Cursos Unicamp: Cálculo I - Aula 1 - Introdução

[Música] [Música] meu nome vocês vão ver isso na página da disciplina Renato Pedrosa pessoal a já me conhece por Pedrosa a esse cálculo um é a primeira disciplina de matemática juntamente com a geometria analítica que provavelmente alguns de vocês já tiveram aula ontem e essas duas disciplinas preparam vocês Para continuação nas disciplinas de matemática n eu gostaria de avisar logo que vocês vão perceber que a disciplina de cálculo ela é uma disciplina que usa intensivamente o que vocês aprenderam de matemática antes de entrar na universidade a principal diferença que vocês vão sentir é o enfoque

mais conceitual mais estruturado e mais organizado da matemática e a velocidade aliás velocidade é um tema deste curso desta disciplina porque velocidade é taxa de variação Esse é um dos principais Tais itens da nossa agenda é aprender como se calcula a velocidade de qualquer fenômeno pode ser velocidade dos preços que é inflação pode ser velocidade e mecânica que vocês já ouviram falar que é mudança de posição pode ser velocidade na na na por exemplo na na mudança de temperatura que é o gradiente de temperatura quando você tem uma mudan de temperatura Qual é a velocidade

dessa variação tudo que trata de variação nós vamos aprender de funções nós vamos aprender aqui nessa disciplina Mas o que eu queria falar é que a velocidade com que a gente vai aprender isso é muito superior ao que vocês viram até hoje e esse é o principal choque e a principal fonte de dificuldade na disciplina de cálculo que é um dos terrores da Universidade cálculo um desenvolve o estudo de funções reais de uma variável Então nós vamos fazer um estudo Eh vamos diz só de uma parte das funções que envolvem apenas uma variável usando as

técnicas de limites ação e integração Essas são as três palavras chaves que vocês nunca ouviram falar até hoje com algumas exceções alguns já ouviram falar talvez de derivada mas limites menos e integração menos ainda então esses três conceitos limite derivada integral vão ser os conceitos fundamentais as técnicas fundamentais que nós vamos desenvolver mas o assunto do curso não é limite derivada integral como Às vezes as pessoas podem pensar o assunto é o estudo de funções essas técnicas são apenas técnicas destinadas a entender o comportamento de funções Este é o tema do curso Então essa é

a definição do curso em uma linha depois o livro texto esse aqui é a quinta edição existe também a sexta edição que a capa acho que é verde eu não me lembro direito mas eles são praticamente o mesmo livro com algumas modificações numa ou de organização ou de nos exercícios mas tudo isso está explicado bem em relação às edições na página da internet então tá escrito aqui a página é a página do IMEC www.ime.unicamp.br ma 111 tá aqui no segundo item aqui página da internet muito bem cálculo Então o que eu falei para vocês é

que cálculo um estuda funções então o nosso objeto Então se a gente vamos escrever aqui o nosso objeto de estudo são funções agora para nós não vamos trabalhar com qualquer tipo de função Então nós vamos nos restringir as funções de uma variável real e eu acho que todos vocês sabem o que é isso e as nossas funções aliás são funções reais de uma variável real a variável real e o valor é real é um número real são números reais o símbolo para números reais É esse aqui você já conhece conjunto dos números reais o símbolo

de uma função em geral vai ser assim F é tradicional porque é a palavra para função D é um subconjunto do os números reais que pode ser todo o conjunto ou uma parte dele e isso aqui indica que esse é o domínio lembre que D aqui tá representando o chamado domínio da função é o conjunto onde a função está definida ele é um subconjunto dos números reais e essa flechinha indica que a função transforma números reais em números reais a representação em geral para variável é eu vou fazer aqui e ela é elevada no seu

valor que é FX Então essa é a representação X é um elemento aqui de D e FX vai ser um número real esse aqui é clássico bem tradicional não tô falando nada novo para vocês mas nem toda a relação entre números reais é uma função Qual que é a característica fundamental de uma função o que Que diferença diferencia por exemplo a função de uma relação do tipo menor dois números podem ser esse é menor do que esse se a gente pensar que o segundo número é como se fosse a função do primeiro você dizer mas

