Cálculo III - Aula 20 - Integrais de superfícies (2)

[Música] com o tempo [Música] alunos da univesp curso de cálculo 3 bem vindos nesta aula 20 nós vamos voltar a falar de integrar de superfície na verdade vamos retomar a discussão da aula passada que foi mais ou menos a seguinte eu comecei falando a idéia de fluxo o rever essa idéia e ao discutir a idéia de fluxo se tornou necessário fazer uma distinção entre as superfícies orientáveis na orientáveis nós só vamos trabalhar com os perfis orientáveis fica na superfície orientava é aquela para onde você pode falar lado de caio lado de lá matematicamente se expressa

existe uma escolha contínua de vetor normal exemplos de não orientáveis que são muito bonitos e se estuda se também em matemática mas não pra esse efeito de do tipo integral que estamos fazendo agora estuda cinco outros aspectos é a faixa de medo da garrafa de cachaça mas nós deixamos essas de lado a partir de fazer esse estudo de agora imagine que a minha superfície são orientados e o conceito ansiedade fluxo qualquer mesma motivação de fluxo eu imagino um fluido escoando e eu quero me de quanto um fluido atravessa uma membrana e na verdade na física

não ser só fluido pode ser um campo elétrico campo em qualquer campo vetorial uma região uma superfície a gente mede aquilo que o campo está expressando o quanto que atravessa essa membrana isso tem implicações de mecânica dos fluidos e eletromagnetismo é muito rico em consequências físicas então essa idéia de medir a quantidade de fluido que passa de um lado para o outro da superfície por unidade de tempo e se passa de um lado para o outro e que exigem a orientação ea ideia básica disso então só para repeti lá a gente já discute um pouco

isso na aula passada nós temos o fluido escoando esse fluido escoar uma certa direção que o escoamento aqui imagina que isso eu fui descolam eu quero medir o quanto disso atravessa essa superfície atravessar a superfície depende da direção normal à superfície então o que eu faço é o produto escalar do campo efe do campo sp no vetor normal à superfície aqui está o normal e eu pego um campo efe que é o campo que está escoando aqui eu faço produto escalar do f pela normal para ver o conceito de fluxo matematicamente tem um campo vetorial

uma superfície conversor normal o fluxo é integral sobre a superfície do produto escalar efe pelo versões normal conceitualmente eu penso no vers o normal porque eu preciso da componente do oeste na direção normal isso vem lá da geometria analítica que a componente de um vetor numa direção é o produto escalar do vetor pelo ver sor da direção na hora que eu vou fazer a conta o ver sor para uma data para a mobilização é x 1 xv dividido pela norma e aí eu escolho eu quero medir numa direção na outra não fazer exercícios do método

ficar claro essa escolha de direção na hora que eu coloco na fórmula fácil produto esclarece pelo werson e vou fazer integrar o efetivamente um elemento diária aparece de novo módulo do xv e cancela o módulo x 1 xv com módulos do xv e fica só o produto vetorial então é importante fazer essa distinção no conceito de fluxo eu penso no verão show mas na hora de fazer a conta sobre uma superfície concreta no exercício real o que eu faço é parametrizada superfície pegar o xx e não versou o xxv que vier da paralisação é importante

isso mesmo que ele enxerga o vetor normal de forma simples por exemplo o caso de um plano que sempre saber se são geraldo quando tem um vetor normal dado pelas componentes abc ou no caso de um silo uma espera é fácil visualizar o vetor normal mas não é qualquer vetor normal é o vetor normal x 1 xv que vem da parametrização nem inversor e nem um vetor qualquer eu xuxa z da parametrização na hora de fazer a conta numa superfície particular concreta que eu tenho nas minhas mãos fazer um exercício concreto eu parametrizando pega o

xv dar parametrização o fluxo do campo x eo y jc capa na verdade é o campo xyz o campo radial sobre o pedaço de um plano china mais y mais nem menos 20 de novembro retornando ao 11 mas não vou pegar esse retornou ao normal da parametrização nesse caso vai conseguir mas é só coincidência que está acima do quadrado x entre zero e um y entre 0 e 1 orientado com a normal que aponta para o turismo então qualquer geometria disso que figura nós estamos falando do primeiro vamos ver o plano plano x mais y

mais e menos dois gols a zero está represado uma parte dele aqui exatamente a parte que está em cima do x entre zero e um y empresário é esse plano com x entre 01 e y empresário observe que x mais instrução mais e menos dois igual a zero como é que eu vou parametrizar plano observe que quando x e y 10 passou menos dois pra lá e dois pra aqui no alto sem igual a 2 quando x e y son 2 a 1 ambos a iacc da 220 a esse ponto aqui e é esse pedaço

