Cálculo I - Aula 26 (2/3) Método da substituição/mudança de variável

[Música] técnicas para determinar primitivos então o que é determinar uma primitiva se quiser pensar assim é como se você fosse fazer o desvio e warta bom a gente tem algumas regras de derivação baseados nessas regras de derivação a gente vai tentar desfazer as quais são as regras de derivação que a gente viu derivada da soma soma das derivadas portanto se você precisa calcular primitiva de uma soma basta calcular primitiva de cada parcela tá que a gente viu depois a gente viu como de levar produtos e vimos como derivar compostas e o consciente foi uma adega

do consciente veio de uma combinação dos seus duas tudo bem então vamos tentar desfazer as regras para derivada de compostas não desfazer a regra da cadeia e depois tentar desfazer a regra do produto que a gente chama esses métodos nem na técnica de cálculo de primitivas é mudança de variável integral e integração por partes respectivamente tá então esse primeiro teorema você vai fazer assim a pega uma função definida já bem é wo por contínua tá pra garantir que é integrável e g definida no intervalo cd fechado porque ela seja de classe e1 que quer dizer

isso que ela é derivava eu ea derivada dela uma função contínuo portanto estou me garante que eu consigo integrará derivada da função de classe um tal que vale é a seguinte propriedade a gdc seja igual a cgd seja globe é bom que isso quer dizer é uma função você pode até dizer assim cuja imagem seja o próprio intervalo abin em princípio contra o domínio só porque na hora que eu escrevo essa condição tenho certeza que a função g é sobre o setor não tem uma inversa ainda né ela é uma função entre dois intervalos que

eu tô pedindo que ela é de classe um cão pastor ela é contínua se ela em algum ponto atingiu valor a em outro ponto atingir o valor b de novo pelo tolima do valor intermediário é obrigada a atingir todos os valores em 3d portanto quando escrevo isso a função g forçosamente é sobre o setor e de classe muito bem se você tem essas condições o que esse resultado vai garantir o integral de até b jeff de xx é igual integral de ser até de estou mudando o domínio de integração na função efe calculada em gedeil

vezes janelinha de u bom se você precisa calcular a função integral da função f1 no intervalo abeta difícil você pode introduzir uma nova função já que tem essas propriedades eventualmente isso te ajuda a construir uma primitiva mais simples vamos ver como é que a gente prova isso tem uma cara de regra da cadeia isso não é uma composta como explicado pelo derivado né uma regra da casa de verdade tem que ter maturidade e aqui vamos pensar como é que a gente pode demonstrar isso como é que a gente calcula o lado esquerdo para começar essa

é uma função contínua em toda a função continua tem uma primitiva se eu tenho uma primitiva como é que o cálculo integral da efe é fã de bbb - é fundiário terão fundamental local a gente está usando tudo o tempo todo aqui né então vamos ver como é que a gente prova isso como a f é uma função continua e tem primitiva então seja é fã uma primitiva df porque tem contas têm se você achou uma vez um caminhão junto né porque qualquer uma que se achou difere da outra por uma constante é para esse

momento a piada em um caminhão junto é bem ruim né ele não veio tá bom é então é só uma primitiva df que eu faço e como eu faço para calcular o lado direito da integral eu preciso de uma primitiva do integrando aqui na íntegra a função estava dentro então se é fã é uma primitiva df você consegue descobrir uma primitiva dessa função que está aqui me falou uma função que quando o derivado da isso sabendo que é derivada da f1 f pensar né vou chamar de gestão de u uma coisa que quando o perigo

da isso eu vou colocar já o que é f de gil eu vou afirmar isso aqui é uma primitiva de é de mil vezes delírio bom eu fiz uma afirmação preciso justificar ela como é que a gente verifica isso vamos levar a função g maiúsculo e ver o que acontece certo são de fato quem que é gestão linha de u racer é fã bola gt privada qual comigo mas é dele uma composta deriva de fora ao comandar de dentro multiplica pela levada de dentro certo quanto é fão linha a linha por hipótese é a f1

né é uma primitiva então isso deu efe vg linha de ok então de fato a função g maiúsculo uma primitiva l'aquila e portanto como é que eu faço para calcular essa integral ac dc até de jeff degeo vezes de linha deu pelo termo fundamental do cálculo que eu faço eu pego uma primitiva cálculo nos extremos então isso é exatamente o que o g calculado em de - f calculado em c que é gestão calculado endereço efe dgd - é fão dgc tá certo quanto vale o gd no começo o tema gdl igual b deixei de

ser igual à então isso aqui é efe db - f já o que é fã de bbb - é fundiário é integral de 1 tb bom então vale essa regra que é o que a gente chama de mudança de variável integral ótimo a gente sabe demonstrar mas nesse momento da vida mais importante do que saber demonstrar essa regra é saber usar como é que a gente usa isso vemos exemplos você percebe que o que a gente fez a gente diz fez exatamente a regra da cadeia né se eu tenho uma coisa que tinha uma cara

