O Paradoxo do Hotel Infinito

e eu quero começar esse vídeo com uma pergunta bem simples existem infinitos que são maiores do que outros infinitos uma das primeiras habilidades de raciocínio lógico que nós aprendemos a nossa infância é a de contar pois aprendemos a contar unidades então sabemos que existem duas bolinhas ou três bolinhas que nós estamos brincando depois nós aprendemos a contar de 1 a 10 logo depois de 10 a 100 e no fim da adolescência na já sabemos contar números tão grandes quanto nós quisermos essa necessidade de contar e quantificar coisas é praticamente algo intrínseco seres humanos nós fazemos

isso de modo tão natural que nós nem nos damos conta da quantidade de coisas que nós estamos calculando encontramos nas nossas cabeças a todo instante o que é curioso é que não existe uma única maneira de contar se nós olharmos ao longo da história da humanidade nós encontramos diferentes métodos de contagem associadas a diferentes povos como por exemplo os hieróglifos numérico de egípcios o sistema numérico babilônico ou o sistema numérico romano todos esses a mensagem era um adequados aos propósitos práticos da época servindo somente para a necessidade de contagem de quantidades que nós podemos chamar

de habituais para muito importante conseguir contar os dias que se passaram desde a última lua cheia ou quantas ovelhas vão fazendeiro possuir mas não fazia tanto sentido saber como tá as estrelas o céu noturno por exemplo é bem provável que se nós perguntássemos para alguns cidadão comum desses povos antigos qual que é o número de grãos de areia numa praia provavelmente a resposta seria bastante mais uma isso porque nós precisamos desses números qual é o número de grãos de areia que existem nas praias da terra e qual é o número de estrelas no universo observável

obter esses números com precisão é impossível por diversos motivos mas não sabemos ao certo quantas praias existem na terra e nem o tamanho de todas elas mas também não sabemos o número preciso de galáxias no universo e o número de estrelas varia em cada uma delas mas nem sempre na vida nós precisamos ser exatos em muitos casos uma boa estimativa nos is o que nós estamos fazendo então vamos fazer exatamente isso vamos estimar o número de grãos de areia em todas as praias da terra provavelmente fica entre 10 elevado a 18 e 10 elevado a

21 e o número estimado de estrelas o universo observável é algo entre 10 elevado a 21 e 10 elevado a 24 esses números são realmente enormes e qualquer comparação em termos humanos que eu tentar fazer não vai funcionar pelo simples motivo de esses números são enormes só que existe um ponto importante aqui por maior que seja um esses números e mesmo que eles passem da capacidade humana de enxergar o que eles querem dizer eles ainda são infinitos isso quer dizer que você colocasse uns todos esses grãos de areia ou essas estrelas em um pote gigante

e tivéssemos tempo suficiente nós conseguiríamos depois de passar um trabalho que eu não quero nem imaginar contar todos eles e isso nos leva a outra pergunta eu acabei de dizer que mesmo existindo números absurdamente grandes longe de qualquer capacidade de compreensão humana e eles ainda são finitos ou seja eu posso contar enxergar um valor total então existem números que sejam realmente infinitos será que existem quantidades que não são possíveis de serem expressadas através de um número e a resposta é sim por exemplo se nós começamos a contar um dois três quatro cinco seis sete não

importa com longe a gente vá sempre vai existir um número de sequência sempre depois do um vem dois depois dos cinco menos seis depois de um bilhão vem um bilhão e um esses números são chamados de naturais e o número total de todos eles é claramente infinito se eu tentar se colocar esses números e um pote eu nunca conseguiria acabar de contar porque para todo o número que eu contasse infinito os outros ainda estariam dentro do pote ou seja o conjunto que engloba todos os números naturais é infinito outro conjunto que é infinito é o

de todos os pontos de uma reta independente do tamanho dela entre dois pontos você sempre pode selecionar outro bom e depois selecionar outros pontos entre esses dois e assim vai infinitamente mas sim existem diferentes infinitos como os dois que eu acabei de se tal do conjunto dos naturais e os pontos e uma reta faz sentido comparar eles existem infinitos de diferentes tamanhos ou eles são sempre iguais comparar coisas infinitas parece ser uma tarefa bem complexa mas para nossa sorte existe um método bem esperto e sempre proposta pelo matemático de onde que entrou um dos matemáticos

mais importantes no estudo dos infinitos suponha que nós temos dois conjuntos finitos de bolinhas amarelas e azuis e que nós não sabemos qual dos dois conjuntos possuem mais elementos ou nem mesmo se o número de alimentos é o mesmo para obtemos essa resposta a tarefa mais simples a ser feita é sempre a cada bola amarela existe uma bola sou correspondente até que as bolinhas dos dois conjuntos acabem então o número de bola nos dois é igual se estarem mais bolas azuis no final então o conjunto de bolas azuis é maior o mesmo é sobre animais

