Geometria Espacial I Revisão Completa

[Música] Friends pega essa Prisma teto igual a base Prisma teto paralelo à base e finalizando Prisma faces planas Sandro um cubo então é um prisma um cubo tem o teto paralelo à base tem o teto igual à base e todas as Faces são planas ah entendi logo uma lata cilíndrica também é um prisma porque a tampa é paralela à base a tampa é igual a base e As Faces são planas não não cilindro lateral Face curva Pega essa então cai para cá tenho aqui um exemplo de um prisma certo um triângulo em cima um triângulo

embaixo tem o qu também a tampa igual a base a tampa paralela a base e todas as faces planas Sandro perfeito eu posso afirmar para você que aqui é um prisma regular não por qu só seria um prisma regular se a base ou a tampa que são iguais fosse um triângulo equilátero então Prisma regular palavrinha regular ela caracteriza que a base é um polígono regular então se a base é um triângulo equilátero Eu tenho um prisma triangular regular a gente vai ver isso mas vamos pra nomenclatura o o que seria a b c d e

f vou lançar aqui ó a b c d e f seriam os vértices vértices do meu Prisma perfeito Sandro Mas o que ele tem além dos vértices ele tem aqui também ó essa retinha aqui que seria o quê aresta Sandro mas a aresta do quê eu chamo de aresta lateral por a aresta lateral porque ela realmente está na lateral do nosso Prisma Então tá aqui ó aresta lateral Sandro e essa daqui também também é uma aresta sim é uma aresta só que é uma aresta que pertence quem ela pertence à lateral ou pertence à base

pertence à base logo A nomenclatura dela é o quê aresta da base Sandro mas eu preciso saber os nomes sim porque numa questão às vezes ele fala sendo a aresta da base seis sendo aresta lateral 10 ou seja você tem que saber onde encaixa os valores perfeito Sandro quem eu tenho mais aqui você tem aqui ó a face lateral do Prisma perfeito ah Sandro Então esse Prisma aresta lateral funciona como altura do Prisma perfeito porque aqui é um prisma reto ele é perpendicular à base ou seja ele é em pezinho ele não é oblíquo sempre

que falar oblíquo você associa a inclinação reto a perpendicularidade ao solo ao Plano Perfeito vamos ver mais exemplos de prisma Friends pega essa questão de prisma tenho aqui um prisma triangular regular atenção regular possui aresta lateral 10 cm e aresta da base 4 cm determine sua área total e seu volume o que eu quero que você guarde Primeiro as nomenclaturas tenho aresta lateral 10 logo aqui está a aresta lateral 10 cm Sandro posso afirmar aqui a altura desse Prisma mede 10 sim coincide com a aresta lateral é um prisma regular reto perfeito perpendicular L oo

solo e tenho aqui a aresta da base 4 cm venho aqui e coloco 4 Sandro Qual é a particularidade dele ser um prisma regular quando eu me refiro regular quer dizer o quê que a base é um polígono regular e sendo a base é um triângulo eu afirmo que a base é um triângulo equilátero logo todas as arestas da base são iguais Sandro e daí e daí que eu posso afirmar que minha área total é o quê é a área lateral do Prisma mais o quê duas vezes a área da base porque é tanto a

tampa quanto o fundo eu coloco aqui mais duas vezes a área da base Sandro e quem é a área da base tá aqui ó a área da base coincide com a área do triângulo equilátero a área da base coincide com a área de um triângulo equilátero e ligou aqui ó Ô que isso aí tava me assistindo é mole vou voltar à aula então a área da base coincide com a área do triângulo equilátero como de aresta 4 de lado 4 logo eu tenho L qu √3 so 4 que é a área do triângulo equilátero 4

qu 16 so 4 cortei deu 4 ra 3 Essa é a área da base perfeito sandr mas a área total aqui é duas vezes a área da base se aqui é 4 √3 a tampa mais o fundo totalizam o quê 8 ra3 Só que falta eu somar com a área lateral Quem seria a área lateral aqui eu tenho um retangulo Zinho aqui que é uma das faces da lateral a área desse retângulo aqui eu posso afirmar que é o quê 4 x 10 40 porém eu tenho 1 2 3 eu tenho três retângulos em volta

logo a minha área lateral é 3 x 40 venho aqui e jogo o quê 120 é a minha área lateral Sandro vai ficar assim sim área total 120 + 83 perfeito Sandra o volume desse Prisma volume do prisma pega essa volume área da base vezes altura Sandro qualquer Prisma o volume é esse sim volume do Prisma área da base vezes altura tenho aqui a área da base 4 √3 e tenho aqui a altura 10 logo área da base vezes altura eu tenho o volume que é o quê 40 √3 tá o meu volume Sandro a

