Cálculo I - Aula 14 (3/3) "Máximos e mínimos: teorema de Weierstrass"

[Música] então vamos lá vamos falar esse é um problema que é importante pra gente não fala de máximos e mínimos tá então qualquer objetivo aqui é tentar construir critérios que permitam a gente determinar para uma dada função real essa função atingir um valor máximo ou mínimo provar que ela tem máximo mínimo já é bem legal em segundo lugar se possível determinar quem é o ponto de atingir nosso mínimo é uma coisa que é super importante para aplicações práticas né você quer procurar alguma coisa que minimize certa propriedade então quando a coisa depender de uma variável

por uma função bem comportada é o que a gente vai conseguir resolver com os problemas aqui tá bom então deixa só para isso a gente vai precisar de um monte de resultados preliminares o primeiro deles é o seguinte ó de dar os nomes não é que é uma função sem uma função limitada tá bom vamos ver é de r é como escrever você pode pensar que algum domínio menor do que r é limitada se existe um número emita número mesmo número é maior do que zero tal que fdx em módulo é menor ou igual ao

que a eni para todos x em r tasr entenda-se o domínio da função é então como é que o gráfico de uma função limitada você vai ter que o fdx que quer dizer que um módulo de fx é menor do que me que é fixa entre - mm né então ele está aqui - a imitá lá embaixo certo o que quer dizer que uma função limitada que o gráfico dela está preso entre essas duas faixas horizontais qualquer que seja a precisa ser contínua precisa ser ou não pode ter qualquer função vai ser limitado desde que

o gráfico dela seja preso dentro dessa forma contínua ou não importa então vê os resultadios que a gente tem há então um primeiro resultado aqui que é um lema é uma coisa que você carrega com você para o resto da vida sem mim mas que nem matemática a gente quer dizer que um lema é uma coisa que vai servir o resultado auxiliar para aprovar um teorema mais importante mas que ele por si só já tem alguma relevância eu posso usar ele para demonstrar o teorema ao teorema b teremos e então é uma ferramenta comum pra

várias coisas mas eu suponho que tem três temas para provar que os três um mesmo fato quando foi que a demonstração vou copiar e colar a mesma coisa 3 vezes não né falei matal teorema 1 pelo lema vale tal coisa bôba teorema dois de novo pelo mesmo lema então se economiza onde vamos entre aspas pondo em evidência tudo o que for como demonstração de vários resultados tá tão e cineminha que é o seguinte ó se você tem efe ja/rr uma função contínua e dois números quaisquer a e b já a menor do que dele tá

bom então pega uma função contínuo e pega dois números que dá para dizer então o conjunto f escrevi aqui embaixo para dizer o que quiser efe db é um conjunto limitado a keefe de haver todo mundo sabe essa mutação para o conjunto f de um intervalo é o que a imagem da função para aquele intervalo já então isso aqui que que é isso são todos os simpsons pertencentes à r tais que y é igual a fdx praxes dentro do intervalo a b bom tudo bem então o que você faz é que este teorema touch dizendo

que se você pegar uma função contínua e olhar para a função continua dentro de um intervalo fechado dentro do intervalo fechado a função continua nunca pode explodir o infinito faz sentido isso você está com uma cara de dúvida que está pensando a professora função 1 sobre x né esse é um exemplo que está na cabeça uma função que faz assim por exemplo que pode para o infinito pergunta o que é explodir para infinito vamos tentar ver porque isso aqui é razoável então deve mostrar pega o intervalo abel intervalo fechado que você quer fazer com a

função sei que tem um ponto aqui onde ela explode para infinito é isso então por exemplo é assim e aqui pode vir do infinito - infinitos e quer tanto faz então vamos pegar - infinito chegando aqui no valor desse jeito aqui tá pergunta isso tá nas hipóteses do terreno não porque não nem por isso essa função está definida no intervalo a b não é quanto vale a função nesse ponto ela não está definida nesse ponto tá então se você tem um intervalo fechado uma função continua definida em todos os pontos nesse intervalo ela não pode

explodir o infinito faz sentido então como é que provaria isso desculpa ter médico é bom em termos de definir todo bom e isso quando eu escrevo efe desse intervalo pergunta de se a função tem que estar definido em todos os pontos sim quando eu escrevo isso eu tô está implícito que eu vou calcular a efe em todos os pontos do intervalo a buy2joy para todos x dentro do intervalo abin tá bom né quando se escreve o domínio da função você tá pressupondo que a função pode ser calculado em todos aqueles pontos então esse caso está

