Como calcular Integrais de Superfície?: Escalar | Cálculo Vetorial

O que é uma integral de superfície como a gente faz para calcular vamos lá entender Oi gente meu nome é starv lases e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca nessa aula a gente vai começar a falar sobre integrais de superfície aqui em cálculo vetorial Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e Vamos lá gente pra a gente começar a falar sobre integrais de superfície vamos lembrar um assunto que a gente viu na aula anterior que é sobre a área de uma superfície então a gente viu

que se a gente tiver uma superfície suave dada de forma parametrizada então com os parâmetros u e v a área dessa superfície pode ser calculada através dessa integral dupla a gente faz o produto vetorial entre os vetores tangentes calcula o módulo dele e integrando o módulo do produto vetorial na região onde a superfície tá definida a gente encontra a área de toda a superfície então isso considerando x = alguma coisa em função de u e v y igual outra coisa em função de u e v e z igual outra coisa em função de u e

v Então nossa superfície tá parametrizada com os parâmetros u e v e a gente calcula a área dessa superfície usando essa integral duplo aqui no caso particular onde Nossa superfície é dada por uma função de x e y então Z igual alguma função f Dex Y por exemplo z = x qu + Y qu a gente viu que para parametrizar essa superfície a gente pode chamar simplesmente os parâmetros x e y e aí z é o primeiro parâmetro ao quadrado mais o segundo parâmetro ao quadrado isso não deixa de ser uma superfície parametrizada onde os

parâmetros são os próprios X e y né nesse caso a gente consegue usar uma superfície é dada no formato Z = fxy pode ser esse paraboloide que a gente viu pode ser um plano por exemplo então z = x + y + 5 você também poderia chamar X e Y como parâmetros então lá na aula de parametrização de superfícies a gente falou melhor sobre isso né quando Z é uma função de X e Y como você precisa de dois parâmetros pode ser o próprio x e o próprio Y gente um outro assunto que é importante

a gente relembrar aqui PR entender integrais de superfície são as integrais de linha o que acontecia lá nas integrais de linha no caso escalar desse tipo de integral a gente tinha uma determinada função por exemplo aqui x qu + Y qu + 2 que é esse paraboloide aqui e a gente integrava essa função ao longo de uma curva então aqui no caso a gente tem essa curva azul né e a gente podia calcular a integral da função fxy ao longo dessa curva azul e isso dava pra gente a integral de linha da função f ao

longo da curva C então aqui a gente tem a curva onde X é t c sobre 3 - 2T e y é 3t - 6 + 5 Então a gente tem uma curva parametrizada né e a gente tá integrando a função f ao longo dessa curva aqui e a gente viu que para calcular a integral de linha de uma função f dexy ao longo de uma curva C A gente precisava parametrizar a curva E aí essa integral ficava assim ó a função com o x e y parametrizados no parâmetro T vezes essa raiz quadrada das

derivadas ao quadrado e isso se tornava uma integral simples uma integral de uma variável em relação a t com T variando de a até B que é de onde até onde vai a curva então isso aqui a gente estava falando sobre integrar uma função ao longo de uma curva de uma linha né Como o próprio nome diz integral de linha assim como a gente tinha as integrais de linha para integrar uma função ao longo de uma curva C agora a gente também pode ter a integral de superfície que é para integrar uma função em uma

superfície S então a gente já falou sobre curva e sobre integrar a função ao longo de uma curva agora nas aulas anteriores a gente falou sobre superfície e o nosso objetivo nessa aula é integrar uma função f dexy em uma superfície então nessa aula a gente vai focar no caso escalar onde a gente quer integrar uma função escalar F Dex Y Z em uma superfície s e a gente cai em um caso bem análogo ao que a gente fazia lá nas integrais de linha gente se você tiver a integral de uma função f em uma