bolas amarelas a ideia então eu usar essa mesma regra para conjuntos infinitos se nós conseguimos algum jeito de associar para cada elemento de um dos conjuntos um outro elemento correspondente no outro conjunto então os dois infinitos possuem o mesmo número de elementos casos obra em elementos em algum dos dois conjuntos então o infinito dele é maior do que os conjunto e nós podemos fazer isso fica bem claro com um exemplo vamos supor que nós temos dois conjuntos infinitos o dos números naturais que eu acabei de citar um dois três quatro cinco seis e assim vai

e o dos números pares 2 4 6 8 10 12 e assim vai como desses conjuntos possuem mais elementos a resposta mais obra que qualquer um de nós daria pelo menos é o que eu espero é que o conjunto dos números naturais possuem mais elementos já que dentro dele nós temos tantos números pares quantos números ímpares mas quando nós estamos falando de quantidades infinitas e eu sinto muito mais as coisas não são tão óbvias assim porque nós temos que fazer é utilizar a regra proposta por cantor nós temos como estabelecer uma relação direta entre os

elementos 12 conjuntos infinitos para cada número natural eu consigo relacionar um número par sem sobrar nenhum nenhum outro portanto conjunto dos números naturais possuem o mesmo número de elemento do conjunto dos números pares e isso é totalmente não intuitivo isso nos levam dos mais famosos paradoxo sobre números infinitos proposta pelo matemático david hilbert justamente para representar como os infinitos não são intuitivos e esse é o paradoxo do hotel infinito suponha que numa cidade pequena exista um hotel chamado hotel rio verde cujo dono claro é o senhor rio verde esse hotel possui um número finito de

quartos vamos supor aqui sei lá 30 você está viajando e resolve parar para dormir nesse hotel durante uma noite antes de seguir viagem no dia seguinte chegando lá você perde um quarto para dormir só que com muita e o senhor ryllberth forma você dia que todos os quartos já estão ocupados você não tem o que fazer então você simplesmente segue a sua viagem algum tempo depois você novamente está viajando e se depara com o hotel ryllberth na estrada ao perguntar para o senhor reverte-se a 14 livre para dormir pedir para você tá bom todos os

nossos quartos estão ocupados porém esse meio tempo entre a última vez que você esteja aqui e agora nós construímos infinitos quartos o nosso hotel então embora todos estejam ocupados ainda um quarto disponível para você ok para por aqui como assim existe um quarto para mim se todos os infinitos quartos estão ocupados por infinitos hóspedes eu nem sou tão especial assim então assim o ryllberth diz é simples eu vou pedir com gentileza o hóspede do quarto um para que ele vá para o quarto dois ou do quarto dois aqui para o quarto 3 ou 4 3.4

y sucessivamente assim então você vai ocupar o quarto número um que vai ficar vazio depois de todos terem se movido oi gente você fica espantado mas o procedimento realmente funciona e você ocupa o quarto número 1 e tem uma bela noite de sono essa experiência te marcou tanto que você resolve levar os seus amigos para passar em uma noite no hotel pinho verde só que ao contrário de mim você não tem poucos amigos você é uma pessoa popular e possui infinitos amigos do tamanho dos números naturais e você convence todos aí em hotel ao chegar

você informa o senhor ryllberth que trouxe os seus infinitos amigos para passarem uma noite ali e novamente ele me disse que os infinitos quartos do hotel estão ocupadas na sua cabeça dessa vez não haveria ainda xeque-mate cima nylbert agora você não escapa uma coisa é achar um quarto disponível só para mim outra coisa é acha quarto disponíveis para infinito as pessoas mas como você acha que pode ganhar de alguém que domina as infinitas o senhor igor e se propõe o seguinte é claro que eu possa acomodar todos os seus infinitos amigos eu vou pedir ao

hóspede do quarto um que se mude u2 one pedido 42 eu vou pedir para que se muda para o quarto quatro eu gosto de do quarto três eu vou pedir para que se mude para o quarto seis e assim sucessivamente ou seja um hóspede do quarto e me se mudará para o 42 l dessa forma ficarão vagos todos os quartos ímpares e todos os seus amigos infinitos poderão se hospedar neles esse é o chamado paradoxo do teu infinito e como vocês podem ver é algo totalmente não intuitivo porque nós estamos acostumados a nossa dia a

dia esse paradoxo representa muito bem todas as estranhezas que aparecem quando se lida com quantidades que são infinitas só que como vocês podem perceber por mais que lidar com infinitos seja completamente não intuitivo é algo que a matemática sabe fazer muito bem que melhor eu deixei para o final embora existam infinitos que sejam maiores do que outras não existe uma infinito superior que seja maior do que todos os outros infinitos é o maior que seja o conjunto infinito que nós estamos lidando sempre existiram maior é muito obrigada e até a próxima e aí e aí

e aí