Cálculo I - Aula 31 (1/3) Derivando funções dadas por integrais

[Música] bom vamos lá então gente tá na na aula passada a gente chegou a anunciar um teorema que dava condições sobre a continuidade ea diferenciar habilidade uma função dada por uma integral tá certo e faltou a gente tentar provar ele eu vou recolocar o enunciado aqui a gente faz a demonstração hoje tá temos um exemplo é o tema que a gente tinha a seguinte pega uma função do intervalo a bnr integrável e ser um número qualquer dentro desse intervalo tá então a brincadeira aquela gente vai pegar uma função que é integrável precisa necessariamente ser contínua

tá basta que ela seja integrável eu vou pegar um ponto qualquer no interior do intervalo com isso a gente definir a função a função dada pela integral da f-1 assim integral descer até xf de tdt já discutimos isso estou certo que significa o valor da f maiúsculo x o que quer é a área com o lado de 70 x sobre o gráfico da função é fim também então essa função com certeza é contínuo sempre qualquer que seja a função é integrável mesmo que ela seja descontinuado setra a função dada pela integral da f 1 é

sempre contínua e que a gente disse sobre a diferença e habilidade dessa função f maiúsculo ela vai ser diferenciado e onde f é diferenciado nos pontos onde é fininho é contínuo há nesse caso quer dizer nos pontos onde a fé continua se você pega um ponto pê de continuidade da f1 a iphan calculada no ponto b é uma função que é diferenciado naquele ponto é fã de x é diferenciado no ponto perguntar nesse caso ela é diferenciável é derivada nesse ponto vale exatamente então como é que a gente mostra que a função é fã é

contínua e depois que ela diferenciável né então provar isso vamos autorama do confronto tá bom então o que a gente sabe é nós é fininho integrável tá eu não tinha dito mas a gente dizer que uma função integrada a gente só está trabalhando com funções limitadas tá não corre o risco dessa função tem algum ponto dentro desse intervalo de modo que uma vizinhança desse ponto ou seja limitada o que eu quero dizer com isso o limite da f1 não têm de preencher finito e nenhum ponto nem no interior do intervalo quando acontecer isso em algum

ponto ftd para mais ou menos infinito a gente vai estudar daqui a pouco a gente chama de integrar em própria sabe que há pouca gente grupo cuida disso trata da situação por enquanto a nossa é uma função limitada no intervalo fechado quer dizer que a função limitada que existe um número m de modo que fx fica presa a enfim e fica presa entre e - ele tá bom então vamos pensar para saber se a função é fã é contínua eu preciso estudar essa diferença vou mostrar que toda vez que o che se aproxima dp é

fã de x fica próximo de fdp é o garante da continuidade ou seja de algum jeito é preciso mostrar que quando x tem de pagar p essa diferença tende para zero quem é integral e é fã de x - desculpa f1 x - fdp isso é a integral descer até x jeff de tdt - a integral de ser até p a href de tdt tudo bem que dá essa diferença aqui eu tenho dos e até x é que eu tô indo disse até p essa diferença é integral de x até p ta certo nós aqui

vira integral de petach se você quiser um x até pt faz o sinal da conta disso efe dt de algum jeito é preciso mostrar que quando che se aproxima dp essa quantidade aqui tem de preservar também então vamos olhar o que quer dizer que a f é limitada quer dizer que existe um número e me positivo de modo que fdx sempre entre esses caras tá certo quem é esse número irmão por exemplo é qualquer coisa que seja maior do que o em módulo maior do que o valor máximo e mínimo que a f atinge aqui

se ela fosse uma função contínua por exemplo precisa ser contínuo mas a gente sabe sendo limitada no esporte para infinito tem o valor máximo que ela atingiu o valor mínimo que ela atinge o maior dos dois em modo esse pode ser o irmão tá ok se isso aqui é uma função constante é menor do que essa o que a gente viu uma das propriedades da integral de riman que é integral dp até x de - ele é menor ou igual ao que integral de petta x jeff de tdt tá bom se essa função é menor

do que essa área embaixo do gráfico dessa menor do que em agosto grafado de maneira nada da csa menor do que essa isso aqui fica menor que integral dp até x de m d é bom sabermos calcular essa quantidade como é que o cálculo isso é uma constante na sua forma integral quanto que dá isso qualquer primitiva desculpa faltou de ter aqui né tá tão primitivo é t de pbt x estudar - m vezes x - p sato menor igual que a integral dp a creche cfdt é só uma coisinha pra gente arrumar aqui e