questão é discursiva Então coloque a área total em centímetos Quad e o volume em cím C Valeu Friends vamos lá frente falar de cubo o cubo também é um prisma sim tampa paralela a base tampa igual a base e todas as faces planas perfeito Sandro Mas qual é a particularidade do cubo o cubo ele tem todas as Faces iguais e As Faces deles são dele no caso né são Faces quadradas logo ele possui todas as arestas iguais ah Sandro posso falar que o cubo possui todas as arestas iguais Sim todas as arestas iguais Ah ficou

fácil logo se eu te pedir qual é a área total do cubo fica fácil para eu falar por quê a área total é só você pensar são seis Faces se cada Face é um quadrado a área total seis vezes a área de uma Face que é um quadradinho ah Sandra eu gosto de fórmula perfeito a área de um quadrado é L vezes lado é a qu logo você afirma que a área total do cubo é 6ao quadrado perfeito sandr aí o volume volume eu falei para você e se não falei estou falando que o volume

de todo o prisma é área da base vezes altura logo eu tenho o volume do cubo como área da base tá aqui ó a x a a a quadrado vezes a altura que também é a eu tenho o volume do cubo a cubo Sandro é importante eu gravar muito porque na hora da prova você não tem tempo de ficar provando as fórmulas logo aconselho você área total do cubo 6 a qu volume do cubo a cu e outra informação importante é a diagonal mas essa diagonal aqui ela não é a diagonal da face porque a

face é um quadrado a diagonal do quadrado é L2 aqui vermelha a diagonal do cubo Sand escreve PR mim tá aqui ó diagonal do cubo diagonal do cubo a ra3 diagonal do cubo a ve3 a gente vai ver mais vamos nessa [Música] Friends vem comigo paralelepípedo também é um prisma tampa paralela base faces planas e tampa igual a base vou dar o tracinho aqui só para ficar Ah eu sempre me questionava que trocinho pontilhado é esse né esses pontinho aqui é a linha imaginária né caso você olhe um cubo de frente ele como é maciço

você não ver esses pontilhados então eu crio aqui para você ter noção real como é lá atrás a parte que você não V daí que vem as linhas pontilhadas mas explicação saiu sem querer voltando pra realidade tenho aqui um cubo perfeito três dimensões vou chamar de A B e C te pergunto qual é a área total do cubo tenho aqui ó área total do cubo Sandro se eu fosse revesti com papel eu preciso cobrir ele todo logo você vai fazer o que para achar área total eu faço assim acho a área da base a x

b e lembro que tem a base e tem o teto então duas vezes a x b mais acho essa lateralzinha b x c essa área aqui porém tem esse lado e tem o outro duas vees b x c mas acho a área de quem já foi a lateral já foi a o fundo que é igual a tampa e faltou a frente aqui C C aqui é C ó a área da frente é a x c tem a frente e tem o fundo logo duas vezes a x c Sandro é melhor gravar tudo bem se você

quiser gravar que a área total é duas vezes o produto das arestas 2is a do né que seriam essas daqui é a mesma coisa perfeito Então tá aqui a área total do paralelepípedo tá volume Sandro pedem muito tá aqui o volume Sandro você falou anteriormente que o volume de todo o prisma é área da base vezes altura e você começou falando agora que o paralelepípedo é um prisma posso afirmar que o volume dele é área da base vezes altura Óbvio volume do paralelepípedo é o produto das três dimensões área da base que é a x

b vezes altura que é C logo o volume a x b x c é o produto das três dimensões tá aqui Sandro faltou falar de quem da Diagonal do paralelepípedo letra Dezinho de diagonal Sandro Quem seria a diagonal do paralelepípedo diagonal eu guardaria posso até explicar para vocês como eu acho mas lá como eu vou ter pouco tempo eu boto que a diagonal é raiz quadrada de a qu + B qu + C quadr está aqui a diagonal do paralelepípedo vamos nessa FR cilindro cilindro tampa igual fundo tampa paralela ao fundo é um prisma não

Face curva Não é face plana tenho aqui a altura dele também conhecida como geratriz Lembrando que aqui é cilindro reto ele está perpendicular ao solo perfeito e aqui o raio do cilindro Lembrando que tem o diâmetro que é o dobro do raio a base do cilindro uma circunferência um círculo encaixado embaixo perfeito a lateral tá aqui a curva foi qual é a área da base do cilindro a área da base é a área da circunferência área é igual a pi x r qu lembrando qual Qual o valor de Pi na geometria espacial E aí vai

pi deixe pi se ele falar considere pi iG 3 considere pi 3,14 aí você substitui fora isso mantenha pi sendo pi foi área lateral qual é a área lateral do cilindro é a área do que está em volta e como eu acho se eu pegar aqui ó um exemplo essa folha aqui e dobrar eu tenho aqui aparentemente um cilindro a lateral do cilindro se eu pegar uma tesoura cortar e abrir a área lateral do cilindro configura esse retângulo e a base é o quê Qual é o comprimento da base 2 PR cortando Eu tenho esticadinho

