vezes

ver que a 24 então x tem que ser igual a 2k e 18 vai ter que ser igual a 4 cá agora oito igual a 4 caio consiga isolar o valor do carro o caso vai ser muito dividido por quatro o café 2 mil km2 qual é o valor do x para que dê certo a minha conta não se caia 2x nascer duas vezes 2 logo x deverá ser igual a 4 com o chipre por 4 vetor 48 vetor 24 eles formam um conjunto l d na verdade 48 é quatro vezes que o cara é

desculpa duas vezes que é o carro que você achou o vetor 242 2 a 4 duas vezes 4 182 vetores um com coordenadas abevê coordenadas e de forma um conjunto ld6 somente c o determinante da matriz dois por dois formatos para as coordenadas de um escore de nove vezes 0 é uma outra maneira de verificar se os vetores são ele o som l de cálculo determinante da matriz que têm as coordenadas dos vetores a primeira linha e as coordenadas segundo vetor na segunda linha é uma maneira mais simples do que procurar aquele kahn seja determinante

da 0 eles formam um conjunto ele decida diferente de zero eles formam um conjunto l vamos verificar por exemplo que esses vetores são lyl de então o cálculo determinante o coordenadas o primeiro vetor 1 - quatro condenados o segundo vetor menos 28 determinante é 8 - - - daria mais vão ficar menos 80 portanto os vetores 1 e vê são vetores é líder os dois têm a mesma direção a uma maneira mais prática usando determinante de matriz novamente determinante de matrizes ajudando a gente a ver uma condição geométrica é que os vetores são paralelas na

mesma reta por um determinante consigo verifica isso determina o valor de x para que esses dois vetores formam um conjunto l de de novo vamos usar um determinante o determinante pega os condenados o primeiro vetor x-9 condenado segundo vetor 4 x 1 e segue determinante vai dar x quadrado - 36 pra que eles formam um conjunto l de eu quero que essa conta seria igual a zero portanto x quadrado vai ter que chegou a 36 então x é igual a mais ou menos 66 x for 6 ou menos seis esses dois vetores formam um conjunto

ele deu seja vão ser paralelos a uma mesma reta é determinante resolvendo de novo essa conta me dá uma informação geométrica se for diferente de 6 ou menos seis eles vão ser ali porque um conjunto ou l o ld não tem meio termo se ele não ldl você não é ele ele é líder com três pontos estão alinhados e somente seus vetores pega os pontos abc a b e c formam um conjunto l de vez a gente já sabia verificar quando três pontos estavam alinhados olhando determinante colocava as coordenadas dos vetores ea terceira coluna igual

tá eu dou uma outra condição três pontos são alinhados quando eu pego um vetor abril o vetor bc formados ou então se quiser a b ea c ou d centro informa dois vetores com esses três pontos se eles são vetores que tem são paralelos tem direção de uma mesma reta e olha aqui na reta pega inventou a b eo vetor assim o que eles têm a mesma direção sentido contrário mas a mesma direção porque os pontos não alinhados se o porto tivesse deslocado para cá se você pegar sua bebê nascer visão teria mesmo direção porque

seria um lado de um triângulo em um triângulo tem dois lados paralelas ok vamos ver que mais um exemplo determina os valores para x para que esses pontos abc estejam alinhados então agora tenho x envolvendo aqui dois dos três pontos o mesmo procedimento vou criar um vetor a b então o vetor abc x - 23 - menos um então vai dar x - dois aqui olha fica 4 o vetor a ser 3 - 2 x - menos um também 3 - 2 a 1 x - - um aqui fica mais x mais um bom vamos

calcular o determinante igual determinante a 0 para forçar que esses pontos estejam alinhados então determinante da matriz vai ficar coordenadas do vetor a b x - 24 coordenadas do vetor assim um x + 10 determinante igual a zero tão determinante é x - dois como explica x + 1 - 1 vezes 4 -4 igual a zero desenvolvendo o carro na equação de segundo grau x 2 - x menos seis é igual a zero só desenvolver aqui aplicar distributiva e as raízes são x igual a 3 ou x gol - dois então x foi três ou

menos dois desses três pontos também vão estar alinhados ou seja esses vetores abelhas e não ser paralelos a uma mesma reta ontem mesma direção bom a proposição isso aqui é muito importante para nós mais pra frente nós vamos usar uma proporção bem parecida no espaço essa aqui é no plano eu vou fazer até o desenho do que está acontecendo pra vocês suponho que eu tenho um conjunto l então invenção vetores que não têm a mesma direção não sou paralelos qualquer vetor w no plano que eu pegue eu consigo achar reais alfineta tal que o vetor

w vai se inscrever como alpha 1 + beta v ou seja eu consigo escrever w como uma combinação linear dos vetores o iv ou eu consigo de compor o vetor w como uma componente na direção de uma outra componente uma direção do vetor ver a gente pode mostrar isso usando aquela definição algébrica que o simulado começo do ld está como a gente fez no caso anterior mas eu não quero fazer isso vamos fazer um desenho no plano para explicar o que está acontecendo eu acho melhor a gente faz o desenho mostra como é que a

gente consegue achar essa decomposição tá bom e depois eu faço uma conta real pra gente achar quem é o valor do alfa beta numericamente tá na hora aqui o meu plano cartesiano eu tenho o futuro eo vetor ver e o vetor w então esses dois vetores no verão são paralelos e eu quero escrever esse vetor w como sendo 11 vetor paralela o uaw favesu mais um vetor paralela ver beta vezes ver como é que eu faço quando eu sair do zero e sou um vetor w vou definir um ponto lá na extremidade um ponto b