fora do teorema porquê porque o domínio dela não é o intervalo abel intervalo bem menos um ponto tá então como é que provaria isso você faz o seguinte vai a chama de s o conjunto de todos os pontos dentro do intervalo a b tá tais q f de até x é limitado tá bom dá pra entender que é isso você vai pegar todos os pontos do intervalo passei a idéia é que o fbi a testes e começa com um x igual a isso aqui é só o ponto efe diá ainda com um pouquinho x aí

eu vou calcular a função de até x e vão aumentando esse xis envolvendo até onde que a função de limitada um ponto x do intervalo vai pertencer a esse conjunto c somente cfd a até ele não explode para infinito é claro que é um conjunto s pergunta esse conjunto vazio em algum ponto dentro do conjunto do conjunto s claro que tem né o próprio ponto a você pega x igual a ele verifica essa propriedade a função de até a explodir o infinito não ela vale o valor dela no ponto alto tudo bem então esse conjunto

não vazio é limitado superiormente sim porque todos os elementos do conjunto são menores ou iguais a b então chama de o osso pds quem quiser fazer vai usar a continuidade da função para mostrar que esse número um é exatamente igual à b se eu conseguir provar que o é igual a b que é que isso quer dizer que todo em todos os pontos de até ver a função limitada portanto é limitado no intervalo inteiro tá então o iguaçu pds o que vai fazer prove que o golpe tá usando a continuidade da função esse argumento tinha

assim pega qualquer mais ou menos a ideia ou sup de s que isso quer dizer que ele é o menor cara de modo que todo mundo dali para trás da função é limitada se você supor que ele é diferente do que começa a ser tem que provar que o igual b e aí vai usar a continuidade da função você fala bom se a função é contínua aí tem que lembrar do fmi do delta né se você pegar a epson igual a uma definição você sabe a fdx - é filho de um ex menor do que

1 então você vai saber que a função é limitada em todo o intervalo em volta do ponto o fx vai ser menor ou igual ao que é pediu grosso modo quem acabou quem quiser ver isso a gente pode conversar depois acho que não um cabo no escopo dessa nesse curso aqui já fez um para mostrar como é que a brincadeira né tá então isso que a gente precisa aguardar que funções contínuas em intervalos fechados não explodem para infinito tá claro próxima coisa o que é um ponto de máximo de uma função a gente está chegando

nos problemas que a gente quer o que eu posso fazer o seguinte eu vou digitar a uma demonstração preciso pra esses resultados vão colocar na página quem quiser olhar consulta se tiver dúvida me procura a gente discute isso é bom mandar e mail se precisar a gente pode combinar conversar respondeu o linense precisava então vamos lá o quê que é um ponto de máximo de uma função da então vamos lá se você tem efe você tem um certo conjunto a contínua em r vai é ficar definida no sub conjunto da reta uma função qualquer que

é um ponto de máximo dessa função vou dizer que x 0 é o máximo a global df tá vamos dizer assim global entre parentes que quer dizer se fdx for menor ou igual a f x 0 pra todo x no domínio da efe tá tá claro que essa frase quer dizer quando que um ponto é um ponto de máximo global se o valor da função nesse ponto for maior ou igual ao valor da função em todos os outros pontos do domínio tá eu vou dizer que x 0 1 ponto de máximo local se valer seguinte

coisa se existe o intervalo e o intervalo qualquer aberto pode ser por exemplo aberto em geral um por isso é que o intervalo aberto que contém o ponto x 0 talk fdx menor igual kiev x 0 pra todo x dentro desse intervalo só está clara a diferença entre o que é um ponto de máximo local é um cara que perto dele ele é o maioral vamos dizer assim tá então ele não precisa ser o maior valor de todos mas ali perto dele ele é o cara que ganha de todo mundo tá um exemplo você pode

pensar você tem uma função que é assim tá esse cara aqui é o que a gente chama de um ponto de máximo local porque existe um pequeno intervalo aberto em volta dele de modo que o valor da função nesse ponto x 0 é maior do que todos os pontos em volta dele e essa função tem um ponto de máximo global tem esse aqui porque porque o valor da função é o maior dentre todos os pontos do domínio só quer pensar assim esse cara é como se fosse o campeão mundial esse cara é o campeão do

