Fundamentos Matemáticos para Computação - Lógica Proposicional

[Música] o Olá alunas e alunos de fundamentos matemáticos para a computação nesta vídeo-aula vou falar de lógica proposicional o começar conceitual documentos válidos depois falar de regra são seriam as regras de equivalência em regras de inferência É a lógica proposicional proposicional lógica proposicional nós temos o sistema formal que usa essas fórmulas bem formadas proposicionais para que a gente obter conclusões tá é por isso que eu também chamada de ótica declarativa ou cálculo proposicional Então você consegue chegar a conclusões a partir de determinadas proposições vamos imaginar o seguinte eu tenho um argumento como esse eu posso

reescrevê-lo com e um sendo a e P2 como sendo albedo MP3 como sendo B ou C negado só que como que eu deduzo o meu o que que é bebê ou se que tipo de quando vai ser possível é deduziu que a partir do P1 P2 e p3 né quando que os tipos de argumentos eu vou poder usar para provar que que é uma conclusão desses argumentos é quando que P1 P2 e p3 implicam que então todo todo esse acabou se nós vamos estar trabalhando na aula de hoje então para isso Vamos enxergar que dado

um argumento nós podemos observar as hipóteses nós devemos observar as hipóteses desse argumento que aparecem aqui conectadas pelo e certo essas hipóteses nós Assumimos como válidas e a partir delas Vamos tentar chegar a uma conclusão que também e desce quando o argumento é válido o argumento para eu poder classificá-lo como válido e chegar a partir das hipóteses nessa terra eu vou ter isso sempre que a verdade das proposições p-1ap e implicar na verdade de que ou seja sempre que esse argumento Aqui foram uma tautologia sempre que esse argumento for válido eu vou conseguir verificar isso

pelas verdade das proposições implicando em que E aí eu tem isso aqui verificado como o verdadeiro esse argumento classificado como um argumento válido bom e por exemplo a terra não é plana marca o quarto planeta do sistema solar por todo peixes vivem na água Esse é o tipo de argumento que nos interessa que não é válido para gente porque porque tudo bem é tudo verdade mas eu não posso concluir o fato da terra não se plana e marque seu copo parte planeta que peixe vive na água ou seja isoladamente cada hipótese EA conclusão né são

verdadeiros mas não consideramos isso um argumento vale não é esse tipo de argumento que a gente vai considerar como válida a conclusão ela é verdadeiro para si só né não é uma consequência das hipóteses e é isso que a gente vai estar trabalhando na aula de hoje então o argumento válido ocorre quando a partir bom então essa fórmula bem formulada nesse formato ela for uma tautologia Ou seja é uma quando nós tivermos hipóteses que nos levam a tese de um modo que isso é uma tautologia essa explicação aqui é uma tautologia ou seja um argumento

válido deve ser verdadeiro com base nessa estrutura interna que nós vamos está explorando tá então um argumento mais coerente aqui se afirma fale todos os seus ativos serão confiscados a firma faliu segue que todos os seus antigos Tem que ser complicado para começar estabelecendo a uma firma fale e B quando os seus ativos serem confiscados para não ter essa expressão nós vamos ter né que se afirma Fale então todos os seus ativos serão confiscados o ponto e a firma faliu Me segue e que todos os seus ativos tem que ser confiscados dessa forma montando uma

tabela a verdade para essa argumento nós observamos que ele é válido ele é sempre verdadeiro ele é tautológico bom só que montar a tabela a verdade não vai ser a melhor maneira nós vamos na verdade sim uma sequência de demonstração né que a sequência de fórmulas bem formuladas onde cada fórmula bem formulada vai ser uma hipótese ou resultado de aplicar uma das regras de dedução ou seja na sequência de demonstrações eu vou deduzindo eu vou apresentando somente é proposições verdadeiras argumentos vagos hipóteses e deduções válidas para isso eu vou o meu sistema lógico-formal ele vai