superfície s o que você vai fazer é parametrizar sua superfície caso ela já não esteja parametrizada E aí considerando que você parametrizar sua superfície e nos parâmetros u e v você vai substituir sua integral por uma integral dupla comum da função f só que com os parâmetros u e v Então você substitui x y e z pelos correspondentes nos parâmetros u e v então por exemplo se x for igual 2u + V na função f você substitui X por 2 u + v e mesma coisa pro y e pro Z né E aí você vai

multiplicar isso pelo módulo do produto escalar entre os vetores tangentes Então você vai encontrar ó vou colocar aqui o terceiro passo você vai encontrar quem é o vetor tangente em relação ao par u e quem é o vetor tangente em relação ao parâmetro v e aí você vai calcular o módulo do produto vetorial entre ru e RV tendo essas informações é só substituir aqui nessa integral dupla E aí a sua região de integração é onde tá a sua superfície então de onde até onde varia o parâmetro u e de onde até onde varia o parâmetro

v e substituindo as informações aqui você cai em uma integral dupla comum então por que eu fiz questão de relembrar aqui o cálculo da área de uma superfície porque a área de uma superfície nada mais é do que a integral de superfície quando a função que a gente tá integrando é f de x y z = 1 então a função que a gente tá integrando é uma constante para esse caso aqui agora se a nossa função não for uma constante a gente tiver por exemplo F Dex x y z = x qu + y x

z algo assim você tá integrando na mesma superfície só que agora o seu resultado não vai mais ser simplesmente a área daquela superfície porque você tá modulando essa área com a função f então o resultado dessa integral Aqui a gente vai denotar simplesmente como a integral de superfície da função f na superfície S então a Ó gente mais um caso análogo aqui da integral de linha é que quando a gente fazia a integral de linha de uma função f dexy = a 1 isso dava pra gente lá nos cálculos da integral simplesmente o comprimento do

arco comprimento da curva onde a gente tá integrando da mesma forma que na integral de superfície quando a função que a gente tá integrando é uma constante igual a 1 o que a gente vai obter é a área da superfície então aqui na integral de linha a gente obtinha o comprimento da curva e na integral de superfície a gente obtém a área da superfície agora se você tiver uma função diferente de um você tá calculando aqui nesse caso a integral de linha da função f ao longo da curva C Enquanto aqui na integral de superfície

se a sua função for diferente de um você tá calculando a integral de superfície da função f na superfície S então gente em um caso geral Você vai precisar parametrizar a superfície encontrar o vetor tangente encontrar o módulo do produto vetorial e substituir aqui dá um trabalhinho mas a gente vai entender o passo a passo para fazer isso mas tem um caso um pouco menos trabalhoso que é quando a sua superfície é Z igual uma função de x e y ou então x igual uma função de y e z ou então Y igual uma função

de x e z então caso apareça um desses casos Onde você consegue isolar facilmente uma das três variáveis na sua superfície é muito mais simples fazer a parametrização né porque os seus parâmetros vão ser simplesmente as variáveis que a gente tem aqui na função se você tiver x = y qu + Z qu você pode definir a sua superfície como um parâmetro Y um parâmetro Z E aí o x você define como o parâmetro Y qu mais o parâmetro Z A quadrado certo quando você cair nesse caso pode ficar feliz porque ao invés de ficar

calculando o vetor tangente calcular o produto vetorial e o módulo dele você já pode usar a expressão Zinha pronta pro ru vetorial com RV então isso aqui é basicamente o cálculo feito e aqui a gente tá dando que vai valer sempre isso aqui considerando Z = F dexy né então o seu ru vetorial com RV que você substituiria aqui na integral de superfície para esse caso onde sua superfície é uma função ali definida bonitinha você pode fazer simplesmente a raiz de 1 mais a derivada da variável isolada em relação à primeira variável ao quadrado mais

a derivada da variável isolada em relação à segunda variável ao quadrado agora se você tiver x = f de YZ a única coisa que vai mudar é que esse termo vai ficar assim ó 1 mais a derivada da variável isolada em relação a primeira ao primeiro parâmetro ao quadrado mais a derivada da variável isolada em relação ao segundo parâmetro ao quadrado então sempre funciona dessa forma a isolada e os parâmetros então isso aqui que é só uma forma mais simples de a gente calcular a integral de superfície quando a gente sabe que a nossa superfície