não é né porque tem muitos números menores do que outros muitos números né então ó cada número aqui tem muitos números maiores do outro lado da relação mas a função é uma relação ela dá um número do domínio e um número do contradomínio para cada número lá tem um aqui mas quantos números podde ter no cont contradomínio para cada número lá que é o que caracteriza a função quantos podem ter um exatamente um tem um para cada cara daqui tem apenas um aqui essa é a definição da relação entre números reais com reais que que

caracterizam a função isso caracter uma função e isso é traduzido geometricamente no gráfico o gráfico de uma função vocês lembram a definição é essa aqui e eu já vou escrever uma anotação aqui de conjunto abre Chaves são os Y pertencentes não XY pertencente a este conjunto R2 que é pares de números Tais que pode ser dois pontos ou uma barra Tais que o y é a imagem do X e o x pertence ao conjunto D que tá lá então vamos lá vamos vamos recapitular a nomenclatura e a notação de teoria dos conjuntos abre Chaves fech

Chaves é típico para descrever um conjunto isso aqui é a declaração de onde estão os pontos do conjunto onde eles moram Qual é o habitate deles o habitate de pares de números reais é chamado R2 é o produto cartesiano de R por R ISS eu vou fazer aqui então ali eu falei conjunto dos números reais R2 é por definição o conjunto dos pares x y Tais que x pertence a r e y pertence a r e esse R2 É porque também é a definição do chamado produto cartesianos de R por R é a mesma coisa

e produto produto de duas coisas iguais a gente põe expoente dois então são notações só não é um expoente de não é um produto de um número por outro isso aqui é o produto cartesiano de de dois conjuntos são os pares de elementos um no primeiro e outro no segundo aqui o primeiro e o segundo conjunto são o mesmo conjunto Então esse par conjunto dos pares onde o primeiro elemento segundo elementos estão em R é chamado R2 e ele tem uma representação gráfica de pares de números no plano cartesiano plano cartesiano ele em geral é

duas retas perpendiculares você põe o sistema de unidades aqui 1 2 3 1 2 3 os números podem ser negativos -1 Men dois então o conjunto do dos dos números pode ser descrito aqui o que eu faço é eu marco o valor de X nesta reta o valor de y nessa reta traço as retas então por exemplo o ponto 3 2 é esse ponto aqui é representado por um ponto do plano então quando a gente faz o gráfico de uma função o que a gente faz é exatamente representar o domínio aqui ele pode ser um

subconjunto dessa reta e a imagem os pontos que correspondem aos valores aqui da função então a função pode ter um gráfico representado por uma curva então o gráfico em geral vai ser um conjunto de pontos E por que que é uma curva se a gente pensar depois a gente vai entender um pouco melhor é porque na verdade um dos valores determina o conjunto você dá o valor de X você determina qual é o valor de y pela relação da função é o valor da função que é o y Então você só tem um parâmetro variando

é o x você varia o x determina o y uma coisa que tem um parâmetro variando é uma coisa um dimensional é uma curva curva é um assunto ainda não definimos o que é uma curva vocês têm conceito por exemplo um círculo circunferência uma curva uma reta a reta pode ser um gráfico de uma função que a gente vai ver a função linear Então eu tenho aquela representação que dá em geral Isso aqui é uma expressão envolvendo operações pode envolver soma multiplicação subtração divisão pode envolver exponenciação logaritmo você pode envolver seno cosseno tangente as funções

que você vocês já ouviram falar e nós vamos introduzir algumas outras funções ao longo do curso então isso aqui é uma expressão Essa é a representação algébrica que a gente chama o o né analítica da função e essa é a representação gráfica o que que caracteriza a função é que este gráfico quando você passar a linha vertical ele só cruza uma vez né se eu passar uma linha vertical aqui para cada de valor de X só tem um valor não pode ter outro então por exemplo o círculo que é uma curva desse tipo ele não