bairro se do campeonato de ping pong se você quiser pensar em qualquer coisa desse tipo tá bom então eu sou bom lá no meu prédio de ping pong ninguém ganha de mim mas se eu for jogar o mundial vou perder feio de alguém ó tá bem então isso aqui é o máximo e de maneira completamente análogas e tem o conceito de mínimo global e mínimo local também simplesmente se inverte isso aqui que é um mínimo global é o pior de todos todos que é um mínimo local é o cara que ali perto dele é o

pior né esse campeonato de xadrez né o pior cara da rússia certamente é o pior cara do mundo então tem mínimo que é local mas na global tá gil só escrever o último teorema de hoje não vou demonstrar também este teorema super importante o que a gente chama de tema de vários extras nome é difícil da pessoa mas ela merece todo o nosso respeito ta bom todo mundo merece na cara fez muita coisa tá ou vai trazer disse pra gente anunciado é curto e simples e super poderoso se você tem uma função definida no intervalo

fechado contínua então efe admite máximo a que está dizendo este teorema se você pegar uma função contínua no intervalo fechado com certeza tem um ponto de máximo global como é que você prova extrema escolhe um conjunto conveniente lá então o sup tá vamos discutir rapidamente só para ter umas ideias porque a função precisa ser contínua e por que ela precisa ter um intervalo o inter voltou a ser fechado você consegue dar um exemplo de uma função definida no intervalo aberto que não tem máximo a nem isso ela não precisa pedir à fia infinita uma função

limitada tá pega função fdx igual à x definida no intervalo aberto 01 como el gráfico dela bolinha aberta aqui ou em aberto aqui essa função é uma função continua nesse intervalo aberto tem valor máximo 5 que é o maior valor dessa função atingir não tem né porque esse valor um é um valor que nunca vai ser atingida porque o intervalo aberto então qual é o maior valor que ela atinge não tem porque quanto mais perto me aproximar de um vai ser o valor da função mas nunca vai ser igual à então a hipótese que o

intervalo seja fechado é crucial se a função for descontínua pensa num exemplo de uma função de continuar porque ela não vai ter máximo no intervalo se ela não for contínuo no intervalo fechado ela pode explodir você pode por exemplo pegar o intervalo logo de novo intervalo aberto fazendo explodir prefeito como você pensou e uma função de continuar ali dentro do intervalo fechada com uma função descontínua precisa ter máximo não há pois a gente escreve um exemplo concreto é essa aqui ela não está definida no intervalo não pode servir como exemplo tá na hora que vem

a gente faz diz rescreve esses exemplos e aí qualquer coisa bacana o teorema tá dizendo pra gente que existe máximo está te contando quem é não então na hora que vem a gente vai chamar um outro amigo nosso que afirmar que vai te contar qual é uma condição que um ponto de máximo tem que satisfazer prass e máximo mesmo diga op há uma função constante a função constante automaticamente todo ponto é ponto de máximo e também ponto de mínimo porque eles verificam essa propriedade tá só pra você olhar como é qual é o conjunto essa

que você quer usar aqui vamos chamar o conjunto s que você vai só pra fazer demonstração é pega s como sendo o conjunto dos pontos no intervalo a b tais que o sup de fdx é igual a ele quem que é m tá então vamos lá o lema garante pra gente que esse número que existe porque a função no esporte para infinito entrada limitada superiormente o conjunto imagem da função não vazio então tem sup então que meu conjunto é seu bolso porque s é o conjunto formado pelos pontos tais que o sup da fx é

igual à m vou tomar uns vão mostrar que o sup ds é o ponto de máximo diga que nunca certeza aqui porque elas a discutir por causa de um bom e esse ponto é maior que o único normal ele é melhor que o máximo global ainda ajuda na ele está intermediário se a função diz continuar a gente não tenha garantia de que ela vai ter máximo então você pode conseguir uma função de continuar no fechado que não tem máximo tá na hora que vem a gente refaz esses exemplos e vamos tentar caminhar na direção de

ver condições necessárias que o máximo ponto de máximo tem que satisfazer primeiro intervalo aberto depois no fechado tá bom então até sexta na obrigado