ser correto e completo correto no sentido de que apenas argumentos válidos deveriam ser demonstradas e completo no fato de que todos esses argumentos vagos a demonstrar Além disso vamos deixar uma tratava ou seja vamos utilizar o menor número possível de regras de do Sol os consideravam é tratável é as regras de dedução nós temos no tocante a regras de dedução nós temos as regras de equivalências ângulos diferentes as gemas equivalência permitem que as formas bem formuladas individuais sejam inscritas foi o que a gente viu no final da última aula quando pegamos aquele código representamos ele

com as proposições e através de equivalências topológicas deduzimos uma expressão mais simples ao final da última hora nas regras de inferência nós vamos permitem que a gente deu blusa novas fórmulas bem formadas as partir de formas bem formuladas anteriores numa sequência de demonstração como vamos começar pelas regras de equivalência nas regras de equivalência então e o que que nós já vimos lá na última aula nós podemos reescrever porque a obi obi ua é a mesma coisa na propriedade chamada comutativa comutatividade então o aí baby e Ação equivalente ao logicamente eu nasci atividade a mesma coisa

eu mudar a posicionamento dos parentes faz com que a expressão obtida seja equivalente a original tá tudo o continue na distributividade eu posso passar esse argumento aqui para Dell esse conectivo aqui para dentro junto com la é distribuído né e a expressão continua equivalente ao original então eu tenho que essas pessoas aqui estabelece uma equivalência tautológicas pronto para o outro e e além de um órgão Onde eu posso ligar o a e b e obter a expressão equivalente a negado o delegado a mesma coisa para o ou aqui e tem algumas regras de equivalência novas

por exemplo condicional por favor mudem a tabela a verdade para verificar principalmente dessas duas que vão aparecer bastante tá eu arrumo um trabalho para casa é uai implica ideia ele é equivalente aí eu Tá negando o ar ou b e vice-versa a dupla negação diz que legal a negado é equivalente ao a ou comprar e o bicondicional ai clicando em p&b implica nem apagar eu acabei de falar é equivalente a clicar em b&b e para caminhar equivalente tautologicamente Então as regras de equivalência nós vamos ver aqui um exemplo de como manipular né é eu tenho

uma hipótese e nessa hipótese eu posso pegar quem Reis Então essa hipótese assumida como verdadeira agora na minha linha dois eu reescrevo essa hipótese e eu não quero eu quero ter certeza de que eu não vou Aquilo é verdadeiro eu vou manter verdadeiro então eu tenho que usar algo que seja o verdadeiro equivalência tautológicas nesse caso essa regra de equivalência permite Ô Rei escrever esse termo que é equivalente é esse dessa forró que é isso aqui bom então eu digo Capri Que eu apliquei a lente menor a partir da linha 1 e obtive esse argumento

que continua vaga agora eu posso reescrever esse tempo dessa forma aqui aplicando essa equivalência tautológico então quando que você fez no passo 2 o PC e o USB e nós temos Então essa uso dessa a expressão aqui nesse contexto trazendo diz formato para esse eu não posso três nós fazemos o que o pe ou R legado é equivalente ao meu alegado então Observe tio aqui no sentido de ser uma FPF né pode ser composta tá então eu tenho p o r é negado sendo equivalente a um alegado BQ valentias E aí eu posso aplicar essa

regra essa equivalência tautológico obtendo P ou hérnia apeou é implicando em S Tá certo vó e dessa agora sobre as regras de inferência O que é que nós temos nós temos inclusive alguns nomes assim tipo Box ponens modus tollens aí o que que significa isso você meia verdadeiro e pensa e quem quer verdadeiro Então nada essas hipóteses Eu Posso deduzir que se ver um pouquinho que é verdadeiro e que é negado a verdadeira Eu Posso deduzir P negado é modo stat a vida dele que é verdadeiro eu posso juntar os com o e que é