2 PR vezes a altura que se Manteve a mesma então tá aqui a lateral do meu do meu cilindro 2 p r x h é a área da lateral foi então tenho aqui aqui área lateral guarda 2 pi r x h Sandro Tem mais alguma observação Tenho sim volume guarda isso volume de tudo que a tampa é paralela à base é área da base vezes altura perfeito Sandro quando não vai ser quando tiver ponta que é o cone pirâmide aí divido por três por enquanto que é o cilindro volume área da base que é Pi

R qu vezes altura eu tenho o volume do cilindro perfeito Sandro aproveita essa figura e fala mais um pouco vou falar da secção meridiana é como você tivesse um queijo minas né no formato de um cilindro partisse o queijo exatamente no meio e olhasse como fica ali você vai ver que fica um retângulo E qual seria esse retângulo tá aqui ó envolve a altura envolve o diâmetro das bases que tem a tampa e tem o fundo essa alturinha desse lado também ó e o diâmetro aqui da base aqui Sandra e aí e aí que eu

tenho a visão lateral desse queijo cortado que seria a secção que é o corte né a secção meridiana Sandro o que ele pode explorar daí ele pode te falar que o perímetro da secção meridiana é 40 e o raio é tanto calcule não sei qu calcule não sei que lá ou seja perímetro da secção meridiana seria o quê 2R + H + 2R + H área da secção meridiana 2R x h que aqui a princípio é um retângulo então lembre-se secção meridiana é esse corte aí Vermelho no cilindro perfeito vamos nessa bem cilindro equilátero Qual

a particularidade do cilindro equilátero vai saber agora tá aqui ó no cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base logo a altura no cilindro equilátero é igual a duas vezes o raio Essa é a particularidade do cilindro equilátero Sandro mas como pode cair uma questão assim olha só ele pode falar numa questão que a área da secção meridiana a área da secção meridiana é 100 cm qu determine letra a a área lateral do cilindro Sandro tá criando Agora sim e a letra b o volume do cilindro gente ele só te deu essa informação

a área da secção meridiana é 100 cm qu Porém na questão ele te diz o quê que é um cilindro equilátero E aí você mata por no cilindro equilátero a altura é igual o diâmetro da base perfeito logo a secção meridiana está aqui ó r + r certo é o corte a secção meridiana é como pegasse o queijo minas e cortasse o queijo minas cilíndrico ao meio e olhasse tá aqui a secção meridiana Então essa área aqui é 100 cm qu E qual é essa área é 2R porque é um cilindro equilátero vezes 2R a

área é o quê vou anotar aqui ó a área da secção é igual a 4r qu que é 2R x 2R 4r qu que é ig a 100 Sandro e daí o 4 passa dividindo R qu = 25 logo R é igual a mais ou menos 5 perfeito como aqui é medida R = 5 Você acha o raio do nosso cilindro Ach do raio Você pode achar facilmente quem a altura que é 2 x 5 10 Sandra aí aí você tem tudo área lateral tá aqui ó área lateral 2 pi r x h o raio

é 5 e a altura também Opa altura é 10 o raio é 5 e a altura é 10 temho ar o quê 2 x 5 10 x 10 100 PI é minha área lateral Sand o volume o volume está aqui ó área da base que é Pi R qu raio 5 vezes altura que é 10 5 25 x 10 250 pi cm C A nossa unidade de volume pega [Música] ess vamos ver pirâmide perfeito pir tinha lá em cima denominado o quê vértice da pirâmide Então tá aqui o vértice da pirâmide perfeito a sandr aqui

va Quem seria va Sandro va seria a aresta lateral da pirâmide va aresta lateral e Sandro legal vai botando os nomes eu vou guardando L aresta lateral perfeito Sandra VB aresta lateral e vc aresta lateral e v lá atrás D aresta lateral também perfeito Sandro e a b Quem seria a b Sandro a aresta também só que a aresta da base AB Vou colocar aqui aresta da base perfeito Sandro e mais diz mais diz mais tem também a altura da pirâmide que ela pega do vértice e desce perpendicular à base tocando aqui o centro no

caso né tá aqui a altura da pirâmide ela é perpendicular à base perfeito então eu vou detalhar mais em breve e pirâmide quadrangular regular pirâmide triangular regular Lembrando que regular quer dizer o quê que a base é um polígono regular se eu falo pirâmide quadrangular regular a base não pode ser um um trapézio por exemplo tem que ser o quê um quadrado out informação relevante o volume da pirâmide volume de tudo que tem ponta guarda isso é a pirâmide e o cone volume de tudo que tem ponta é como as outras Prism e tudo mais