é o gráfico de uma função porque na hora que eu passar a reta vertical eu marco dois pontos então para cada valor de X tem dois valores de y pode ter dois valores de y então o círculo todo não é o gráfico de uma função porque não vai satisfazer a definição de que para cada valor de X só tem um valor para Y aqui então isso aqui só é a coisa mais básica esse é o nosso objeto esse é o nosso objetos nós vamos estudar estes objetos até aonde a gente conseguir desenvolver em termos de

trabalhar com as técnicas como Eu mencionei limite derivada integral vocês têm um um dicionário de funções na cabeça a função linear que dá origem a reta a parábola que é a equação quadrática segundo grau ah seno cosseno tangente talvez cotangente secante cosecante E por aí vai logaritmo exponencial mas eh cada uma dessas funções para vocês é uma função é um objeto que tem um vamos dizer uma vida individual E aparentemente eu eu trato cada caso um caso e eu não sei exatamente quais são as propriedades mais relevantes dessas funções e e qual a origem dessas

funções por exemplo qual é a origem da função logaritmo mas para que que serve logaritmo só serviu para vocês iri bem no vestibular se caísse essa questão no vestibular mas a pergunta continua Para que serve o logaritmo vocês podem fazer uma pergunta não para que serve o seno e o cosseno que ra de função Por que que as pessoas se preocupam em aprender seno e cosseno né exponencial então há razões tanto históricas mas e metodológicas conceituais para que Essas funções viraram objetos relevantes e que são estudados desde a Desde da Educação Básica desde pelo menos

do ensino médio e vão ser os exemplos que nós vamos trabalhar intensivamente aqui sobre eles porque eles primeiro fornecem um um um dicionário uma um conjunto de objetos que vocês já conhecem a enciclopédia de vocês de funções é limitada Mas já tem um conjunto bacana e segundo é porque a gente vai ver que estas funções eventualmente são aquelas que realmente tem muitas aplicações né muitas aplicações todo fenômeno periódico ele pode basicamente ser representado por combinações de senos e cossenos isso é muito importante porque há muitos fenômenos periódicos se a gente tivesse uma visão que conseguisse

perceber a frequência a gente ver essas lâmpadas todas tem uma certa frequência a corrente alternada tem uma certa frequência né o 60 hz é um fenômeno ondulatório e e ele é descrito por senos e cossenos e toda a a eletricidade basicamente é representada por modelos ondulatórios tanto a eletricidade como o magnetismo então Eh esse é um aspecto do ponto de vista por exemplo de crescimento de objetos na natureza isso vale tanto para objetos vivos como inanimados na Geologia né acúmulo de depósitos etc é interessante que em muitos desses fenômenos a função exponencial joga um joga

um papel fundamental nós vamos entender depois por que a função exponencial é aquela que tem um conteúdo bacana que descreve por exemplo como crescem populações de bactérias ou populações de animais às vezes e também como que ela se relaciona com objetos eh e na área de Geologia na na na evolução no desenvolvimento de de das rochas etc uma outra área ondas de choque fundamentais em Geologia em geofísica ela é tão fundamental do ponto de vista do acidente natural um tsunami um terremoto como ele é importante na hora de prospecção você para achar petróleo e todo

mundo que faz geologia uma das ideias é eu vou trabalhar na Petrobras certo eu vou ou numa empresa de petróleo porque iso é um grande negócio e e é mesmo é um excelente emprego hoje em dia trabalhar na área de gás e petróleo e a toda prospecção é feita com ondas de choque ondas de choque são descritas por dois tipos de fenômenos ondulatórios E atenuação porque você mede a distância se você sabe o tipo de de como deveria ser atenuação quando você faz um choque aqui como ele chega lá você sabe qual é o tipo

de material que tem entre esse ponto e aquele e a atenuação é um fenômeno exponencial assim como a transmissão do calor pros mecânicos no motor fenômeno que trabalha com exponencial então né e pro pessoal da engenheria de alimentos calor é fundamental né a gente sabe que o calor é na verdade os engia de alimentos eles trabalham em geral contra o calor né Nós não queremos que os alimentos pereçam então nós temos que não podemos deixar os alimentos aquecerem porque o a temperatura acelera o processo os processos bioquímicos biológicos que ocorrem nos alimentos então por isso

que a gente guarda as coisas na geladeira porque ele acelera o processo de fermentação de todos os processo crescimento de bactéria etc Então você vai cuidar para que não aconteça por tem a geladeira calor e resfriamento que serve tanto pros mecânicos aqui serve por geólogos porque o calor também é uma coisa importante na na na formação da Terra até hoje a gente tem Ilhas se formando e tem a ver com o calor no no no subsolo e as pressões que se formam como pros mecânicos e pros pros Engenheiros de alimento calor é fundamental e o