pode ser escrita nesse formato Z igual uma função de x e y ou então alguma das outras variáveis sendo isolada direto mas caso a sua superfície tem um formato diferentão alguma coisa assim por exemplo aí você vai ter que parametrizar e encontrar ru e RV para fazer o produto vetorial tá bom porque aí não cai nesse mesmo padrão gente se vocês quiserem quiserem ter acesso a mais aulas de cálculo vetorial e outras disciplinas do seu curso no Mat temat Academy você conta com aulas teóricas vários exercícios resolvidos e também uma comunidade onde você pode enviar

seus exercícios provas antigas pra gente resolver então se você quiser fazer parte da nossa plataforma é só clicar aqui no link da descrição matemateca pcom e conhecer as nossas opções de planos Tá bom então vamos lá continuar gente vamos ver esse exemplo aqui de integrais de superfície a gente quer calcular a integral da função x qu x y x z então é uma função escalar né uma função comum assim não tem nada vetorial que é x qu x y x z e a gente quer integral de superfície dessa função na superfície S que é a

parte do plano Z = 1 + 2x + 3y que tá em cima do retângulo onde x varia de 0 até TR e y varia de 0 até 2 então gente a primeira coisa de todas que a gente tem que fazer para calcular uma integral de superfície é parametrizar a nossa superfície escrever ela em função de dois parâmetros o IV teta i fi x e y dependendo da superfície que a gente tem a gente vai escolher dois parâmetros ali para parametrizar ela e nesse caso a gente caiu em uma coisa bem legal aqui que o

z tá isolado bonitinho na equação da nossa superfície Então a gente tem o plano aqui né a gente quer a região do plano que tá acima do retângulo Então essa aqui é a nossa superfície só que nessa superfície a gente tem algo do tipo Z = uma função de x e y o z tá em um formato bonitinho isolad simo aqui quando isso acontece a gente viu que a gente consegue simplesmente chamar os nossos parâmetros de x e Y vão ser os parâmetros da nossa superfície e aí o z Vai ser 1 mais duas vezes

o parâmetro x mais três vezes o parâmetro Y então a gente consegue parametrizar simplesmente chamando x e y de parâmetros aqui nesse caso e aí a única coisa que a gente tem que especificar é de onde até onde tá indo o x e o y então o x tá variando de 0 até 3 e o y tá variando de 0 até 2 agora que a gente tem Nossa superfície parametrizada vamos lembrar como a gente calcula uma integral de superfície a gente vai cair em uma integral dupla na região D que é a região onde os

nossos parâmetros estão variando E aí a gente vai escrever a nossa função x qu x y x z em função dos parâmetros no caso aqui os nossos parâmetros permanecem sendo X e Y né e a gente Multiplica pelo módulo do produto vetorial entre os vetores tangentes então a gente pega o vetor tangente em relação a x pega o vetor tangente em relação a y calcula o módulo do produto vetorial entre eles e substitui aqui só que tem um porém gente a gente viu que quando a gente tem uma superfície que pode ser escrita simplesmente como

Z = f dexy a gente tem um padrão de como vai funcionar o módulo do produto vetorial para esses casos o módulo do produto vetorial entre os vetores tangentes é sempre a raiz quadrada de 1 mais a derivada de Z em relação a x a quadrado mais a derivada de Z em relação a y quadrado então ao invés de encontrar o vetor tangente fazer o produto vetorial encontrar o módulo a gente pode simplesmente usar esse padrão aqui porque a nossa superfície foi dada na forma mais simples dela que é a forma onde Z é uma

função de x e y e aí os nossos parâmetros foram simplesmente o x e o y então para esse caso o módulo de RX vetorial com ry é a raiz Quad de 1 mais a derivada parcial de Z em relação a x que é 2 né elevada a quadrado mais a derivada parcial de Z em relação a y que é 3 A quadrado Isso aqui vai dar a ra qu 14 então a integral dupla que a gente vai calcular para encontrar a integral de superfície aqui é a integral da função f só que escrita na