de ser de ter vindo de uma derivação um regra da cadeia como é que o cálculo a integral primitiva dela eu desfaço a regra da cadeia percebo qual foi a composição que gerou aquilo como derivados então isso é um indicativo forte do que toda vez que você tiver que calcular uma primitiva de alguma expressão que tem um produto e um dos fatores têm muito a ver com a derivada de alguma coisa que está no outro fator é um forte indício de que você deve usar esse método para resolver seu integral em geral você pode ter

diversos problemas sem calcular o aplicar vários métodos para resolver uma uma certa integração primeiro você faz uma mudança de variável depois me interessam por tarde e depois próximas parciais depois outra mudança de variável e vai tá na lista a gente vai ver que tem bastante coisa mas elas são mais pro final só depois que a gente já tiver bem confortável com as suas coisas vamos fazer um desenho antes de falar desse exemplo deixou só botar uma coisa geral quando a gente for falar de a primitiva de uma função eu posso escrever simplesmente isso aqui ó

o que é isso sem os extremos de integração isso aqui de nota o conjunto de todas as primitivas da função é finita então isso aqui é o que isso vai me por ter como resposta todas as funções que quando o derivado da função fx é o próprio outra coisa vai ver um pouquinho disso também há então isso aqui são as primitivas o que eu sei como é que é esse conjunto eu acho uma primitiva da f 1 e soma uma constante em nome da coleção de todas as primitivas possíveis tá legal então por exemplo se

você tem quem a primitiva de x elevado a ndx qual é a função o qual o conjunto de funções que quando eu devo da x elevado a n quem pensa assim quando eu teria um polinômios quer dizer o que se espera que seja a resposta antes de mais nada se quando ele veio de um polímero é razoável imaginar que a função original era um polonês e também né certo então e quando a gente deriva o grau cai humanidade então o que a gente espera que seja isso aqui vai ser um nome de grau 1 a

mais só quando ele vai isso tenho animais um que vai multiplicando então a certo estou cinco isso você quiser brincar o control z o an dupla derivado do pornô tá certo muito bem essa forma funciona para todo n ele não pode ser menos um aqui né porque é exatamente ele igual - um hino ao menos 1 bahia 1 sobre xx a gente sabe que o elenco do módulo x mais o gosto bom que isso mostra pra gente ou melhor o que isso tem a ver não sei se vai lembrar de um exercício lá na primeira

lista eu acho que pedia pra você mostrar que não existia nenhuma função não existia nenhuma função que era soma de polinômios ou soma de nomes com inversos de monômeros cuja derivadas da visão sobre x lembra disso era um exercício que tinham polinômios acho uma função que quando você deriva de simone e tenha um depois do outro na outra tinha um monte de x e levado os pontos negativos acho uma função quando você deriva dessa aqui mostre o item c mostra que não existe nenhuma função que seja uma soma de sejam polinômios mas o inverso the

monomes de modo que é derivada deste cara seja igual a 1 sobre x quem que tenha derivado igual a 1 sobre o x1 garantimos mais constante que a gente conclui com aquele exercício e com esse fato que essa função logaritmo é de fato uma novidade em relação aos poloneses né ou seja não consigo dizer esse logaritmo é um símbolo que a gente inventou mas quem garante isso aqui não pode ser expresso através de um polis nome eo ou de inversos the monomes aquele exercício junto com isso qualquer função cuja derivados sejam sobre os x é

o logaritmo nesse caso a gente provou que não se inscreve daquela forma então a gente tem um jeito automático de determinar primitivas de coisas aqui esse e não estava um número natural não podia ser qualquer número real tá bom a gente sabe disso então toda vez que você tiver x elevado uma potência fixa você sabe calcular primitiva instantaneamente então brincar com isso nessa situação a que eu quero achar a primitiva de zero a integral de zero até 11 na função a x mais um elevado a 2018 vai por exemplo a gente sabe fazer isso num

modo força bruta sabe por que quer x mais um elevado número de 2018 você pode abrir com o nome de nilton na áfica x elevador 2018 mais 2018 vezes a 2017 vai fazendo vai ser um pornô mil degrau 2018 com 2.019 parcelas e você sabe integrar cada uma delas é o xis elevador 2018 quem quer primitiva x a 2019 sobre o dia 19 você pode fazer isso na força bruta não dá muito ânimo está certo do ponto de vista genérico que você quer fazer aqui quem é o gráfico da função x mais um elevador 2018