calor ele tem novamente vários aspectos na sua descrição na modelagem e e e é fundamental trabalhar com exponencial e com com as funções periódicas s eic tá grande teórico disso na na na na história foi o furrier que era um engenheiro e curiosamente político e que foi a pessoa que descreveu a equação do calor nós vamos falar disso pelo menos eu quero mencionar isso lá na frente para vocês para vocês entenderem como que a equação do calor tem a ver com essas funções que a gente tá falando aqui muito bem Então esse é o nosso

assunto mas vocês vão dizer eu sei fazer conta para criar funções eu sei fazer talvez alguma descrição assim se me derem o gráfico eu sei dizer que aqui tá crescendo aqui talvez tem um ponto de máximo olhando tal mas por exemplo você pega essa função que tá descrita aqui por esse gráfico como que eu localizo esse ponto aqui se eu conseguir descrever a região em que ela cresce a região que ela decresce esse aqui é o ponto intermediário entre uma região de crescimento e outra de decrescimento Então se a gente tiver um instrumento técnico para

localizar onde a função cresce de forma eficaz eficiente computacional e onde ela decresce o ponto onde ela deixa de crescer passa a decrescer esse ponto provavelmente é um ponto de máximo da função e para que que é importante saber onde é função é máximo porque vários processos a gente quer saber qual é a máxima temperatura que esse sistema vai atingir Será que o sistema vai aguentar pressão qual é a máxima pressão que o sistema aguenta tudo isso é importante pode ser também o mínimo eu gostaria de ter uma um sistema produtivo que gastar a menor

quantidade de dinheiro ou de energia então eu quero achar o mínimo da função energia pro meu sistema então descrever máximos e mínimos região de crescimento decrescimento é uma é uma coisa desejável hoje em dia vocês olham e diz assim ah eu calculo um ponto aqui um ponto aqui se esse ponto for maior do que esse eu eu sei que cresceu daqui para cá Mas pode ser que tenha crescido e decrescido um monte de vezes antes de chegar aqui então não sei o que aconteceu no meio do caminho Será que tem um jeito de localizar isso

Será que tem um jeito de dizer nessa garantir nessa religião a função sempre cresce independentemente do ponto e isso é muito melhor do que ficar testando coisa pondo no computador olhando a figura porque a figura pode enganar eu olho essa figura assim ah essa função cresce aqui mas talvez se eu ampliar bem aqui Aqui tem um zigue-zague que a gente não tá vendo pode ter um ponto de mínimo de máximo local num ponto ali mas tá tão comprimido isso aí tão perto um do outro que parece que passou reto por causa da escala então precisa

tomar cuidado que tanto mos computacionais como métodos geométricos gráficos eles não são às vezes suficientes para detetar o que você quer detetar então a gente precisa de métodos um pouco mais finos mais conceituais isso é o cálculo isso é o cálculo Então vamos pensar um pouquinho na seguinte ideia vamos supor que essa função aqui mede uma variação de temperatura numa região Isso aqui é uma barra isso aqui é temperatura na Barra eu quero saber onde cresce a temperatura então o que que eu posso fazer eu posso pôr um medidor num ponto e ficar olhando o

que que acontece nesse ponto noutro ponto mas será que não tem um jeito de analisar isso aqui o que que é essa diferença aqui essa diferença me diz assim se eu andar aqui eu sinto um crescimento de temperatura Então vamos pensar assim eu tô andando aqui e tô com medidor na mão então eu vejo a temperatura subir Opa a temperatura tá subindo nessa direção Então aquela ideia de marcar um ponto aqui um ponto aqui e medir diz assim o crescimento médio daqui para cá é tal variação da temperaura sobre a variação de distância a Cada

centímetro em média a temperatura cresceu 1° Esso seria uma informação eu não sei exatamente o que aconteceu no meio do caminho a temperatura pode ter subido e descido mas eu sei que daqui a até ali subiu 10° e tem 10 m Então por metro subiu 1° em média is é temperatura vamos falar em distância eu vou dar aqui até lá quantos passos Será que eu dou vamos ver 1 2 3 4 5 mais ou menos tem 5 m daqui até lá então eu vou contar no relógio deixa eu marcar aqui ó vai bater no zero

