Efeito Doppler Relativístico

[Música] um último tema ligado à cinemática relativística que eu quero mostrar aqui é o efeito dopper acho que todos vocês já ouviram falar em algum momento da sua trajetória pela física e do desvio para o vermelho e que é visto na na luz que V de estrelas muito distantes ou na chamada lei Hubble n o astrônomo americano Edwin Hubble descobriu que a galáxias distantes e t o seu espectro luminoso e deslocado pra região do vermelho como é que ele fez isso na verdade você sabe que cada átomo cada molécula tem um espectro de emissão e

de absorção de luz característico então se você excitar um ou uma molécula esse tá significa aquecê-la por exemplo e deixar ela decair espontaneamente Ela Vai Voltar ao seu estado normal digamos né ao seu estado eh fundamental jogando fora o excesso de energia que você deu para ela por exemplo aquecendo-a e esse jogar para fora de energia é feito através da emissão de luz e cada átomo cada molécula tem uma maneira de fazer isso bem característica Quando eu olho PR PR pr pra pra luz emitida por um átomo de hidrogênio que decai eu identifico claramente que

este é um átomo de hidrogênio através das cores que tem essa luz emitida chama-se o espectro de emissão né então quando quando O holo identificou que o espectro de emissão dessas estrelas não estavam exatamente na posição que deveriam estar se elas estivessem paradas com relação a ele ele percebeu que eh essas estrelas estavam em movimento com relação a nós e porque esse espectro estava deslocado pra região do vermelho significa uma uma luz que era azulada fica um pouquinho menos azulada né ah ou vamos falar em termos técnicos né cor em física tá associado à frequência

a frequência do vermelho é a frequência mais baixa a frequência do violeta é a frequência mais alta o que ele descobriu foi que esses espectros Estavam todos deslocados para frequências mais baixas Então as frequências eh que nós recebíamos aqui eram menores do que as frequências emitidas por esses mesmos átomos quando estavam estacionários e daí ele inferiu que esses objetos estavam se afastando de nós e através desse deslocamento do tanto de frequência que estava deslocado para menos ele conseguiu obter uma medida desta velocidade e essa medida foi feita utilizando o efeito doppler é por isso que

eu quero mostrá-lo para você né o deslocamento para o vermelho das galáxias é uma indicação de que o nosso universo está se expandindo e o que ele fez Além disso foi descobrir que a velocidade com que as galáxias se afastam de nós é grosso modo proporcional à distância delas Até nós ou seja galáxias mais distantes estão se movendo mais depressa estão afastando mais depressa do que galáxias mais próximas Essa é chamada lei de Hubble que afirma que a velocidade de afastamento das galáxias é diretamente proporcional à distância e a constante de proporcionalidade é chamada adivinho

constante de rubo Então vamos ver aqui de que maneira claro que o efeito dopper não é um efeito peculiar da luz na verdade é um efeito característico de qualquer fenômeno de propagação ondulatória todos nós estamos acostumados a esse efeito com relação a ondas sonoras se você tá no ponto de ônibus aí passa uma ambulância você ouve mais ou menos o seguinte som não isso então esse é o efeito que com o qual você já tá familiarizado a a diferença fundamental existe uma diferença fundamental no entanto entre o efeito dopler sonoro o efeito dopper luminoso perdão

dois efeitos fundamentais duas diferenças fundamentais primeiro o efeito doppler na luz é relativístico porque a luz se move com velocidade c o sonoro não é a velocidade do som 340 m/s é da ordem de 10 a-6 da velocidade da luz os efeitos relativísticos são absolutamente ignorá veis ou até quase que impossíveis de se medir primeiro primeira diferença segunda diferença a o som é uma propagação ondulatória que precisa de um meio material um suporte material para acontecer e a velocidade de propagação eh do som é eh medida é em relação ao referencial no qual esse meio

de propagação está estacionário Tá certo não existe tal coisa no caso da luz então quando você se você se lembra da fórmula de cálculo né da frequência recebida no efeito dopper sonoro você se lembrar disso você vai perceber que tem uma assimetria entre eh a situação observador parado fonte em movimento e fonte parada observadora em movimento e essa assimetria tem a ver com o fato de que a a velocidade medida da propagação sonora não é em relação nem a um nem a outro é com relação ao meio no qual Ah o ar está parado então

tem um terceiro elemento que atrapalha essa simetria Então essa essa assimetria não acontece no caso da luz porque a velocidade de propagação da luz é a mesma para qualquer referencial então curiosamente o efeito dopper relativístico é muito mais simples do que o efeito dopper não relativístico vamos mostrar isso então Suponha que eu tenha uma fonte luminosa como essa daqui vou usar esse mesmo desenho eh uma fonte luminosa que se propaga o que caminha num determinado referencial que caminha com velocidade V com relação ao referencial s e aqui suponha O Observador na frente dessa fonte que

vai receber o feixe luminoso então A fonte está se aproximando do Observador O Observador está parado em S enquanto a fonte se move com relação a s com velocidade V frequência de emissão Vai ser 1 sobre delta t linha Tá certo muito bem eu sou eu sou observador parado em S o referencial S linha fonte tá se movendo com relação a mim com a velocidade V num determinado instante a fonte emite uma uma uma frente de onda essa frente de onda se propaga com relação a s linha com velocidade c com relação a mim também

