Cálculo I - Aula 18 (2/3) Esboço de gráficos

[Música] que falta de professores e boquim vai fazer os gráficos agora na próxima aula talvez a gente vai ver um outro critério para determinar se um ponto crítico um ponto de máximo mínimo tudo dentro do intervalo aberto ponto de máximo derivada tem que ser zero ponto de mínimo também como é que eu faço para distinguir um ponto de máximo de mim você olha para a segunda de levada da função naquele ponto tá vamos fazer isso e aí com isso vai ter um monte de exercícios de aplicações bonitinhas que a gente consegue fazer o último tópico

é por um nome de taylor fechou então vamos lá é gráfica os esboços de gráficos então eu vou colocar aqui uma lista de uma lista que você precisa fazer um check list vai entre aspas que você faz se você fizer todos os espaços direitinho se tem todas as ferramentas para fazer um bom grau fica a pergunta é necessário em todos os exercícios fazer todos os itens não mas no começo é bom você passar um por um para ter certeza que a prática de quando você vai precisar um olhar alguma coisa quando não o outro tá

então os itens são relativamente simples na primeira coisa que se tem que fazer é explicitar o domínio dr parece uma coisa óbvia mas é bom você deixar isso escrito porque vai evitar esquecer de fazer algumas coisas certas situações segunda coisa você vai estudar o crescimento da função a que quer dizer isso determinará os intervalos onde é crescente onde é decrescente e portanto estudar pontos de março - locais da função quem que me conta coisas sobre o crescimento é de crescimento da efe se ela for deriva' véu é filhinho na primeira dorival então presencialmente isso aqui

é estudar o sinal da ef linha do primeiro derivado qual outra coisa que a gente vai querer fazer também estudar com qualidade do gráfico então os intervalos onde ela tem com qualidade pra cima com qualidade para baixo e por conseqüência determinar os pontos de inflexão bom quem conta pra gente quem a concavidade da função do intervalo efe duas linhas o segundo dele vá estudar o sinal da f2 livros quarta coisa limites pertinentes a frase bem genérica pertinentes ou convenientes né o que é um limite conveniente depende exatamente do item 1 depende dos pontos onde a

função está definida mas vocês já têm uma função está definida no um intervalo menos um ponto ali no meio é super importante para saber como é o gráfico da função o que acontece quando se está próximo daquele ponto então se você tem uma função que não pode ser calculada no ponto x igual 2 e fora dele é sempre deriva' véu é super interessante olhar os limites quando se estende a 2 pela esquerda e pela direita talvez naquele ponto a função tem algum limite que não foi definido por algum motivo o seu aval ao mais ínfimo

itu - infinito e 70 olhar para a função pontos onde ela está definida ea primeira derivada não existe por exemplo pode ser uma coisa que é interessante então você escreveu o domínio da função vai te lembrar de eventuais problemas que você vai ter coisas que fogem do automático entre as tá então os limites pertinentes e último item por enquanto depois vai ter outro é tentar determinar interseção com os eixos tá saber onde a função se e onde a função corta os eixos x e y porque isso é importante porque por exemplo os três primeiros itens

que a gente pode dizer se eu pegar duas funções cuja diferença é uma constante entre elas você concorda que é filhinha efe duas linhas não se a mesma então se eu não faço esse item 5 eu não consigo distinguir transações do gráfico então é importante você descobrir onde ela corta o eixo x pode pensar assim você tá com gráfico bem formadinho e solto teu posso colocar em qualquer lugar do plano cartesiano hora que determina onde ele cruza os eixos eu travei ele naquela posição que vai mais depender por exemplo das constantes que aparecem se for

um polonês eu vou fazer um exemplo agora tá então essas cinco coisas são cruciais para fazer um bom gravar depois a gente vai ver mais um então o primeiro exemplo x ao cubo - x quadrado - fez mais um a função pública pra gente fazer todos os passos devagarzinho e ver que dá uma coisa compatível com o que a gente espera o que é o domínio da função que é o primeiro item toda a reta real né então primeiro item filme jeff toda reta real isso me garantiu que quais são os limites pertinentes então -

infinita e mais infinito né quero olhar o que acontece com a função de se estende por mais influente - infinito a segunda coisa crescimento de crescimento que eu vou ter que olhar é fininha quem é filhinha nesse caso 3 x 2 - 2 x 1 - 1 você percebe que é que tivesse outro número 29 os intervalos de crescimento de crescimento seriam os mesmos então por isso que a gente tem que fazer aquele último item e aí como é que a gente pode fazer vamos fazer aqui do lado bom é um codinome de segundo grau

né a primeira derivada se consegue determinar as raízes nesse caso são duas em antonina o meu de segundo grau com qualidade para cima o discriminante positiva que se acha duas raízes tá quais são elas 1 e menos um terço na a1 - um tempo você tem fnf sendo um pano de grau dois com qualidade pra cima que eu posso dizer que antes da menor raiz ele sempre positivo e portanto é crescente entre as duas raízes é fininha negativa portanto é decrescente e depois positiva e portanto é crescente então isso já me permite dizer de cara

