Cómo se Inventaron los Números Imaginarios

las matemáticas comenzaron como una forma de cuantificar nuestro mundo medir terrenos predecir el movimiento de los planetas y registrar el comercio luego apareció un problema considerado irresoluble el secreto para resolverlo fue separar a la matemática del mundo real separar el álgebra de la geometría e inventar números nuevos tan fantasiosos que los llamaron imaginarios irónicamente 400 años después estos números se encontrarían en el centro de nuestra mejor teoría física sobre el universo sólo al abandonar la conexión de la matemática con lo real pudimos descubrir la naturaleza de la realidad en 1494 luca pacioli el profesor de

matemática de leonardo da vinci publicó suma de aritmética un resumen completo de toda la matemática sabida en aquel momento de la italia renacentista allí hay una sección sobre la ecuación cúbica cualquier ecuación que hoy escribamos como a x al cubo más bx al cuadrado más c x más d igual a 0 la gente intentó buscar una solución general a la ecuación cúbica por más de 4.000 años pero cada civilización antigua que la encontró la babilonia la griega la china la india el egipcia y la persa acabó con las manos vacías la conclusión de paccioli fue

que la solución a la ecuación cúbica era imposible esto debería ser algo sorprendente ya que sin el término elevado al cubo se convierte en una simple ecuación cuadrática y muchas civilizaciones antiguas habían resuelto cuadráticas miles de años antes hoy cualquiera que terminé la primaria podría resolver la es menos b más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 hace todo sobre 2a pero la mayoría simplemente completa la ecuación sin saber absolutamente nada de la geometría que los antiguos matemáticos usaron para llegar a ella por aquellos días las matemáticas no se transcribían en ecuaciones

se escribían mediante palabras y dibujos por ejemplo la ecuación x al cuadrado más 26 x igual a 27 los antiguos matemáticos pensaban al término x al cuadrado literalmente como un cuadrado con lados que miden x y 26 x sería un rectángulo con un lado de largo 26 y otro de largo x y estas dos áreas suman 27 como determinamos cuánto es x bueno podemos tomar este rectángulo 26 x y cortarlo a la mitad ahora tengo dos rectángulos de 13 x y puedo usarlos para crear una forma que sea casi un cuadrado sólo le falta esta

sección de abajo pero sé las dimensiones de esta sección es 13 x 13 así que puedo completar el cuadrado añadiendo un cuadrado de 13 x 13 como he añadido 13 al cuadrado o sea 169 al lado izquierdo de la ecuación también debo agregar 169 al lado derecho de la ecuación para mantener la igualdad ahora tengo este cuadrado más grande con lados de largo x + 13 que es igual a 196 la raíz cuadrada de 196 es 14 así que sé que los lados del cuadrado miden 14 lo que significa que x es igual a 1

bien esta es una forma visual muy genial de resolver una ecuación cuadrática pero no está completa si miras a la ecuación original x igual a 1 si es una solución pero también lo es menos 27 por miles de años los matemáticos ignoraban las soluciones negativas de sus ecuaciones porque trataban con las cosas del mundo real longitud área y volumen entonces que querría decir tener un cuadrado con lados que me dan 27 no tienen ningún tipo de sentido para esos matemáticos los números negativos no existían podías restar que es la diferencia entre dos cantidades positivas pero

no podías tener una respuesta negativa ni coeficientes negativos los matemáticos eran tan reacios a los números negativos que no había una ecuación cuadrática habían seis versiones diferentes para que los coeficientes siempre sean positivos el mismo enfoque se tomó con la ecuación cúbica en el siglo 11 el matemático persa omar khayyám identificó 19 ecuaciones cúbicas distintas siempre manteniendo todos los coeficientes positivos encontró soluciones numéricas para algunas de ellas al considerar intersecciones de formas como hipérbola si círculos pero no llegó a concretar su objetivo final una solución general para las cúbicas él escribió quizás alguien que llegue

después de nosotros tendrá éxito 400 años después y a 4000 kilómetros la solución comienza a tomar forma chipiona del ferro fue un profesor de matemática de la universidad de bolonia alrededor del año 1510 hay un método para resolver de forma confiable cúbicas reducidas éstas son una selección de ecuaciones cúbicas sin término elevado al cuadrado que hizo luego de resolver un problema que había derrotado a los matemáticos por milenios uno considerado imposible por el profesor de leonardo da vinci no se lo contó a nadie ser un matemático en el siglo 16 era duro su empleo está