área da base vezes altura por ter ponta lembre divido por três Tem ponta eu divido por três logo o volume da pirâmide é a área da base vezes altura sobre 3 Friends pirâmide quadrangular regular todo dando ela como exemplo por quando eu uso a palavra regular eu tô dizendo que a base é um quadrilátero regular logo é um quadrado tá aqui minha pirâmide desenhada os dois casos que eu quero aproveitar para você e falar as duas Pitágoras mais importantes na pirâmide eu tenho aqui o vértice da pirâmide eu tenho VM que o nome é apótema

da pirâmide Quem seria o apótema da pirâmide não deixa de ser a altura de quem da face lateral vab Olhe que vab é a face lateral da pirâmide que é um triângulo isósceles perfeito Que Va é igual a VB E quem seria VM o apótema da pirâmide que coincide com a altura da face lateral perfeito Sandra Qual é a Pitágoras que eu vou explorar aqui a Pitágoras muito importante aqui é explorando a altura explorando a metade do lado da base se eu tenho a aresta da base medindo L aqui é L sobre 2 Sandro se

aqui for 10 aqui é 5 do centro onde toca que é o centro do quadrado ao lado do quadrado que o nome aqui é apótema não é isso da base o apótema do quadrado é metade do lado e aqui nós já falamos é o apótema de quem da pirâmide Então essa Pitágoras aqui ó super importante perfeito Sandro Mas como ele vai pedir ele te dá que a aresta da base é oito logo se aqui é oito aqui mede quatro ele te dá que a altura é 20 tá aqui a altura e te pede a área

lateral da pirâmide Quem seria a área lateral eu tenho uma Face que é a vab achando a área dela eu multiplico por 4ro porque são quatro Faces em volta dessa pirâmide perfeito tá aqui ó só um rascunho ó V A preciso do apótema da pirâmide sim porque o apótema da pirâmide que é essa medidinha aqui ó vou chamar de X Ele está aqui ó e aqui é a aresta da base que nesse caso aqui eu te falei que era oito joga aqui área de um triângulo base vezes altura que você vai achar por Pitágoras a

medida de x sobre 2 achou a área de uma Face multiplica por 4 vai ter áa lateral da pirâmide perfeito e aqui eu tenho outro exemplo de pirâmide quadrangular regular só que aqui eu aproveitaria quem a o a aresta lateral que eu vou botar aqui ó va aresta lateral fazendo Pitágoras Ela seria a hipotenusa né fazendo Pitágoras com a altura da pirâmide e lembrando a base é um quadrado certo a diagonal do quadrado é L2 aqui é distância do centro ao vértice logo é metade da Diagonal do quadrado e eu exploraria essa Pitágoras aqui para

achar a medida que eu quisesse aí é uma brincadeirinha o importante é você saber as pitágora as possíveis Pitágoras que te favorece Valeu pega [Música] essa Friends cone cone chapeuzinho de palhaço de festa né aquele que usa no parabéns então coni tem na rua coni muito cobrado nos exames atenção nele eu tenho aqui o vértice sandr E essa distância va aqui essa linha lateral é chamado de geratriz pega essa hein geratriz do Cone Sandro e a altura a altura desse cone reto né do vértice A base perpendicular Sandro O que é muito explorado essa Pitágoras

aqui que envolve quem o raio da base envolve a altura do Cone e envolve a geratriz Então pega essa Pitágoras aí perfeito que é geratriz ao quadrado é igual a altura ao quadrado mais raio ao quadrado hipotenusa ao quadrado igual a soma dos quadrados catetos perfeito sandr e as área lateral guarda pi x r x g perfeito R de raio g de geratriz e volume do Cone lembra tudo que tem ponta sobre trê volume do Cone área da base vezes altura sobre 3 pega ess pega sessin razão de semelhança entre volumes tá aqui eu tenho

o que uma secção corte né paralelo à base do Cone maior isso gera o quê um cone menor e um cone grandão que são o quê semelhantes são proporcionais perfeito eu vou chamar aqui ó de vezinho é o volume do Cone menor perfeito vesão o volume do Cone grandão e a Razão de semelhança entre eles se dá pelo k hinho está para gazão ou o raio da base do menor está para o raio da base do maior E aí vai porém é importante você guardar que a razão de semelhança entre os volumes você vai ter

que elevar a razão Ao Cubo Eu sempre faço o menor para o maior logo a razão entre o volume seria o quê vezinho que é o volume do Cone menor está para vão que é o volume do Cone maior assim como o exemplo hinho sobre hão Ao Cubo perfeito multiplicou cruzada e achou o que você quer pega essa e tem mais para você [Música] finalizando esfera o sólido que é o globo terrestre perfeito distância do centro à superfície raio área da esfera guarde 4 xes PI R qu volume da esfera 4/3 de PR cu pega

essa Friends Bons estudos e vamos rumo ao 1000 no ENEM