Integrais Triplas com Coordenadas Esféricas: Exercícios Resolvidos | Cálculo

como calcular integrais triplas usando coordenadas esféricas vamos lá entender Oi gente meu nome é Ester Velasques e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca nessa aula a gente vai aprender a calcular integrais triplas usando as coordenadas esféricas Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá [Música] gente na aula anterior a gente viu que são as coordenadas esféricas e como a gente trabalha com ela certo então quando a gente tem um ponto um sólido alguma coisa aqui no R3 que tá no sistema de coordenadas x y z a gente consegue migrar esse ponto esse sólido enfim para o sistema de coordenadas roteta e fim que é o sistema de coordenadas esféricas Então nesse sistema a gente tem o Ro que é a distância de um determinado ponto até a origem a gente tem o teta que esse ângulo aqui formado entre a projeção e o eixo X e a gente tem o fim que é o ângulo com a parte positiva do eixo Z E aí a gente viu que se a gente quiser converter o sistema de coordenadas X Y Z para o sistema de coordenadas esféricas que é tem fim a gente pode usar essas relações para X para y e prazer a gente também viu que errou ao quadrado é igual x ao quadrado + y² + z². então caso você queira relembrar esses conceitos com uma profundidade maior é importante você ver a aula anterior tá bom lá a gente explorou bem as coordenadas esféricas O que representa cada parâmetro e como a gente pode enxergar pontos e sólidos no espaço usando essas coordenadas Mas agora vamos entrar no conceito de integrais como as integrais vão se relacionar com as coordenadas esféricas então a gente está acostumada a calcular integral de uma função f de x y z né uma função de três variáveis em determinada região e a gente viu algumas técnicas para calcular essa integral né Inclusive a técnica de coordenadas cilíndricas mas tem alguns casos que a gente quer integrar uma função f de x y z em que essa região de integração fica muito conveniente Vista nas coordenadas esféricas Por exemplo quando essa região envolve cones envolve esferas e que fica muito mais simples de enxergar essa região com rotata e fim do que com x y e z o x y e z tornam essa região muito complicada aparece uma raiz lá e aparece os termos ao quadrado e a gente não quer trabalhar com isso a gente quer que nossa vida fique mais fácil então a gente consegue converter essa integral aqui para as coordenadas esféricas assim como a gente fazia lá nas coordenadas cilíndricas E como vai funcionar na sua função f de x y z você vai substituir o x o y e o z pelas relações que a gente viu ó o X é Rose exercendo vezes cosseno o y é Rover existem obedecendo você substitui por cada uma dessas relações as variáveis x y e z a diferencial DV você vai substituir por ro ao quadrado vezes seno de fi Então esse aqui é o seu jacobiano É ele que vai permitir que você possa fazer essa alteração de coordenadas sem alterar o resultado final da sua integral então é importante que você sempre colocar Exatamente esse termo que quando você converter E aí vai ter as diferenciais detecta define Então olha só a integral mais interna tá em relação a roupa isso quer dizer que na região e a gente tem um Rô que ele varia entre a e b então a distância dos pontos ali da sua região até a origem são No mínimo a e no máximo B aí a segunda integral que a gente tem tá em relação a teta né Isso quer dizer que na sua região e de você tem um teta que tá variando entre alfa e beta então o ângulo que você tá formando ali com eixo X esse ângulo aqui ó ele é no mínimo alfa e comece no Alfa e termina no Beta é assim que sua região está sendo determinada aqui e por fim a última integral que a gente vai calcular vai ser em relação a fi então o fi tá começando em um valor c e tá terminando em D ou seja o ângulo que a sua região ali os pontos da sua região formam com a parte positiva do eixo Z são no mínimo ser e no máximo de Então essa é a região de integração que a gente tem aqui e acredite quando você tiver uma região envolvendo esferas ou cones fica muito mais simples trabalhar dessa forma Então vamos lá ver alguns exemplos aqui a gente quer calcular a integral tripla na região e da função x² + y² + b², tudo isso ao quadrado sendo que a região e é uma bola com centro na origem e o raio dela Vale cinco se você for integrar essa função considerando uma esfera nas coordenadas x e y z vai ficar uma coisa um pouco complicada de onde até onde o x está variando de onde até onde o y tá variando de onde até onde o zieta variando vai ficar um pouco complicado de você enxergar ali mas a gente viu que se a gente tiver uma região de integração que envolve esferas que envolve cones a gente pode pensar nas integrais com coordenadas esféricas Então a primeira coisa que a gente pode fazer aqui é converter nossa região e que tava nas coordenadas x y z né é uma esfera x ao quadrado mais y ao quadrado x ao quadrado igual o raio ao quadrado ela tava assim né mas a gente vai converter essa região para coordenadas esféricas Então como funciona uma esfera quando a gente está nas coordenadas [Música] até a origem ele vai ser no mínimo 0 que quando você tá exatamente na origem né quando você tá lá no meinho e ele vai variar até cinco porque a distância máxima que a gente tem até a origem dentro dessa esfera vale o raio dela né que é cinco Então vai de zero assim e o teta o teta é o ângulo que a gente está formando aqui com eixo X né como a nossa esfera dá a volta completa em relação ao eixo X o teto vai variar de 0 até 2 pi e por fim a variável Fi que é o ângulo com a parte positiva do eixo a gente vai desde lá de cima até lá embaixo né a gente tá dando a meia volta completa em relação a esse eixo então ele vai de 0 até o pi que a meia volta né então gente quando a gente tem uma esfera completa o que vai acontecer é isso Ó o Teta vai dar a volta completa de 0 até 2 pi o fim vai de zero até pi e o Rô vai de 0 até o raio da sua esfera então lembrando gente caso você queira relembrar esse conceito de coordenadas esféricas como a profundidade maior entendeu o que é cada parâmetro lá na aula anterior a gente explorou isso com bastante profundidade enxergamos visualmente também o que é cada um deles Tá bom mas então vamos lá agora que a gente converteu a nossa região para as coordenadas esféricas Vamos colocar isso na nossa integral ó a gente vai ter a integral tripla quem é a nossa função f de x y z só que Vista nos parâmetros rotetas e a gente sabe que Rô ao quadrado é x ao quadrado + y² + b², né então isso aqui é errou elevado ao quadrado logo a gente está calculando a integral de ao quadrado ao quadrado que de novo e quem é o nosso dever tem que lembrar do jacobiano né então ele vai ser roa ao quadrado vezes o seno de fi e aí derrou detecta define então sempre tem que substituir isso aqui no final da integral quando a gente está calculando integrais triplas com coordenadas esféricas Tá bom Agora vamos lá de onde até onde o Rô tá variando ele vai de 0 até 5 né dentro da nossa esfera o teta ele tá indo de 0 até 2 pi e o fim tá indo de 0 até pi Então essa é a integral que a gente vai resolver gente para mais vídeos sobre teorias e exercícios das principais matérias do seu curso vem fazer parte do mateka Academy onde você vai encontrar vários exercícios resolvidos provas antigas e uma comunidade onde você pode tirar suas dúvidas e interagir com outros estudantes então para fazer parte só clicar no link da descrição matemática. com para conhecer as nossas opções de planos então agora a gente resolve com uma integral tripla comum resolve o que tá mais dentro depois resolve a do meio e depois resolve a de fora então vamos começar pela mais interna que a integral em relação a rota variando de zero até cinco aqui a gente tem a integral de a quarta vezes o quadrado x seno de fi somando os expoentes isso é a integral de roa cesta vezes o seno de Fi em relação a Rô né então vamos entregar isso aqui qual é a primitiva de a sexta vezes o seno de fi isso em relação a seno de fi você não precisa se preocupar porque ele é uma constante em relação a ROM né não tem nenhum roo aqui envolvido então a gente trata isso como uma constante para essa primeira integral então ele vai continuar aqui multiplicando seno de errou e a primitiva de Rô elevado a sexta vai ser o elevado a sétima sobre 7 a primitiva de um polinômio e a gente vai calcular isso de rua igual a zero até errou igual assim então substituindo roupa por 5 a gente tem de fi vezes 5 elevado a 7 dividido por 7 substituindo roupa por zero vai zerar tudo né porque fica o seno de fi vezes zero então nem precisa a gente lidar com esse limite inferior aqui que vai zerar tudo mas então 5 elevado a sétima gente vai dar 78 mil 125 que multiplica o seno de fi e tudo isso dividido por 7 Então esse é o resultado dessa integral mais interna agora a gente pega esse resultado e aplica na segunda integral a integral em relação a teta Então a gente tem a integral de 0 até 2 pi do resultado da integral de dentro Então 78.