eu andei exatamente 5 segundos 5 m em 5 segundos então quantos metos por segundo eu fiz 5 m em 5 segundos quantos metos por segundo 1 m/s Essa foi a minha velocidade média porque eu poderia ter feito isso ó mesmo 5 segundos Qual é a velocidade daqui de lá até aqui em média 1 m/s mas se eu olhar o que aconteceu vou voltar de forma parecida os mesmos 5 segundos ou seja lá quanto for só que a minha velocidade variou bastante porque eu vin até aqui parei depois eu andei de novo então ela acelerou desacelerou

acelerou e desacelerou se você mapear a minha posição eu andei rápido parei andei rápido certo poderia até ter feito uma coisa assim mesmo 5 segundos na média 1 m/s mas certamente cada caso desse é um caso totalmente diferente mas então vamos fazer o seguinte em vez de eu medir o tempo todo Eu meço só daqui até aqui agora eu tenho esta velocidade média agora só vou medir daqui até aqui aqui eu olho o movimento restringe o a distância e divido pelo tempo vou diminuindo o intervalo de tempo e vendo a distância que eu andei se

a gente pegar um trajeto e fizer isso num pedacinho só para não parar e andar cada vez eu reduzo pego o intervalo daqui até aqui vejo Quanto tempo demorou divido essa velocidade média aqui vou diminuindo diminuindo diminuindo que que acontece se eu dividir por um intervalo de tempo muito pequeno que vai ser um intervalo de distância muito pequ pequeno que que eu vou est medindo quase a minha velocidade instantânea aqui ainda é uma velocidade média porque é um uma distância pequena dividido por um tempo pequeno ainda é uma velocidade média mas já mede muito proximamente

Qual foi a minha velocidade nesse trechinho aqui então este conceito que serve para temperatura para inflação para qualquer coisa processo velocidade de velocidade eu vou pensar aqui que a minha velocidade média num certo trecho é o intervalo na distância dividido pel pel pelo tempo então quando eu Delta significa um intervalo de tempo T2 - T1 então eu andei no intervalo de T1 até T2 que eu marquei aqui na minha reta de tempo eu andei uma certa distância eu ando aqui Aqui tá o eixo da distância eu andei daqui até aqui eu tava aqui e eu

andei até aqui bom o que aconteceu daqui até aqui eu não sei pode ter acontecido um monte de coisa mas eu sei que eu tava nesse instante eu tava nessa posição e nesse instante eu tava nessa posição a velocidade média é isso aqui o que que é isso aqui geometricamente É esse aqui é o Del t e esse aqui é o delx o que que é delx sobre del T tarã fazer colorido né fica mais bonito tangente do quê esse triângulo retângulo delx divid por delta t é o quê tangente de quem deste ângulo desse

triângulo tem esse triângulo retângulo cateto oposto sobre cateto adjacente Esses são os nomes né técnicos cateto oposto cateto adjacente tangente de câo função trigonométrica apareceu aqui coincida de vocês só que não tá falando de velocidade né agora falou apareceu a tangente é a inclinação desse segmento de reta aqui chamada tradicional inclinação se for escrever equação da reta que vocês sabem nós vamos voltar a falar disso é a inclinação da reta muito bem eu reduzo o intervalo de tempo em vez de ir até T1 até T2 eu vou de T1 até T1 metade do caminho pode

ser eu não sei qual é o ponto exatamente podia ser um outro ponto diferente mas eu posso calcular também a tangente do ângulo que vai aparecer agora eu faço esse ponto aqui O T2 andar até pontos sucessivos at ficar bem próximo ou seja esse intervalo aqui tá indo para zero mas esse intervalo também vai para zero né porque o caminho que eu ando daqui até aqui vou andar cada vez menos a pergunta é será que eu posso fazer o O T2 tender a T1 Ou seja eu posso fazer o denominador ir para zero em matemática

