Cálculo I - Aula 26 (3/3) Exemplos de substituição

a dúvida de como a gente usou o teorema nesse exemplo então é bom ter isso na cabeça porque a gente não vai ficar repensando isso toda hora vão até alguma flexibilizada no que a gente está fazendo as contas funcionários vão pegar um segundo exemplo a 2 calcular integral de meio até um da raiz quadrada de 2 x - um de x então você sabe automaticamente dizer qual é a função que quando tería da raiz quadrada de 2 x1 deixei o que se sabe se fosse só raio x de x saberia de xx elevador meio você

pode aplicar esse conceito aqui tá bom então vamos ver quer dizer se você chama o x vai virar um gênio né certo então de maneira mal logo eu posso escrever que o igual a 2 x 1 - 1 se você quiser pensar o x entre parêntese aqui o x-gear gil quem quer x 1 + 1 sobre dois né tá bom e quem é o g linha mei bom então vamos lá seu usando essa coisa que está entre parentes qual que é a ideia que a gente tem aqui quais são os pontos que eu vou ter

que colocar você pode pensar assim como essa é uma função de gestora né determinar esses extremos tá fácil quando x é meio quanto vale 10 quando x vale 11 tem que ser quanto um é o que eu vou fazer vou fazer a quem a minha é finné desculpa bagunça aqui quem é o fx raiz quadrada de 25 anos 1 portanto quem vai ser f de gil gil directora né porque 2 x 1 - 1 é o também então eu quero ficar raiz quadrada de 11 vezes o geninho aqui que é hoje a linha meio deu

certo sabemos fazer essa conta tomara que sim né isso aqui é uma constante multiplicando por lá fora da integral vai fazer essa que vai fazer bem devagarzinho raiz quadrada de um é o elevado a meio como é que acha primitiva de um elevador meio soma onde divide pelo cara já somado então vai dar o levado a três meios dividido por três meses mais uma constante isso calculado de zero tempo também quando que dá isso com esse meio que vai embora vai dar um terço - era também a um terço isso como eu tirei essa gediu

essa pergunta quem era gil gil lá no enunciado do teorema é o cara que devem entrar na f1 f você calcula em x então fgd eo oxi seu gênio tá bom então tá claro o procedimento como é que a gente faz isso sem ter que ficar escrevendo gediu toda hora tá então a gente vai se dar liberdade de escrever isso dessa maneira integral de e mail até 111 raiz quadrada de 2 x menos 12 x vai ser igual mediante a mudança o igual 2 x 1 - 1 quem é a derivada de um em relação

à x quem a deu de she's the view em relação à x da quanto 2 então isso quer dizer do ponto de vista diferencial que deu é 2x legal então isso aqui vai ficar quanto os extremos quando x vale meio o vale zero quando x vale 11 vale um quadrado de um quem é de x deus sobre dois tá ou seja a gente ficar exatamente aqui então não tem que ficar escrevendo toda hora função gente pode fazer isso dessa maneira em que isolá-lo dxs só pode ter uma variável dentro da integral porque tal como um

integra funções de uma variável tá bom depois vai ter mais mas vamos aprender essa aqui primeiro para chegar lá direitinho na hora então e segue a conta daqui pra frente da mesma maneira também vamos ver um terceiro exemplo hoje eu vou fazer um monte a alguns deles são inclusive os da primeira página da lista estão estragando alguns mas vou deixar bastante pra você a um terceiro exemplo por exemplo podemos querer calculará integral entre 0 e sobre seis da função coçando dx vezes sendo a quinta x parece horrível né mas não é como é que vai

fazer isso tem você tem um produto jazz and the dhaka por enquanto só tenho uma coisa pra fazer a gente só sabe mudança de variável mas depois de ter várias técnicas então você pode ficar meio perdido fazer talvez em um produto duas linhas vão se ver em sua cabeça a integração por partes que a gente vai ver depois ou o dança e variável no caso a gente só tem mudança de variável e na mudança de variável que tem que aparecer uma composta vezes a derivada do que está dentro tá eu consigo ver uma composta quem