de plano que o sobre esse quadro como eu parametrizando esse plano para fazer o cálculo do dumping parametrizar superfície então tem várias maneiras de parametrizar o plano e eu vou pegar o xxv da parametrização que escrever é igual o y a ver z igual a 2 - 1 - vez o leio z na equação do plano de onde veio essa expressão dizer isolado na equação do plano passei todo mundo do lado de lá do sinal de igual na equação do plano porque essa paralisação é conveniente porque eu sabia que o xixi é que entre 01

então o que igual x vai de 0 a 1 o ver também que é que o y de 0 a 1 tão verde ceron e ficou muito fácil essa parametrização deriva em ver ele várias partes dos vetores tem gente levando em 11 10 - 11 levando em v 01 - um produto vetorial deu o 1 1 final no jt internacional da - uma troca final e no caso de água principal da u e aí entra a questão que o enunciado pedia um fluxo com a normal que aponta para a origem eu acabei de calcular x

1 xv esse vetor aponta para o turismo o útero três componentes positivas ele está apontando para fora da legenda tem x y e z positivos ele é um vetor que se afasta do mesmo mas eu queria anormal que apontava para o jogo era o fluxo na direção que vai para a origem bom o fluxo na direção que vai para a origem ou pegar o normal o posto se lembra de uma propriedade que quando você inverte o sinal do evento é a ordem no produto vetorial inverso final aqui deu o vetor nenhum é esse que tem

que usar tempos ao menos 1 - 1 - 1 que na verdade é o oposto xx o prefeito que importa é que eu vou usar - 1 - 1 - 1 aí eu olho e fazer o produto escalar do campo pelo vetor no caso o - 1 - 1 - 1 porque nesse sentido cavaco lado o fluxo fluxo no sentido que vai para a ponta para o livro o campo era o campo xyz x lançamento de um y saber de ver e os eu tirei da equação do plano é esse produto escalar um com menos

um veículo - 12 - 1 - ver com -1 a -2 mais uma vez ver cancela o e fica menos dois então o fluxo é integral sobre a superfície desse produto escalar que menos dois então é integral de -2 sobre aquele quadrado 01 02 - da área - 2 o que é coerente com tudo que está aqui olha só o campo é o campo xyz o campo radial campo que se afasta do fluxo em direção a origem como campo o fluxo para a origem é negativo e positivo para fora é uma questão só de votação

esse produto escalar o campo é muitas vezes têm componentes pq rr é uma maneira de indicar três componentes e é um por razões históricas por razões da geometria diferencial esse produto escalaram daqui tem o xxv a gente indica os componentes por de y vetorial dese desenho vetorial dxd deixe setorial dentro na verdade isso aqui é só uma anotação que diz o seguinte tem nada de conceitual é só uma lotação p q r são os componentes do campo efe dytz de x de x e y são os componentes do xxv e aqui o produto escalar de

uma certa forma e já está quase que montado não muda muita coisa no cálculo fazer um exemplo é uma anotação importante que vocês conheçam na integral de linha tinha uma coisa parecida integral de te deixes que de y clã exame problema de green e integral de linha também tinha uma anotação parecida com essa então muitas vezes a integral do produto esclarece n que é o fluxo muitas vezes aparece escrito assim identificar que é o fluxo porque tem esse com o símbolo do vetorial aqui nas variáveis de x y e z calcular o fluxo do campo

x + e&y jc 2k através de um tronco de cilindro x 2 e 29 c entre 04 e orientada pela normal exterior ao cimento toda vez que vai calcular o fluxo o enunciado tem que dar a orientação que o exercício não falar nada porque o fluxo através da superfície não fala com a orientação sem vamos decidir o sinal da resposta a resposta vai ser mais ou menos tal coisa porque o sinal depende se é de lá pra cá ou daqui para lá e muda o sinal é uma maneira de escrever isso conta a chiara integral

sobre a superfície o campo x + z de y dezembro ea primeira componente do x 1 xv segunda componente do campo y e dizer vetorial dx é a segunda componente do normal z2 de x e y é a primeira componente do normal a primeira vez quem tiver só um pouco esquisita essa notação que das componentes do normal mas isso vem lado a outra parte da matemática para nós não é relevante é só uma questão de saber que significa exatamente o produto escalar do f pelo normal então vamos fazer esse cálculo como é que eu faço

cálculo do fluxo primeira coisa para eletrizar superfície segunda coisa calculou x 1 xv terceira coisa ver se ele está na sua direcção certa sim na direção errada eu mudo sinal dele troca todo sinal das componentes e última coisa substituir tudo na integral e fazer conta a primeira providência para eletrizar o cilindro x 2 são 290 entre zero e quatro como parâmetros a superfície do cilindro 3 conselho teta 3 c no tetra z de 02 pi 04 um cilindro que vai de 0 a 4 cilindros o plano eu peguei um cilindro que tem raio 3 na

base 2009 e que vai de 0 a 4 é um pedaço de cilindro tenha outras partes visíveis aqui e continuam desenho e perspectiva tem algumas outras partes é esse pedaço de cilindro indo até o 4 0 4 e ohio é 3 e com relação à normal exterior ao cilindro então é normal do cilindro que aponta para fora a gente vai querer normal apontando pra fora do cilindro então vamos fazer as contas para meter usei como cilindro de raio 33 conselho 3 c no z 04 eo teto de 0 2 pp x teto à deriva interna