me vezes - x x - e também está claro qual é a única coisa um pouco chateado é que você precisa tomar um cuidado é se o peixe se tivessem ordem trocada necessitar e multiplicando o número negativo a desigualdade inverteria mas com certeza se você quiser botar módulo em tudo é colocar módulo aqui funciona também o quebra em dois casos olha com o modo muito bem o que acontece quando x tem de pagar p com esse lado da desigualdade tanto pela direita ou pela esquerda esse cara vai pra usar esse cara vai pra 0 também

quando se estende para a p pelo programa do confronto se o limite dos dois das duas pontas tende para zero o do meio do projeto tá então isso implica que o limite quando x tem de provar p&g fãs de x - fdp que é o limite quando xistem dkp integral de pt x ggf de tv é zero ou seja como esse cara é constante ele pula fora do limite a gente conclui que o fdp é igual ao limite quando se estende para a p ou seja o valor da função no ponto é igual ao seu

limite é contínuo ponto p tá bom então como ter um ponto qualquer essa contínua em todos os pontos da então toda a função dada por uma integral se você vai dá a função para integral a função que tem que ser integrável netão se à época qualquer função integrava esse objeto está definido para cada x produz um número essa função sempre uma função contínuo se olhar um exemplo que a gente fez mal passada a gente tinha um gráfico que era dada pela cola de duas funções na tinha uma descontinuidade e acho que era uma reta y

water se não me engano em outra ter quadrado - um chama de continuidade no ponto mas a função dada pela integradora função contínuo tá ok continuar é o que a gente quer mostrar a mais que se a filha for contínua no ponto p então é fã é derivava no ponto p lembra que naquele exemplo que a gente viu nova passado a função era descontínua no ponto x igual 1 a 1 a função dada pela integral era contínua nesse ponto mas não era derivava está inclusive eu acho que você precisa olhar lá eu botei que 11

dos limites laterais era zero a gente precisa conferir essa conta talvez seja 2 tá a gente faz ver de novo depois tá bom vamos ver quando que é derivada eu né como é que eu posso que eu preciso para estudar a diferença habilidade da função efe eu quero eu quero ver então se f é contínua em que eu quero mostrar o que quer fama linha dp e existe é igual ao fdp né vamos tentar mostrar isso que quer dizer que é fão linha a igual a fim quem é fã linha quem é tão linha dp

é o limite quando xistem de própria gestão de x - gestão de pessoas - p essa definição da derivada da função f1 ponto p eu quero que seja fdp legal isso pode ser reescrito da seguinte forma também posso jogar esse fdp para dentro do limite e tenta escrever isso dessa forma é fã de x - fdp ou por dentro do da mesma fração fdp vezes x - p tudo sobre x - p isso tem que ser zero todo mundo concorda que essa sentença equivalente à efe então eu tenho que mostrar se eu conseguir mostrar que

esse limite aqui é zero acabou 60 vou concluir que é filha de linha é igual à f 1 ponto p então vamos usar o que a gente tem como hipótese para tentar mostrar esse limite qual não se pode sequer fim uma função contínuo tá então vamos escrever o que é aquele numerador ali o que é fã de x - fdp - a fim de ver estes - p que que é fã de x - fdp a gente tem aqui é fontes - fdp essa diferença tá certo posso escrever assim então isso vai me dar a

integral dp até x df de tt - esse cara dá pra gente você consegue escrever isso como alguma integral de x até p isso aqui você vê como sendo uma integral de x atp ou você consegue enxergar isso como uma área é um produto de duas coisas o certo é um produto de duas coisas eu posso pensar que isso aqui a área de um retângulo que tem isso aqui como altura isso aqui como base então como é que eu posso escrever esse segundo fator como sendo uma integral posso pensar que estou calculando integral da função

constante igual fdp de x atp bem então isso é integral de x até p&d fdp todo mundo tá claro pra todo mundo que essas duas coisas são iguais de peaches culpa certo mas é calculado de baixos e volta de cima automaticamente e portanto isso aqui vai ser a integral de pt x jeff de ter menos fdp agora vamos tentar pela nossa intuição e depois a gente justifica o que eu queria mostrar que esse cara que entende para 0 quando x tem de propor e isso a gente sabe que você faz hoje estender até a gente