constantemente bajo amenaza de otros matemáticos que pueden aparecer en cualquier momento y desafiar tu posición puedes pensarlo como un duelo matemático cada participante presenta una serie de preguntas al otro y el que resuelven más preguntas correctamente se queda con el empleo mientras que el perdedor sufre humillación pública para del perro nadie más en el mundo podía resolver la cúbica reducida así que al mantener su solución en secreto se aseguraba mantener su empleo por casi dos décadas del ferro guardó su secreto solo en su lecho de muerte en 1526 se lo deja entrever a su discípulo

antonio flor flor no es un matemático tan talentoso como su mentor pero es joven y ambicioso luego de la muerte de del ferro se jactó de su propia proeza matemática específicamente de poder resolver la cúbica reducida el 12 de febrero de 1535 fior desafió al matemático nicolo fontana tartaglia quien se había mudado hacía poco a la ciudad de fior venecia nicola fontana no le teme a la adversidad de niño sufrió un corte en el rostro por parte de un soldado francés lo que lo dejó tartamudo por eso se lo conoce como tartaglia que es tartamudo

en italiano creció en la pobreza y fue mayormente autodidacta trepó en la sociedad italiana hasta ser un matemático respetado ahora todo estaba en riesgo como era de costumbre en el desafío tartaglia le presenta 30 problemas para resolver a flor y flor le presenta 30 problemas a tartaglia son todas cúbicas reducidas cada matemático tiene 40 días para resolver los 30 problemas peor no pudo resolver ni un solo problema mientras que tartaglia resolvió las 30 cúbicas reducidas en solo dos horas y así la soberbia de fior marcó su propio final antes del desafío tartaglia se enteró que

flor se jactaba de haber resuelto la cúbica reducida pero no lo creyó no lo creí capaz de hallar tal regla por sí solo escribió tartaglia pero corría el rumor de que un gran matemático le había revelado el secreto a flor lo que era más posible así que sabiendo que una solución a la cúbica era posible y con su reputación en riesgo tartaglia se propone resolver la cúbica reducida del mismo para hacerlo explora la idea de completar el cuadrado en tres dimensiones piensa en la ecuación x cubo más 9 x igual a 26 puedes pensar a

x al cubo como el volumen de un cubo con lados que miden x y si sumas un volumen de 9 x obtienes 26 igual que como completamos el cuadrado precisamos agregarle el cubo para aumentar su volumen 9 x imagina extender tres lados de este cubo una distancia y creando un cubo nuevo y más grande cuyos lados me dan c está siendo z x + i el cubo original fue agrandado y podemos dividir el volumen adicional en siete formas hay tres prismas rectangulares con dimensiones x x x x y y 3 prismas más angostos con dimensiones

x x y x y además hay un cubo cuyo volumen es i al cubo trataría reordena los seis prismas rectangulares en un bloque un lado mide tres y el otro mide x más y que es z y la altura es x el volumen de esta figura de su base 3 y z por su altura x y tartaglia nota que este volumen puede representar perfectamente el término 9 x de la ecuación si su base es igual a 9 así que determina que 3 iceta es igual a 9 rearmando el cubo verás que te falta el pequeño

cubo y así que podemos completar el cubo añadiendo y al cubo a ambos lados de la ecuación ahora vemos que se está al cubo que es el cubo grande completo es igual a 26 más y cubo tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas al resolver la primera ecuación para z y sustituyendo en la segunda obtenemos y a la sexta más 26 y cubo igual a 27 a primera vista parece que empeoramos todo la variable está elevada a la sexta en lugar de al cubo sin embargo si piensas a iu al cubo como una nueva variable la

ecuación acaba siendo una cuadrática la misma cuadrática que resolvimos completando al cuadrado así que sabemos que y al cubo es igual a 1 por lo que y es igual a 1 iceta es igual a 3 sobre y así que z es 3 y como x + i es igual a z x debe ser igual a 2 lo que es en verdad la solución a la ecuación original y con eso tartaglia se convirtió en el segundo humano en el planeta en resolver la cúbica reducida para ahorrarse el trabajo de hacer la geometría para cada ecuación cúbica

que encuentre tartaglia resume su método en un algoritmo una serie de instrucciones no escribe esto como una serie de ecuaciones como lo haríamos hoy la notación algebraica moderna no existiría por cien años sino que lo escribió como un poema la victoria de tartaglia lo convirtió en una celebridad los matemáticos se desesperaron por saber cómo resolvió la cubica especialmente gerolamo cardán o un erudito que vivía en milán o como imaginarán tartaglia no quiso saber nada se niega a responder siquiera una sola pregunta de sus competidores pero cardano insistió escribió una serie de cartas que alternaban entre