- três sendo três concelhos 0 x 0 01 fizemos várias vezes a orientação da xv e jk - 3613 0113 conselho três semanas e agora pergunta é normal está coerente com os 40 são pedidas a orientação contida exterior não pensa com o tétano primeiro quadrante x positivo y positivo [Música] está coerente a orientação então três concelhos 300 essa é a orientação coerente e no i30 j e zero na direção do carro é normal que sai de dentro do cilindro para fora e é com ela que eu vou fazer a conta essa integral que nós vamos

fazer agora observe como funciona essa notação x da parametrização do cilindro três concelhos e dá para a manutenção dos cilindros e mesmo a primeira componente do normal três concelhos y da parametrização do cilindro 3 c no segunda componente do normal 3 selo z da parametrização dos cilindros e mesmo c2 terceira componente do normal zero hora que o normal era 3 conselho 300 ea gente usa o normal que veio da parametrização tem que ser normal que veio da parametrização três concelhos 300 e aí é só terminar conta integral fica de 02 04 que são de domínio

de variação do tempo e do z vai ter 13 cosseno quadrado com três concelhos k9 conselho quadrado aqui em três concelhos contra concelhos download conselho quadrada que tem 19 quadrado elas são fundamentais da economia da 9 e 3 e conselho integrado em z love z aqui z2 na primitiva dizer de 2 sobre dois fica três meios e o conselho teto com 2004 então fica isso aqui substituído com 1 004 aquele 9 vai dar origem e 36 e aqui o 4k 1622 de oito vezes três 24 na hora de fazer primitiva do conselho da senocak 02

pidá 00 então fica só 3602 1072 pe um outro exemplo importante desse cálculo desses fluxos do campo r sobre r 3 que é um campo que muitas aplicações na física na geometria vou fazer uma aplicação geometria em seguida mas antes de fixar notação do que estão falando quando falamos é sobre a imprensa r é o vetor posição xyz na hora de a posição xyz yj de casa o módulo é a posição três ficam x e y rotas e kkr com o vetor raiz quadrada que o módulo ao cubo o fluxo de ar quando há duas

maneiras de fazer essa conta maneira trânsito normal que eu estava fazendo agora seria parametrizar espera fazer todas essas contas como esse plano se repetir dá pra fazer um raciocínio é indireto neste caso então vou fazer porque é muito bonito geometricamente é integral à espera do campo r 3 mas o raio da esfera fixo é a módulo ao cubo é r normal pelo seu modo observe que estudar como estou na espera de raio a só que é rico r do módulo ao quadrado sobre a 4 também claro tornando o fluxo do sbt sobre a esfera cento

na origem raio a em todo lugar que tem um módulo de r eu tô com do ar e r sob calor rr2 também tem um integral de um sobre a 2 em relação ao elemento diária a área da espera e 4 pia 2 isso dá quatro pi quer dizer que é integral do r sobre r 3 sobre qualquer esfera de raio é a arbitrária da quattro cup e isso tem um significado geométrico muito bonito ele permite a construção do que chama de ângulos sólido é muito interessante isso você tenha espera e essa integral de r

sobre r 3 que deu 4 p eu defino um ângulo sob do ângulo sólidos definam assim eu pego um pedaço de esfera o ângulo sólido vai ser formado por todas as retas que vem da origem e passam por esse pedaço de serra que tem um pedaço certo quanto mede 1 com o ângulo de um pedaço de espera eu pego a esfera inteira mede 4 pe e um pedaço de serra sabe que eu faço eu pego essa superfície é se está aqui e eu faço integral dupla em s do r sobre o r31 exatamente isso que

acabei de fazer na esfera inteira na esfera inteira de 14 pixel pegar um pedaço de esfera da medida do ângulo sólido associado à espera que bonito isso pega um pedaço da superfície feita na superfície da terra pega um país qual ângulo que aquele país congrega qual ângulo que especifica é a integral sobre a área daquele pedaço do r sobre r 3 isso chama-se medida do ângulo sólido uma aplicação geométrica superbonita ficamos por aqui hoje [Música] [Música] [Música] ah