verdadeira é a regra da conjunção da mesma forma eu posso simplificar de dei que deduzi P isoladamente como verdadeiro e que isoladamente o verdadeiro é a simplificação ecpa varão eu posso compor ele com uma conjunção ó na na regra que chamava de adição tá é bom vamos entender isso tá Observe aqui se eu tenho essa hipótese e essa hipótese aqui eu posso enxergar lá como modus ponens porque o meu é verdadeiro meu antecedente a verdadeira e seria verdadeiro Eu Posso deduzir pela modus ponens que o meu consequência vai então dei será verdadeiro Tá mas porquê

disso o PC é o verdadeiro o que tem que ser verdadeiro certo não tem como então dado que o tio só que é verdade só que é verdade então se esse tema é verdadeiro parece aplicação continuar verdadeiro o que tem que necessariamente ser verdadeiro a mesma coisa e é o que a gente aplica aqui né transcendendo né que o modelo mais complexo o que acontece aqui nesse caso cenas hipóteses válidas eu sei que sendo a verdadeiro único jeito dessa hipótese aqui se manter verdadeira um bem se você é verdadeiro Então Posso deduzir mês e como

Vale certo então na modo Stories é o mesmo raciocínio se bem para quem que é verdadeiro e que é negado é verdadeira significa que o que é falso para essa e pó a verdadeira o meu P necessariamente tem que ser falso O que leva a pelegadas se verdadeiro na conjunção mais simples que a gente já trabalhou tabela a verdade né o isso conectivo então Observe aqui que pensas verdadeiro e que ser verdadeiro eu deduzo facilmente que tem que é verdadeira a mesma coisa o comprar bem que sendo verdadeiro eu já sei que nada a ver

a verdade isso só da verdadeiro se tempo a verdadeira e que foi verdadeiro nerds são o que acontece é usar também a propriedade válida pra de junção pensa no válido eu posso com Pollo um qualquer coisa que continua verdadeiro porque ele é verdadeiro e baixo não ser válido no ou E aí bom então vamos brincar um pouquinho aqui com alguns exemplos se eu tenho um e essa expressão agora esse argumento para eu provar a validade dele eu vou separar as hipóteses A verdadeiro bem que que ser verdadeiro eu vou considerar essa outra E aí bem

explicado em Deus e negado verdadeira e tenha verdadeiro vamos começar então usar as regras sempre tentando da maneira mais simples se você observar um dois e quatro eu posso aplicar modos pôneis e de luzes em ti é da mesma forma o meu A e B eu posso fazer deduzir através da linha 1 e 4 por conjunção acho que que eu quis esse cara para poder aplicar modus ponens aqui na linha três ó eu não peguei o bebê aqui apliquei aqui e deduzir cê agora eu eu poderia tendo a cisterna consegui deduzir esse e qual é

o meu objetivo chegar no de eu quero deduzir poder como verdadeiro tão que que vai acontecer o corpo pondo esse termo com esse aqui através da construção eu aplico modus ponens aqui e deduzo de ou se negado agora eu posso aplicar a regra do condicional então o que que vai desculpa eu apliquei Antes aqui só para ser preciso né a comutatividade troquei a ordem do seu dele beleza na linha 7 agora eu aplico a regra condicional a equivalência condicional que é o que ser legado ou de a mesma coisa que sempre quem de E agora

o que que vai acontecer se eu tenho uma linha 5C e na linha 9 sempre entender eu aplico modus ponens e deduzo de que é amanhã conclusão tão a minha conclusão é válida considerando essas hipóteses válidas e pelas reduções válidas que eu cheguei eu deduzi que de é válido esse argumento como um todo as regras de inferência então algumas dicas modus ponens é uma regra intuitiva então tente sempre aplicar o tá sempre olhando da forma mais simples possível tá regras desse tipo pq legado o pew que legado dificilmente nascer outro está então em geral ou