é derivada de quem aí nesse caso poderia ter alguma confusão mas você tem um sendo levado à 5ª então multiplicando por um conselho o conselho a derivada do senado dentro tá certo então já nesse modo mais ágil ser chamar o decênio de x quem é deu quem é derivada de um em relação à x possui um chip então deu fc x de x também então desse ponto de vista se integrava o que quando x 0 o vale zero quando x por pessoa e 61 vale meio centena de pessoas 36 c no x a quinta ou

a quinta com um x de x aqui exatamente deu também justo o a sexta sobre seis é primitivo de zero até meio quanto que vai dar isso o a sexta vai dar um sobre 2 a 6 1 sobre 64 vezes 6/1 sobre 384 nos atualizando certo é 64 vezes 6 é isso aí ora então se você tem uma técnica muito boa que as mudanças variável que você precisa estar afiado para saber usar bem olhar para as pressões e reconhecer aquilo como derivado de alguma coisa então você tem que tá com as derivadas pelo menos as

mais populares assim debaixo da manga o tempo todo vou ver um outro exemplo quatro legal de zero até têm sobre 2 x deixa vai falar não tem nada multiplicando é falar ontem 5 que é ser o cubo sendo vencendo vencendo ou sendo vezes e no quadrado e aí essa que o lance tem que ter um certo poder de clarividência que é tipo um jogo de xadrez tem que pensar numa jogada que você vai fazer vai te dar um efeito bom na frente qualquer feito bons e olhar para isso como sendo vezes e não ao quadrado

você não quadrado eu troco por um - conselho ao quadrado eu ficar com um produto de cenas e conselhos que a gente já viu o que é bom porque é derivado do outro tá então isso aqui você pode escrever dessa maneira sereno de x vezes sendo um quadrado de xx isso vai vir a integrar 0 sobre dois de cena de x 1 - conselho ao quadrado de chi x tá e se fizer distributiva vou escrever assim tá com cena de x ao quadrado vezes menos sentido já para deixar bem claro que vai acontecer tá bom

pergunta como é que se calcula primitiva de uma soma primitiva de cada parcela porque derivada da soma dos derivados então isso aqui vai ser o que esse pedacinho a gente sabe fazer vou separar que vai 0 sobre dois sentidos x mais integral de zero até que sobre dois gols e não quadrado de x 11 meses - sánchez deixou a primeira parcela a gente sabe calcular primitiva sim qual é a função que quando deriva da cena - conselho né - conselho x qualquer intervalo de zero a tep sobre dois mais aquela outra aquela outra como é

que a gente pode fazer qualquer mudança de variável legal aqui aqui a gente chamar um de cosseno dx quem o deu - sendo xx está certo ficou de graça né intervalo extremo de integração josep sobre dois então isso aqui vai virar integral de quem quando o vale zero quando desculpa quando x vale zero o vale 1 quando x vale tem sobre dois o conselho vale zero ok a gente discute o que pode parecer estranho ali e como é que fica lá dentro vai ficar o quadrado eo - e no xx é o deus que quer

dizer esse negócio aqui saiu invertidos extremos de integração é razoável isso porque aconteceu isso porque como essa mudança de variável que a gente propôs aqui é uma mudança não linear né ela tem dilatações e contrações e variáveis em cada ponto e quanto que é a taxa de variação é menos e no como eu to de zero até perceber 2 - e não é negativo que tem uma derivada negativa que isso quer dizer que a função que estou usando na verdade é decrescente então um valor menor vai parar num valor maior do que o outro ou

seja de certo modo quando eu fizer aqui eu tô indo do zero até o fim sobre dois lá eu tô indo na contramão do zero pronto do cruzeiro é derivada negativa eu percorro intervalo o sentido oposto então é naturalmente se você faz as contas da natureza cuida disso pra vocês não se preocupar então quando que vai dar isso - conselho no ponto sobre 20 no ponto zero vale - um então é zero - - um cuidado quando errado em sinal de menos que vai dar um nesse pedaço que vai dar o que a permite ver

o oco sobre 3d 1 a 0 dá 11 - um terço ou certo o zero a zero num vale um terço do 2 tempo de mais e fazer mais ah [Música] 5º isso aqui é um pouquinho diferente você vai notar faé vai sentir falta de alguma coisa que escrevi que está faltando aí os sistemas de integração beleza que isso quer dizer que eu não quero mais calcular embaixo de um gráfico eu quero que se descubra pra mim isso é que é descubra quais são todas as funções que quando o derivado da 1 sobre uma x

