Matemática do Zero | Grandezas diretamente e inversamente proporcionais - Brasil Escola

Olá estudantes seja bem-vindo ao canal Brasil escola eu sou o Pedro Ítalo o seu professor de matemática e continuando Nossa playlist para você aprender matemática de uma vez por todas matemática do zero eu quero falar com você hoje sobre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente [Música] proporcionais bom o que são grandezas diretamente proporcionais são grandezas em que a razão entre elas é uma constante então se eu tenho por exemplo duas grandezas y e x e elas são diretamente proporcionais isso significa dizer que Y dividido por x tem que ser igual a uma constante de proporcionalidade

então o que que são grandezas diret proporcionais são grandezas que você vai escrever como uma razão a razão entre elas é uma constante por exemplo você aprende lá na física a fórmula da velocidade média você aprende que velocidade média é a razão entre a distância e o tempo né é o Del S sobre del T eu coloquei D so T velocidade a distância dividido pelo tempo você tá vendo a distância e o tempo estão escritos como uma razão então isso significa que distância e tempo São grandezas diretamente proporcionais Então olha só para você ver que

legal distância e tempo São grandezas diretamente proporcionais por por quê Porque elas estão escritas como uma razão eu vou te mostrar uma outra lógica para você compreender que distância e tempo São grandezas diretamente proporcionais quanto maior a sua distância para você percorrer maior o tempo que você irá gastar então distância e tempo São grandezas diretamente proporcionais obviamente se você manter a velocidade né considerando que a nossa velocidade é uma constante ou quanto quant menor a distância que você irá percorrer menor o tempo que você irá gastar para percorrer essa distância a uma mesma velocidade então

distância e tempo tá vendo que o que aconteceu com a distância acontece também com o tempo aumenta distância aumenta tempo diminui distância diminui tempo então distância e tempo São grandezas diretamente proporcionais mas nessa mesma fórmula né a gente viu na aula anterior de razão e proporção e eu mostrei para vocês algumas propriedades a gente viu que nós podemos fazer a multiplicação cruzada né o produto dos meios pelos extremos E se a gente multiplicar cruzado aqui ó a gente vai ter v x t = d aí você pega esse v e passa dividindo né então T

ig a d sobre V então eu posso escrever o tempo como sendo a distância dividido pela velocidade que que isso significa Então tá vendo que distância e velocidade estão escritos como uma razão podem ser escritos como uma razão então distância e velocidade também são grandezas diretamente proporcionais obviamente se nós mantermos o tempo vou repetir distância e velocidade pode ser escrito como uma razão e grandezas diretamente proporcionais é que a razão é uma constante Então se pode ser escrito como uma razão distância e v velocidade são grandezas diretamente proporcionais vou escrever aqui para nós distância e

velocidade são grandezas diretamente proporcionais eu vou te explicar de uma outra maneira que velocidade e distância são grandezas diretamente proporcionais vamos supor que você tem 30 minutos para chegar em um determinado local se eu aumentar a distância eu vou precisar aumentar a velocidade se eu manter o tempo por exemplo se para eu quero percorrer 80 km em 1 hora então eu tenho uma velocidade média de 80 km/h né se eu aumento essa distância 100 km mas eu quero fazer na mesma 1 hora eu mantenho o tempo né uma constante Você vai precisar aumentar a sua

velo então eu aumentei a distância você aumenta a velocidade e o contrário também se você diminuir a distância você pode diminuir a velocidade então distância e velocidade são grandezas diretamente proporcionais tá bom pensando num outra fórmula aqui em outra fórmula Vamos pensar na de química né que você aprende lá que densidade é a massa sobre o volume tá vendo que e volume estão escritos como uma razão então massa e volume são grandezas diretamente proporcionais massa e volume são grandezas diretamente proporcionais igual eu fiz no outro exemplo a gente pode colocar um aqui embaixo né e