que essa função têm dois pontos críticos que são as raízes da primeira derivada né menos um terço num posso dizer se eles são máximos ou mínimos locais só olhando pra isso claro né menos um terço um ponto de máximo local número 1 ponto de mínimo local pergunta são globais ou não acha que não como é que a gente pode eliminar essa incerteza o item 4 vai contar isso pra gente tá vamos fazer primeiro o intervalo os intervalos de concavidade ea gente já discutiu em 4-2 com cavidades o que eu preciso efe duas linhas de x

quem é isso 6 x - dois né então é uma função de primeiro grau suficiente angular positivo tem uma única raiz o que eu posso dizer que antes dessa raiz isso aqui é negativo e depois o positivo tá então raiz é um terço neste caso né então vou te f duas linhas antes negativo e portanto haeften concavidade para baixo depois da raiz com qualidade pra cima que isso me permite dizer o ponto um terço é um ponto onde a concavidade da função se inverteu então um terço um ponto de inflexão calha com o fato da

segunda derivada nesse ponto zero porque o que observei no final da aula passada se você tem uma função de classe c2 como essa aqui todo ponto de inflexão tem que ter segundo perigosa tá então já temos essas três coisas vão fazer 45 ali quais são os limites pertinentes aqui agora no mais infinito e não menos infinito neco diz assim entre aspas são os extremos do intervalo df definida por exemplo eu posso usar isso para concluir se aqueles pontos críticos que eram máximos e mínimos locais são não globais né então os elementos pertinentes são quando x

tende para mais ínfimo itu e quando x tende para - infinito jec x bom nessa altura do campeonato acho que já dá para a gente dizer rapidamente que o limite isso aqui é mais infinito no quando x tende para o mais influente no - infinita - tá tão mais infinito - infinito bom é isso já me permite concluir aqueles pontos de março locais máximos e mínimos locais não são globais não é porque essa função até um certo valor aquino menos um terço eu nem sei se é positivo ou não mas o que eu sei que

como ela tende para o infinito quando x é infinito vai ter algum valor de x que é maior do que o valor dela no ponto menos um terço portanto esse cara não pode ser o máximo global e para o mínimo local mesma coisa no ponto 1 a função vale zero e obviamente pelo fato de se estender para - infinito quando x a primeira infinita em algum ponto ela vai ter que ser menor do que zero portanto não pode ser um mínimo global esse cara aqui tá muito bem que faltou fazer inter certo com a interseção

com os eixos netão último item tranquilinho como é que eu faço para descobrir onde a função corta o eixo y se aquela corda cortar o eixo y o valor da função continua igual a zero quando ela vai nos a cortar o eixo x quer dizer o que descobrir os pontos onde a função valorizar tá então fx igual a zero como é que eu teria que resolver essa equação de segundo grande de terceiro grau e parece fácil nesse caso tudo bem porém não é simples e consegue a olhando aqui por exemplo a soma dos coeficientes 0

então você sabe que o número um é uma raiz bom e aí você pode então para descobrir outras duas / x menos um e descobre as outras duas só porque não precisa fazer isso lembra que numa numa das aulas a gente discute um exercício que era pra caracterizar a multiplicidade de uma raiz de um pornô me que se observa o número um é raiz do do poli nome certo e também da primeira derivada mas não é uma raiz de segunda o derivado que me garante que o polígono um é uma raiz dupla da f e

portanto eu já posso dividir por x - um quadrado vai sobrar um pouco o nome de grau um para descobrir a raiz que é muito fácil também mas se fossem coeficientes estranhos etc o que você poderia fazer usar o tema do valor intermediário tá bom você sabe um ponto onde essa função é positiva sim no zero sabe um ponto onde ela é negativa - 2 - 2 a 1 - 8 - 12 10 - 9 tá no ponto - dois a função vale menos nove e 1.091 trocou de sinal pelo teremos um valor intermediário porque

ela é contínua tem algum cara ali no meio a função vai valer 0 então olhando para a primeira para a segunda dele vai descobrir que um era mais dupla eu sei que tem alguma outra entre menos 20 já tem três nomes de grau 3 onde ela está exatamente esse é preciso saber dela direitinho se sabe que ela está no intervalo - 20 dividir no meio e ver em qual desses dois submeter valos ela trocou de sinal nos extremos e fica no que trocou e vai ter andando isso até ficar com alguém que você quiser e

aí na hora que você tentar fazer isso você botar menos 11 a lista vai ficar raízes mas por sorte não diga qual o x ao cubo a função original esse cara que quer faturar pra descobrir as raízes sim mas tudo isso que eu falei eu já estou te dando um jeito usando o cálculo para faturar isso aqui se você quiser você pode querer um x - um quadrado de destino e poder eu podia já ter escrito a função dessa forma aqui e aí você já sabe tudo dela - os pontos de inflexão nos intervalos de