a quarta a isso é calcular primitiva pode parecer uma coisa assustadora no começo falando posição sem nada que tenha a ver com o derivado desse tipo na que você sabe que tem a ver com um mais x alguma coisa no denominador quando teria sido morta tangente quando se deriva da 1 sobre o mainz x quadrado e ele está quarta pelo que a gente errou e guaches ao quadrado pode ser que resolva vamos ver o que você tem que tomar cuidado na mudança de variável seguinte ela tem que ser uma mudança e variável que seja boa

para todo mundo porque é que quer dizer que é bom para todo mundo ela vai mexer no integrando e vai mexer nesse cara aqui você tem que fazer uma mudança que combina tudo isso perdeu fica legal nos termos dele que quer dizer eu ficar legal sobre uma expressão que eu sei calcular primitiva a vamos lá ser propôs o igual à x ao quadrado parece ok né porque vai ficar aqui embaixo um mais o ao quadrado só quando você põe os negócios ao quadrado qual que fica a relação entre o desvio de x o deus vai

ser 2 x 2 x 1 x de x ac era bem você precisava mesmo vai dar certo tá então fazendo o igual à x ao quadrado eu vou ter que ter o é 2xx se você quiser fazer de outro jeito quem é o xx é hoje o que vai pegar aqui como pediu a raiz quadrada ele chama x igual a é a raiz quadrada de um que muda nada porque se percebe o que está fazendo é usar a função inversa dessa aqui qualquer relação entre uma função é derivada elevado de uma função do elevado inverso

é um sobre né então se você escrever que é o dx cpx iguais quadrada de 12 x vai ser de 1 sobre raul gil vai ter 12 multiplicando lá meio na frente vai dar tudo certo e até faz isso pra ver como é que funciona com essa mudança que vai acontecer com a quem que a xx deu sobre dois né isso é bom porque é um sobre um mar x a quarta na quarta 1 ao quadrado bom que dá pra fazer esse meio a uma constante multiplicando por lá fora qual a função que derivam em

relação à o daum sobre o mais o quadrado a tangente de uso intenso aqui é meio a tanta gente viu mais uma qualquer constante de integração tá vamos voltar para variável x o que significa meio do arco tangente quando aqui é legal e quando você acha que terminou o exercício você consegue conferir né como você sabe se você acertou isso não pega isso aqui deriva tem que dá isso aqui um menu x a quarta a gente aí você tem o que se vai ter um consciente de 2 polônia onde de baixo tem raiz isso a

gente usa um outro método de integração que é chamado método das frações parciais então vou pegar esse cara descobrir quem são as raízes inscreva se aqui como uma soma de conscientes de polinômios de grau menor vai integrando cada pedacinho de algum jeito a gente vai ver isso em breve bom se você quiser fazer daquele outro jeito né esse aqui ainda se você pensasse que o gil gil como é que fica quem quer g linha de 11 sobre dois rádio né então aquela integral lá como ela ficaria vai substituir fdg de 80 vai pôr raiz de

um em tudo aqui no lugar do x a raiz de um quadrado g linha de hu deu exatamente aqui tá bom dá na mesma então é melhor a gente fazer desse jeito quando ficar pensando em função inverso tempo todo inclusive às vezes nem consegue escrever função inverso vamos fazer mais alguns exemplos se faltar tempo a gente pra casa ó nesse ac x ao cubo vezes raiz de um mais x quadrado que a gente pode fazer isso você olha não vê ninguém com a cara da derivada de ninguém está certo em princípio não tem né quando

é derivada disso aqui tem nada parecido enquanto é derivado do que está dentro da raiz 2x e tava vendo algum 2x aparecendo aqui constante multiplicando se ignora eu tô dentro do x ao cubo tem 1 x né então eu posso escrever isso aqui como a gente pode ser bem ambicioso e já fazia assim ó o igual a um mar x 2 enquanto o deu dois xx joga tudo isso aqui vai acontecer eu vou ter esse cara que vai vir a raiz quadrada de um bem que é o dx esse cara eu posso ver ele como

sendo o menos um que é o menos 11 x ao quadrado é que eu vou ter um x de x que é o deus sobre 2 x ao quadrado não menos um eu quebrei x ao cubo como seu quadrado vezes x porque era uma coisa que pareceu que ajuda e deu certo mesmo tá bom então como é que fica isso aqui aí como é que eu resolvesse produto é parece difícil mas é tranquilo distribui meio que é uma constante já atua fora que é isso aqui só que o elevado a três meios né em vista