trocar esse D E esse V aqui de lugar como se fosse multiplicando cruzado E aí a gente conclui que volume é a massa dividido pela densidade está vendo que massa e densidade pode ser escrito como uma razão então massa e densidade são grandezas também diretamente proporcionais então massa e densidade são grandezas diretamente proporcionais e com isso a gente consegue fazer uma análise em qualquer fórmula tá ou até mesmo montar uma fórmula como nós vamos ver agorinha no Exercício tá imagina por exemplo a força de interação entre duas cargas você aprende por exemplo que e a

força de inter força elétrica né de interação entre duas cargas é a constante multiplicado pelo módulo do produto das cargas dividido pelo quadrado da distância Eu costumo dizzer assim PR os meus alunos assim ó kqq so D qu kqq so D qu então Observe que a carga e o quadrado da distância pode ser escrito como uma razão está escrito como uma razão então a carga e o quadrado da distância São grandezas diretamente proporcionais se você multiplicar cruzado ou seja pegar esse k e jogar para cá ó você vai ter que a força está sobre o

módulo da carga então a força e a carga também são grandezas diretamente proporcionais fechou ou se você trocar o f e o d de lugar aqui ó como se fosse multiplicando cruzado então diante disso a gente consegue fazer esses tipos de análise agora eu quero chamar sua atenção para uma coisa olha que legal esse x que tá dividindo eu posso jogar para cá multiplicando E aí a gente conclui que y é igual a constante de proporção multiplicado pela outra grandeza pelo X Isso me lembra função você aprende que o y pode ser escrito como função

de X como f Dex talvez dependendo da série que você está e você está vendo essa videoaula você não viu função ainda mas o para determinar o valor do Y eu dependo do valor do X então a gente pode escrever o Y como sendo função de x e aí você aprende por exemplo que isso aqui como meu x está elevado a 1 é uma função polinomial do primeiro grau e uma função polinomial do primeiro grau é uma reta nesse caso mais específico Isso aqui é uma função linear Ou seja é uma função que irá passar

pela origem que que eu estou querendo dizer para você que todas as vezes que você vê uma função que passa pela origem nós podemos dizer que que essa função representam grandezas diretamente proporcionais fica a dica para você sobre isso aqui sobre esse gráfico de grandezas diretamente proporcionais pode ser crescente pode ser decrescente tá bom e grandezas inversamente proporcionais o que que são grandezas inversamente proporcionais são grandezas em que o produto entre elas é uma constante imagine duas grandezas y e x e se elas forem inversamente proporcionais Isso significa que o produto entre elas a multiplicação

entre elas é uma constante então por exemplo eu acabei de comentar aqui agorinha para você da fórmula da velocidade média que é a distância dividido pelo temp Observe que pode colocar o um aqui embaixo conforme Eu já mostrei para vocês e multiplicar cruzado e Olha onde que a gente chega que a distância é a velocidade multiplicada pelo tempo está vendo que velocidade e tempo pode ser escrito como um produto então velocidade e tempo São grandezas inversamente proporcionais velo e tempo São grandezas inversamente proporcionais quanto maior a sua velocidade menor o seu tempo então velocidade e

tempo São grandezas inversamente proporcionais ou pensando na fórmula de densidade né que eu coloquei guinha para vocês densidade é a massa sobre o volume mais uma vez se a gente multiplicar cruzado a gente concluir que massa é a densidade vezes eu falei velocidade densidade é massa sobre volume eu não sei se eu falei velocidade Fiquei na dúvida aqui agora mas se eu falei me perdoa densidade é a massa sobre o volume se nós multiplicarmos cruzado a massa é a densidade vezes o volume está vendo que densidade e volume pode ser escrito como um produto então