125 vezes o seno de fi sobre 7 e a gente vai integrar isso em relação a teta então a primit de tudo isso aqui em relação a teta a gente pode lembrar que isso é constante né não tem nenhum teta envolvido aqui dentro como a gente tem simplesmente a primitiva de uma constante que não está multiplicando nada envolvendo teta então ela vai ser essa própria constante 78. 125 vezes o seno de fi dividido por 7 só que na primitiva Ela Vai Multiplicar Nossa variável teta Então a gente vai calcular essa primitiva de teta igual a zero até teta igual dois pi substituindo teta por 2p a gente tem 78. 125 vezes o seno de fi dividido por 7 vezes 2 pi substituindo teta por zero vai zerar tudo né vai ficar 78 mil 125 tudo mais vezes zero então mas era tudo logo esse é o resultado da segunda integral dessa integral que é o segundo lugar aqui agora vamos substituir isso para resolver a última integral que a integral em relação a fi então repare que a gente mantém o mesmo segredo das integrais triplas né vai resolvendo de dentro para fora então por fim a gente vai ter a integral de 0 até pi de 78.

125 vezes o seno de fi dividido por 7 x 2 pi e a gente tá integrando isso em relação a fi a gente pode colocar tudo que é constante multiplicando para fora então fica 78. 125 vezes 2 pi sobre 7 que multiplica a integral de 0 até pi do seno de fi então a integral ficou mais simples a gente visualizar agora né que as constantes estão do lado de fora então quem é a primitiva do seno qual é a função que quando a gente deriva resulta menos cosseno né então a primitiva que é menos o cosseno de fi e a gente vai calcular isso de fi igual a zero Até fim igual a pi substituindo Fi por pi a gente vai ter menos o cosseno de Pi e substituindo o fio por 0 a gente tem menos o cosseno de 0 então cosseno de Pi vale -1 o cosseno de 0 Vale 1 então aqui fica menos menos um que é 1 - -1 que vai dar mais um também então a gente tem 78. 125 vezes 2 pi vezes 2 aqui 1 + 1 dá 2 dividido por 7 então o nosso resultado final é 312.