Posso ou não posso não posso ainda então vocês vão aprender que podemos fazer o denominador para zero com a condição que o numerador também vai para zero o que não pode é aqui ficar um número diferente de zero e aqui para zero Porque daí vai para infinito um número 1 dividido por 0,1 é 10 dividido por 0,01 é 100 dividido por 10 a não sei quanto é 10 elevado a aquela coisa então se o número de cima ficar fixo ou limitado número positivo que não vai para zer esse aqui indo zer Isso aqui vai para

infinito só que quando esse vai para zero esse também vai para zer o que nós vamos aprender é lidar com isso aqui e quando a gente aprender a fazer isso nós vamos calcular a velocidade instantânea e a velocidade instantânea no meu gráfico vai ser exatamente neste ponto a inclinação da reta tangente aqui esse aqui vai ser a inclinação da reta tangente naquele ponto que varia em cada ponto aqui é isso que nós vamos aprender a calcular e esse é o conceito de limite limite é quando a gente nesse caso é quando a gente fizer isso

aqui para zero em cima para zero nós vamos mostrar que em muitos casos e no caso de velocidade no mundo real no mundo da física dá um número real esse limite esse quociente zer sobre zero a gente chama indeterminação antes de aprender a calcular depois que a gente calcular a gente vai chamar de limite e ele vai ter um número bem definido em muitos casos em particular conceito de função de limite de função então quando a gente conseguir fazer isso basicamente o que a gente tá medindo é essa inclinação instantânea aqui é a é a

reta tangente a inclinação da reta tangente então por exemplo esse ponto aqui que é um ponto de máximo qual vai ser a inclinação da reta num ponto de máximo ou de mínimo ela é horizontal né el nem crescendo nem decrescendo então a inclinação ali deve ser zero ou seja esse limite é zero essa é uma forma de calcular o máximo e mínimo é procurar os números onde este limite dá zero como é que a gente chama esse limite esse limite vai ter um nome especial ele é a derivada da função naquele ponto então derivada é

exatamente isso já contei toda a história de metade do curso para vocês só que vocês não tem menor ideia nem como calcula e nem da onde vem as coisas certo Mas essa é a primeira metade do curso é aprender a calcular a derivada que a inclinação da reta tangente é um gráfico qualquer de uma função qualquer não só daquelas tradicionais que você já conhece nós vamos poder calcular em cada ponto de uma função que eu tenho uma expressão algébrica aqui a derivada que é a inclinação da função neste da tangente ao gráfico neste ponto naquele

ponto etc né né usando aqui o projetor depois nós vamos fazer algumas simulações e algumas coisas bacanas para ficar mais fácil de vocês entenderem mas conceitualmente na verdade é é relativamente simples a ideia mas é uma ideia muito revolucionária Então deixa eu contar para vocês que essa ideia de dividir por zero quando em cima também vai para zero né esse ideia de limite demorou muito tempo para acontecer na história da ciência e da Matemática os gregos Quando eles começaram a lidar com a ideia de limite eles chegaram a alguns problemas assim que para eles eram

insolúveis um deles era o famoso paradoxo da lebre da Tartaruga que se você pensar que se a Lebre se diz assim a Lebre anda na velocidade duas vezes maior que a da Tartaruga você marca uma distância e diz assim então quando a tartaruga andar esse pedaço a lbre anda né duas vezes mais rápido anda um outro pedaço aparente parecia que a Lebre nunca ia alcançar ia demorar um tempo infinito porque o número de intervalos era infinito e parecia que a Lebre ia demorar um tempo infinito para alcançar a tartaruga então o os gregos ficaram com

a impressão E durante muito tempo isso passou isso é né na na antiguidade é que o problema estava em trabalhar com quantidades infinita de números Este era o problema na verdade não era este o problema o problema é que eles não conseguiam entender que uma quantidade infinita de números positivos a soma pode ser finita que é o que acontece depois de um tempo finito na verdade ela alcança e depois o trapassa só que para ele somar uma infinidade de intervalos de tempo positivos infinidade de intervalos de números positivos dava sempre um tempo infinito e não