recomendado que você aplicar a lei de Morgan e já transformá-los para ter negado que ligado e e negado que negado essa é uma boa dica é pelo que dificilmente são úteis já que não implicam IP nem que diferente do p e que então o que que vai acontecer você pode um truque é usado pela negação se você tem uma expressão como essa e você queria dizer alguma coisa parte dela você pode por exemplo que que é o p o p é o pênis legado legado que a dupla negação E aí nesse formato eu aplico a

equivalência condicional e chega um p e obrigado clicando em que certo tá bom Outra coisa que não ajuda bastante nas demonstrações E você já fez podem fazer uma tabela a verdade considerando sua algumas proposições para verificar essa que isso é tautológico que aqui nós temos uma tautologia o método dedutivo nos permite substituir Ou seja quando eu tenho uma implicação que leva a uma conclusão que é uma implicação a hipótese pode vir para cá compor a hipótese dessa implicação é um antecedente desculpa dessa implicação pode vir para cá compor as hipóteses tá então vocês escolhem montar

uma uma equivalência tautológico aqui considerado por exemplo três termos só e mais um mais dois aqui e e verificar aqui é equivalente Tá além disso uma outra regra que vocês podem acabar utilizando ao silogismo hipotético que seria o que pen like e que impliquem R você pode deduzir que te implica em é então dá p I keep calm RP impliquem é você pode deduzir Também faço o a brincadeirinha ali com os valores verdades para verificarem isso como eu fiz para as outras bom então um exemplo se eu pegar aqui esse argumento eu quero provar a

validade dele igual primeiro aqui tá meu conectivo principal certo o que que eu vou fazer eu tenho essa expressão me levando a essa aqui né só que como essa aqui tem uma implicação eu passo lá para cá feito isso o que eu Antes de eu começar né demonstração perceber então eu reescrevo meu argumento E agora começa a demonstrar a validade dele separo as hipóteses e aplico por exemplo linha 1 e 3 motos pôneis linha 2 e 4 modus ponens e dedos e repare que ao passar lá para cá a minha conclusão passa CC ela que

eu quero chegar é mas sempre estamos querendo chegar a uma conclusão onde essa p**** mas o exemplo aqui eu tenho a novamente as minhas hipóteses Oi para o tênis tá E aí o que eu faço na linha 2 eu reescrevo esse termo usando a equivalência a condicional nego esse termo troco para implicação e mantém o segundo agora a partir daí na minha três e quatro modus ponens depois na linha 1 e 5 ovos podem chego na minha conclusão B mas o exemplo se segurança um problema então controle ser aumentado se segurança no for um problema

então os negócios da internet realmente portanto se controle no for aumentar os negócios da internet especial estão sendo a segurança é um problema b o controle será aumentado de seus negócios na internet era tá você que nós temos o ar céus e se for o seu problema então uma Bros será aumentada é assim implicação Isso é uma boa maneira de você destrinchar aquilo que você quer representar e de forma lógica se segurança não foram problema então os negócios na internet não aumentar não é problema esse aqui e portanto se o controle uma for aumentada os

negócios na internet cresceram efeito E chegamos a nossa expressão agora a nossa comenta agora nós vamos deduzir-se argumento bom então primeiro eu passo esse termo aqui lembre-se a minha conclusão aqui é uma implicação eu passo esse termo para hipótese e elenco as minhas hipóteses A partir delas eu começo a deduzir para chegar em ser então eu tenho que e a partir de três e um de 13 eu tenho repare que eu tenho delegado então isso significa que aqui vai ser falso Então o a tem que ser falso uma legado é verdadeiro moto Stories e daí

eu chego modus ponens agora com a linha 2 e 4 certo bom a todos esses conceitos né foram todos esses exemplos e conceitos foram retirados da sessão 1.2 no material base a e eu espero que vocês tenham entendido os principais pontos desta ao Muito obrigado [Música]