elogios y ataques agresivos finalmente con la promesa de presentarle a su adinerado mecenas cardano logra atraer a tartaglia a milán allí el 25 de marzo de 1539 tartaglia le reveló su método pero luego de forzar a cardano a jurar solemnemente no contarle a nadie no publicarlo y sólo redactar lo enclave y dijo así luego de mi muerte nadie podrá entenderlo cardano quedó fascinado e inmediatamente comenzó a jugar con el algoritmo de tartaglia pero tiene un objetivo más ambicioso una solución para la ecuación cúbica completa incluyendo el término con x al cuadrado y asombrosamente lo logra

si sustituye es x con x b sobre 3 a todos los términos de x al cuadrado se cancelan así se transforma toda ecuación cúbica general en una cúbica reducida que luego puede resolverse con la fórmula de tartaglia cardano estaba tan feliz de haber resuelto el problema que derrotó a los mejores matemáticos por miles de años que quiso publicarlo a diferencia de sus colegas cardano no necesita guardar el secreto no gana dinero como matemático sino como médico e intelectual para él el mérito es más importante que el secreto el único problema es el juramento a tartaglia

quien no quiere que lo quiebre quizás pienses que este es el fin pero en 1542 cardano viajó a bolonia donde visitó a un matemático que resultó ser el yerno de chipión en del ferro el hombre que antes de morir le dio la solución de las cúbicas reducidas antonio flor cardan hola yo en un o viejo desde el ferro que le mostraron durante su visita y esta solución antecedía la de tartaglia por décadas así que cardano consideró que podía publicar la solución a la cúbica completa sin violar su promesa a tratar ya tres años después cardano

publicó artist magna el gran arte un compendio actualizado de las matemáticas escrito en cinco años para que dure quinientos cardano redactó un capítulo con prueba geométrica única para cada una de las 13 versiones de la ecuación cúbica a pesar de reconocer las contribuciones de tartaglia del ferro i fjor tartaglia estaba por lo menos insatisfecho escribió cartas insultando a cardano y las expuso ante parte de la comunidad matemática y entendemos por qué al día de hoy la solución general a la cúbica se le suele llamar método cardano pero artist magna es un logro fenomenal empuje el

razonamiento geométrico hasta su propio límite literalmente mientras cardan no escribía artist magnas se encontró con algunas ecuaciones cúbicas que no pueden resolverse fácilmente la forma usual como x al cubo es igual a 15 x 4 al aplicar el algoritmo aquí obtenemos una solución que incluye raíces cuadradas de números negativos cardano le consulta a tartaglia sobre esto pero este lo ignora y asume que cardan o no es lo suficientemente inteligente para usar bien la fórmula la verdadera que de tartaglia tampoco tenía idea de qué hacer carda no exploró la derivación geométrica de un problema similar para

ver qué era lo que estaba fallando mientras que la división y el rearmado del cubo 3d funciona la cuadrática final que completa el cuadrado lleva a una paradoja geométrica carda no hay aparte de un cuadrado que debe tener un área de 30 pero también lados de 5 de largo como el cuadrado completo tiene una área de 25 para completarlo cardano debe de alguna forma sumar una área negativa de allí provienen las raíces cuadradas de negativos la idea de un área negativa esta no era la primera vez que aparecían las raíces cuadradas de negativos de hecho

antes en artist magna ésta este problema encuentra dos números que sumen 10 y multiplicados de en 40 puedes combinar estas ecuaciones en una cuadrática x al cuadrado más 40 es igual a 10 x pero si aplicas la formula cuadrática las soluciones incluyen raíces cuadradas de negativos la conclusión obvia es que la solución no existe puedes verificarlo mirando el problema original no hay dos números reales que sumen 10 y que multiplicados de en 40 así que creían que las raíces cuadradas de negativos eran la forma en la que las matemáticas nos dicen que no hay solución

pero esta ecuación cúbica es diferente adivinando y comprobando ellas que x es igual a 4 es una solución porque el enfoque que funciona para el resto de las cúbicas no llega a una solución razonable en esta sin saber cómo avanzar cardan o esquiva este caso en artist magna diciendo que la idea de la raíz cuadrada de los negativos es tan sutil como inútil pero diez años más tarde el ingeniero italiano raffaelle bombelli tomó la posta de cardan o in afectado por la raíz cuadrada de negativos y su imposible geometría quería encontrar una forma de hallar

una solución viendo que la raíz cuadrada de un negativo no puede llamarse positiva ni negativa le permite ser un nuevo tipo de número bombelli asume que los dos términos en la solución de carda no pueden representarse como una combinación de un número ordinario y este nuevo tipo de números que incluye la raíz cuadrada de uno negativo de esta forma bombelli se da cuenta de que las dos raíces cúbicas de la ecuación de carga no son equivalentes a 2 + menos la raíz cuadrada de 1 negativo cuando llega el último paso y la suma las raíces