é verdade mas eles eles não conseguiram ver isso isso é uma coisa só do século 1 XVI com a invenção do cálculo do da con limite de convergência de sequências é que isso ficou mais claro e na verdade só no século XIX é que o conceito de limite que nós usamos hoje foi desenvolvido então a história da matemática ela passa praticamente 2000 anos de alguns séculos antes de Cristo até 1500 1600 trabalhando só com quantidades finitas e número finito de objetos e numa transição aí de 150 anos de 1000 1600 a 1750 há uma revolução

e o cálculo entra e as técnicas do cálculo principalmente a técnica que depois da origem a se Conce de limite o atual quebram esse paradigma o paradigma de que trabalhar com um número infinito de objetos era algo que não poderia ser trabalhado efetivamente que dava origem a problemas técnicos insolúveis conceitualmente insolúveis né então esse processo que é o processo que nós vamos aprender aqui esse é o problema Demorou 2000 anos agora nós vamos aprender em um mês certo então daqui a um mês vocês vão saber tudo sobre limite aquele filme tudo que você queria saber

sobre alguma tudo que vocês queriam saber sobre limite mas não sabiam nem que dava para perguntar Vocês vão aprender em um mês e tem uma quantidade matemática significativa de álgebra envolvida tudo que vocês aprenderam até hoje de matemática de funções nós vamos usar tudo então é isso que eu queria chamar atenção porque nós vamos trabalhar muito com simplificação e manipulação algébrica de expressões que envolvem cocientes álgebra etc funções conhecidas e tudo que vocês aprenderam desigualdades intervalos tudo que vocês aprenderam até hoje resolver desigualdades nós vamos usar aqui muito bem Então esse é a derivada ess

então eu já falei de limite de derivada agora só falta falar de integral né a integral É é até mais simples de explicar a integral vem do seguinte problema eu pego esse mesmo gráfico Marco dois pontos aqui por exemplo esse esse e quero saber qual é essa área aqui resposta é a integral daí que é isso a resposta então a integral resolveu o problema colocado também desde a antiguidade de calcular a área e depois os volumes de regiões em geral então o homem sabia calcular pirâmides e alguns sólidos regulares o volume né cubo etc cilindros

a esfera é meio complicada Mas eles já tinham calculado de formas né usando certas técnicas de aproxima que é o que a gente vai trabalhar aqui mas uma figura em geral como essa aqui eles não tinham a técnica para calcular e a técnica novamente vem do limite curiosamente a mesma técnica que usa para fazer cálculo da derivada que seria a variação da função serve para calcular a área embaixo de um gráfico entre um gráfico e o eixo X por exemplo linguagem matemática e tem mais uma curiosidade fundamental nessa história ou não é é bem curiosidade

mas um fato fundamental é que o processo de integrar a função e o processo de derivar a função são os inversos um do outro se você pegar uma função integrar até um pedaço e depois derivar você recupera basicamente a função original nós vamos entender isso e e é interessante que os antigos comear com a com o cálculo de áreas e volumes isso já tava muito mais desenvolvido em 1600 do que a noção derivada que não existia nada aí curiosamente se fez primeiro se fundamentou a parte da derivada e depois voltou-se ao cálculo do volume e

áreas E aí se percebeu que eram na verdade os era como se eu pegasse um objeto transformasse via derivada e integrasse ou vice-versa pegasse esse objeto integrasse e derivasse eu estaria fazendo as operações transformações inversas uma da outra tá então nessa figurinha e nessas expressões aqui eu não vou falar do símbolo da nem da derivada nem da integral depois nós vamos ver isso mas nessa figura aqui eu tenho esses objetos registrados a derivada é a inclinação dessa reta tangente que a gente depois vai definir a integral é a área embaixo da do gráfico e o

limite é o processo que nesse caso é por aproximação dessas inclinações E no caso da da área é AX a ação por pequenos retângulos e fazendo o limite quando essa aproximação tem um número cada vez maior de retângulos o limite é a técnica Fundamental e os dois objetos são as construções que a gente vai fazer essa é história do curso de cálculo tá nós temos 4 meses para fazer isso e a minha vamos dizer a minha perspectiva é que vocês vão ter alguns choques iniciais vocês têm que resistir aos choques e a tentação de dizer

isso aqui não é muito difícil para mim para alguns vai ser talvez fácil porque aquelas pessoas que gostam bastante de matemática tem pessoas que gostam mais de Matemática do que outr mas vocês que passaram no vestibular da Unicamp todos sem exceção têm condições de ir bem e aprender isso aqui vocês têm o a bagagem Cultural de matemática já para chegar e absorver entender e eventualmente saber manipular todos esses objetos para estudar funções que é o objetivo nosso nosso objetivo não é na verdade aprender derivada integral mas é voltando entender estes objetos [Música] aqui n