Cálculo I - Aula 29 (3/3) Comentários gerais e comprimento de gráficos

[Música] em vista disso acho que seria interessante a gente calcular alguma coisa que tivesse um significado geométrico com um sinal de menos aqui pra gente vê o que acontece então terminou isso vamos voltar lá no cálculo de áreas por exemplo suponha que você tem eu quero calcular a área dessa circunferência aqui você tem uma circunferência de raio é essa metade como é que é como é que o cálculo essa primitiva tá não é o volume é que o cálculo essa área aqui embaixo nessa área a gente sabe que é o quê integral de - rtr

df x de x bom como é que a gente pode sair dessa integral eu tenho duas coisas ao quadrado que são diferenças quando você tem uma diferença uma constante - a variável nem pra dessa identidade aqui não ser um quadrado de x mas no quadrado de x é igual a um multiplicar todo pré o quadrado isso tudo bem então por exemplo é o quadrado - é o quadrado sendo de x é uma coisa que fica desse tipo aqui né então o que você tem vontade de fazer assim o intervalo chama xdrive30d um bom que vai

virar isso aqui o dx vai ser o que é r eu também então nesse contexto como é que fica essa integral variável por treinar um dos extremos quando x é igual a r 100 no deo tem que ser igual a 1 qual é o valor de um que o selo da um tem outros né você mesmo perguntou o que eu tenho que fazer eu tenho que pensar e veja só muita coisa está acontecendo aqui né qual é o domínio dessa função x tem que estar entre - rr está dentro da resposta positiva então com certeza

chega ao quadrado tem que ser menor do que é o quadrado e portanto ele vai ter que ser você quiser botar r evidência vai ser alguma coisa o x esse cara tem que ter menos rr então / rs tem que estar entre -1 1 por tanto dá muita vontade de usar um cena x sobre r tem que ser um sendo o concelho qual deles eu vou pegar tem que pensar um pouquinho nisso né como eu tô com a metade de cima onde que tal cena nesse eixo né então nesse caso aqui se eu fizer o

ângulo indo de 0 a tep meu cena positivo não é então por isso que eu fiz desigual ensino de um modo como é que fica isso aqui quando x foi igual a r o senado tem que ser igual a 1 vamos pegar num intervalo de menos de 2 dos sub 21 vai dar sobre dois também quando um x para igual - rc não tem que ser - 1 - pi sobre dois que dá dentro da raiz quadrada vou fazer um pouquinho de cabeça vai ficar é real quadrado - é o quadrado sendo quadrado seja você

passa a ficar por lá então vai dar dentro da raiz é um quadrado com o senão quadrado de um quem é o de x r esse cara como é que eu posso tratar dele que a raiz quadrada de uma coisa o quadrado módulo da coisa ok é o módulo então em princípio se eu quisesse apagar essa raiz vai ter que ficar com isso aqui na certo qual é o intervalo de variação da do de - pi sobre dois até sobre dois nesse intervalo que você não é positivo - sobre 2010 sobre dois gols e não

está no direito portanto conselho de sempre positivo eu posso apagar o módulo é isso aqui vira o que é o quadrado com o seu quadrado de um começo em tanguá então tem que fazer tudo pensar em tudo isso quando está calculando integral definida se tiver um módulo você tem que olhar o intervalo que está trabalhando pra ver se é positivo ou negativo se trocar de sinal ali no meio você tem que quebrar com a parte positiva pode ser negativo tá bom ok isso aqui dá a gente sabe calcular isso enquanto que o primeiro r sai

da integral quanto quem a primitiva de coocenal quadrado usa aquele truque consiste num quadrado a gente escreve como meio mais conselho de 2 x sobre dois no intervalo de menos sobre dois eps sobre dois essa parte do conselho a primitiva vai morrer e cosseno de 2 x no intervalo vai morrer não sei a gente faz a conta vai ficar bom vai ter com a primitiva de email mais cosseno de 2 x 1 sobre dois essa é a premissa tiva de - pi sobre dois ataques sobre dois esse pedaço aqui vai morrer vai ficar e sobre