vê que essa parcela vai atrasar essa aqui também mas não só isso né ele tem de provar 00 mais rápido do que o x tem de propor então intuitivamente o que você percebe aqui que se o che se aproxima do p obviamente essa integral vai tender para zero agora porque quando xistem de própria isso aqui / x - pretende para zero que é isso que a gente quer que nós vamos pensar ok nossa hipótese que há é uma função contínua não é isso essa é uma função contínua quando o x tem de pagar p o

tse o número aqui dentro né seu x tem de pagar p esses caras o tenho que vão ter que estar próximos obrigatoriamente então pela definição da continuidade da apple conseguir dominar esse sujeito e portanto vou mostrar que essa integral sobre x - pretende para zero vamos fazer isso desse jeito vamos lá é eu vou escrever uma coisa que é bem razoável ea gente justifica se precisar ver se você concorda com essa desigualdade aqui tom é razoável acreditar que o módulo de uma integral é menor igual que integral de um módulo da função pensa que a

sua função o teu integrando troca de sinal integrando troca de sinal pensa por exemplo que é uma função ímpar tá pensa que é uma função importante no intervalo simétrico depois eu justifico direitinho a função em pôr no intervalo simétrico integral gente sabe que a 0 quando eu tomo um módulo dessa função que vai acontecer vai virar uma função para o certo e aí integral deixa de ser zero então é integral do módulo é sempre maior do que o módulo do integral esse número aqui podia ser zero que dentre esse aqui não está agora como é

que você vê isso o que que é o módulo da integral se você for pensar lá em cima de rima como é que o comparo esse cara e esse votar esse módulo aqui o que eu tenho que é isso aqui é um módulo de uma soma tão certo que a gente sabe a respeito do modo de uma soma de igualdade triangular o módulo de uma sombra menor ou igual à soma dos módulos certo então e aquilo que eu vou ter exatamente os a soma dos módulos não vale isso tomando o limite dos dois lados esse

cara vai virar integral esse cara vai virar um módulo do integral e sei que vai vir a integrar o módulo sai daqui essa desigualdade tá bom então sempre tem essa propriedade também jóia uma vez que a gente tem isso esse cara junto com a nossa hipótese é que a continuidade da f1 começa a se lembrar da definição da continuidade de uma função naquele que é queria dizer que a função é contínuo ponto p tinha um módulo de fdx - fdp é menor do que a ep tinha então como é que era isso quer dizer que

a efe continua em pé quebrei essa promessa não foi que não tinha mais epson mas voltou então da epson positivo existe um delta positivo tal que o que a gente pode dizer que se x - p foi menor do que delta eu vou ter com certeza fx - fdp menor do que a tim está então nessas condições o que eu posso dizer a respeito dessa integral né usando isso aqui dado qualquer som positivo encontra um delta de modo que a distância entre os extremos de integração for menor do que delta o integrando a menor do

que aqui tá então nessas condições da nuvem vizinha o que a gente pode dizer que dado esse epson se o chez né então se estiver pensando x - p é menor do que delta o que eu posso dizer que efe dt - fdp vai ser menor do que é porque o t é um número entre peixes então a distância de ter até p é menor do que delta porquê porque a distância entre peixes é menor do que dentro vai ficar menor igual integral de petta x de edson vezes modo x - p ficou o projecto

vai enquanto que dá isso é só uma constante né então isso vai dar o que com certeza menor igual do que edson autismo tá depende da ordem que o pio x estão ali só poderia ser positivo ou negativo como tô pegando o módulo garante tá bom então que a gente mostrou que dado qualquer pessoa ou um positivo olha a frase geral dada qualquer som positivo existe um delta de modo que a distância entre peixes for menor do que delta eu vou ter que esse cara é menor do que [Música] os x - p tá bom

ou seja que a gente mostrou que se a distância entre x ipê é menor do que delta eu vou ter que o módulo de fx - fdp - fdp x - p menor do capitão passos x - e dividindo isso é melhor do que aqui tá então dado qualquer ponto positivo existe um delta tal que toda vez que x - que for menor do que delta vale essa coisa que isso mostra que o limite disso quando se estende para a plr igual quanto a 0 não pode enxergar que tem 1 - 0 aqui se você