forma paramétrica então o x continua igual continua x qu o y continua sendo ele mesmo e o z vai ser toda essa equação aqui então 1 + 2x + 3y E aí a função multiplica o módulo do produto vetorial entre RX e ry que a gente encontrou que vale ra qu 14 e a gente calcula essa integral na região onde a nossa superfície tá definida então em x ela tá definida de 0 até 3 em Y ela tá definida de 0 até 2 que é o retângulo aqui que tá determinando a nossa região D Ó

gente importante lembrar que como tanto x quanto Y estão definidos em constantes nenhum deles está definido em uma função tanto faz a ordem que você colocar aqui DX D Y ou d y DX Tá bom então só distribuindo aqui o que a gente quer calcular é a integral de X qu x y + 2x C x y multiplicando pelo segundo termo né e multiplicando pelo terceiro termo + 3x qu x y qu tudo isso multiplicando a raiz quadrada 14 Então vamos lá pra gente calcular uma integral dupla a gente começa da integral de dentro e

depois vai pra integral de fora então vamos começar calculando a integral de 0 até 3 da raiz qu 14 x x x y + 2x C x y + 3x x y qu em relação a x como ra de 14 é uma constante ela pode simplesmente ficar do lado de fora e aí vamos encontrar a primitiva de toda essa função aqui em relação a x Lembrando que Y é constante em relação a x a primitiva de y x x qu é y x x c so 3 y y x 2x C fica y x 2x

4 so 4 a gente pode dividir por 2 em cima e embaixo né então fica x 4 so 2 e a primitiva de 3x qu x y qu em relação a x é 3y qu x x c sobre 3 A gente também pode cortar o três de cima com três de baixo então a gente calcula isso de x = 0 até x = 3 Então a gente tem a ra 14 x substituindo X por 3 que é o limite superior de integração a gente tem y x 3 C que é 27 so 3 + y

x 3 A 4 que é 81 so 2 + Y qu x 3 C que é 27 substituindo X por 0 vai zerar tudo né gente porque tudo tem o x aqui então vai ficar zero vezes tudo isso então nem precisa a gente colocar quando X iG 0 então o resultado da integral de dentro é raiz qu 14 x 27/3 que é 9 x y + 81 Y so 2 + 27y qu Agora vamos pra integral de Fora que é a integral em relação a y de 0 até 2 então agora a gente integra de

0 até 2 o resultado da integral de dentro que é √1 que a gente já pode até colocar para fora né então raiz de 14 multiplica a integral de 0 até 2 de 9y + 81y so 2 + 27y qu em relação a y Então a gente tem a ra 14 multiplicando do lado de fora e a primitiva dessa função em relação a y vamos fazer por termo a termo aqui 9y fica 9y qu so 2 81y so 2 fica 81 so 2 x y so 2 então 81 Y 4 né e 27y qu fica

27 y c so 3 e a gente calcula isso de y = 0 até Y = 2 então a gente tem a ra 14 x 9 x y so 2 então fica 9 x 4 so 2 que é 2 né então aqui já vai dar 9 x 2 que é 18 a no segundo 81 x y so 4 então fica 81 x 4 so 4 que vai dar 81 ó a gente tá substituindo o limite superior tá bom + 27 x 2 C sobre 3 então fica 27 x 8 so 3 substituindo o Y por

0 vai zerar tudo então nem precisa a gente colocar né que aqui a gente vai fazer - 0 aqui 27 sobre 3 Vai dar 9 e 9 x 8 é 72 Então a gente tem a √ 14 x 81 + 72 + 18 que dá 171 então o resultado final dessa integral de superfície é 171 x ra 14 Então nesse caso foi uma integral de superfície um pouco mais simples de calcular justamente porque a nossa superfície era dada como uma função ela não era aquela superfície onde tá tudo junto lá no meio nem nada assim

bom gente então foi isso no vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilha com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente [Música] beijo