2 - - sobre dois voos da tap e tanto lá e é o quadrado sobre dois também era de se esperar isso metade da área da circunferência tá bom a gente calcula sua primitiva e substitui os extremos o que eu quero se você não troca se você não conhece você não troca integral definido se corre risco de perder um sinal e não ia conseguir saber o que fazer então você tem que olhar no intervalo estou trabalhando o senhor nesse exemplo ficou muito claro porque é bom você está sempre pensando no intervalo correto diga à parte

abaixo porque eu poderia pegar parte abaixo mas eu não sei fazer essa conta porque tudo bem o que é essa a gente sabe calcular mas essa área não é dada pelo gráfico de uma função não é que eu tenha circunferência em 3º conferência inter é gráfico de uma função quem é o y em função do x1 tem né pra 1 x eu vou ter dois y tá então a função portanto não sei calcular a integrar-me da área entre o eixo x biográfico da função também a gente pega sua metade de cima proteger certeza que eu

tô com uma função e total quando a área entre o eixo x geográfica dessa função esse objeto aqui me dá essa área se atentar que eu sei que a metade da área inteira porque se você fizer a conta vai dar isso aqui mas o que essa área é em relação a essa nada a ver uma coisa com a outra essa área se aplicasse essa fórmula nesse caso que obteria reagir a essa superfície tá girando essa superfície que obteria girando essa mesma conferência obter uma esfera e ao fazer essa contra estaria obtendo área superficial da esfera

tá então se você pegar essa fdx jogar dessa forma o que você acha que vai dar quatro pierre é um quadrado que a água doce de superfície bom se você pegasse essa função e jogasse aqui o que você acha que é dar quando eu estou rodando em volta do eixo y eu vou ter 65 era só vai dar 2 pierro quadrado então calculamos volumes em volta do eixo x em volta do eixo y áreas em volta do eixo x áreas em volta do eixo y que falta calcula o comprimento de uma curva e como eu

tinha comentado na aula passada esses eixos de rotação também poderiam ser outros né você quiser calcular o volume de rotação em torno de outro eixo que não precisa ser só um paralelo aos agentes coordenados por halo paralelos e descoordenados se soma uma constante aqui dentro ou fora da f para acertar só uma transação se é um eixo que não é paralelo se quiser fazer alguma rotação e aí como é que se faz pega o eixo sobre o qual você quer girar coloca um vetor ali acho complemento ortogonal você vai ter uma base ortogonal por r

2 ea base canônica reescreve na base canônica quer dizer se você tem um gráfico de uma função na base canônica esse cara que é xis e sequer fdx não é isso se você tem algum outro eixo aqui desenhar melhor pega um outro trecho que passa pela origem então tá se eu quiser rodar o que eu posso fazer eu acho um vetor unitário na direção do meu eixo consigo rapidamente um cara ortogonal a ele então vou ter um novo sistema de coordenadas 1 e ver como é que fica a cara desse ponto no sistema de coordenadas

o v a gente sabe escrever isso com matheus mudança de base da base canônica para essa base aqui também então esse par x virgula fdx sistema vai ter um novo sistema de coordenação ter novas coordenadas que vão depender de um e ver então o xf você quiser não sei como é que a anotação que vila nova go linear na base e canônica vai ter alguma coisa que depende de wave e depende de um evento dessa nova baixo tenta reescrever e isolar esse cara deixa aqui só variável e aqui a variável ver eu vou ter esse

cara como um gráfico eu vou tirar deixa eu fazer como acordo aqui eu tenho esse gráfico original eu quero tirar ele em torno dessa reta você é capaz de calcular esse volume essa área certa reescrevendo essa curva nas coordenadas o en v só pra saber que dá pra fazer quando você junta ao coro de brilhar sob um monte de coisa tá bom vamos ver como é que a gente poderia calcular os cumprimentos das curvas e tentar fazer um exemplo da lista a idéia de novo já o que calcula o cumprimento desse gráfico fala desculpa nesse

caso aqui é verdade né quando eu tirar essa coisa toda vai estar contando um monte de gente duas vezes se rodar volta deixo isso né como é que obtenho 6 circunferência o rodando em volta do eixo y é só o primeiro contratante está perfeito tem que tomar esses cuidados têm que ver se o que você está fazendo com a tua curva não está passando duas vezes no mesmo lugar e também tão legal que calcular cumprimento de curvas e é o que a gente quer fazer você pode pensar isso aqui é uma é um uma linha