quiser qualquer definição de limite lado oeste onde existe um delta positivo táxi x - terminal do que delta o módulo fdx - éle menor do que edson onde é o hélio é o valor do limite mostrei que tem um cara e se está fazendo o papel do meu l então esse cara - esse número ficou menor do que edson portanto o limite desse cara é zero quando x tem de propor e provamos isso que era a mesma coisa que dizer que a filhinha é tão linda igual ao fim de bom que isso garante pra gente

que toda vez que eu pegar anunciado teremos ctf foi uma função integrável a função dada pela integral desses é fininho vai ser derivavam nos pontos onde f foi uma função contínuo também não dá pra gente derivar funções dadas por integral a gente tem a forma quem é derivada de uma função da opção por uma integral é o valor de integrando naquele ponto desde que o extremo de integração seja x né é fã de x em tempo integral de pt x a derivada do iphan é o integrando calculado no ponto se a função for contínuo talvez

aí pensa que a sua função a minha função h é a função da forma integral e integral essa aqui de cena de x até x ao cubo de 3 sobre o mais tem a quarta vamos fazer tudo com cuidado pergunta a função h é uma função dele vável qual é o domínio dela ver que isso não se encaixa muito no teorema que a do teorema como é que era eram de uma constante até x como é que a gente pode pensar nisso após quebrar esse intervalo de integração por exemplo aqui está definido para todo o

valor de x né porque esse cara que nunca 0 integrando nunca tem 01 denominador etc essa função definida para todo um número x real não posso quebrar por exemplo integral de seno dx até 0 mais integral de zero a testes ao cubo e uma em cada um dos pedaços funciona mas como integrando uma função contínua eu tenho certeza que essa função a guy de valor por quê pois é é contínuo onde é filho de t é igual a 3 sobre quem é católico sobre qual como é que o cálculo derivada da função h cela derivava

enquanto que valeu derivado de jogar num ponto eu não posso a fala é e não é 3 / uma estreia quarta o teorema não cobre exatamente esse caso ele cobre o caso da função é fundado só por isso a quina que a função é fão é isso a derivada do f 1 é tão linha é igual à f1 cobre x aquele caso não funciona exatamente dessa maneira porque porque os extremos não tem dois extremos variáveis eo e não é só x então como é que a gente faz uso o termo fundamental do cálculo como é

que você calcula como é que você calcular e assim integral pelo tema fundamental do cálculo como é que se calcula qualquer integral definida pega uma primitiva do integrando e substituir os extremos certo pelo fc se é fã de t é uma primitiva não sei quem é tá uma primitiva jefinho concluiu que o hd x quem que é essa primitiva tal padrão nos extremos é fã calculado em x ao cubo - é concorda em ser chefe tá certo que o termo fundamental do cálculo me diz quem é então a derivado agasam linha de xis como é

que eu devo isso deriva esse cara - o derivado desse canto que é derivada de é fã de x ao cubo é uma regra da cadeia pra fazer né como é que fica queria uma composta de funções de língua de fora calculado de dentro vez a derivada de dentro da prisão tudo quando deriva no trecho quadrados e quem que é fão linha uma primitiva jefinho quando eu tenho esse cara dá esse então a primeira parcela vai virar é fino calculado em x ao cubo vezes 3 x quadrado quem quer fim o calculado antes ao cubo

é a fórmula do fmi em troca tempo x ao cubo da quanto 3 sobre um mais um é a quarta vai virar x ao cubo fica x a 12 netos acerto vezes 3 x quadrado então vai dar 9 x quadrado tudo bem - enquanto que a outra quanto é derivada dessa parcela vamos fazer aqui embaixo fdc no the x nevada vai ser é fão linha calculado em sendo x a derivados do que está dentro que é o seguinte ou seja está é fininho de cena de chips ver se conseguimos em que é fim o des

e no the x 3 sobre o mais sendo a quarta vez que o centro é bom claro tá certo dúvida na conta que a gente fez usando a regra da cadeia pra deriva' uma função dada por uma integral onde os extremos não são exatamente a função identidade ok você quer ver como é ele me perguntou o exercício de uma prova passada que tinha uma questão bem parecida com as como recuperar o enunciado a gente resolve agora