densidade e volume são grandezas inversamente proporcionais então densidade e volume são grandezas inversamente proporcionais se eu pegar a outra fórmula que eu comentei com vocês da força de interação entre duas cargas que é k q q sobre D qu kqq so D qu tá vendo que as cargas estão escritas como um produto Então as cargas são grandezas inversamente proporcionais Observe que eu posso pegar o colocar um aqui embaixo e passar o d Quad multiplicando E aí É como se você tivesse é f x d qu tá vendo que vai ficar escrito como uma multiplicação então

a força e o quadrado da distância São grandezas inversamente proporcionais e levando para o lado de função que eu comentei com você dependendo da série que você está Já é palpável isso aqui para você eu posso pegar esse x e passar dividindo então a gente conclui que o y é a constante dividido pela outra grandeza como para determinar o valor do Y eu dependo do valor do X eu posso colocar o Y como sendo uma função x e aí você teria essa função que é a mesma coisa que FX iG k x x elev -1

o gráfico disso aqui é uma hipérbole deixa eu ver que cor que eu coloquei aqui roxo né então o gráfico disso aqui dessa função é uma hipérbole Então quando você vê o gráfico sendo uma hipérbole Opa eu quero verde sendo uma hipérbole op escorregou minha mão aqui então significa que nós temos grandezas inversamente proporcionais então grandezas diretamente proporcionais podem ser escritos como uma razão e o gráfico é uma função polinomial de primeiro grau passando pela origem ou seja uma função linear e grandezas inversamente proporcionais nós vamos escrever elas como um produto e o gráfico é

uma hiperbol Então eu quero que você pense o seguinte falou diretamente escreve como uma razão como uma divisão falou inversamente escreve como um produto olha só essas questões aqui de montar as equações a afirmação a grandeza ou variável p é inversamente proporcional ao quadrado da grandeza ou variável q então pera aí se p é inversamente proporcional ao quadrado de q inversamente eu escrevo como um produto então p x q qu tem que ser igual a uma constante Então se p e quadrado de q é inversamente proporcional eu escrevo como uma multiplicação e esse q qu

tá multiplicando eu posso passar dividindo a gente conclui então que p é k dividido por q quadado o que nos levaria a marcar a letra D Olha que simples Ok então inversamente proporcional você escreve como um produto tá aqui ó grandeza p é inversamente ao quadrado de q Ok olha essa outra questãozinha aqui so do ENEM também diz o seguinte a resistência mecânica S de uma viga de madeira então s é resistência em forma de um paralelepípedo retângulo é diretamente proporcional à largura então é diretamente proporcional a largura B Então olha que legal se é

diretamente proporcional eu vou escrever como uma razão então S sobre d d não B porque s e b é diretamente proporcional e s é diretamente proporcional também ao quadrado da altura D Então se é diretamente proporcional eu tenho que pegar o s e o quadrado de D e escrever como uma divisão então o d quadrado vai aparecer aqui embaixo também vou repetir s é diretamente proporcional a largura b e diretamente proporcional ao quadrado da distância da distância não eh ao quadrado da altura a altura D né tá escrito aqui continuando é inversamente proporcional ao quadrado

da distância entre os suportes da Viga que coincide com o X ah então é inversamente proporcional ao quadrado de X então se s é é inversamente proporcional ao quadrado de X eu coloco como uma multiplicação então vezes x qu viu que simples eu preciso que você compreenda o qu diretamente eu escrevo como uma razão diretamente eu escrevo como uma razão inversamente eu escrevo como um produto como uma multiplicação e aí Isso aqui é igual a uma constante de proporcionalidade né que ele tá chamando aqui de k né k é chamado de de constante de proporcionalidade

beleza Qual que é a expressão que traduz S Então agora eu vou trabalhar com isso aqui Observe que esse BD qu É como se eu tivesse um aqui embaixo e eu posso fazer essa propriedade aqui da proporcionalidade que eu te expliquei na aula anterior que é multiplicar cruzado então nós teríamos SX É iG k ve x b x d qu aí esse x qu tá multiplicando a gente pode passar dividindo então a gente conclui que o s é k b d qu sobre x kbd qu so x qu letra A Olha que simples lembra do