que ficou retorcida no plano não é isso o pedaço de linha mesmo que calcula o cumprimento desse gráfico é pegar esses dois pontos neste caso ou seja têm taxa um segmento de reta é que esses caras estica vir um segmento de reta quanto média segmento essa é a idéia então como é que a gente pode fazer isso há a idéia de novo é mesmo mas se você pegar um pequeno intervalo minha parte se ona se eu quiser calcular eu só sei que ao cumprimento de coisas retilíneas né então eu vou tentar aproximar esse trechinho da

curva por um segmento de reta qual a seguir qual é o melhor seguimento de reta que você pode usar e que liga estes dois extremos vamos fazer assim tá vamos supor que a sua função é derivava quer dizer um segmento de reta que liga estes extremos que eu posso fazer é uma reta secante ali não é aí lembra de um cara que chama teremos o valor médio do valor médio disse pra gente que em algum ponto intermediário aqui dentro vai ter uma reta que é paralela ela e portanto vai ter o mesmo comprimento eu simplesmente

vou baixar essa reta para algum lugar aqui tá certo não existe esse pontos e então eu posso esse cumprimento determinar em função do coeficiente angular da reta gente em algum ponto dentro desse intervalo linho e quem é esse coeficiente angular gente desse ângulo e tem até gente desse angu a derivada da função naquele ponto então vamos usar tudo isso tá como é que eu posso escrever esse segmento vai ser bem parecido com o que a gente usou para calcular a área superficial como é que eu escrevi esse segmento enquanto que a medida dê seguimento ou

se você tem esse ano ao fae dado lá pelo tema do valor médio né a gente está indo eu sei que aí é igual ao que já sente dividido pelo poderoso l ou seja ele é sobre o contrato delta sobre o concelho que de novo eu posso escrever conseguiu ser candidato aí sendo crescente ou decrescente a função em módulo esse cara é a mesma coisa então posso por módulo aqui vezes raiz quadrada de um mais tangente ao quadrado john fahey ou seja a raiz quadrada de 1 efe linha de 100 ao quadrado seu somar todos

os segmentos e obter o que seria uma aproximação para o cumprimento da curva tomando o limite como eu sei que a sua função é integrável na verdade estou pedindo que é filhinha seja uma função bem comportada pega é fininho contínuo a função de classe um passe essa é uma função de classe 1 eu tenho certeza que esse cara é contínua e portanto somando estes comprimentos eu vou ter o que é uma soma de rima de qual função raiz quadrada de um mais é filhinho ao quadrado de x relativa essa partição p ea escolha dos seis

qual foi a escolha dos seis que eu tenho aqui veio do valor médio por uma valor médio de 16 para cada sub intervalo então somando todos esses a gente vai ter que a soma raiz quadrada de um mais é filhinho quadrado de 100 ao quadrado elton é a soma de rima da função raiz de um mais é fininha dx ao quadrado relativo a partição p ea escolha dos seis que me foi dada qual é quem são esses seis eu escolhi não foi teremos valor médio que me deu um para cada intervalo passando o limite o

que a gente vai ter que esse cara vai virar integral tá e portanto a gente pode escrever assim que o comprimento está o cumprimento da função do gráfico da função no intervalo ab é a raiz quadrada de um mais um é filhinho quadrado de x então sabemos também calcular comprimentos e vamos tentar responder àquela pergunta o que você queria fazer para calculá a área lateral pegar o comprimento e multiplicar por vamos fazer com uma o que a gente sabe a área em volta do eixo x gostei bastante da sua coroa por isso eu tô me

debruçando um pouquinho sobre a gente sabe que a área em volta do eixo x é integral e até b2b fdx raiz quadrada de um mais f linha de chips ao quadrado a gente sabe que 'ele é o cumprimento de até b da raiz quadrada de um mais fx ao quadrado deixe que estava perguntando é porque pra calcular esse número eu não posso pegar esse x 2 pipe posso tem que multiplicar por dois besides ohio quantos têm infinitos aqui para escolher mas que o tema do valor médio para integral disse pra gente teorema do valor médio