do nosso método de preventiva com a gente faz soma um tão elevado há três meses o estado cinco meios dois quintos multiplicando - esse cara aqui vai ser o elevado há três mês dois terços mas é constante de integração tá bom resolveu terminou não aqui é o elevador meio quando eu integro três meios o certo é o que precisa fazer para terminar eu não quero porque a gente eu quero fazer um outro exemplo voltar se o provável x então qual é a primitiva o que eu devo praxes ao cubo vezes raiz de 1 x 2

meio de dois quintos de 11 x quadrado e levaram cinco meios menos dois terços de um x quadrado levado três meses tá bom voltar para variável x é um outro exemplo você que é legal construtiva quero descobrir qual a função que quando o perigo da tangente dx que é tangente isso já entrega o ouro né você está vendo alguém como sendo o derivado do outro aqui obviamente o numerador é derivado do iluminador um sinal de menos tá então qualquer mudança de variável adequada aqui chama o de cosseno dx o deus vai ser - sendo xx

então essa primitivo vai ser o que menos 1 sobre o teu sabe calcular qual é a função que quando deriva da - um sobre o - lm do módulo de um mas a constante ou seja menos ln do modo quem quer um conselho se quisesse - um jovem aqui pra dentro fl do módulo das e cante e dependendo do intervalo que você tá com a seqüência positiva ou negativa se tiver tempo para mais um eu acho que é importante pra ver quando você acha que errou na verdade você não errou e aí o outro posso

deixar pra casa 8 só pode sequer qual a primitiva detergente dx vezes e cante o quadrado de xx essa parece que está de graça né você conhece alguém como derivada do outro quando era levado à tangente ao quadrado então rapidamente né isso é fazer o igual à tangente dx quem é o de um seqüencial quadrado de xdx importante é ver a integral de 1 deu ao quadrado sobre dois mas é constante e que é um contingente ao quadrado desse sobre 2007 acertei certa e seu derivado da certinha que outra pessoa podia enxergar isso de outro

jeito essa integral eu poderia inscrevê la dessa maneira semelhante de x vezes o sujeito tinha de ser cliente x posso posso fazer isso eu pergunto pra você quando é derivada das e cante secante vezes tangente tá então tá bom ali também né então se eu faço um igual às e cante dx quem é o de um kant sexta gente x deixei e portanto com essa mudança integral vir a integrar o meu tá bom o que é isso o quadrado sobre dois mas é constante o é semelhante agora né quem errou ninguém errou exatamente o que

acontece essas duas funções qualquer uma das duas se você derivar da exatamente o que está dentro da integral que isso quer dizer que as duas funções são primitivas de uma mesma função que eu posso dizer sobre duas primitivas de um mesmo cara a diferença é uma constante ou seja isso aqui e isso é a mesma coisa a única coisa que o k1 é diferente do k2 porque você sabe aquela coisa né tangente ao quadrado é uma seca de quadrado tá então se eu tocar aqui por secante ao quadrado mais um eu vou ter cerca de

um quadrado mais meio esse meio e incorpora uma constante obtenha isso aqui tá então uma coisa que você tem que tomar cuidado que dependendo do método de integração que você usa você pode obter respostas aparentemente diferentes no final das contas você vai ter uma uma diferença por uma constante e com isso você consegue descobrir um monte de fórmulas engraçadas né pega uma função integrada de um jeito integra de outro você tem duas maneiras de representar a mesma coisa a menos de uma constante calcula-se 21 pontos e descobre a diferença sabe qual é constante as empresas

aqui no zero a zero e essa aqui vale um vale meio então caiu a meio a todo esse é um jeito meio exagerado de provar que tem gente ao quadrado é semelhante ao quadrado mais um tá tudo bem então na praça tenta fazer prova que vem há por exemplo a integral de tangente vezes e cante ao quadrado é legal ao contrário é essa eu fiz o que podia fazer tangente ao quadrado vezes e kant se você quiser podia calcular por exemplo sei lá senão a quarta vez que estou sendo ao cubo isso acho que é

legal tenta fazer essa pro fim de semana como exemplo 9 e também já dá pra fazer a primeira página da lista toda com certeza alguns da segunda página aí então já dá para fazer exercícios a gente pode discutir a partir da segunda-feira a obrigado bom fim de semana para todos [Música]