crescimento e de crescimento então preferi deixar assim a gente fazer essa análise e depois descobrir vamos tentar fazer o gráfico agora poderia ter sua faturação nota que porque eu não quis falar desse jeito porque essa faturação funciona para essa função um outro policial maluco você não vai saber o que fazer então para assistir aula o aluno assiste aula mas só faturar e pega o que não dá pra faturar tão fácil e acho que é impossível fazenda então vamos ver como é que a gente consegue fazer o gráfico dessa função com as informações que a gente

tem né mas são as informações que a gente tem crescimento de crescimento com qualidade admite certa quais são os pontos importantes que apareceram aí pra gente - um terço o que eram os pontos de máxima e mínima locais o um terço também apareceu com um ponto de inflexão e mais três que apareceram dali que o comportamento com os limites à no ponto x igual a zero a função vale um também eu sei que o gráfico passa por esse ponto tem um mínimo local aqui um ponto de inflexão aqui ficou com o máximo local aqui inflexão

no mínimo local e como é que eu comece a desenhar isso com uma boa coisa para você fazer é tentar calcular os valores da função desses pontos né aqui é menos um terço tá certo quanto vale a função - um terço da - um sobre 27 - um sobre nove mais o texto mais um na - 1 - 3 mais nove mais 27 dá um número positivo maior do que um tá bom não sei quanto exatamente mas só um número aqui tá no x igual a 1 você calcula efe de um vale zero a gente

já viu que essa razão mais dupla que isso quer dizer que a função vale zero aqui na reta tangente horizontal e pelo que a gente fez é um mínimo local então sei que vai ter que ser uma coisa é assim aqui um ponto de mínimo local que é a raiz e dupla bom então como é que a gente vai fazer esse gráfico lado do medo quando x tem de pelo menos infinito havendo menos infinito então no começo dos tempos se você quiser pensar lá tá vindo aqui debaixo do quarto quadrante então vem subindo na ela

é estritamente crescente até o ponto menos um terço o fato dela vir do - infinito e passar por um valor positivo e garante que eu vou ter alguma raiz em algum lugar ali que na verdade se você quiser fazer a conta gente sabe que ela tá aqui tal menos dois né calculando ela não menos 200 dá até pra gente saber pelo menos dois ela valia menos nove na mó de baixo tem alguma raiz aí no meio da gente sabe que é bem aqui né estamos pelo menos até um ponto de máximo à parte e ela

cresce de boca para baixo porque a concavidade negativo até o ponto um terço a partir de um terço ela começa a decrescer ainda com qualidade negativa tá certo boca pra baixo nesse ponto ela tem um ponto de inflexão que faria calcular esse valor direitinho pra posicionar bem a partir desse momento eu vou ter o que há até o ponto 1 ela continua crescendo mas agora passa de crescer com qualidade pra cima vai ser uma coisa assim de creche até 111 pra frente o que acontece ela vai crescer com qualidade pra cima e vai embora para

o infinito tá bom então o nome sim de grau 3 é bem fácil fazer todas as contas a gente se acostumar com a dúvida no processo a esse aqui é um terço falta escreveu obrigado é o ponto onde exatamente se inverte a concavidade z se você quiser pensar pensar que você está dirigindo um carro nessa estrada aqui né aqui você tá sempre um dado que está sempre com um volante pela direita exatamente nesse ponto o ponto onde o volante passa de virada da direita para a esquerda é uma inflexão tá bom vou fazer mais um

exemplo e depois eu quero motivar uma outra motivar uma coisa quer dizer essa função ela tende para o infinito aqui né a pergunta é como é que ela tem de preencher finito ela vai muito rápido muito devagar têm vários jeitos de tender prefeito ela poderia entender para infinito com comportamento semelhante a uma de uma função exponencial poderia tem de prefeito com comportamento semelhante à de uma função o nome de segundo grau por exemplo onde terceiro grau pergunta o que a gente vai fazer dá pra fazer alguma estou um pouquinho geral mas será que existe alguma

reta com alguma inclinação suficiente que a função se aproxima dessa reta ou no infinito isso é o que a gente chama de uma sim toda a gente vai ter métodos para determinar a equação dessa sintonia com o coeficiente angular e qual o coeficiente near de uma reta que representa um comportamento da função para valorizar ligeiramente grandes de x ou arbitrariamente negativos se você está pensando dizer você está falando de assentar implicar que a função limitada está pensando que assim total uma reta horizontal ou vertical quer dizer ela tende para o infinito é isso o que

eu tô te falando é que você pode ter uma cinta horizontal pode ter essas regras que a gente chama de assentos verticais e pode ter no meio assim todos inclinadas você pode ter uma função um coeficiente angular 2 de modo que a função se aproxima de sua reta tá eu quero justamente tem uma fórmula para descobrir quem é o coeficiente angular e linear dessa reta ela existir