cuadradas se cancelan revelando la solución 4 esto parece al menos milagroso el método de cardan o si funciona pero tienes que abandonar la prueba geométrica que la generó en primer lugar las áreas negativas que no tienen sentido en la realidad deben existir como paso intermedio en el camino a la solución durante los siguientes 100 años la materia moderna toma su forma en el siglo 17 françois diet introdujo la notación simbólica moderna del álgebra acabando con la tradición milenaria de los problemas matemáticos hechos con dibujos o largas descripciones la geometría no es la fuente de la

verdad rené descartes uso asiduamente las raíces cuadradas de negativos y así las popularizó y mientras que reconoció su utilidad las llamo números imaginarios un nombre que se mantuvo por eso hoy leer luego introdujo la letra i para representar la raíz cuadrada de menos 1 al combinarla con los números regulares forma los números complejos la cúbica llevó a la invención de estos nuevos números y liberó al álgebra de la geometría al soltar lo que parecía la mejor descripción de la realidad la geometría que podemos ver y tocar obtienes unas matemáticas más completas y poderosas que pueden

solucionar problemas reales y resulta que la cúbica es tan sólo el comienzo en 1925 schrödinger estaba buscando una ecuación de onda que gobernar el comportamiento de las partículas cuánticas a partir del pensamiento de de brooklyn quien dice la materia se compone de ondas se le ocurre una de las ecuaciones más importantes y famosas de la física la ecuación de schrödinger y en ella aparecen notoriamente la y la raíz cuadrada de menos 1 mientras que los matemáticos se han acostumbrado a los números imaginarios los físicos no y les incomoda verlos aparecer en una teoría tan fundamental

rodinger mismo escribió lo incomodó aquí y de hecho algo que debe ser objetado es el uso de números complejos la función de ondas y es fundamentalmente una función real esto parece una objeción justa porque entonces un número imaginario que apareció en la solución de la cúbica aparece en la física fundamental bueno es por las propiedades únicas de los números imaginarios los números imaginarios existen en una dimensión perpendicular a la línea de los números reales combinadas forman el plano complejo mira lo que pasa cuando repetidamente multiplicamos por y comenzando con 11 por y es y por

iu es uno negativo por definición uno negativo por y es negativo e y negativo por y es uno volvimos a donde comenzamos y si seguimos multiplicando por el punto seguirá rotando cuando estás multiplicando por lo que en verdad estás haciendo es rotar 90 grados en el plano complejo hay una función que repetidamente multiplica por y a lo largo del eje x y es elevado ahí x crea una espiral al esparcir estas rotaciones a lo largo del eje x si miras la parte real de la espiral es una onda coseno ideal y si miras la parte

imaginaria es una onda senoidal las dos funciones básicas para describir ondas están contenidas en ^ y x cuando schrödinger procede escribir una ecuación de onda asume naturalmente que las soluciones se verían parecidas ha elevado ahí x específicamente ^ y por cada x menos omega t quizás te preguntes por qué usó esa fórmula y no simple onda senoidal pero el exponencial tiene propiedades útiles si ves la derivada con respecto a la posición o el tiempo esa derivada es proporcional a la función original y eso no es cierto si usas la función del seno cuya derivada es

el coseno además como la ecuación de schrödinger es lineal puedes sumar un número arbitrario de soluciones de esta forma creando cualquier forma de onda que quieras y ésta también será una solución a la ecuación de schrödinger el físico freeman dyson escribió luego rodinger puso la raíz cuadrada de menos 1 en la ecuación y de pronto tenía sentido de pronto se convirtió en una ecuación de onda en lugar de una ecuación de conducción de calor y trading era yo felizmente que la ecuación tiene soluciones que corresponden a órbitas quant izadas en el modelo de átomo de

boro resulta que la ecuación de schrödinger describe correctamente todo lo que sabemos del comportamiento de los átomos es la base de toda la química y mucho de la física y es la raíz cuadrada de menos 1 implica que la naturaleza trabaja con números complejos y no con los reales este descubrimiento fue una total sorpresa para rodinger y para todo el mundo los números imaginarios que fueron descubiertos como un extraño paso intermedio en el camino a resolver la cubica acabaron siendo fundamentales para nuestra descripción de la realidad solo resignando la conexión de las matemáticas con la

realidad pudieron guiarnos a una verdad profunda acerca de cómo funciona el universo [Música]