que anota anota isso diretamente proporcional escreve como uma razão inversamente proporcional como uma multiplicação olha essa outra a resistência das vigas de dado comprimento então a resistência da viga de dado comprimento é diretamente proporcional à largura b então diretamente proporcional à largura b e também ao quadrado de D não parece com a questão anterior né É uma questão recorrente no ENEM conforme a figura a constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material considerando s a resistência Qual é a representação algébrica disso então s é a resistência é diretamente proporcional à largura Então vou

lá e escrevo como uma razão e também diretamente proporcional ao quadrado da altura então D qu isso tem que ser igual a uma constante de proporção então a resistência é k x b x d qu k x b x d qu é letra c simples demais na conta né olha essa outra questãozinha aqui agora ó que legal de acordo com a lei universal da gravitação proposta por Isaac Newton a intensidade da força gravitacional F que a terra exerce sobre um satélite em órbita circular é proporcional à massa e inversamente proporcional ao quadrado do raio então

ó ele nem precisava te dar essa fórmula aqui só pelo que ele escreveu você teria que que saber Como chegar nessa fórmula no plano cartesiano três satélites a e b c estão representados cada um por um ponto m e r cujas coordenadas são respectivamente a massa do satélite e o raio da sua órbita em torno da Terra com base nas posições relativas dos pontos no gráfico deseja-se Comparar as intensidades das forças fa FB e FC gravitacional que a terra exerce sobre os satélites A B e C então Qual é a comparação entre essas distâncias vamos

lá então Observe que aqui é o raio e que aqui é a massa Tá bom então o raio do a seria esse tamanho o raio do C seria esse tamanho Então a gente tem o quê que o raio do c é maior que o raio do a só que a força e o raio a força e o quadrado do raio são grandezas inversamente proporcionais então o que que isso significa que quanto maior o raio menor a força Ora Bolas se o raio do c é maior que o raio do A então por serem grandezas inversamente

proporcionais a força do c é menor que a força do a acontece o contrário agora vamos analisar o raio do a é isso aqui que tá de vermelho e o raio do B é isso aqui que coloquei de azul que é o mesmo que o raio do A então o raio do A é igual ao raio do B Só que tem um detalhe Olha a massa Olha a massa a massa do a é esse tamanho e a massa do B é esse tamanho então Observe que a massa do b é maior que a massa do

C só que a massa e a fora são grandezas diretamente proporcionais Porque ele disse ó que é proporcional à massa quando ele fala que é proporcional à massa ele está dizendo que é diretamente proporcional e observe que se você pegar esse m e passar aqui para baixo vai ficar como uma divisão então Força e Massa São grandezas diretamente proporcionais que que isso significa quanto maior a massa maior a força então se a massa do B é maior que a massa do C isso me implica que a força é massa do c não é massa do

do a né eu escrevi errado aqui tá a massa do B é maior que a massa do A então isso significa que a força do B é maior que a força do a Ou seja é a mesma coisa que eu colocar que a força do a é menor que a força do b então que que a gente pode fazer por uma propriedade matemática chamada transitividade se a força do c é menor que a força do a e a força do a é menor que a força do b então a gente pode concluir que a força

do c é menor que a força do a que é menor que a força do B ou seja a força do c é menor que a força do b então se nós analisarmos essa sequência aqui FC é menor que fa que é menor que FB que nos leva a marcar a letra E isso são grandezas diretamente proporcionais Olha só ativa agora o Sininho se você não é inscrito inscreve no canal ativa o Sininho porque a próxima aula que eu vou postar para você é uma aula de regra de três simples e eu vou comentar mais

uma vez sobre isso grandezas diretamente proporcionais inversamente proporcionais não esquece de deixar o seu joia vai lá embaixo deixa o seu comentário que eu vou estar te respondendo no mais beijo para quem de beijo abraço para quem de abraço tchau obrigado