aqui na extremidade então por esse ponto eu vou passar uma reta que é paralela ao vetor ver que tem a mesma direção de ver até encontrar a reta suporte do vetor u então a pega um ponto p e eu passo uma reta paralela ver até encontrar reta suporte de 1 isso vai determinar um pedaço do look um pedaço do nada mais é do que um alfa preciso é um vetor que vai ter a mesma direção de u só que o tamanho dele é menor que o tamanho de um cão é um alfa que dá para

descobrir o que é se tiver apontando pra cá pelo desenho e se ao final vai ser positivo mesmo sentido agora por que passa uma reta paralela o até encontrar a reta suporte prevê ó reta porque paralela ué essa água não cortou ver não é o velho tem cortado em cortar reta suporte de ver então aumenta o que acarreta o suporte de ver até que encontra esse ponto então esse vetor sim aqui olha que estou construindo de zero até 60 e secção também é o vetor que vai estar na direção de ver então ele é um

beta ver observa que esse vetor que aparece aqui é exatamente igual a esse vetor esses dois lados são paralelos esses dois lados são paralelos da maneira como construir então isso forma um paralelogramo o paralelogramo os lados são 22 paralelos e tem mesma medida então isso aqui representa o mesmo vetor que esse e esse pedacinho aqui o representa o mesmo vetor que esse não vai pegar cópia desse vetor e jogar pra cá então esse primeiro vetor aqui vermelho e eu vou chamar de um pedaço de um ele é o farol é daqui que aparece o alvo

esse outro vetor vermelho aqui que a mulher até mesmo direção de ver ele é um pouco maior que vê ele é um beta vezes vence beta deve ser maior que um não sei quem queria um machado e depois e ele também se reproduz aqui olha parece exatamente pelo lado de cá esse vetor aqui é exatamente o beta ver oque o cilada para ela este mesmo cumprimento os dois vão apontando para cima mesmo vetor eu mesmo deslocamento e agora no desenho o w ficou escrito exatamente como esse vetor zinho alfa ou mais esse vetor basta ver

que eu queria fazer escrever w como alvo mas na tv é lógico que eu posso fazer isso tudo algebricamente mas eu quis fazer no plano para a gente ter uma idéia do que está acontecendo porque vocês usam direto esse física neo de compor uma força num soma de dois vetores o primeiro paralelo ao deslocamento o outro ronaldo deslocamento da partícula por exemplo tá certo aqui eu peguei duas direções que não ser tomar mais uma ou outra dá pra fazer também então o que fizemos a figura anterior foi de compor o vetor ver o diretor w

desculpa como soma de dois vetores um paralelo a um e outro paralelo a ver vamos ver um exemplo disso que dá pra fazer como fica as contas dados os vetores o que vê escreva o vetor w 39 como soma de dois vetores um vetor ver um paralelo a um em um vetor v2 paralelo a vê lá então quero escrever w como alpha 1 mas berta ver isso aqui é o v 1 e segue seria o v2 o w é o 39 alfa vezes o vetor 12 mas beta ver beta vez menos um então essa igualdade

acontece se você tiver 39 igual a alfa - beta é a primeira coordenada quando eu sou muito disso aqui ó nós já publicamente e 2 alfa mais beta é a segunda coordenada esse pai vai ser igual a esse seu 3 for igual a primeira coisa nada e 19 foi igual a segunda coisa nada então vou ter um sistema o alfa - beto tem que ser 32 alfa mais beta tem que ser 9 resolvendo o sistema voltei ao ficou a 4 bet go portanto eu consigo escrever o primeiro vetor ver um que é paralela o ele

é 4 que é o alfa vezes 12 91 482 quem ele é e ele é o beta vez o vetor ver então é um vez menos um que dá menos um observa que somavam mais de 248 consumado - 14 - um da 38 mais 19 exatamente o vetor w então eu compus o w como soma de dois vetores um paralelo a cada vetor agora cuidado essa decomposição pode não existisse esse vetor forelle de lembra que na hipótese inicial lá eu pedi como conjunto que tinham e ver um conjunto l os vetores não tinham a mesma

direção um exemplo vou pegar o retorno igual 21 vetor bem igual a 4 2 logicamente esses vetores são paralelos né é só multiplicar esse vetor por 2 1 duas regiões a 4 duas vezes 12 então é múltiplo do outro eles são paralelos formam e de senegal consigo escrever 64 como soma de dois vetores um paralelo a cada um eu vou tentar fazer a mesma coisa olha escrever w dessa forma tão 64 alpha 2 1 + beta 4 2 então 64 vai ser o 2 a 1 foi mais 4 beta alfa mais dois betas comparando vai

ficar 2 alfa mais 4 beta igual a 6 alfama 2 beta igual a quatro tentar resolver sistema da seguinte maneira isolada eo alfa nessa equação como sendo 4 - 2 beta e vou substituir na primeira não vai ficar duas vezes o alpha bank e alpha 4 - 2 beta mais 4 beta isso tem 16 quando eu faço essa conta que vai ficar olha 8 - 4 beta somos com 4 beta cancela então isso aqui vai ficar o que 8 isso desde que chegou a ser desculpa então é ficar 8 - 44 - 47 igual a

6 então vai ficar oito igual a 6 que a gente sabe ser falso ok logo o sistema não tem solução porque eu não consigo de compor porque esses vetores o ivh e nesse caso são vetores paralelos ldd mesma direção ok bom obrigado pessoal até a próxima