então depois de passar o intervalo delta t linha né essa essa essa essa frente de onda vai ter se movido então eu vou eu vou eu vou me colocar na situação do Observador que tá em S tá claro que a o intervalo de tempo Entre a emissão de duas frentes de onda medido em S linha não é o mesmo que o intervalo de tempo medido Entre esses dois eventos do referencial S não é verdade qual dos dois é o intervalo de tempo próprio del T linha ou Del T primeiro você entendeu a diferença entre os

dois del T linha é o tempo entre a emissão de duas frentes consecutivas em S linha del T é o tempo Entre esses dois mesmos eventos só que medido em S em qual qual desses dois del t ou Del T linha é um intervalo próprio lembre que esse linha é o referencial que se move junto com a fonte então em relação a s linha a posição da fonte é sempre a mesma tá certo então del T linha é o tempo próprio isso aqui na verdade é igual vou chamar de Delta lembra del t0 é A

nomenclatura que eu tô usando pro intervalo próprio no referencial S eu vou medir o intervalo de tempo diferente entre esses dois eventos esse intervalo é del T vamos ver o que que acontece nesse intervalo delt a frente emitida está digamos nessa posição aqui mas com relação a s a fonte também se se se moveu ela está nessa posição aqui ora com relação a mim outra vez a distância aqui está então a segunda frente de onda o momento da da sua emissão tá vamos ver qual é a distância entre as duas frentes de onda como observada

por s é simples né porque esse tamanho aqui é o quanto a frente de onda a primeira frente de onda andou durante o intervalo del t em S ora a frente de onda tem velocidade C porque em qualquer referencial ela tem a mesma velocidade Então esse comprimento é C x del T por outro lado nesse mesmo intervalo a fonte se locomoveu desse Tantinho aqui com relação a s a fonte tem velocidade V grande portanto esse comprimento é V vezes o mesmo del T então Afinal Considerando o que aconteceu neste intervalo de tempo delt pensando relativisticamente

os dois eventos que eu estou considerando são emissão da primeira frente de onda primeiro evento emissão da segunda frente de onda segundo evento tá bom isto quer dizer que a distância entre as duas frentes de onda no referencial s é essa diferença eu vou chamar isso de lambda o comprimento de onda no referencial S então o comprimento de onda medido em S é a diferença entre essas duas quantidades é c- v x del t Ora se essa se esse é o comprimento de onda medido em S então a frequência medida em S que eu vou

chamar de frequência do receptor r a frequência recebida pelo observador é como anunciou a Tatiana o quociente C sobre l c dividido por l e Lda tá aqui então isso vai dar C divido c - v del T que por conveniência eu vou escrever de uma forma um pouquinho diferente vou botar isso assim ó 1 sobre del t numerador e vou passar esse c que tá no numerador para o denominador do denominador porque aí vai aparecer c- V tudo isso sobre C isso aí é nosso velho amigo 1 - Beta aqui apareceu del t o

tempo intervalo de tempo Entre Duas emissões consecutivas medidas em S isso não é o não é o intervalo próprio não é de fato o intervalo próprio é del t0 que tem a ver que é del T linha nós sabemos que a relação entre os dois é del T é igual Gama ve del t0 ou Del T linha Então vamos substituir del T por Gama T linha ou Del t0 e vamos ficar com frequência recebida igual 1 sobre del T é e 1 sobre Gama del T linha então ficou 1 sobre Gama 1 sobre del T

linha 1 - Beta mais 1 sobre delta t linha tínhamos visto é a frequência emitida Então resultado final a frequência recebida é a frequência emitida dividida por Gama 1 - Beta isto aqui é é verdade se a fonte se aproxima do Observador e existe uma maneira mais simétrica de eu escrever esse resultado Lembrando que Gama é um é 1 sobre a ra1 - Bet Quad eu vou substituir isso aqui ISO vai dar frequência emitida Gama 1 sobre a Ra 1 - beta 2 esse denominador do denominador vai pro numerador fica raiz de 1 - Beta

Quad sobre 1 + Beta 1 - Beta perdão acontece que 1 - beta2 é um produto notável né a diferença de dois quadrados eu posso exprimir como um produto da soma pela diferença desses dois termos então isso aqui vai dar frequência emitida que multiplica ra 1 - b 1 + b sobre 1 - Beta esse 1 Men Beta eu vou botar ele dentro da raiz para fazer isso elevo ele ao quadrado Então essa raiz agora envolve numerador e denominador e o denominador eu escrevo 1 - Beta Quad isso dá a frequência emitida multiplicada por √1

+ Beta sobre √1 - Beta E aí você vê que o resultado que a gente obteve é consistente com a nossa expectativa se a fonte se aproxima do Observador eu espero que a a frequência recebida seja maior do que a frequência emitida de fato esse quociente é claramente maior do que 1 1 + Beta é maior do que 1 - b então isso aqui é maior do que a frequência emitida se ao contrário ae afastando do Observador qual seria o resultado é só trocar o sinal da velocidade trocar o sinal da velocidade é trocar o

sinal de Beta então fica ra1 b 1 b direto certo E aí está a simetria completa que a relatividade permite e que não é permitida pela pela propagação [Música] sonora [Música] di