uma parábola mas é um uma curva quais são as raízes disso - um acerto como é que o gráfico nesse caso vai trazer uma unidade para a esquerda o gráfico 1 da função x elevado 2018 então tenho lá o ponto x igual a um pobre um pouco e deixar um pouquinho mais um pouquinho menos acentuado esse cara quer dizer o que é aquele número que nós estamos pedindo essa área aqui tá certo então eu poderia fazer expandindo em nome de nilton calculando a primitiva ter manter me substituir muito ruim o que que se em vez

de ser assim fosse desse jeito a gente sabia fazer porque desse jeito como é que é a cara da função x e levado algum n né e esse a gente sabe calcular direto a uma pergunta daqui pra cá o que aconteceu em uma translação do gráfico ea transação gráfico que se acredita que não vai mudar o valor da área tá certo então tá bom como é que a gente pode fazer isso qual é a função que eu com qual a função e compõe a função f1 para fazer uma transação horizontal de humanidade a gente tem

fdx igual à x mais um elevado 2018 eu queria transformar isso aqui num um cara só a variável levar 2018 então vou criar uma variável vou chamar x vai ser uma função que eu chamar de gil que vai ser o que menos 11 todo certo então quando eu pego aqui eu tenho uma variável x ac tem uma variável o que a gente pode concluir neste caso aqui acho que dizem lutar muito bom né esse aqui um vai ser gol x mais um tá bom esse aqui tá certo esse é o gráfico da função fdx certo

o gráfico da função gs é f composto com g quem quer olhar quanto vale fdg edil gediu é 1 - 1 então vou pôr 1 - 1 - 1 aqui vai ficar o elevador 2018 certo então tá certo é isso aqui é bom e agora vamos ver como é que ficam os valores né então minha função g é isso qual intervalos e denunciado do teorema que eu vou pegar ser dois caras que são levados nos extremos originais tá então qual é o valor de um que eu ponho aqui pra isso aqui dá 011 cadê então

vamos lá aqui a gente tem a igual a zero é igual a um quem quer você é um cara que quando eu colocar aqui na função já tem que dar zero então é um certo de qual é o cara que faz isso aqui vale um quando isso aqui vai valer 1 quando for 2 então é essa área que a gente vai calcular eu vou transformar da humanidade vai de 1 até 12 essa área aqui exatamente igual é software uma transação lateral perfeito então achamos fdg eo quanto vale g linha essa é fácil viver só que

em relação ao dólar quanto então pelo teorema que a gente pode dizer como reescrever e a gente queria calcular isso não é integral de 01 de x mais um elevado 2018 dx isso era integral de zero até um do fd xx eu quero fazer isso direitinho pra gente ver como é que tá usando o teorema direito que era uma gente perdeu anunciado mas ele está aqui de novo que era integral de zero até um jeff de xx vai ser integral de 1 até 2 está certo que é integral de ser até de de quem df

de gil bolinha de o teu que virou isso no nosso caso concreto integral de 1 até 2 que é filha de gil o elevador 2018 quem age linha de 1 a 1 deu certo sabemos calcular a primitiva da função o elevador 2018 quanto à primitiva de um elevador 2018 ou 2019 sobre 2009 então é uma situação que a gente escreve é essa gente faz assim o elevador 2019 sobre 2009 calculado de 1 até 2 isso quer dizer que essa função calculada nesse extremo - essa função calculada a nestlé só que vai dar um número que

é exatamente o que dois elevador 2019 sobre 2009 e dá um número razoavelmente grande - um sobre a clara ideia você percebe que o que a gente faz quando o que é a mudança de variável nesse caso acho que é bom a gente tinha uma intuição sobre isso a mudança de variável que a gente fez foi simplesmente o que uma transação aconteceu aconteceu alguma digital dilatação no eixo do domínio não da onde que vem não ter acontecido nenhuma de lotação o fato da derivada ser 11 ou seja a taxa de variação de x em relação

a um é um em que variam na mesma proporção na mesma intensidade ou seja não teve nenhum é uma dilatação nem contração do eixo portanto é por isso que é esse um que está multiplicando aqui o tamanho do intervalo ficou mesmo no zero até um de 1 até 2 só teve uma translação e portanto a área vai ser preservada se a mudança de variável que você incluir envolver dilatações ou contrações no eixo do novo domínio você vai ter que pagar um pedágio para isso pensa que você pega uma função que transforma esse intervalo no intervalo

de tamanho dois aqui de algum jeito que estaria contando muito mais água do que você precisa ter que dividir por essa taxa de correção vai aparecer e isso nos exemplos agora não ficou claro qual é a idéia da mudança de variável é aplicar alguma transformação na expressão que me produzo a um novo integrando que eu saiba trabalhar geometricamente nesse caso que aconteceu a gente simplesmente fez uma transação realização de lata nem cole áreas por isso que eu não paguei um pedágio na hora que eu fiz 12 variável super importante ter isso na cabeça