para integral me conta que é integral e de até b2 pi fdx raiz quadrada de um mais f linha x ao quadrado de x é igual a 2 pv vezes fdc vezes as integral aqui usando o tema do valor médio na função feed x igual a raiz quadrada de um mais fx ao quadrado lembra denunciado integral df vezes fiera igual integral df calculado em algum ponto dentro do intervalo a b vezes a integrar o dfi ou seja que a gente mostrou que eu posso trocar a área de qualquer rotação em torno do eixo x por

um cilindro que tem como altura o comprimento do gráfico da função e raio da base o valor em algum ponto aqui ou seja esse cara conseguiu esticar em algum cilindro com uma certa altura sendo um destes dois vão a algum número aqui dentro na imagem da f1 muito legal pergunta descobrimos uma coisa tá então sabemos fazer só um exemplo que talvez seja o único exemplo que a gente consegue fazer de fato você calcula o cumprimento de uma curva chutando uma função já dá um problema fácil então exemplo ele é um exercício da lista eu acho

que o exercício 11 da parte 3 tá então você tem fdx qual o cnp bólico dx eu quero calcular o cumprimento do gráfico menos três ou até quatro bom que esse cumprimento integral de menos três até quatro na raiz quadrada de um mais um é filhinho é quanto vale a filhinha quanto a derivada do conselho hiperbólico hiperbólico todo mundo lembra que é o conselho pedagógico não tá bom você me perdoa de x 6 x mais ea menos x sobre dois cnp bólico elevada x - ea - sobre dois em uma relação que você tira disso

aqui aqui o cnp bólico quadrado - cnpi bola oval quadrado é bom então uma motivação que não é muito motivador é sempre conselho vem do círculo trigonométrica unitário né se você pega um ângulo teta esse cara aqui embaixo é conselho teta e esse cara aqui tá qual é a equação que os círculos satisfaz estes dois mais opção 2 go se você pegar x 2 - y2 igual o que dá isso é uma hipérbole qualquer ela tem uma cinta aqui se você quiser não é coisa e tem a outra do outro lado né o que quer

dizer o conselho pedagógico se você pegar um ângulo teta aqui essa medida aqui embaixo é conselho pedagógico detecta essa medida aqui não se lhe pode acreditar é como se você estivesse fazendo uma geometria onde o seu círculo trigonométricas substituído por uma hipérbole trigonométrica serve para um monte de coisa tá mas o que a gente vai fazer só calcular essa esse complemento do gráfico quanto é derivada do conselho hiperbólico se você deva isso aqui vai ver que dá certinho sendo hiperbólico eu tenho que levar o quadrado enquanto que é menos três até quatro quanto é um

mais cnp bólico ao quadrado o cnp bólico ao quadrado quando eu tirar raiz da torcida hiperbólico disse porque o conselho público é sempre maior do que 1 então é isso me falou uma função que quando deriva da conselho pedagógico deriva s não tenho - quando tom mais sereno já vai virar mais que dá certinho então isso é cnp bólico dxd menos três até quatro ou seja o cnt bólico de quatro - sendo hiperbólico de menos tempo também daquela figura alice nota que o cnp bólico é uma função importante que o cnp bólico altura né então

se eu trocar de sinal que vai acontecer exatamente troca tudo em troca o x o tropa o sinal e o conselho pedagógico é uma função para então se quiser tirar esse - daqui fica sendo hiperbólico de 4 mais sendo hiperbólico de três também se votará qualquer outra função aqui dentro já fica muito ruim né pega uma parábola de derivado a função de gravar um vai ter que levar o quadrado é uma função de grau 2 vai ter uma raiz quadrada de um com nome 2 vai ter que completar quadrado e usar substituições do tipo tangente

secante para cair na integral de uma seqüência ao cubo coisa do tipo se der sorte tá bom então com isso olha eu acho que já dá pra fazer as sessões 1 2 e 3 da lista tá vamos trabalhando nesses exercícios na hora que vem a gente discute um pouquinho de coisa que falta que há funções dadas por integral quero mostrar mais uma técnica de integração que um bônus funções dados por integral uma nova versão do tema fundamental do cálculo e aí a gente trabalha com aplicações dessas coisas tá bom obrigado bom fim de semana pra

vocês [Música]